ESERCIZIO 1

[ 15/10/99 n° 2 – Fluidodinamica (tolleranza +/- 10%)]

Davide Mezzadri - matr. 117630 - Lezione del 23/11/99 - ora 14:30-16:30

Un serbatoio di forma cilindrica ha un diametro di 1+0.01*BC m e contiene acqua sino ad un livello di 10+D m. Sul fondo di esso viene aperto un foro circolare con bordi smussati (b = 0.5), con diametro pari ad 1/20 di quello del serbatoio, per cui l’acqua comincia ad uscire. Determinare il tempo necessario al completo svuotamento del serbatoio.

Tempo di svuotamento t = ? [ s]

Disegno :

 

 

 

 

Dati :

Matricola :

A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6

 

D₁ = 1+0.01*BC = 1.23 m

H = 10+D = 14 m

D₂ = (1/20)D₁ = 0.0615 m

b = 0.5

Scelta delle sezioni :

- sezione1 al pelo libero ;

- sezione2 allo sbocco .

SOLUZIONE :

Il quesito da risolvere è il classico problema dello svuotamento di un serbatoio.

Le condizioni del sistema variano continuamente :

• la quantità di acqua disponibile diminuisce man mano che il serbatoio si svuota;

• l’energia potenziale a disposizione per la trasformazione in energia cinetica in continua diminuzione .

 

L’equazione generale di bilancio dell’energia di un sistema aperto è :

(1)

Applico questa equazione al nostro sistema tenendo presente le seguenti considerazioni :

• l’altezza dell’acqua all’interno del serbatoio varia con il passare del tempo(tra H e 0), e quindi l’equazione deve essere scritta per una generica posizione h del pelo libero ;
• l’asse z delle altezze è crescente dal basso verso l’alto ; se imponiamo la posizione iniziale z₁=h per una generica posizione del pelo libero e la posizione finale z₂=0 allo sbocco , allora la variazione di quota dallo stato iniziale allo stato finale (z₂-z₁) = -h ;
• sia la pressiona P₂ ,quella allo sbocco, che la pressione P₁ ,quella del pelo libero, sono uguali al valore della pressione atmosferica in quanto le due sezioni considerate sono a cotatto con l’ambiente esterno ;
• le perdite sono presenti solo allo sbocco (perdite concentrate) .

E quindi :

 

(2)

 

L’equazione ricavata ha apparentemente incognite le due velocità W₂ e W₁ , ma grazie all’equazione di continuità riesco ad esprimere W₂ in funzione di W₁ :

 

(3)

 

(4)

 

(5)

(6)

(7)

 

Sostituisco il valore ricavato nel bilancio energetico e ottengo :

(8)

La velocità può essere espressa come derivata della variazione di altezza nel tempo :

(9)

Il segno meno indica che la variazione di altezza è negativa , cioè contraria all’asse di riferimento z .
Raccolgo a fattore comune la velocità :

 

(10)

 

Uguaglio le due equazioni della velocità :

 

(11)

 

Ottengo un’equazione differenziale di 1° grado a variabili separabili :

 

(12)

 

Integro :

 

(13)

 

Poiché la risoluzione generale dell’ integrale al primo membro è :

(14)

 

Otteniamo :

(15)

 

(16)

 

Sostituendo i valori numerici troviamo la soluzione al problema :

 

(17)

 

Commento :

Il testo del problema ci fornisce tra gli altri dati quello del diametro del serbatoio che però non viene utilizzato ; infatti il valore fondamentale per la risoluzione dell’esercizio è il rapporto dei due diametri (quello del serbatoio e quello allo sbocco) .

La tolleranza fornita è in questo caso inutile perché nella risoluzione dell’esercizio non abbiamo fatto ricorso ad interpolazioni tra dati o altro .

 

 

ESERCIZIO 2

[ 9/9/99 n° 2 – Fluidodinamica (tolleranza +/- 5%)]

 

Per misurare la portata d’acqua che scorre in una tubazione , sulla stessa è inserito un tubo di venturi. Il diametro della tubazione è di D₁ =50+BC mm , il diametro della gola del venturi è D₂ =30+D mm . Si misura una differenza di pressione pari a 10000+BCDEF Pa . Determinare velocità e portata nel condotto.

• Velocità media = ? [ m/s]

 

• Portata in massa = ? [ Kg/s]

Disegno :

Dati :

Matricola :

A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6

 

D₁= 50+BC = 50+23 = 73 mm

D₂= 30+D = 30+4 =34 mm

P₁ – P₂ = 10000+BCDEF = 33456 Pa

r _acqua = 1000 Kg/m³ (valore riportato da tabella)

Scelta delle sezioni :

 

- sezione1 nella tubazione (diametro = D₁ ) , prima della gola ;

- sezione 2 nella gola del venturi (diametro = D₂ ) .

 

SOLUZIONE :

L’equazione generale di bilancio dell’energia di un sistema aperto è :

(18)

Applico questa equazione al nostro sistema tenendo presente le seguenti considerazioni :

• le due sezioni sono alla stessa quota (z₁ = z₂) ;
• le perdite sono trascurabili perché nel tratto convergente non ho grosse dissipazioni (a differenza del tratto divergente in cui le perdite non sono trascurabili ) .
• il termine l è nullo perché non vi è la presenza di pompe o altro in grado di produrre lavoro sul sistema .

 

E quindi :

(19)

Le velocità sono entrambe incognite ma dato che sono legate dall’equazione di continuità , e ipotizzando r costante , otteniamo :

 

(20)

 

(21)

(22)

(23)

 

Si sostituisce nell’espressione di partenza :

(24)

(25)

 

A questo punto inserendo i valori numerici si ha :

(26)

Infine si calcola la portata nel condotto :

(27)

(28)

(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

ESERCIZIO 3

[ 22/7/99 n° 2 – Fluidodinamica (tolleranza +/- 10%)]

Un serbatoio d’acqua di grande capacità alimenta un condotto verticale lungo 10+F metri , avente un diametro idraulico pari a 70+DE mm . L’altezza del pelo libero dentro il serbatoio è 4+C metri dal fondo . Considerando il tubo liscio , determinare velocità media e portata dell’acqua fuoriuscente dal condotto .

• Velocità media = ? [ m/s]

 

• Portata in massa = ? [ Kg/s]

 

 

 

Disegno :

 

 

Dati :

Matricola :

A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6

 

L = 10+F = 10+6 = 16 m

D = 70+DE = 70+45 =115 mm

H = 4+C = 7 m

e = 0 (ovvero tubi lisci)

b = 1 (a causa dell’imbocco)

Scelta delle sezioni :

• sezione1 al pelo libero ;

sezione2 allo sbocco del condotto .

 

SOLUZIONE :

L’equazione generale di bilancio dell’energia di un sistema aperto è :

(30)

Applico questa equazione al nostro sistema tenendo presente le seguenti considerazioni :

• la velocità al pelo libero W₁ è trascurabile ;
• sia la pressiona P₂ ,quella allo sbocco, che la pressione P₁ ,quella del pelo libero, sono uguali al valore della pressione atmosferica in quanto le due sezioni considerate sono a cotatto con l’ambiente esterno ;
• il termine l è nullo perché non vi è la presenza di pompe o altro in grado di produrre lavoro sul sistema ;
• per quanto riguarda le perdite si devono tenere in considerazione sia quelle concentrate che quelle distribuite .

(31)

 

(32)

 

Da cui si ricava il valore della velocità :

 

(33)

 

(34)

Il fattore di attrito x dipende dal numero di Reynolds che a sua volta dipende dalla velocità incognita ; quidi per procedere nella soluzione del problema si deve utilizzare una velocità di primo tentativo. La scelta di questa velocità viene effetuata imponendo un tetto massimo agli ipotetici valori mediante la velocità torricelliana :

(35)

(36)

(37)

Una velocità di 21.2 m/s per un’altezza di 23 m è sicuramente un valore troppo elevato ; per questo si può decidere di prendere una velocità dello stesso ordine di grandezza , ma inferiore ad esempio :

(38)

Mediante la velocità di primo tentativo si calcola il numero di Reynolds :

(39)

Ricordando che la scabrezza e è nulla e sapendo che il numero di Reynolds identifica una regione di moto turbolento , ricaviamo dal diagramma di Moody il valore del fattore di attrito .

Il risultato grafico è x ₁ = 0.012 ; inseriamo quest’ultimo nell’equazione che fornisce la velocità e otteniamo :

(40)

Il valore che avevamo ipotizzato era quindi troppo piccolo. Proseguiamo ora ricorsivamente fino a che il valore di velocità si discosta da quello precedentemente calcolato di una quantità inferiore alla tolleranza richiesta :

 

(41)

Otteniamo dal grafico x ₂ = 0.010 ; allora :

 

(42)

 

 

W^* = 7.00 m/s -- Re’ = 805000 -- x ₁ = 0.012 -- W^** = 11.09 m/s

W^**= 11.09 m/s -- Re’’ = 1275350 -- x ₂ = 0.010 -- W^*** = 11.53 m/s

 

 

Una volta trovata la velocità dell’acqua fuoriscente dal condotto , si ricava la portata:

(43)

 

Commento :

Il meccanismo di calcolo ricorsivo funziona sempre perché le curve di Moody sono monotone decrescenti . La soluzione è però leggermente imperfetta in precisione a causa della ricerca grafica dei valori desiderati .

ESERCIZIO 4

[ 19/2/99 n° 2 – Fluidodinamica ]

 

Trovare la velocità di caduta libera , in aria , di un corpo di forma sferica.

Diametro della sfera D = 0.001+0.001*F [ m]

Densità della sfera r _s = 500+10*EF [ Kg/m^3]

Temperatura dell’aria T = 0.5*CD [ °C]

 

- Coeff. di resistenza C_R = ?

- Velocità di caduta u = ? [ m/s]

 

 

 

Disegno :

Dati :

Matricola :

A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6

 

D = 0.001+0.001*F= 0.001+0.006 = 0.007 m

r _s = 500+10*EF = 500+560 = 1060 Kg/m³

T = 0.5*CD = 0.5*34 = 17°C

u _aria = 15.7*10^-6 m²/s (dato tabulato relativo all’aria in funzione della temperatura)

 

 

SOLUZIONE :

Il parametro incognito richiesto dall’esercizio è la velocità a cui si stabilizza la sfera in caduta libera . Su di essa agiscono due forze : il peso della sfera applicata nel suo baricentro che agisce verso il basso , e la forza di attrito viscoso che agisce verso l’alto :

 

(44)

(45)

 

La sfera cade di moto accelerato non uniforme : mentre la forza peso è costante , la reazione dell’aria è funzione quadratica della velocità di caduta ,quindi è molto variabile . Il corpo raggiungerà la sua velocità limite quando le due forze saranno esattamente equilibrate , cioè quando la resistenza dell’aria avrà uguagliato il peso della goccia. Uguagliando le due forze si trova la condizione di equilibrio :

 

(46)

 

Possiamo esplicitare direttamente il valore della velocità di caduta, ricordando i valori di volume e di area frontale per una sfera :

 

(47)

(48)

(49)

 

Osserviamo dunque che la velocità di caduta cresce con la radice quadrata del diametro , quindi non linearmente , ma nonostante ciò un corpo grosso (ad esempio i goccioloni di pioggia dei temporali estivi) cade più velocemente di uno piccolo( ad esempio la pioggia leggera primaverile) .

 

Calcolo la densità dell’aria sfruttando l’equazione dei gas perfetti :

 

(50)

(51)

(52)

Il numero di Reynolds è per definizione :

 

(53)

 

Nell’equazione( ) la velocità incognita per essere ricavata richiederebbe già la conoscenza di C_R che dipende dal numero di Reynolds e quindi dalla velocità stessa .

Dobbiamo prendere una velocità di primo tentativo per entrare una prima volta nel diagramma che mi fornisce il coefficiente C_R in funzione del numero d Reynolds . In questo caso non abbiamo un tetto massimo dei valori di prova , come la velocità torricelliana , e quindi "batteziamo" , secondo il nostro buon senso , una velocità di primo tentativo u₀ = 10 m/s :

(54)

 

 

Ricavo un valore di C_R0 = 0.40

 

(55)

 

Si procede ricorsivamente fino a che il valore di velocità si discosta da quello precedentemente calcolato di una quantità inferiore alla tolleranza richiesta :

 

u₀ = 10.00 m/s -- Re₀ = 4458.59 -- C_R0 = 0.40 -- u₁ = 14.11 m/s

u₁ = 14.11 m/s -- Re₁ = 6291.08 -- C_R1 = 0.42 -- u₂ = 13.79 m/s

u₂ = 13.79 m/s -- Re₂ = 6149.41 -- C_R2 = 0.41 -- u₃ = 13.97 m/s

 

 

Commento:

Il grafico del coefficiente C_R in funzione del numero di Reynolds , per una sfera, ha un zona abbastanza piatta e quindi può fornire uguali valori di C_R per diversi numeri di Reynolds ; questo implica il rischio di potersi mettere ad oscillare prima di trovare la soluzione . Il calcolo risulta essere leggermente impreciso a causa di una interpolazione grafica nella lettura dei dati.

 

ESERCIZIO 5

[ 15/4/99 n° 2 – Fluidodinamica ]

 

Trovare lo sforzo risultante esercitato dal vento alla base dei pali di una linea telefonica, nell’ipotesi che lo stesso soffi in direzione ortogonale alla linea . I pali sono alti 10 m e distano l’uno dall’altro 50 m , e la velocità del vento è di 20 m/s.

 

Diametro del cavo telefonico D₁ = 0.003+0.001*F [ m]

Diametro del palo di sostegno D₂ = 0.1+E*0.01 [ m]

Temperatura dell’aria T = 0.5*CD [ °C]

 

- Forza applicata dal filo al palo F_Filo = ?[ N]

- Forza complessiva alla base del palo F_TOT = ? [ N]

 

Disegno :

 

 

 

Dati :

Matricola :

A	B	C	D	E	F
1	2	3	4	5	6

 

D₁ = 0.003+0.001*F = 0.009 m

D₂ = 0.1+E*0.01 = 0.15 m

T = 0.5*CD = 17 °C

u¥ = 20 m/s

L = 50 m

H = 10 m

r _Aria = 1.27 Kg/m³ (valore ricavato nell’equazione 52)

u _Aria =15.7*10^-6 m²/s (dato tabulato relativo all’aria in funzione della temperatura)

 

SOLUZIONE :

Lo sforzo totale alla base di un palo è dato da tre contributi :

• la forza che agisce sul filo alla destra del palo ;
• la forza che agisce sul filo alla sinistra del palo ;
• la forza che agisce sul palo stesso .

Se consideriamo ogni singolo palo notiamo che questo deve poter sopportare una forza dovuta ad una quantità di filo L (L/2 a detra e L/2 a sinistra).

In generale la forza di trascinamento è così definita :

(56)

Si applica queta relazione ad un tratto di filo lungo L (L/2 a destra + L/2 a sinistra) e che ha quindi un’area frontale A_f = LD₁ ; allora :

(57)

Si applica queta relazione al palo di altezza H e che ha quindi un’area frontale A_f = HD₂ ; allora :

(58)

Calcoliamo i rispettivi numeri di Reynolds :

(59)

 

(60)

Questi ultimi valori ci permettono di trovare via grafica (grafico 1) i rispettivi coefficienti : C_R,Filo = 1.3 e C_R,Palo = 1.05 .

Calcoliamo quindi le due forze :

 

(61)

 

(62)

 

 

La forza totale è :

 

N (63)

 

Commento :

Se il quesito fosse stato quello di trovare la forza totale ,non alla base del palo , ma ad esempio a metà del palo stesso avrei dovuto considerare ,oltre alla forza del filo , la forza agente su un’altezza H/2 del palo .