Fluidodinamica

Per introdurre il concetto di Fluidodinamica dobbiamo innanzitutto dire che le sostanze si possono suddividere in tre forme di aggregazione:

_ stato solido

_ stato liquido

_ stato aeriforme

Stato solido: è lo stato di aggregazione in cui non cambiano nè il volume nè la forma.

Stato liquido: è lo stato di aggregazione in cui cambia la forma (i liquidi, infatti, assumono la forma del contenitore nel quale sono contenuti) ma resta invariato il volume (sono difficilmente comprimibili).

Stato aeriforme: è lo stato di aggregazione in cui cambiano sia la forma che il volume (hanno una comprimibilità più elevata rispetto ai liquidi).

Tutte queste categorie sono delle semplificazioni, infatti ci sono dei liquidi che cambiano il loro volume, anche se solo in minima parte.

Tra questi tre stati che caratterizzano le sostanze quelli di cui si occupa la fluidodinamica sono: lo Stato liquido e lo Stato aeriforme (anche se noi ci occuperemo solo dello stato liquido).

Possiamo quindi definire la Fluidodinamica come quella scienza, che fa parte della meccanica, che tratta il moto dei fluidi, tale moto si divide in:

Moto interno: che studia il moto dei fluidi all’interno dei condotti (tubi, canali etc.)

Moto esterno: che studia il moto dei fluidi all’esterno dei condotti.

Una cosa molto importante da tener presente è che le equazioni della Fluidodinamica valgono per entrambe i moti.

Il fenomeno più evidente nel moto dei fluidi è il trascinamento,quando un fluido scorre su di una superficie le particelle del fluido sono soggette ad un Attrito viscoso.

La viscosità oltre a rappresentare la difficoltà che uno strato ha nello scorrere su di un altro strato, rappresenta una grandezza che è legata al concetto di forza e di velocità. Se prendiamo ad esempio l’acqua e l’olio che scorrono su di una superficie, sicuramente l’acqua ha una velocità maggiore rispetto all’olio, in quanto l’acqua al contrario dell’olio ha meno forze che si oppongono al suo moto.

Numericamente la viscosità è espressa dal Coefficiente di viscosità :μ , che è definito dalla seguente espressione:

(1)

Un’altra unità di misura utilizzata per la viscosità è il Poise:

(2)

Attenzione!

Se mi viene dato il valore in Poise per ricondurmi al S.I. devo dividere tale valore per 10.

Legato al concetto di viscosità troviamo quello di tensione.

Per capire meglio questo concetto aiutiamoci con una rappresentazione grafica, disegnamo un sistema con due cilindri, uno interno all’altro. Tra questi due cilindri inseriamo il liquido che vogliamo studiare. Se ruoto il cilindro esterno, ruoterà anche quello interno, per tenerlo fermo devo quindi applicare una forza che mi tenga fermo il cilindro interno.

Fig.1 - Visione dall’alto dei due cilindri.

Se prendo in considerazione una minima parte dei due cilindri posso considerare le due superfici quasi parallele e mi accorgo che : le particelle vicino alla superficie interna restano ferme, mentre quelle a ridosso della superficie esterna partecipano al moto del cilindro (tutto questo si può osservare in figura 2).

Fig.2- Particolare dei due cilindri.

Per ogni unità di superficie mi si verrà a creare una tensione.

τ rappresenta la tensione e ha come unità di misura il Pascal. Tale unità di misura si ottiene facilmente:

(4)

La legge di Newton dice che: la tensione è data dal rapporto tra la variazione di velocità e il valore dell’ascissa moltiplicata per la viscosità.

(5)

Da queste equazioni ricaviamo che , la tensione aumenta con l’aumento della viscosità. La legge di Newton, al contrario, definisce la variazione di viscosità μ costante, in realtà non tutti i fluidi sono newtoniani.

Classificazione dei fluidi:

Fig.3-Grafico sulla viscosità dei fluidi.

In base a quanto abbiamo affermato possiamo classificare i fluidi secondo tre ben distinte categorie:

_ fluidi dilatanti

_ fluidi newtoniani

_ fluidi pseudoplastici

Possiamo inoltre tracciare i grafici di tali categorie (fig.4-5-6), che ci rendono più evidenti le differenze che si possono riscontrare tra i vari tipi di fluidi ( tali differenze consistono nella variazione di tensione da applicare ad un fluido per farlo spostare).

I fluidi dilatanti, nei quali la tensione, cioè la forza da applicare per far muovere il fluido, aumenta con l’aumento della velocità, sono ad esempio gli amidi ed i grassi utilizzati per la produzione alimentare.

Fig.4-Grafico dei fluidi dilatanti.

I fluidi newtoniani, nei quali lo sforzo da applicare per muovere il fluido è costante. Alcuni esempi possono essere benzina acqua.

Fig.5-Grafico dei fluidi newtoniani.

Fluidi pseudoplastici nei quali gli sforzi da applicare diminuiscono con l’aumento della velocità. Un esempio sono le gelatine.

Fig.6-Grafico dei fluidi pseudoplastici.

Altre proprietà del fluidi:

La massa volumica ρ [m³/Kg] è la massa m [Kg] della sostanza contenuta nell’unità di volume V [m³]:

(6)

Il reciproco della massa volumica è il volume massico v[m³/Kg], volume V [m³] riferito all’unità di massa m[Kg], espresso da:

(7)

La densità è il rapporto tra la massa volumica della sostanza e la massa volumica di una sostanza di riferimento ed è quindi un numero puro, privo cioè di dimensioni. Nel caso dei solidi e dei liquidi la massa di riferimento è rappresentata dalla massa volumica ρ dell’acqua a 4° C:

(8)

Per comprimibilità di un fluido si intende la variazione della sua massa volumica in conseguenza di una variazione della pressione.Tutti i fluidi reali (si definisce fluido reale un fluido in cui occorre tener presente la viscosità nei calcoli) sono comprimibili, cosicché la loro massa volumica cambierà al variare della pressione. Tuttavia, quando la variazione della massa volumica al variare della pressione è così piccola da potersi ritenere trascurabile, allora il fluido può essere trattato come incomprimibile: è questo il caso dei liquidi. Al contrario, i gas possono essere compressi con estrema facilità e, fatta eccezione per variazioni di pressione e quindi di massa volumica molto modeste, saranno considerati comprimibili.

Quando il fluido può essere considerato incomprimibile, come nel caso delle macchine idrauliche, la massa volumica ρ è costante: l’equazione che afferma questo è:

(9)

e viene chiamata equazione di stato perché descrive lo stato di quel particolare fluido.

La viscosità cinematica v è il rapporto tra viscosità dinamica μ e massa volumica ρ, si misura in m²/s ed è chiamata così perché non compare più la massa:

(10)

Un’unità di misura usata in passato era il centistokes pari a 1mm²/s.

Nella tabella che segue si possono ritrovare i valori tipici della viscosità dinamica μ; della massa volumica ρ e della viscosità cinematica v di otto fluidi alla pressione atmosferica di 101,32 Kpa e alla temperatura di 20° C.

Fig.7-Tabella con alcuni valori tipici di otto fluidi.

Moto dei fluidi:

Il movimento di un tipo di fluido può variare da punto a punto e da istante a istante. Il moto si dice uniforme se la velocità in un dato istante, si mantiene identica in intensità e direzione in ciascun punto del fluido. Se, al contrario, la velocità in un determinato istante varia da punto a punto, il moto viene definito non uniforme. Il moto si dice stazionario quando tutte le condizioni in ciascun punto della corrente rimangono costanti rispetto al tempo, pur potendo variare in punti diversi: quando cioè le principali grandezze che caratterizzano il moto del fluido (velocità, pressione e sezione trasversale del flusso) possono variare da punto a punto ma non cambiano con il tempo. Se, al contrario, in un dato punto, le condizioni di moto cambiano al variare del tempo, allora il moto si dice non stazionario. Il moto stazionario (o non stazionario) e il moto uniforme (o non uniforme) possono esistere indipendentemente l’uno dall’altro; sono quindi possibili quattro combinazioni. Così un liquido che si muove con portata costante, in un condotto lungo e diritto di sezione costante, dà luogo a un moto stazionario uniforme (la velocità del liquido infatti in ogni punto del condotto e in ogni istante è la stessa); il moto di un liquido con portata costante in un condotto conico è un moto stazionario non uniforme (essendo la portata costante, la velocità del liquido si mantiene la stessa ad ogni istante in un determinato punto, ma varia da punto a punto nel procedere lungo il condotto in quanto varia il diametro della sezione). Al variare della portata del liquido i due casi precedenti diventano rispettivamente esempi di moto non stazionario uniforme (nel condotto a sezione costante la velocità varia da istante a istante in quanto cambia la portata, ma varia da punto a punto nel procedere lungo l’asse del condotto, in quanto la sezione rimane costante) e di moto non stazionario e non uniforme (è il condotto conico in cui la velocità del liquido varia, da istante a istante, per la variazione della portata e, da punto a punto lungo l’asse, in quanto varia la sezione del condotto).

Nel funzionamento delle macchine possiamo distinguere un periodo iniziale transitorio, solitamente molto breve, caratterizzato da una sensibile variazione delle grandezze, in funzione del tempo, seguito da un periodo a regime, in cui le principali grandezze che individuano il moto del fluido si sono sensibilizzate: si sono raggiunte così le condizioni di moto stazionario.

Nel caso del moto non uniforme, si verificano, da punto a punto, delle variazioni del campo di moto, in modo tale che velocità, pressioni e altri fattori variano rispetto alle tre coordinate spaziali. Ma la maggior parte dei problemi pratici può essere trattata come se la variazione delle principali grandezze caratterizzanti il moto del fluido avvenisse secondo una sola direzione. Definiamo così corrente unidimensionale o monodimensionale quella in cui i principali parametri quali velocità, pressione e quota variano soltanto lungo la direzione del flusso e non da punto a punto di una data sezione trasversale normale al flusso. In pratica ciò equivale a considerare tutte le proprietà del fluido – pressione, velocità e quota – uniformi su una data sezione trasversale.

Nel caso particolare del fluido incomprimibile quale quello trattato nella idrodinamica, occorre considerare l’equazione di stato che afferma che la sua massa volumica ρ rimane costante.

Esperimento di Reynolds:

Iniettando del colore all’ingresso di un tubo di vetro trasparente nel quale fluisce dell’acqua proveniente da un serbatoio (come si può vedere in figura) si trova che se il serbatoio è riempito con poca acqua, le particelle d’acqua che formano il cosiddetto filetto fluido,si muovono per linee parallele.

Fig.8- Esperimento di Reynolds ( caso del serbatoio con poco fluido)

Se al contrario il serbatoio è riempito con molta acqua si raggiunge una condizione per cui il filetto fluido dapprima inizia ad oscillare, e successivamente, a rompersi mescolandosi completamente con il resto del fluido (come si può notare nella figura 9).

Fig.9-Esperimento di Reynolds (caso del serbatoio riempito con molto fluido).

Il moto del “filetto fluido” dipende dalla quantità di liquido contenuta nel serbatoio. Si possono così avere due diversi tipi di moto:

Moto laminare: nel quale i filetti fluidi all’interno del serbatoio non si mescolano con il resto del liquido. Ogni singola particella, infatti, continuerà il suo moto parallelamente al serbatoio, non si verificano quindi turbolenze o rimescolamenti.

Fig.10-Rappresentazione del moto laminare.

Moto turbolento: nel quale si originano turbolenze. Ogni particella assume una traiettoria caotica e all’interno del serbatoio si verifica un forte rimescolamento.

Fig.11-Rappresentazione del moto turbolento.

Il numero di Reynolds R è il parametro che ci dice quando siamo in presenza di moto laminare e quando di moto turbolento. Esso è funzione della massa volumica ρ, della velocità v, della viscosità dinamica μ del fluido e di una lunghezza caratteristica l del sistema fisico considerato (potrebbe essere il diametro del canale in cui scorre il fluido):

(11)

Il numero di Reynolds è un numero puro risultato del rapporto tra grandezze aventi le stesse dimensioni:

(12)

Esso può anche essere espresso in funzione della viscosità cinematica:

(13)

Da esperienze effettuate facendo scorrere liquidi diversi in tubi diritti di vario diametro, è stato calcolato il numero di Reynolds, assumendo come lunghezza caratteristica il diametro del tubo e, come velocità, la velocità media del liquido. Si è visto che per valori del numero di Reynolds al di sotto di 2100 il moto è laminare, tra 2100 e 4000 vi è una zona di transizione tra i due regimi, mentre al di sopra di 4000 il moto è turbolento. Questi valori del numero di Reynolds si applicano soltanto al moto ei fluidi nei condotti, ma altri valori di R possono essere ricavati per altri tipi di flusso, come, ad esempio, quello lungo la paletta di un compressore.

Definiamo come numero di Reynolds critico quel numero di Reynolds in corrispondenza del quale si verifica la transizione da regime laminare a regime turbolento.

Esercizio:

Possiamo fare un esempio per capire meglio come si può calcolare il numero di Reynolds:

Se abbiamo un tubo di diametro di 50,8 mm all’interno del quale scorre ammoniaca alla velocità di 21,3 m/s. L’ammoniaca ha una viscosità di e una densità di .Qual è il numero di Reynolds?

Conservazione della massa:

Con la sola eccezione dei processi nucleari, la materia non può essere né creata né distrutta.Applichiamo questo principio, detto di conservazione della massa, al moto di un fluido in un condotto, nel quale individuiamo la sezione 1 come la sezione di ingresso del fluido e la sezione 2 come la sezione d’uscita. Facciamo anzitutto l’ipotesi che il moto sia stazionario: in tal caso, la massa di fluido che si trova tra le due sezioni considerate del condotto rimane costante (non abbiamo cioè né accumuli né fughe di fluido, ma la quantità di fluido che entra è uguale alla quantità di fluido che esce). Immaginiamo poi che la velocità del fluido all’interno del condotto sia, per l’ipotesi unidimensionale, uguale su tutti i punti di una stessa sezione trasversale e diretta normalmente a questa. In altre parole, la velocità del fluido è diretta normalmente alla sezioni di ingresso 1 e di uscita 2 (figura 12); il fluido può quindi entrare da 1 e uscire da 2, ma non può né entrare né uscire dalla superficie laterale, poiché la sua velocità è diretta tangenzialmente alle pareti del condotto.

Fig.12-Rappresentazione del moto del fluido.

Sotto le due ipotesi di moto stazionario (la quantità di fluido che entra nel condotto è uguale a quella che esce) e di corrente unidimensionale (la velocità del fluido - cioè la velocità media che abbiamo definito precedentemente – è costante sulle sezioni trasversali del condotto ed è diretta normalmente a queste) possiamo scrivere che la portata in massa m vale:

Nell’equazione (14) che prende il nome di equazione unidimensionale di continuità, m è la portata in massa di fluido che passa nel condotto: tale portata m deve essere uguale alla portata di fluido che entra nella sezione 1, di area trasversale con velocità diretta normalmente a questa sezione e con massa volumica ;la portata m deve essere poi uguale alla portata di fluido che esce dalla sezione 2, di area trasversale con velocità diretta normalmente ad e con massa volumica .

Nel caso di un fluido incomprimibile come l’acqua, la massa volumica non cambia nel passare dalla sezione 1 alla sezione 2; ciò equivale a dire che la portata in volume è costante.

Energia di un fluido in movimento:

Allo stesso modo di quanto avviene per un corpo solido, l’elemento di fluido di massa m che si muove lungo un condotto (come si vede in figura13) possiede un’energia potenziale (originata dal fatto di trovarsi a una determinata quota z valutata rispetto ad un piano di riferimento) e un’energia cinetica (determinata dalla sua velocità v).

Fig.13-Energia di un fluido in moto.

L’elemento di fluido di massa m [kg], che si trova soggetto all’azione dell’accelerazione di gravità g [m/s²], dà origine a una forza: è la forza peso mg [N]; questa forza moltiplicata per lo spostamento z [m], che potrebbe subire l’elemento qualora fosse portato dalla quota attuale al livello di riferimento, dà origine a un’energia [N m=J]che prende il nome di energia potenziale, in quanto è energia posseduta dall’elemento di fluido in potenza: diviene cioè attuale soltanto quando si realizza la variazione di quota z. L’espressione dell’energia potenziale posseduta dall’elemento di fluido di massa m, situato alla quota z e soggetto all’accelerazione di gravità g, è data da:

L’energia potenziale è quindi data dal prodotto della forza peso mg per lo spostamento z, che è la distanza del baricentro dell’elemento di fluido considerato rispetto al livello di riferimento. Nota la velocità v dell’elemento di fluido di massa m (figura13), l’energia cinetica è espressa da:

e, in unità di misura, da:

Oltre a considerare le due energie appena citate, dobbiamo tenere presente che l’elemento di fluido, che si sposta in modo stazionario dalla sezione OP alla sezione O’P’ , compie anche un lavoro in virtù della sua pressione. Infatti sulla sezione trasversale OP la pressione genera una forza che, spostandosi la sezione in avanti a seguito del movimento del fluido, genera un lavoro. Se indichiamo con p la pressione nella sezione trasversale OP di area A, la forza F che si esercita su questa sezione è pari a F=pA. Lo spostamento dell’elemento di massa m, che si muove lungo un filetto fluido, dalla sezione OP alla sezione O’P’ è pari al rapporto tra volume V e area A; il volume V a sua volta si ricava come rapporto tra massa m e massa volumica p.

Il prodotto della forza pA per lo spostamento (m/p)A è il lavoro del flusso, chiamato di solito energia di pressione, effettuato dalla pressione per spingere per spingere la massa di fluido attraverso la sezione:

L’energia di pressione si misura in J al pari delle altre due energie potenziale e cinetica considerate prima:

Il concetto di energia di pressione non è di facile comprensione. Nella meccanica dei corpi solidi, un corpo è libero di cambiare la sua velocità, nel senso che la sua energia potenziale può essere liberamente convertita in energia cinetica allorché la quota diminuisce. Non così in una corrente di fluido, dove la velocità deve soddisfare l’equazione di portata, funzione della sezione trasversale della corrente. Se ad esempio, un fluido incomprimibile come l’acqua scorre in un tubo a sezione costante inclinato, la sua velocità non può cambiare. Perciò l’energia potenziale che, al diminuire della quota, non riesce a convertirsi in energia cinetica, appare sotto forma di aumento di pressione.

Conservazione dell’energia. Equazione di Bernoulli:

Facciamo l’ipotesi che, nel moto del fluido incomprimibile, non vi siano perdite di energia dovute agli attriti. Allora, per il principio di conservazione dell’energia, la somma delle tre forme di energia (potenziale, cinetica e di pressione) espresse dalle equazioni (15)-(16)-(17) , è una costante; l’energia totale cioè rimane costante, anche se la ripartizione tra le diverse forme di energia può variare a mano a mano che il fluido si sposta lungo il condotto. Possiamo perciò scrivere:

(21)

dove:

Più spesso si considera un’energia riferita all’unità di massa oppure all’unità di peso: si indica con e l’energia totale per unità di massa e con H l’energia totale per unità di peso; si passa da e a H moltiplicando quest’ultimo per l’accelerazione di gravità g:

(22)

Dividendo l’equazione (21) per la massa m, si ottiene l’espressione del principio di conservazione dell’energia massica (per unità di massa):

(23)

Dividendo invece l’equazione (21) per la forza peso mg (prodotto della massa m per l’accelerazione di gravità g), si ottiene l’espressione della conservazione dell’energia in termini di energia riferita all’unità di peso:

(24)

L’unità di misura dei singoli membri dell’equazione (24) è espressa da J (joule, unità di misura dell’energia oppure del lavoro) diviso per N (newton, unità di misura della forza; il peso è una forza)o anche, più semplicemente, da m (metri), in quanto, essendo il lavoro dato dal prodotto della forza per la lunghezza, quando si divide un lavoro per una forza si ottiene una lunghezza. E’ per questo che ciascun membro dell’equazione (24) viene indicato con il nome di altezza (è infatti l’altezza di una colonna di fluido espressa in metri)oppure, più spesso, di carico e precisamente:

carico totale del fluido o anche carico idraulico totale =H

L’equazione (24) è l’equazione di Bernoulli : essa dice che, nel moto stazionario di un liquido senza attrito, l’energia totale H per unità di peso rimane costante, anche se la distribuzione tra le diverse forme di energia può variare da punto a punto. L’equazione (24), scritta tra le due sezioni 1 e 2 del condotto (figura 13), diviene:

o più semplicemente:

(26)

Essendo infatti il carico idraulico totale H costante, il valore che questo assume sulla sezione 1, deve essere uguale al valore che esso ha sulla sezione 2.Possiamo adesso riscrivere l’equazione (25), precisando i valori che pressione, velocità e quota assumono sulle sezioni considerate (la massa volumica ρ rimane invariata in quanto , trattandosi di un fluido incomprimibile, essa assume lo stesso valore sulle due sezioni):

(27)

Portando tutti i termini al secondo membro, si vedono le tre diverse differenze che compaiono nell’equazione di Bernoulli:

(28)

L’equazione (26) è stata scritta nell’ipotesi che tra le sezioni 1 e 2 non venga fornita energia al fluido né gliene venga sottratta. Si potrebbe fornire energia al fluido introducendo tra le due sezioni una pompa; parimenti potrebbe essere sottratta energia come lavoro perso per superare gli attriti che si oppongono al moto del fluido reale, oppure come lavoro effettuato dal fluido in una turbina. L’equazione di Bernoulli può essere così generalizzata in tre casi:

Caso del serbatoio: