Sia S una Sorgente sonora costituita da una piccola sfera di centro O e di raggio R pulsante radicalmente con moto periodico:

Universita` degli studi di Parma

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica, Informatica delle Telecomunicazioni

Anno Accademico 1999/2000

Corso di Fisica Tecnica

Docente: Prof. Angelo Farina

Autori: Bertoli Samuele Mtr. 110549

Ciuffardi Gianni Mtr. 113831

Lezione del 30/11/99

Ore: 14.30-16.30

Argomenti Trattati: Onde sferiche

Potenziale di Velocita`

Velocita`

Pressione

Impedenza

Intensita`del Campo

Appendice a) Coordinate Sferiche

Appendice b) Coordinate Cilindriche

Appendice c) Gradiente e Laplaciano in funz. Coordinate

Onde Sferiche

Sia S una Sorgente sonora costituita da una piccola sfera di centro O e di raggio R pulsante radialmente con moto periodico: dalla superficie della sfera partono delle onde longitudinali che si propagano nel mezzo circostante. Per ragioni di simmetria la velocità di propagazione è la stessa in tutte le direzioni uscenti da O, così che ogni punto equidistante da O è nello stesso stato di vibrazione: ovvero si hanno delle onde sferiche longitudinali.

Consideriamo quindi l’equazione di D’Alambert espressa in coordinate sferiche: ci poniamo in condizioni di simmetria sferica perché il campo sonoro da noi considerato presenta tale simmetria.

Equazione di D’Alambert

Dove

j potenziale di velocità

c velocità del suono

r distanza dal centro O della sorgente sonora

Definiamo quindi una nuova variabile y tale che

Sostituendo (2) nell’equazione (1) si ottiene

La soluzione di questa equazione differenziale è data da

Dove

w velocità angolare

K numero d’onda definito come k = w/c

Operando la sostituzione la sostituzione inversa j = y/r si ottiene

Per determinare il valore di y_max è necessario imporre delle condizioni al contorno valide sulla pelle della sfera. Imponiamo quindi:

r = R

u = u_max eⁱ^w^t

Sapendo che la velocità u è il gradiente del potenziale j, che nelle nostre condizioni di simmetria vuol dire:

Abbiamo

Da cui

Imponiamo a) in (8) risulta:

E quindi

Sostituendo (9) in (7) otteniamo l’espressione della velocità acustica nel nostro campo sonoro:

Sostituendo ancora l’espressione precedentemente ricavata per y_max in (7) ricaviamo l’espressione del potenziale:

Utilizziamo l’equazione di Eulero per ricavare l’espressione della pressione acustica, equazione che ricordiamo di seguito:

Utilizzando (11) l’equazione di Eulero si riduce a:

Osserviamo che sia il modulo della velocità, sia il modulo della pressione sono termini non costanti (dipendendo dal raggio r) e sono grandezze complesse costituite da una parte reale e da una parte immaginaria. Ricordiamo tuttavia che pressione e velocità essendo grandezze fisiche devono aver anche significato fisico, cioè devono assumere valori reali: percui, a noi, interessano prevalentemente le loro parti reali.

Abbiamo notato la dipendenza dal raggio della pressione e della velocità, ma mentre la prima cala secondo il raggio, la seconda cala proporzionatamente al quadrato del raggio. Quindi l’IMPEDENZA defita come il rapporto fra i moduli di pressione e velocità varia anch’essa con il raggio (oltreche naturalmente essere complessa). Vi è quindi uno sfasamento variabile fra pressione e velocità: coiò implica che il trasporto dell’energia non può che essere imperfetto dato che il miglior trasporto possibile si ha allorché pressione e velocità sono in fase! Tale fenomeno è tanto più evidente tanto più piccolo è il raggio R della sorgente sonora poiché tale sorgente è caratterizzata da un potenza d’irradiazione limitata. Ricordiamo, infine, un’interessante proprietà di cui godono le trombe: questi strumenti fungono da rifasatori fra pressione e velocità riuscendo quindi ad avere un ottimo trasferimento d’energia.

IMPEDENZA

Determiniamo quindi il valore dell’Impedenza Z

Per cui utilizzando i valori precedentemente ricavati otteniamo:

(Consideriamo il caso in cui r > R poiché per i nostri scopi è l’unico che ci interessa: a titolo di cronaca ricordiamo, infatti, che l’unica applicazione pratica che sfrutta onde sferiche che collassato in un unico centro è la bomba atomica che utilizza un innesco acustico.)

Limitiamoci a osservare il comportamento dell’impedenza Z in prossimità della superficie sferica della sorgente e a distanza molto grande dalla stessa sorgente sonora.

Ricordiamo che il concetto di distanza è un concetto relativo, quindi quando noi diciamo a grande distanza o a piccola distanza bisogna sempre specificare ripetto a che cosa. In questo contesto la distanza è espressa in funzione della lunghezza d’onda l (grande distanza significa r >> l).

Iniziamo con lo studiare il caso b)

Osserviamo che l’impedenza Z in questo caso è tutta reale: difatti Pressione e Velocità a grande distanza sono in fase (calano entrambe secondo la stessa legge in funzione del raggio r).

Infatti osservando le espressioni di queste due grandezze si evince che:

Osserviamo che l’espressione rela tiva all’impedenza Z è la stessa che si ricava per un treno d’onda piano: ciò è evidente se si tiene conto che in prossimità della sorgente S la curvatura del fronte d’onda è molto pronunciata mentre a grande distanza il fronte d’onda è diventato praticamente piano.

Si ricava facilmente anche l’espressione della’Intensità sonora I; definita come l’energia che fluisce attraverso un determinata superficie nell’unità di tempo.

Dimensionalmente è percui: I=[w/m²]

Dove P_AC rappresenta la Potenza Acustica definita come l’energia emessa dalla sorgente sonora nell’unità di tempo.

Consideriamo ora il caso a) (ossia in prossimità della sorgente sonora)

Nel caso limite, allorchè r = R, si ha :

Essendo il termine ikr trascurabile rispetto a 1. Infatti esplicitiamo il denominatore dell’
impedenza:

Per cui

E nel caso r = R si ha:

Come detto precedentemente.

Siamo però giunti a un paradosso perché l’impedenza Z è un immaginario puro percui l’angolo di sfasamento fra pressione e velocita è pari a 90° il che ci porta a dire che non vi è irradiazione di energia: ma non è possibile che la sferetta pulsi e non irradi energia ! Questa situazione deriva dall’aver trascurato al denominatore il termine ikr: termine estremamente piccolo ma non del tutto trascurabile dato che ora ci troviamo di fronte a un paradosso. In prossimità della superficie della sfera pulsante quindi ha un valore estremamente piccolo ma non nullo, così come lo sfasamento tende a 90° ma non è pari a 90°.

Figura 1. Andamento qualitativo di pressione e velocità in funzione di r

Il grafico ci dice sostanzialmente ciò che avevamo osservato in precedenza: per valori grandi del raggio r (r >> l) i moduli di pressione e velocità variano secondo la medesima legge,

mentre per valori di r abbastanza piccoli (r << l) la velocità varia secondo una legge non lineare con ripercussioni sull’impedenza viste precedentemente.

Abbiamo fin qui detto che l`impedenza e` una grandezza complessa: in quanto tale essa e` costituita da una parte reale e da una parte complessa. Osserviamo quindi graficamente l`andamento di queste due parti distinte in funzione della distanza r dal centro della sorgente sonora.

E ora, dopo le considerazioni fatte, osserviamo graficamente l` andamento generale dell` Impedenza in funzione del solito raggio r. (come nel grafico precedente in ordinata e` presentata l` Impedenza Relativa, Impedenza divisa per l` Impedenza caratteristica dell` aria)

INTENSITA`

Determiniamo ora l’espressione generale dell’Intensità sonora I:

Sapendo che

Si ha

Da cui

Sostituiamo in (16) le espressioni generali della pressione e della velocita` (in funzione di P_MAX). Ricordiamo infatti che:

Sostituendo (17) e (18) in (16) si ottiene:

Considerando solo la parte reale si ha:

Espressione valida sia per un campo sonoro vicino alla sorgente che per uno lontano

Analogamente si puo` fare per l`intensita` in funzione di u_MAX, si ricava:

Rapportiamo quindi l`intensita` dell`onda sferica con quello dell`onda piana, che ricordiamo essere:

Definiamo h Efficienza di Radiazione e osserviamo che:

Quindi l`efficienza di radiazione diventa pari a quella di un pistone infinito allorche` il raggio R della nostra sorgente sonora S e` molto grande, ossia R >> l .

Il campo sonoro prodotto da un autoparlante e` proporzionale alla velocita` con cui il diaframma dello stesso si sta muovendo. Definiamo percui una nuova grandezza: la Velocita` di Volume: