• Mezzi a conduttività termica dipendente dalla temperatura:

La conduttività termica dei materiali solidi, metallici, e non, dipende in generale dalla temperatura, come si può osservare dai valori riportati nelle tabelle della appendice. In alcuni casi si riscontrano forti variazioni, tali da indurre scostamenti dalle distribuzioni di temperatura ricavate nell’ipotesi di conduttività termica costante.

Per approfondire tale concetto abbiamo ricavato il profilo di temperatura nel caso di conduzione monodimensionale in una lastra piana, nelle ipotesi di regime stazionario e in assenza di sorgente termiche. In queste condizioni particolari l’equazione generale della conduzione
 
 

diventa
 
 

Dalla fig. 1 possiamo ben notare la differenza tra la soluzione lineare (ho una retta) dell’equazione di Fourier per l costante e quella non lineare (ho una curva) della medesima equazione per lvariabile secondo la temperatura.
 
 

Se lfosse costante, potrei semplicemente portarla fuori dall’operatore derivata e rimarrebbe una derivata del II° ordine; in caso contrario, la (2) diventa, dopo aver posto l = A + BT :
 
 

Grazie alle caratteristiche di linearità e al fatto che i coefficienti A e B sono costanti, ottengo:
 
 

Tramite una prima integrazione elimino le derivate esterne e individuo la prima costante di integrazione C1
 
 

Integrando una seconda volta…
 
 

Ho individuato anche la seconda costante di integrazione.

Già dall’eq. 6 capiamo che la temperatura presenta un profilo del II ordine con termine noto (cioè parabolico). Per capire in quale posizione è collocata tale parabola applichiamo le condizioni al contorno:
 
 

L’equazione finale sul piano (x ; T) sarà, dunque:
 
 
 
 
 
 

Abbiamo così dimostrato che la funzione che lega la coordinata x alla temperatura, cioè x = f(T), è una parabola con asse orizzontale, di cui individuo solo la parte non tratteggiata in fig. 2:
 
 

• fig. 2 –

Resta da stabilire se la concavità di tale parabola è verso destra o verso sinistra; a questo scopo dovrò studiare il segno del parametro B:
 
 

• B > O ® Per T crescente la conduttività aumenta; è questa la situazione più comune, cioè gran parte dei materiali si comportano in questo modo. Concavità verso sinistra;

• B = O ® x cresce linearmente con T;

• B < O ® Per T crescente la conduttività diminuisce: concavità verso destra.

Ulteriori considerazioni si possono fare se riprendiamo la legge di Fourier:
 
 

Poiché, in condizioni stazionarie, rimane ovunque costante, possiamo dire che:
 
 

• T elevata ®l elevata

la pendenza è minore
 
 

• T bassa ® l bassa

la pendenza è maggiore
 
 
 
 
 
 

La dipendenza della conduttività termica ldalla temperatura risulta fondamentale in sede di progetto della camera a combustione di una fornace, il cui rivestimento multistrato interno può essere rappresentato così:
 
 

• fig. 3 –

Se la temperatura Tc della caldaia è bassa, allora l si mantiene piccolo e la funzione di isolante è realizzata; se la temperatura, invece, diventa molto elevata, l’isolante è sottoposto, a causa di l (anch’esso cresciuto) ad una temperatura molto elevata, e se non viene scelto correttamente (in base cioè ai valori con i quali dovrà lavorare) può sciogliersi, o addirittura bruciare. Tutto ciò è da attribuire all’elevato gradiente di temperatura presente all’interno della parete dell’isolante.
 
 

• Raggio critico dell’isolante:

Consideriamo un cilindro metallico pieno rivestito con un isolante termico. Sebbene al centro del filo (supposto di rame) io abbia una temperatura lievemente maggiore rispetto al valore sulla pelle dello stesso, posso considerare la temperatura costante data l’elevata conducibilità che presenta questo conduttore. La corrente che lo percorre genera, per effetto Joule, una quantità ci calore che, se non viene eliminata, provoca danni irreparabili all’intero sistema (questo può addirittura incendiarsi…). È proprio questo il limite fisico al massimo valore di corrente che può circolare: il filo nudo presenta grandi difficoltà nello smaltire il calore prodotto e, quasi paradossalmente, una guaina isolante ha questa precisa funzione. In caso di sovraccarico ad esempio, la guaina dissipa tutto il calore in eccesso.

Consideriamo un isolante con conduttività l che si trova in aria ferma con coeff. di convenzione h (ciò rappresenta un’ulteriore resistenza termica per il calore).
 
 

- fig. 5 -
 
 
 
 

In fig. 4 abbiamo un filo di Cu di raggio r1 avvolto da una guaina isolante tale che il raggio esterno risulta r2.

Indichiamo con
 
 

• TF: temperatura del filo;

• TPE: temperatura della parete esterna dell’isolante;

• Too: temperatura ambiente = 20°C.

In fig. 5, invece, abbiamo la rappresentazione circuitale di tale sistema: ho due R in serie i cui valori verranno quindi sommati.

Supponiamo che il filo sia lungo L m.
 
 

Al secondo membro della (9) individuiamo:
 
 

• R1: resistenza termica associato allo strato conduttivo del cilindro. Dato che

Otteniamo che
 
 

• R2: resistenza termica di tipo convettivo.

Essendo S la superficie esterna…
 
 

 
 

Otteniamo che

cioè, unendo la (9), la (12) e la (16)
 
 

La potenza che il filo può dissipare attraverso la guaina sarà allora:
 
 

Tramite la (18) posso ricavare Q da TF e viceversa.

Interessante risulta anche il grafico che lega il raggio r2 dell’isolante alla potenza dissipata.
 
 

Inizialmente l’aggiunta di un isolante provoca un aumento dello scambio termico: il valore di r2 compare al denominatore della (18) per due volte:

• nella resistenza di conduzione, dove un aumento del raggio fa crescere la resistenza termica, e quindi diminuire la potenza termica;
• nella resistenza di convezione, dove un aumento del raggio fa diminuire la resistenza termica, e quindi crescere la potenza termica.

L’aumento del raggio dell’isolante, e quindi della superficie di scambio, provoca una diminuzione della resistenza di convezione, e ,almeno inizialmente, un aumento della potenza scambiata, finchè la resistenza di conduzione non cresce abbastanza da compensare la diminuzione della resistenza di convezione.

Cerchiamo ora la condizione di funzionamento ottimale, che si ottiene, analiticamente, trovando fMAX, dato dalla derivata prima nulla:
 
 

Nella (19) ho eliminato le parti costanti; ricordiamo che dove RTOT, cioè il denominatore, è minimo, avrò una  massima.
 
 

Moltiplico ogni fattore per r2 ? r1
 
 

Ottengo quindi che
 
 

Se avessi un caso con irraggiamento, dovrei modificare il denominatore della (22) così:
 
 

Superato il valore ottimale  noto una inversione di tendenza: in ho un punto di flesso a partire dal quale iniziano a prevalere le proprietà isolanti della guaina. Per la (22), se il coefficiente di convezione è piccolo e, viceversa, la conducibilità del materiale è elevata, il raggio critico diviene molto grande (addirittura può essere 4 o 5 volte il raggio del tubo metallico interno). Per poter rilevare una diminuzione della potenza scambiata si dovrà oltrepassare un valore pari al doppio del raggio critico.

Cerchiamo analiticamente (il punto di flesso si ottiene annullando la derivata seconda…). Derivando la (20) ottengo
 
 

Moltiplicando ogni termine per 
 
 

Ottengo quindi che
 
 

cioè
 
 

Da questo risultato possiamo intuire l’importanza del valore :
 
 

1. esso rappresenta il raggio necessario per ottenere la massima dissipazione di calore;
2. se raddoppiato, definisce il raggio minimo per poter esplicare la sua funzione di isolante.

• Esempio: filo elettrico

Consideriamo un filo elettrico teso orizzontalmente in una stanza.

sezione A = 1 

resistenza elettrica = 1?/m

i = 5 A

= 20 °C

hTOT = 50 W/m2K

L = 1 m

Supponendo che il filo non sia avvolto da una guaina isolante, calcoliamo la sua temperatura, cioè TF = ?

La potenza dissipata per convezione risulterà:
 
 

Per effetto Joule posso anche dire che
 
 

Osservando i dati, possiamo ricordare che, in genere, di un filo non viene fornito il dato relativo al raggio, bensì quello relativo alla sezione in mm2. Dato che, per un conduttore cilindrico,
 
 

ottengo che
 
 

Tornando all’equazione (A . 1), posso ricordare che S è la superficie di scambio pari a
 
 

Bisogna stare attenti a non confondere l’area esterna del filo, cioè quella a contatto con l’aria e attraverso la quale avviene lo scambio termico, con la sezione del filo stesso. Esplicitando dalla (A . 1) il valore di TF ottengo che
 
 

Ovviamente questo è un valore troppo elevato; per questo avvolgo il filo con una guaina isolante di raggio r2 e conduttività l = 1 W/m°K. Per ottenere il massimo scambio termico r2 dovrà essere pari al raggio critico.
 
 

Se confronto r1 e r2, vedo che tale valori sono sproporzionati: ho una guaina di r = 20 mm che avvolge un filo con r = 0,564 mm. Ciò è dovuto al fatto che ho usato un materiale con cond. elettrica elevata.
 
 
 
 

Ricalcoliamo la temperatura del filo TF con questo valore di r2:
 
 

• Tubi:

Spostiamo ora la nostra attenzione su un altro aspetto che presenta numerose applicazione pratiche: l’analisi delle tubazioni. La configurazione più generica è quella di un liquido (o gas) presente in un condotto che è posto all’interno di un cilindro cavo, di materiale isolante, caratterizzato da un rI e una lI " lT, dove con lT indichiamo la conduttività del tubo centrale. Quest’ultimo valore è di norma elevato, essendo il materiale impiegato un metallo.
 
 

Introduciamo le seguenti grandezze:
 
 

• h1 = coeff. di convezione interna: assume valori notevoli, compresi fra 1000 e 2000, in quanto il fluido all’interno scorre a velocità elevata;

• h2 = coeff. di convezione esterna: assume valori decisamente più bassi, attorno alla decina, dal momento che l’aria, in condizioni naturali, è ferma;

• TPEI = temperatura della parete esterna dell’isolante;

• T? = temperatura ambiente (20 °C).

Anche in questo caso abbiamo fornito una rappresentazione circuitale del sistema: ho 4 resistenze in serie che dovrò poi sommare per ottenere la resistenza equivalente.
 
 

Le 4 resistenze da considerare sono:
 
 

• R1 : resistenza interna al fluido che lega TMF (temperatura media del fluido) a TPI (temperatura della parete interna); è una resistenza di convezione interna pari a

• R2 : resistenza termica di tipo conduttivo presente nell’acciaio (abbiamo dimostrato che tale valore è trascurabile rispetto agli altri: essendo l’acciaio un conduttore è inevitabile che la sua RT sia bassa. Chiaramente tale considerazione non è valida se utilizzo un materiale con caratteristiche diverse).

• R3 : resistenza dovuta al materiale isolante: è sempre presente e sicuramente la più importante.

• R4 : resistenza totale di convezione esterna.

Graficamente posso rappresentarle così:
 
 

In conclusione
 
 

• Esempio: fluido che scorre in un tubo isolato

Applichiamo le precedenti considerazioni ad un caso pratico. Supponiamo cioè di avere un fluido all’interno di un condotto rivestito con un isolante, e che i dati siano i seguenti:
 
 

Applichiamo direttamente la (33)
 
 

Tale formula rappresenta la densità di flusso di calore per unità di lunghezza (ho raccolto, a secondo membro, la quantità 2p r1). Sostituendo alla (32) i valori numerici, trovo che
 
 

Si nota chiaramente quanto poco le R1 e R2 contribuiscano alla somma totale, ma questo dipende dalle caratteristiche specifiche del sistema impiegato.

Sostituendo i valori nella (34) ottengo che
 
 

• Sfera isolata:

La stessa teoria vista per i tubi isolati può essere applicata al caso di una sfera cava avvolta da materiale isolante.
 
 

Le quattro resistenze ora saranno:
 
 

• R1 : resistenza di convezione interna

• R2 : resistenza di conduzione della sfera

• R3 : resistenza dell’isolante

• R4 : resistenza di convezione esterna

La rappresentazione circuitale sara’ :
 
 

Ricordiamo che
 
 

• Appendice: