Il problema di realizzare un ciclo termodinamico che produca la massima quantità di lavoro a parità di calore entrante, ha come soluzione ottimale la macchina di Carnot. Si tratta però di una macchina ideale, perché opera su un ciclo reversibile.

Nella pratica, la soluzione che in maniera più brillante approssima quella ottimale è la macchina di Rankine:

La macchina di Rankine ha avuto e ha tuttora innumerevoli applicazioni: dalla locomotiva a vapore, alle centrali termoelettriche a combustibile chimico o nucleare. Normalmente, il fluido che descrive il ciclo è l’acqua.

Per studiarne il funzionamento, possiamo ricorrere a tre tipi di diagramma:

Il primo è il più intuitivo, ma il secondo è il più importante (il terzo è per uso specialistico).

Facciamo dunque riferimento al diagramma T-s e spieghiamo il ciclo passo-passo:

1® 2: il fluido, che è nella fase liquida, subisce una compressione isoentropica (s è costante); ciò viene realizzato mediante una pompa, sistema aperto che non scambia calore:

(1)

2® 2’, 2’® 3: il fluido viene prima riscaldato e poi vaporizzato, sempre a pressione costante; si utilizza una caldaia, sistema aperto che non scambia lavoro:

(2)

la quantità di calore q₁ viene prelevata dai fumi caldi prodotti dalla combustione di un combustibile e dell’aria comburente

3® 4: il fluido, che ora è nella fase di vapore saturo secco, passa attraverso a una turbina, sistema aperto che non scambia calore, e, espandendosi isoentropicamente, compie lavoro:

(3)

4® 1: il fluido, nello fase di vapore saturo a bassa pressione, viene portato completamente nella fase liquida, a pressione e temperatura costanti; per fare ciò, si utilizza un condensatore, che cede la quantità di calore

(4)

a una serpentina (serbatoio freddo)

Calcoliamo il coefficiente economico e , rapporto tra lavoro prodotto e calore assorbito netti:

(5)

ossia, da (1),(2) e (3):

(6)

Ora, poiché in 1® 2 il fluido è nella fase liquida:

(7)

dove v (= v₁ = v_{2 ,} i liquidi sono incomprimibili; il valore per l’acqua è 1 dm³/kg) e p1,p2 sono tabulate in funzione di T.

Per gli stati 3 e 4, in cui il fluido è nella fase di vapore saturo, vale la formula:

(8)

dove h_l(p,T) è l’entalpia sulla curva limite inferiore (tabulata), r(p,T) è il calore latente di vaporizzazione (tabulato) e x il titolo. Quest’ultimo vale 1 per lo stato 3 (la massa di vapore coincide con la massa totale del fluido); va invece calcolato per lo stato 4, sfruttando il fatto che la trasformazione 3® 4 è isoentropica:

(9)

(10)

(11)

da cui:

dove s_l(p,T) è l’entropia sulla curva limite inferiore (tabulata).

Notiamo poi che la (6) può essere così riscritta:

(13)

e che quindi:

(14)

Confrontiamo il ciclo di Rankine e il ciclo di Carnot (perché ciò abbia senso, devono operare tra le stesse temperature):

il ciclo di Rankine presenta delle irreversibilità; ad esempio, il fatto che man mano che si prende calore dai fumi di combustione la loro temperatura diminuisca, è una causa di irreversibilità esterna; il fluido è comunque sempre in equilibrio termodinamico, per cui l’area del ciclo nel diagramma rappresenta la differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto, cioè il lavoro prodotto, come per il ciclo di Carnot. Guardando le figure, è lecito aspettarsi che il rendimento termodinamico

(15)

(rapporto tra il coefficiente economico della macchina di Rankine e quello della macchina di Carnot) assuma un valore prossimo all’unità.

Determinare il coefficiente economico e per un ciclo di Rankine con

T₁ = T₄ = 40 ° C

T₂ = T₃ = 250,3 ° C

Da (7):

Da (8):

Da (12):

Da (8):

Quindi, da (6):

Facciamo un confronto con il ciclo di Carnot:

Quindi:

(grande!)

Abbiamo visto che il vapore saturo secco in uscita dalla caldaia viene fatto espandere utilizzando una turbina; ma poiché nello stato 4 il titolo è abbastanza minore di 1, ci sono gocce di liquido che entrano in violento contatto con le parti meccaniche della turbina e le erodono.

In genere si adotta la seguente soluzione:

Il serpentino riscaldatore fa sì che il fluido in uscita dalla caldaia passi dalla fase di vapore saturo secco in quella di vapore surriscaldato.

E’ evidente che il valore del titolo nello stato 4’ è molto più vicino a 1.

La nuova formula per il coefficiente economico è:

(16)

Per lo stato 3’ vale la formula:

(17)

da cui ricaviamo il calore specifico medio a pressione costante c_p, leggendo h_3’ dalla tabella del vapore surriscaldato (o viceversa ricaviamo h_3’ leggendo c_p dalla relativa tabella).

Per h_4’ usiamo la (8), con x_4’ ricavato da:

(18)

dove s₃ è data dalla (10).

Determinare il cefficiente economico per un ciclo di Rankine con surriscaldamento, date:

T₁ = T₄ = 40 ° C

T₂ = T₃ = 250,3 ° C

T_3’= 500 ° C

Da (17):

Da (18):

Da (8):

Quindi, da (16):

Per confrontare la macchina di Rankine con surriscaldatore e la macchina di Carnot, è sbagliato calcolare h _t come rapporto tra i coefficienti economici con

Si otterrebbe 0,635: apparentemente peggio rispetto al caso della macchina di Rankine senza surriscaldatore!

L’errore sta nel fatto che si sta fornendo alla macchina di Carnot più calore di quello dato alla macchina di Rankine con surriscaldatore:

Bisogna guardare il diagramma che descrive l’andamento della temperatura del serbatoio caldo (fumi prodotti bruciando combustibile e aria) in funzione della quantità di calore da esso sottratta, e confrontare le due macchine in base alla quantità di calore che effettivamente riescono a sfruttare (exergia):

Concludendo, solo con un’infinita successione di cicli di Carnot si riesce ad estrarre tutto il calore dai fumi:

La macchina di carnot sarebbe ottima se il serbatoio caldo fosse a temperatura costante.

Calcolare il CUC (coefficiente di utilizzazione del combustibile = rapporto tra l’energia utilizzata e quella disponibile in partenza) di una centrale di cogenerazione, che funzione secondo il principio della macchina di Rankine con surriscaldatore (e sfrutta Q₂ per il riscaldamento cittadino), noti i seguenti dati:

T₁ = T₄ = 80 ° C

P₃ = 40 BAR

T_3’ = 700 ° C

h _distr = 95% (percentuale di Q₂ effettivamente sfruttata)

h _comb = 90% (Q₁ non è tutto il calore generato nel serbatoio caldo)

E’ facile vedere che, nel caso in esame:

Dalle tabelle, poi, leggo:

T₁ = 80 ° C Û p₁= 0,4736 BAR

p₃ = 40 BAR Û T₃ = T₂ = 250,3 ° C

h₁ = h_l1 = 340,5 kJ/kg

r₄ = 2305,4 kJ/kg

Dagli esercizi precedenti, prendo pari pari v, h₃ e s₃.

Quindi, da (17):

Da (18):

(4’ è sulla curva limite!)

Allora, da (8):

Poi, da (3), (2), (4) e (7):

E infine:

Molto bene! Una centrale Enel tradizionale ha un CUC @ 0,4.

T (° C)	p (BAR)	hl (kJ/kg)	r (kJ/kg)	sl (kJ/kgK)
0,01	0,006112	0	2501,6	0
4	0,008129	16,8	2492,1	0,0611
8	0,010720	33,6	2482,6	0,1213
12	0,014014	50,4	2473,2	0,1805
16	0,018168	67,1	2463,8	0,2388
20	0,023366	83,9	2454,3	0,2963
24	0,029821	100,6	2444,9	0,3530
28	0,037782	117,3	2435,4	0,4088
32	0,047534	134,0	2425,9	0,4640
36	0,059400	150,7	2416,4	0,5184
40	0,073750	167,5	2406,9	0,5721
44	0,091001	184,2	2397,3	0,6252
48	0,11162	200,9	2387,7	0,6776
52	0,13613	217,6	2378,1	0,7293
56	0,16511	234,4	2368,4	0,7804
60	0,19920	251,1	2358,6	0,8310
64	0,23912	267,8	2348,8	0,8809
68	0,28563	284,6	2338,9	0,9303
72	0,33958	301,4	2329,0	0,9792
76	0,40191	318,1	2318,9	1,0275
80	0,47360	334,9	2308,8	1,0753
84	0,55573	351,7	2298,6	1,1225
88	0,64948	368,5	2288,4	1,1693
92	0,75608	385,4	2278,0	1,2156
96	0,87686	402,2	2267,5	1,2615
100	1,01325	419,1	2256,9	1,3069
104	1,1668	435,9	2246,3	1,3518
108	1,3390	452,9	2235,4	1,3964
112	1,5316	469,8	2224,5	1,4405
116	1,7465	486,7	2213,4	1,4842
120	1,9854	503,7	2202,2	1,5276

TAB.1 – Vapore Saturo

T (° C)	h (kJ/kg)	s (kJ/kgK)
250	2800,3	6,0685
300	2962,0	6,3642
350	3095,1	6,5870
400	3215,7	6,7733
450	3331,2	6,9388
500	3445,0	7,0909
550	3558,6	7,2333
600	3672,8	7,3680
650	3787,9	7,4961
700	3906,6	7,5947

Tabelle più complete si trovano su: Zemanski "Termodinamica per ingegneri"

T (° C)	cp (kJ/kgK)
300	3,136
350	2,891
400	2,742
450	2,648
500	2,579
550	2,533
600	2,500
650	2,475
700	2,458