FRANCESCO MANOTTI mat. 120939

lez. del 18/10/01 h. 16.30-18.30

Energia : definizione ed esempi

Argomento di questa piccola relazione sarà l' energia, della quale analizzeremo alcune sue forme ed aspetti, vedendone poi la applicazione pratica nella risoluzione di problemi affrontati in classe.

Dare una definizione di energia non è semplice, ma in generale possiamo dire che l'energia è una grandezza fisica che si definisce come la capacità di compiere lavoro. E' d' obbligo però prendere questa definizione con cautela, cercando di interpretarla a seconda delle varie forme nelle quali si presenta l' energia e delle situazioni del caso. Possiamo ancora aggiungere che l' energia “non si crea e non si distrugge”, è quindi una grandezza data, finita: i processi che “usano“ o “producono“ energia in realtà si limitano solo a modificarne l'aspetto, a trasformarla o degradarla da una forma più o meno pregiata ad un' altra.

Unità di misura dell' energia è il Joule, simbolo “ J “, che si dimensiona come kg·m² / s².

Sempre legato al concetto di lavoro e facilmente confondibile con quello di energia vi è quello di potenza. Tale grandezza può essere intesa come “ velocità con la quale si fornisce lavoro ”, ossia quantità di lavoro su unità di tempo: infatti moltiplicando la potenza per il tempo otteniamo la quantità di lavoro entrata in causa nell’ intervallo di tempo considerato.

Unità di misura della potenza è il Watt, simbolo “ W “, che si dimensiona come kg·m² / s³.

Avendo gia parlato due volte di lavoro ricordiamo cosa intendiamo per lavoro [ simbolo “ L “ ed unità di misura sempre il Joule ] . Supponendo di avere un punto al quale viene applicata una forza e grazie ad essa lo stesso si muove dalla posizione A a quella B noi definiamo il lavoro come il prodotto scalare istante per istante ( il lavoro è quindi uno scalare !!! ) fra il vettore forza ed il vettore spostamento. Nel caso più generale il lavoro è dato dalla somma di infiniti contributi infinitesimi dL = F·ds [ds spostamento infinitesimo] e perciò nella sua scrittura più generale si può esprimere come

Questo vale nel caso generico, ma noi spesso tratteremo forze costanti e traiettotie rette così che la formula che esprime il lavoro ne risulta notevolmente semplificata

L = F·s·cos q

dove “s” indica ancora lo spostamento e q l’ angolo fra la direzione dello spostamento e quella della forza.

Ora per meglio capire come si differenziano lavoro, energia e potenza possiamo dire che una forza che sposta un oggetto compie un lavoro, un oggetto incendescente ha in se tanta energia ( sotto forma di calore ) da poter compiere un certo lavoro ed un motore ha una potenza tale da poter fornire un tot di lavoro ogni unità di tempo.

Durante il corso delle lezioni le forme di energia che maggiormente studieremo sono quelle che ora andremo a trattare. Ci occuperemo quindi di:

ENERGIA MECCANICA

ENERGIA CINETICA

ENERGIA POTENZIALE

ENERGIA INTERNA

ENERGIA MECCANICA

In classe, mediante un esempio, abbiamo visto come il concetto di energia meccanica e quello di lavoro meccanico vadano di pari passo, tanto da calcolare l' energia meccanica dell' evento considerato come il lavoro che si è compiuto nel nostro oggetto protagonista dell'esempio. Consideriamo quindi un gas, chiuso in contenitore con coperchio mobile, al quale gas viene fornito calore e di conseguenza fatto fare lavoro mediante la sua espansione, causa dello spostamento del coperchio mobile. L'energia meccanica di tali avvenimenti è espressa dal lavoro fatto per innalzare il coperchio mobile e, tale lavoro, è stato da noi calcolato prima mantenendo il gas a pressione costante, poi togliendo questo vincolo.

Stando il coperchio del contenitore in quiete deve esserci equilibrio tra la forza peso “ Fg " che il grave esercita sul coperchio spingendolo verso il basso e la pressione del gas che impedisce allo stesso di adagiarsi sul fondo del contenitore. Prendendo come “ M “ la massa del grave e come “ g “ la accelerazione di gravità, possiamo dire che la forza peso che agisce sul coperchio è:

Fg = M·g

D' altra parte a tale forza corrisponde la forza Fp associata alla pressione del gas all' interno del contenitore, quindi la forza peso che agisce sul coperchio è uguale (data la condizione di equilibrio) alla forza associata alla pressione del gas da cui ( ricordando che p = F/S quindi F = p·S, dove S è la superficie sulla quale si applica la forza )

Fg = M·g = p·S = Fp

Fornendo ora calore al gas ne ottengo la espansione che provoca l' innalzarsi del coperchio mobile di una distanza “ x “. La pressione del gas non è cambiata perchè, valendo ancora la uguaglianza precedente, “ M “,“ g “ ed “ S “ sono rimasti invariati: possiamo allora affermare che il lavoro L, prodotto della forza per lo spostamento “ x “, sarà dato da

L = F·x ossia L = p·S·x

Notando però che “ S·x “ non è altro che la misura di quanto sia cambiato il volume del gas arrivo a concludere che, in caso di pressione costante:

L = p·DV

Volendo ora rappresentare la trasformazione su un piano (p,v) [ un piano (p,v) o piano di Clapeyron non e altro che un riferimento cartesiano che vede sull' asse delle ascisse la pressione “ p “ e su quello delle ordinate il volume specifico “ v “ ; tale piano è particolarmente usato e comodo per la rappresentazione delle trasformazioni dei gas ] ed interpretando “ geometricamente “ la conclusione alla quale siamo giunti non possiamo che notare come il lavoro sia rappresentato dall' area del rettangolo individuato dalla curva che descrive la trasformazione e dalle proiezione delle ascisse agli estremi su di essa.

Proviamo ora a sostituire il grave con una molla avente agli estremi il coperchio mobile del mio contenitore ed un vincolo assolutamente immobile.

Consideriamo ancora il nostro coperchio in quiete e vediamo che la molla di costante elastica “ k “ ha uno spostamento “ x “ dalla sua posizione di riposo pari a “ x9 “. Ricordando la legge della forza di una molla che mi dice che una molla esercita una forza F_el pari al prodotto della sua costante elastica “ k “ per l' allungamento “ x “, ottengo che sono in presenza di una forza elastica " F9_el " che in modulo vale: [ consideriando ideale la molla e prendendo per buono anche il caso della compressione ]

F9_el = k·x9

Per analoghi motivi col caso precedente in questo momento mi troverò in presenza di una pressione iniziale “ p9 “ del gas pari a:

p9 = k·x9·S , dove S è sempre la superficie del coperchio

Una volta riscaldato il gas, ottenuta la dilatazione ed il rispettivo innalzamento del coperchio mi troverò la molla con una lunghezza “ x0 ” rispetta alla sua lunghezza di riposo, il che mi conduce a dire che sono in presenza di una forza

F0_el = k·x0

Ed una pressione finale “ p0 “ pari a:

p0 = k·x0·S

Estendendo l' interpretazione geometrica anche a questo caso, volendo quindi disegnare l' andamento della trasformazione su un piano (p,v) ed approfittando della linearità della espressione della forza elastica ottengo un grafico del tipo:

La figura che si ottiene non è altro che un trapezio rettangolo e la formula per calcolarne l'area ci aiuta a calcolare il lavoro specifico " l " che qui è stato fatto

l = 1/2·(p9 + p0 )·(v0 - v9 )

dove v9 e v0 sono il volume specifico del gas prima e dopo l' assorbimento del calore

Vediamo ora di approfondire il discorso del calcolo del lavoro fatto da un fluido, perchè se ci dovessimo trovare davanti ad una generica curva sul piano (p,v) ora come ora non sapremmo come comportarci. La soluzione è che il lavoro compiuto durante una trasformazione qualsiasi è uguale all’ area sottesa alla curva che descrive la trasformazione in un piano (p,v). Questo coincide con la formula generale del lavoro: quando noi dobbiamo calcolare l’area sottesa ad una curva ne calcoliamo l’ integrale

l = ò p(v) dv dove volume iniziale e finale sono gli estremi di integrazione

E’ bene osservare però che tale espressione del lavoro è utile solo quando sia nota in ogni suo punto la funzione p(v) situazione che accade in linea di massima solo in presenza di trasformazioni reversibili o quasistatiche ( trasformazioni così "lente" da poter essere prese come "cammino" di infiniti stadi di equilibrio) oppure quando la pressione sia tenuta costante o comunque vincolata ad una grandezza nota ( è il caso dell'esempio precedente)

Di seguito uno specchietto con calcolato il lavoro che si ha nelle principali trasformazioni (per il calcolo si deve fare riferimento al primo principio della termodinamica)

Trasformazione	Lavoro
ADIABATICA [no scambio calore]	L = -DU = m·cv·DT
ISOTERMA [T costante]	L = Q = m·R·T·ln(DV)
ISOCORA [V costante]	L = 0
ISOBARA [p costante]	L = p·DV

Dove “m” e “c_v” sono rispettivamente massa e calore specifico a volume costante

ENERGIA CINETICA

E' da considerarsi tale quell' energia associata ad un corpo in movimento.

Trascuraiamo il calcolo esplicito dell’ energia cinetica che ha un corpo in movimento [è riportato di seguito in appendice] e concentriamoci su cosa la energia cinetica significhi.

Ad ogni corpo in movimento è associata una energia, simbolo E_cin, E_k o K, il cui valore è:

E_cin = 1/2·M·v²

Dove “ M ” è la massa del corpo in questione e “ v “ la sua velocità.

Se dovessimo calcolare l’ energia cinetica di un corpo di massa 100 kg che si muove ad una velocità di 5 metri al secondo diremmo che tale corpo ha un energia cinetica pari a 1250 Joule [1/2·100·5² = 1250]

Ancora una volta ci troviamo in stretto contatto con il concetto di lavoro, infatti, come si evince dalla dimostrazione in appendice al capitolo, il lavoro che viene compiuto su un corpo è uguale alla sua variazione di energia cinetica, ossia alla differenza della sua energia cinetica calcolata prima e dopo l’ evento

L = DE_cin = E_cin,finale – E_cin,iniziale = 1/2·M·v²_fin – 1/2·M·v²_in = 1/2·M(v²_fin – v²_in)

Per intenderci: se un corpo viaggia ad una certa velocità e dopo l’intervento di una forza viaggia ad una velocità superiore il lavoro compiuto da tale forza sul corpo e pari alla sua variazione di energia cinetica, che si calcola come abbiamo visto.

Concludo con due osservazioni:

-Notiamo anche come lo spostamento sia una condizione indispensabile perchè si abbia energia cinetica: se non c'è spostamento non può esserci lavoro ed a maggior ragione i termini DE_cin e E_cin vengono ad essere nulli. Attenzione perchè non è vero il viceversa, nel senso che può esserci spostamento senza però esserci lavoro da parte di qualche forza: è il caso di un punto che si muove a velocità costante, infatti i due termini Ecin iniziale e finale risulterebbero uguali annullando il termine DEcin espressione del lavoro.

-E' bene anche sottolineare come l' energia cinetica di un corpo dipenda solo dalla sua massa e dalla sua velocità e non dipenda affatto dal modo in cui esso sia giunto a tale velocità o dal tempo che vi abbia impiegato; sostanzialmente la E_cin è indipendente dalla storia passata del corpo in questione. In definitiva qualunque corpo di massa “ M “ e velocità “ v “ ha la capacità, fermandosi, di compiere un lavoro pari alla sua energia cinetica, ossia un lavoro pari a 1/2·M·v² Joule.

Di seguito una piccola appendice con i calcoli per giungere alla formula E_cin = 1/2·M·v²

Appendice

Per calcolare la energia cinetica dobbiamo ancora partire dal concetto di lavoro, più precisamente partiamo dalla definizione di lavoro infinitesimo associato ad uno spostamento dx

dL = F_t· dx, dove Ft è la componente della forza tangente alla traiettoria.

Ora è possibile sostituire la forza “ F_t “ con un' espressione equivalente

dL = M·a_t· dx

dove “ M “ è la massa del corpo e “ a_t “ è la accelerazione tangenziale cioè quella secondo la componente tangenziale della forza. Andiamo ora a far sparire il termine “ a_t “ sostituendolo con la sua definizione

dL = M·(dv/dt)·dx , dove “ v “ e “ t “ sono tempo e velocità,

dalla precedente

dL = M·(dx/dt)·dv,

ma “ dx/dt “ non è altro che la definizione di velocità, quindi possiamo scrivere:

dL = M·v·dv.

Quello che abbiamo ottenuto è un legame esplicito tra il lavoro infinitesimo e la variazione infinitesima del modulo della velocità. Procediamo quindi col calcolo esplicito del lavoro andando a calcolare l'integrale associato alla formula appena trovata; andiamo allora ad integrare la precedente tra “ A “ e “ B “, ipotetici estremi di un cammino finito.

Il lavoro viene ad essere uguale alla variazione della quantità “ 1/2·M·v² “ che noi andremo a chiamare energia cinetica del punto materiale, simbolo E_cin, E_k o K . Viene quindi ad essere

L = E_cin,B – E_cin,A = DE_cin E_cin = 1/2·M·v²

dove il simbolo “ D “ rappresenta la differenza fra il valore E_cin calcolato prima in “ B “ poi in “ A “, estremi del cammino.

ENERGIA POTENZIALE

L' energia potenziale che un corpo possiede può essere intesa come quella quantità di lavoro che il corpo potrebbe fornire data la sua posizione.

L' esempio che tutti noi più spesso abbiamo sotto gli occhi e che maggiormente interessa il nostro corso è quello fornitoci dalla forza di gravità: un corpo ha tanta più potenzialità di fornire lavoro, tanto più si trova ad una quota elevata.

Noi abbiamo quantificato l’energia potenziale gravitazionale [simbolo E_pot ]di un corpo che si trova ad una certa quota mediante la formula: [in appendice la dimostrazione]

E_pot = M·g·z

dove “M” rappresenta la massa del corpo in questione, “g” l’ accelerazione di gravità e “z” la quota alla quale si trova il corpo.

Abbiamo anche visto come ci sia ancora un intenso legame col concetto di lavoro, cioè:

L = - DE_pot

che vuol dire che se il punto di arrivo si trova ad una quota inferiore rispetto a quella di partenza il lavoro della gravità è positivo e la Epot del corpo diminuisce; contrariamente se il punto di arrivo è ad una quota più alta rispetto a quella di partenza il lavoro della gravità è negativo, cioè è stato "speso" ( o meglio si è trasformato in) per aumentare la Epot corpo.

Dalla formula dell’ energia potenziale gravitazionale [e come si può notare dalla dimostarzione in appendice] vediamo che l’unico riferimento alla posizone del corpo è quello della sua quota e quindi anche per calcolare il lavoro della gravità l’ unico dato sulla posizione del corpo da prendere in considerazione è appunto la quota: in poche parole un corpo può fare tutti gli spostamenti che vuole, alla fine il lavoro fatto dalla forza di gravità (e ovviamente anche la sua energia potenziale gravitazionele) dipenderà solo dalla sua variazione di quota.

Forze di questo tipo, ossia quelle per cui il lavoro non dipende dal percorso, sono dette forze conservative

Volendo ora generalizzare noi convenzionalmente chiamiamo energia potenziale una “ funzione delle coordinate “ di un corpo della quale non esiste una formula generale per calcolarne il valore perchè esso dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce. Noi abbiamo visto come la energia potenziale della forza peso ( o in linea di massima energia potenziale gravitazionale: per intenderci quella legata alla forza di gravità )  sia uguale a “ M·g·z “ , mentre, per esempio, la energia potenziale di una molla, o meglio, di un punto vincolato ad una molla è pari a “ 1/2·k·x² “ ( dove “ k “ è la costante elastica della molla ed “ x “ l' allungamento ): sta di fatto però che in ogni caso per tutte le forze conservative vale sempre la relazione

L = – DE_pot

Vale la pena di soffermarci un attimo sulle conclusioni che abbiamo fino ad ora raggiunto e cercare di inserirle in un discorso d' insieme. Se ci troviamo solo sotto l' azione di forze conservative su uno spostamento da “ A “ a “ B “ valgono entrambe le relazioni

L = E_pot,A – E_pot,B = – DE_pot e L = E_cin,B – E_cin,A = DE_cin

dalle quali è facile dedurre che 

Epot,A + Ecin,A = Epot,B + Ecin,B

il che significa che la somma dell' energia cinetica e potenziale di un punto materiale che si muove sotto l' azione di forze conservative resta costante durante il moto. Possiamo chiamare questa somma energia meccanica “ Emec “ del punto e scrivere il teorema della conservazione dell' energia meccanica in presenza di sole forze conservative

Emec = Epot + Ecin = costante

Solitamente però non si è mai in presenza di sole forze conservative ( si pensi solo alla forza di attrito, la più classica delle forze dissipative ) e succede che il lavoro totale “ L_tot “ è dato dalla somma del lavoro delle forze conservative “ L_con “ e da quello delle forze non conservative “ L_dis “

L_tot = L_con + L_dis

Esprimo ora “ L_tot “ come differenza di energia cinetica ( ricordiamo che questa relazione è sempre vera, indipendentemente dal fatto che le forze siano conservative o meno ) e “ L_con “ come meno differenza di energia potenziale ottenendo

E_cin,B – E_cin,A = E_pot,A – E_pot,B + L_dis

Portando a primo membro “ L_dis “ e ricordando che abbiamo definito la quantità “ E_cin,A + E_pot,A “ come “ E_mec,A “ dalla precedente ricavo

L_dis = E_mec,B – E_mec,A = DE_mec

Concludiamo quindi che in presenze di forze non conservative l' energia meccanica non si conserva e la sua variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative.

Appendice

Su un generico spostamento dalla posizione “ A “ alla posizione “ B “ il lavoro è dato dall' integrale della forza secondo lo spostamento lungo il cammino. Intendendo “ s “ lo spostamento e Fg la forza di gravità ho che

Posso però fare uscire dal segno di integrale la forza, essendo essa costante, ed esprimerla in funzione della massa “ M “ del mio punto e della accelerazione di gravità

L' integrale è così più risolto e risulta essere uguale a:

r_B – r_A = r_A,B

Tolto l'integrale mi trovo ad avere che 

L = M·g ·r_A,B

espressione che può essere estremamente semplificata se teniamo conto del fatto che l' unica componente non nulla di “ g “ è quella lungo l'asse “ z “, di conseguenza il prodotto scalare diventa semplicemente

(M·g)_Z·(r_A,B) = – M·g·(z2 – z1) [indipendente dal cammino !!!]

dove “ z_B “ e “ z_A “ mi rappresentano la quota al punto “ B “ e “ A “ ed il segno meno davanti a tutto è quello di “ g “ orientato in maniera antiparallela rispetto all' asse “ z “

definendo la quantità “ Epot = Mgz “ energia potenziale della forza peso dalla precedente espressione del lavoro ottengo

L = – ( E_pot,B – E_pot,A ) = – DE_pot

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Esempio

Andiamo ora a vedere un esempio classico al fine di meglio comprendere i legami fra energia cinetica ed energia potenziale: quello del pendolo. Tale esempio è da considerarsi significativo premettendo che si considerano trascurabili tutti gli attriti ed osservando che l' unica forza che compie lavoro è quella di gravità ( conservativa !! ) dal momento che la tensione del filo è sempre perpendicolare alla traiettoria del mio punto materiale che oscilla.

Assumendo nulla, in coerenza col problema da trattare, l' energia potenziale del mio punto materiale di massa M alla quota minore della sua traiettoria e massima in quello alla quota maggiore andiamo a studiarne le caratteristiche energetiche del moto

-Punto alla quota maggiore ( punto di inversione del moto ) [ denominato punto “ A “ ]. Qui avrò massima energia potenziale, dal momento che il punto alla quota più alta raggiungibile ed energia cinetica minima visto che in questo punto la direzione del moto si inverte ed ho velocità nulla

E_pot,A = M·g·z_M , Ecin,A = 0

-Punto alla quota minore [ denominato punto “ S “ ]. Contrariamente qui avrò energia potenziale minima dal momento che ci troviamo nel punto più basso della traiettoria; mentre per quanto riguarda la velocità ci accorgeremo che è dove si verifica la velocità maggiore dal momento che tutta le energia potenziale del punto si sarà trasformata in energia cinetica.

E_pot,S = 0 , E_cin,S = 1/2·M·vs²

-Punto generico [ denominato “ P “ ]. Qui energia potenziale e cinetica saranno assolutamente generiche.

E_pot,P = M·g·z_G , E_cin,P = 1/2·M·vp²

Dal teorema della conservazione dell' energia meccanica, che posso applicare grazie alle premesse fatte, ottengo che

E_mec,P = E_mec,A = E_mec,S Þ M·g·z_G + 1/2·M·vp² = M·g·z_M = 1/2·M·vs²

Ora, nota la massima quota z_M alla quale arriva il pendolo sappiamo determinarne la velocità istantanea in funzione della sua quota generica z_G

Insito nella formula appena trovata vediamo che la velocità sarà massima [ vmax ]quando massima sarà la differenza (z_M – z_G) , ossia quando z_G avrà valore minimo, cioè quando coinciderà con z₀ .

Esempio

Un altro esempio classico può essere quello offertoci dal calcolo della velocità con la quale un corpo cade da una certa altezza “ h “: trascurando gli attriti e preso al suolo un valore nullo dell'energia potenziale gravitazionale consideriamo una massa “ M “che, partendo in quiete, inizia una caduta libera.

-Nel punto di partenza “ P “ ho massima energia potenziale ed energia cinetica nulla, dal momento che il grave si trova in quiete e deve ancora cominciare la caduta

E_pot,P = M·g·h , E_cin,A = 0

-Nel punto di arrivo “ S “ il corpo ha trasformato la sua energia potenziale in energia cinetica nel rispetto del teorema della conservazione dell' energia meccanica, dal momento che vi erano le premesse per applicarlo

E_pot,S = 0 , E_cin,S = 1/2 M·v²_s

Applico ora il teorema della conservazione dell' energia meccanica e trovo il valore della velocità del corpo nel momento in cui tocca il suolo

Una volta raggiunto il suolo però il corpo si ferma, quindi viene a mancare l' energia cinetica associata alla velocità finale, tale energia non sparisce, infatti è quella presente nei numerosi e complessi processi di deformazione, surriscaldamento ect, che un corpo subisce in seguito ad un urto.

Oss.

Dai due precedenti esercizi si deve notare come la velocità di un corpo, in presenza di solo forze conservative, dopo una perdita di quota “H” sia sempre uguale a

indipendentemente dal cammino, infatti sia il pendolo che il corpo in caduta libera, pur non avendo descritto traiettorie uguali, hanno rispettato la precedente formula che è infatti diretta conseguenza delle equazioni del moto di Newton

ENERGIA INTERNA

Durante il corso noi ci occuperemo spesso di fluidi e delle loro trasformazioni, di conseguenza avremo spesso a che fare con la loro energia interna. Sperimentalmente si trova sempre verificato che se un sistema compie una trasformazione dallo stato A allo stato B, scambiando calore “ Q “ e lavoro “ W “ con l' ambiente, “ Q “ e “ L “ dipendono dalla trasformazione che congiunge i due stati termodinamici, mentre la differenza  “ Q - L “ risulta indipendente dalla trasformazione. Si può pertanto scrivere quello che è il primo principio della termodinamica

Q – L = DU     [ “ Q “ e “ L “ sono il calore ed il lavoro scambiati durante la trasformazione ]

dove la quantità  “ U “ è definita come “ energia interna “ ed il termine sta ad indicare la intima dipendenza della stessa con la composizione, le caratteristiche e le proprietà della sostanza alla quale è abbinata. La indipendenza della variazione di energia interna dalla trasformazione che unisce due diversi stati fa si che si possa parlare di funzione di stato la cui variazione è uguale agli scambi energetici del sistema con l' ambiente che lo circonda.

Tramite un particolare calcolo, che per il momento esula dalle prerogative di questo corso, è possibile dimostrare che l' energia interna è funzione solo della temperatura. Trascurando allora questi calcoli vediamo come si possa arrivare intuitivamente alla stessa conclusione, cioè esaminiamo la cosiddetta espansione libera di Joule.

Sia dato un contenitore rigido adiabatico fornito di due camere, collegate mediante una valvola, in una delle quali vi è contenuto il nostro gas ideale alla temperatura T1, mentre nell'altra è fatto il vuoto. Una volta aperta la valvola il gas si distribuirà uniformemente in maniera spontanea su tutto lo spazio disponibile.

Durante la trasformazione abbiamo che non vi è scambio di lavoro o di calore per le caratteristiche del contenitore, quindi

Q = 0 , W = 0 Þ DU = 0

Dal primo principio della termodinamica abbiamo concluso che nell’ espansione libera l' energia interna è rimasta costante, ma lo sono rimaste anche le variabili termodinamiche? Il volume è cambiato, come anche la pressione, ma andando a misurare la temperatura, vediamo che il nostro gas si trova esattamente alla stessa temperatura di partenza. Possiamo allora giungere alla seguente conclusione: poiché nel processo la temperatura del gas non cambia, mentre variano pressione e volume perché la trasformazione è isoterma, cioè p_in·V_in = p_fin·V_fin, l’ energia interna deve essere funzione soltanto della temperatura. Attenzione che il risultato così ottenuto è valido solo per i gas ideali.

Se ora volessimo andare a calcolare esplicitamente quanto sia il valore della variazione di energia interna in una trasformazione dobbiamo usare un piccolo escamotage ed introdurre la nozione di calore specifico a volume costante [ c_v ] definito come la quantità di calore per unità di massa necessaria a fare aumentare di un grado la temperatura di un dato fluido a volume costante: in pratica la quantità di calore  “ Q_v “ che una massa “ M “ di fluido ha scambiato passando, a volume costante, dalla temperatura “ T₁ “ alla temperatura “ T₂ “ è data dalla relazione

Q_v = M·c_v·( T2 – T1 )

Il piccolo escamotage di cui prima consiste nel considerare due stati di equilibrio “ A “ e “ B “ e calcolarne da DU, che deve essere uguale per ogni trasformazione si scelga dal momento che la abbiamo assunta come funzione di stato, mediante una particolare coppia di trasformazioni: una isocora ( volume costante ) ed una isoterma ( temperatura costante )

Per la particolarità delle trasformazioni scelte, sul tratto AC, quello della trasformazione isocora, ho che

L_AC = 0 , dal momento che DV = 0 e Q_AC = M·c_v·DT , dalla precedente

Dal primo principio della termodinamica deduco quindi che

DU_AC = Q_AC – L_AC = M·c_v·DT

Nel secondo tratto della trasformazione però la temperatura resta costante, quindi

DU_CB = DU_AC = DU_AB = M·c_v·DT

che, riferita al caso generale, si traduce con

DU = M·c_v·DT

Ricapitolando abbiamo detto che la energia interna “ U “ è una funzione di stato che dipende solo dalla temperatura del fluido e che tale energia, oltre a rappresentare il bilancio energetico di una trasformazione, è intimamente legata alla natura del fluido in questione ed è calcolabile (ove “ c_v “ sia costante) secondo la formula precedente.

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Concludo la mia relazione riportando qui di seguito due esercizi visti in classe riguardo quest' ultimo argomento.

Esercizio

Viene fornito lavoro meccanico con una potenza “ P “ pari a 0.5 CV per un tempo “ t “ di 20 minuti ad una massa “ M “ pari a 100 kg di acqua racchiusa in un contenitore adiabatico. Sapendo che il calore specifico “ ca “ dell' acqua è pari a 4187 J/kgK, calcolare la variazione di temperatura e di energia interna

Dal momento che mi trovo in condizioni di adiabaticità, non avviene alcuno scambio di calore, di conseguenza, secondo il primo principio della termodinamica, la variazione di energia interna mi dipenderà solo dal lavoro meccanico fornito al sistema

Q = 0 , DU = – L

Andiamo ora a calcolare il lavoro scambiato pari alla potenza per l'intervallo di tempo, ricordando di introdurre i giusti fattori di conversione.

L = P · t = (0.5 ×735)Watt · (20 × 60)s = 441000 J

Dal momento che questo è lavoro che viene fornito al sistema deve essere considerato negativo, quindi la DU risulta positiva, esattamente come ci si aspettava

DU = – (– 441000 J ) = 441000 J

Ora che conosciamo la DU ricaviamo facilmente la DT utilizzando la formula: DU = M·c_v·DT

DT = DU / (M·c_v) = ( 44100 J ) / (100kg · 4187J/kgK ) = 1.05 K

Esercizio

In un contenitore adiabatico una massa d' acqua “ M “ pari a 100 kg viene riscaldata da una resistenza elettrica “ R “ con una resistenza di 2 W attraversata da una corrente elettrica avente una intensità “ i “ pari a 6 A per 5 minuti. Se dovesse essere fornito tanto lavoro meccanico, atto ad innalzare la temperatura dell' acqua del contenitore della stessa quantità della quale si è innalzata con la resistenza elettrica, mediante la discesa di un tratto “ z “ di un grave di massa “ m “ uguale a 100 kg, quanto dovrebbe misurare questo tratto “ z “ ?

Posso anche non calcolare la temperatura e ragionare solo in termini di energia interna, dal momento che questa è funzione di stato e dipende solo dalla temperatura. La variazione di energia interna dovuta al riscaldamento mediante la resistenza è uguale alla sola quantità di calore che la stessa cede all'acqua, dal momento che non viene compiuto alcun lavoro da parte del fluido. Ricordando allora che la potenza elettrica è data dal prodotto della resistenza per il quadrato dell' intensità di corrente posso scrivere

DU = Q – L = Q_elett. = R·i²·t = 2W ×36A² × 300s = 2160 J Þ DU = 2160 J

Se il riscaldamento avvenisse mediante la caduta del grave non ci sarebbe scambio di calore ed, essendo la forza di gravità una forza conservativa, potrei scrivere

DU = Q – L = – L_mecc = DE_pot = m·g·z Þ DU = m·g·z

Combinando le due precedenti ottengo:

z = DU / (m·g) = (2160 J ) / (100kg · 9,8m/s²) = 2,2 m