INTRODUZIONE

 

La fluidodinamica è quel ramo della fisica meccanica che si occupa dello studio della dinamica dei fluidi; un fluido è una sostanza le cui molecole, possedendo pochissima coesione, sono libere di scorrere le une sulle altre. Un fluido offre resistenza quasi nulla alle deformazioni, e mentre la sua forma dipende dal recipiente o contenitore in cui è inserito, una data quantità di fluido possiede un volume ben definito.

I fluidi che interessano il nostro studio sono quelli in movimento,  e quindi un sistema congeniale potrà essere un condotto o una tubatura, un serbatoio collegato ad un tubo, un canale, etc. All’interno e con l’esterno di questi sistemi avviene sempre uno scambio di energia, che potrà assumere varie forme, ma si rifarà comunque ed in ogni caso al principio di conservazione, valido per ogni sistema esistente.

Fu Bernoulli a dimostrare che l’energia si conserva anche nel caso del moto di un fluido all’interno di un condotto, e lo descrisse nella seguente equazione, chiamata appunto equazione di Bernoulli:

 

 

                        

 

 

dove  rappresentano le velocità, g è la costante di gravitazione universale,  sono i due valori della pressione, r è la densità, l è il lavoro, R la resistenza e  le quote piezometriche.

 

 

LE PERDITE DI CARICO

 

Lo studio degli scambi di energia nel sistema e tra il sistema e l’esterno riguarda le perdite di carico. Esso consiste nel calcolare l’intensità e quale tipo di energia viene dispersa a causa della viscosità del fluido, nonché alla presenza, lungo il percorso, di potenziali “ostacoli” come ad esempio curvature all’interno del tubo, valvole o rubinetti. Tali perdite vengono divise in due gruppi principali:

 

- Perdite di carico distribuite (variano in base all’introduzione nel sistema di varie accidentalità)

- Perdite di carico concentrate (dipendenti dalla viscosità del fluido ed alla lunghezza del tubo preso in considerazione)

 

Più in generale:

 

                                 

  

L’ equazione di Bernoulli è inoltre in grado di fornirci il valore del calo di pressione e il valore della resistenza, dipendenti dall’attrito del fluido con le pareti tra le due sezioni del condotto, grazie alla seguente formula:

                                                                                                   

                                             

 

 

                                                 

 

PERDITE DISTRIBUITE

 

Il calcolo delle perdite distribuite è molto complesso ed il suo risultato non è mai assoluto (necessita di molteplici esperimenti). Dall’equazione si nota infatti che R dipende da vari parametri:

 

                                                        

 

dove D rappresenta il diametro del tubo, Re è il numero di Reynolds (definisce le condizioni del fluido: turbolenza, moto laminare) e S la scabrezza della superficie lungo le pareti del tubo, come mostrato in figura:

Attraverso vari esperimenti, in seguito, è stato dimostrato che per arrivare a conoscere la stima delle perdite distribuite è sufficiente utilizzare la seguente formula:

 

                                                      

dove l è il coefficiente di attrito, L la lunghezza del tubo e  l’energia cinetica.

 

 

Tramite questa importante equazione gli studiosi sono stati in grado di tracciare il diagramma conosciuto come abaco di Moody, le cui coordinate, in scala logaritmica (10, 100, 1000) sono il coefficiente d’attrito ( l ) e il numero di Reynolds ( Re ).

Il diagramma di Moody viene convenzionalmente diviso in tre zone principali:

 

- Parte laminare: nel moto laminare ciascuna molecola del fluido procede secondo una traiettoria regolare e definita. Situata all’immediata sinistra del diagramma, la parte laminare è la meno comune e compare solitamente in presenza di fluidi ad alta viscosità o tubi che posseggono pareti minimamente scabre. Il valore del coefficiente di attrito è costante e vale sempre

 

                                                      

 

- Parte di transizione: è la situazione più difficile da studiare, nella quale il comportamento del fluido è piuttosto ambiguo. Dato che è inoltre una zona ristretta si tende ad accettare valori intermedi tra gli altri due casi.

 

- Parte turbolenta: E’ il caso più comune, dato che la maggior parte della superficie dei tubi esistenti è più o meno scabra. In queste circostanze è molto semplice calcolare il valore d’attrito e delle perdite semplicemente conoscendo la scabrezza relativa    ed il numero di Reynolds. In caso di moto altamente turbolento le curve considerate diventano quasi parallele. Se   è dunque possibile calcolare  l direttamente conoscendo la scabrezza relativa.

 

 

DIAMETRO EQUIVALENTE

 

Non sempre i tubi a cui bisogna riferirsi presentano una sezione circolare e di conseguenza un diametro di circonferenza a cui fare testo. Ma anche in questi casi la sostanza non cambia, è sufficiente introdurre il concetto di diametro equivalente.

                                          

 

                                              

 

Ecco alcuni esempi:

 

                      

 

 

 

                

 

 

                                                     

 

                                                                 

                                                                   

 

 

 

 

PERDITE CONCENTRATE

 

In generale lo studio delle perdite concentrate risulta molto più semplice di quello per le perdite distribuite, dato che:

 

 

                                

 

per cui, ovvero dipende dalla particolare geometria del tubo.

Alcuni casi generali:

 

 

 

                                                 b = 2,0                                       

 

                                                         b = 0,6

 

 

 

 

                                                  b = 0,5

 

 

                                                        

                                                         b = 0,4

 

 

                                                

 

 

Come afferma la legge della lunghezza equivalente, posso pensare al concetto di discontinuità (curve, saracinesche, imbocchi), come ad un tubo ideale tanto più lungo quanto maggiore è il livello di attrito provocato dalla mia discontinuità, riportandomi quindi al concetto delle perdite distribuite.

 

                  

                           differenza di pressione

 

 

 

Esperimenti di laboratorio sono stati in grado di fornirci il seguente diagramma, il quale permette di ricavare la lunghezza equivalente in base al diametro e ad un numero ideale al quale corrisponde uno specifico caso di studio  

 

 

                         

 

 

ESEMPIO DI ESERCIZIO SVOLTO

 

Determinare la velocità di uscita e la portata di un tubo collegato ad un serbatoio, sapendo che:

 

H = 2m              L = 4m                 D = 2 cm

 

Sfruttando il teorema di Bernoulli so che :

 

                             

                           (1)

inoltre    dato che siamo sotto la comune pressione atmosferica!

L’unica incognita che mi rimane è dunque  ,  una volta imposto che:   

     

          

 

                  

 

                                    

Sostituisco quindi nella (1) ed ottengo allora la seguente identità, la quale è molto importante dato che ci aiuta a risolvere i problemi in cui è sempre presente un serbatoio ed uno sbocco:

 

 

 

                                          

 

 

Tuttavia a questo punto non si è a conoscenza del valore di l, il quale non è fisso ma dipende dal numero di Reinolds (il quale a sua volta varia in funzione della velocità). Se conosco i valore di S controllo l’abaco di Moody e scelgo la retta che soddisfa le mie condizioni. In caso contrario sono costretto a proseguire per iterazione:

 

PROCESSO PER ITERAZIONE

 

Prendo in considerazione la zona di alta turbolenza, nella quale essendovi rette quasi parallele, l non varia con il variare del numero di Reinolds (inoltre non avrebbe alcun senso procedere all’interno della parte laminare, dove so già che .

Il calcolo della velocità nel processo per iterazione va conseguito in seguito a molteplici tentativi e prevede l’utilizzo di una tabella e del diagramma di Moody. Consiste nel dare a caso un valore di l, trovare la rispettiva velocità calcolata e riportare tale valore sotto la colonna delle velocità tentate a capo. Utilizzando quest’ultimo passaggio è necessario calcolare i valori di Re, l,  sino  a che 

(Per comodità il percorso è stato numerato).

 

 

                   

Tentativi

    

       Re

      

        a

 

      

     0,023     1

 2,20 m/s    2

        b

   2,20 m/s  3

   44000      4

     0,0247   5

2,156 m/s   6

        c

2,156 m/s   7

   43000      8

     0,025     9

  2,15 m/s  10

 

 

(b): procedo di nuovo

(c): approssimazione sufficiente

 

 

 

Ora conoscendo W = 0,15 m/s  sono in grado di calcolare la portata, come richiesto dal problema. Si ricorda che: