Umberto Amadei – matr. 118207 – Lezione del 29/11/99 – ora 16:30-18:30

· Introduzione

· L’equazione di D’Alembert e le sue implicazioni acustiche

· Definizioni di alcune grandezze acustiche

· Studio dell’onda piana progressiva

La propagazione del suono è un fenomeno di natura ondosa ed è quindi necessario per comprenderlo al meglio introdurre la teoria delle onde e la sua rappresentazione matematica anche se per gran parte dello studio dell’acustica l’aspetto ondulatorio del fenomeno sonoro può essere rimosso a vantaggio di una più semplice trattazione energetica. Vi sono tuttavia degli aspetti che caratterizzano tutti i fenomeni ondosi quali ad esempio la diffrazione e l’interferenza che possono venire spiegati solo mediante una trattazione matematica: introduciamo quindi l’equazione che descrive la propagazione delle onde detta anche equazione di D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert, 1717-1783, grande matematico e filosofo francese che collaborò con Diderot alla realizzazione dell’Enciclopedia e contribuì in modo determinante al successo della filosofia illuministica).

Per ricavare l’espressione matematica dell’equazione di D’Alembert si parte da due relazioni: l’equazione dinamica o seconda legge di Newton e l’equazione di continuità scritte per un qualsiasi elemento cubico infinitesimale di fluido che in un riferimento cartesiano ortogonale ha un volume dV con dV=dxdydz come mostrato in Fig. 1.

La seconda legge di Newton esprime il fatto che la forza di inerzia, per un elemento di volume delimitato da due facce normali alla direzione di propagazione, è equilibrato dalla differenza di pressione che esiste fra le due facce stesse. L’equazione di continuità esprime, invece, il fatto che l’incremento alla massa contenuta nell’elemento considerato è dovuto all’eccesso di velocità di oscillazione in una di tali sezioni rispetto all’altra.

L’espressione matematica della seconda legge di Newton nella sua formulazione originaria è dove il vettore F è la somma vettoriale delle forze agenti su un generico corpo di massa m e a è il suo vettore accelerazione.

Considerando ora il volume infinitesimale dV e indicando con dM e r rispettivamente la sua massa e la sua densità abbiamo:

Se noi definiamo una velocità dove il vettore u’ è la velocità acustica e il vettore u₀ è la velocità media di trasporto del fluido, nel campo sonoro abbiamo che e quindi . Nel caso generale di un fluido in moto, invece, potrebbe esserci un moto del volumetto considerato in una direzione ( ) e quindi bisogna scrivere la seconda legge di Newton secondo una logica lagrangiana, seguendo cioè la particella in moto: bisogna usare il concetto di derivata sostanziale. La derivata sostanziale di una qualsiasi grandezza vettoriale s=s(x,y,z,t ) fatta rispetto al tempo t è:

Sapendo ora che l’accelerazione rappresenta la derivata fatta rispetto al tempo t del vettore velocità possiamo scrivere la legge del moto in questa seconda forma:

Bisogna ora valutare il bilancio o risultante delle forze agenti sul volumetto che è dato dalla somma vettoriale delle sue tre componenti cartesiane.

Riconducendoci per semplicità al caso monodimensionale e valutando quindi la situazione secondo l’asse x abbiamo che il cubetto considerato va dall’ascissa x alla quale agisce la pressione p₁=p all’ascissa x+dx alla quale agisce la pressione p₂=p+(¶ p/¶ x)dx come mostrato in Fig. 2.

Il modulo F_x della risultante netta degli sforzi secondo l’asse x è dato dal prodotto della superficie S con S=dydz per la differenza di pressione tra le facce 1 e 2:

Analogamente quindi per le altre componenti della forza secondo l’asse y e z otteniamo:

e di conseguenza la risultante è:

(Il segno meno in questa espressione è dovuto al fatto che il gradiente è definito positivo verso le pressioni crescenti mentre p₁-p₂ è definito positivo verso le pressioni decrescenti, dal punto di vista fisico infatti possiamo vedere che un fluido va sempre verso le pressioni basse.)

Andando infine a sostituire l’espressione trovata per la forza data dalla (6) nella (2) abbiamo:

cioè, semplificando per dxdydz:

Consideriamo ora l’equazione di continuità.

L’equazione di continuità, che risulta essere piuttosto banale in mancanza di fenomeni di accumulo, cioè quando siamo in regime stazionario e quindi la massa contenuta nel volumetto non varia, diventa decisamente più complicata ad esempio nel caso dell’acustica dove periodicamente entra ed esce massa dal volumetto provocando variazioni di densità del fluido.

Considerando il volumetto dV delimitato da una superficie chiusa dS orientata in modo che il versore della normale v_n sia in ogni punto diretto verso l’esterno e facendo un ragionamento analogo a quello fatto per le forze, abbiamo:

da cui, applicando il teorema della divergenza in base al quale il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa dS è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume racchiuso da dS , otteniamo:

cioè:

Dovendo essere valida questa relazione comunque si scelga il volume dV, deve essere nullo l’integrando:

e quindi:

Finora abbiamo ricavato due equazioni fondamentali valide per un qualsiasi fluido in moto:

Nel caso particolare del campo sonoro possiamo però fare alcune semplificazioni giustificate dalla situazione che stiamo studiando.

Innanzi tutto bisogna sostituire la derivata sostanziale nella (8) con la derivata ordinaria in quanto il fluido esaminato è mediamente fermo; possiamo inoltre formulare un’ipotesi di piccole oscillazioni dalla condizione di equilibrio giustificata dal fatto che i fenomeni acustici provocano piccole perturbazioni. Poniamo quindi:

(15) p = p ₀ + p¢ con p¢ << p ₀

e

(16) r = r ₀ + r ¢ con r ¢ << r ₀

dove:

-) p₀ è la pressione media atmosferica;

-) p’ è la pressione acustica;

-) r ₀ è la densità media in assenza di perturbazione acustica;

-) r ¢ è la fluttuazione di densità prodotta dal campo sonoro.

Applicando ora nel sistema (14) le cosiddette approssimazioni di Boussinesq (Valentin Joseph Boussinesq, 1842-1929, matematico francese) grazie alla quali possiamo trascurare i prodotti tra quantità infinitesimali e quantità finite a confronto di quantità finite e tenendo infine conto del fatto che p₀ e r ₀ sono costanti e quindi Ñ p₀ = 0 e ¶ r ₀ /¶ t =0, otteniamo:

dove la prima è l’equazione di Eulero.

Sapendo inoltre che vale la relazione generale ¶ p/¶ r = c² dove c² è la velocità del suono (nell’aria a 20° C e 1bar c=343,4m/s), possiamo sostituire ¶ r ¢ nella seconda equazione del sistema (17) con ¶ p¢ /c² (questa sostituzione è dettata oltre che da una necessità pratica anche da una necessità puramente matematica: non esiste infatti un trasduttore che misura la densità mentre possiamo facilmente misurare la pressione con un trasduttore acustico, cioè un microfono):

da cui:

Abbiamo trovato a questo punto due equazioni differenziali del primo ordine che legano tra loro pressione e velocità:

Supponendo ora che il campo di velocità sia solenoidale e ammetta quindi potenziale, possiamo ² conglobare² queste due equazioni differenziali in un’unica equazione differenziale del secondo ordine introducendo una nuova grandezza F detta potenziale della velocità tale che (F è una grandezza che non ha un significato fisico diretto, ma è comunque utile dal punto di vista matematico).

Sostituendo ora nel sistema (20) il vettore velocità u con Ñ F otteniamo:

da cui, tenendo conto che ¶ ( Ñ F ) / ¶ t = Ñ ( ¶ F / ¶ t ) e che div( Ñ F ) = Ñ ² F (l’operatore Ñ ²(=nabla quadro) è il laplaciano cioè la somma delle derivate seconde parziali rispetto ai tre assi cartesiani):

La prima equazione del sistema (22) può essere scritta anche così:

da cui, tenendo conto che, essendo uguali i due gradienti, devono esserlo anche gli argomenti, otteniamo:

cioè:

In conclusione sostituendo la (25) nella seconda equazione del sistema (22), abbiamo:

da cui:

cioè:

che rappresenta l’equazione delle onde acustiche o equazione di D’Alembert.

Integrando l’equazione di D’Alembert possiamo dunque ricavare F (x,y,z,t ) e di conseguenza anche il campo di pressione acustica che è la grandezza più utile e facile da misurare dal punto di vista pratico. Poi, una volta nota la pressione, possiamo trovare anche il campo di velocità per integrazione dell’equazione di Eulero:

dove p¢ indica la pressione acustica.

Dal punto vista pratico la (29) è una relazione molto efficace poiché è in base ad essa che si costruiscono gli anemometri o velocimetri acustici per la misura della velocità delle particelle del campo sonoro nell’aria.

Per misurare ad esempio la componente cartesiana della velocità lungo l’asse x si prende una coppia di microfoni 1 e 2 che rivelano rispettivamente le pressioni sonore p¢ ₁ e p¢ ₂ posti lungo l’asse x stesso ad una distanza d l’uno dall’altro dell’ordine di pochi millimetri come mostrato in Fig. 3.

Ora, approssimando alle differenze finite il gradiente della pressione lungo l’asse x con (p¢ ₂ - p¢ ₁)/d con p¢ ₁ < p¢ ₂ abbiamo:

Da notare è che l’approssimazione alle differenze finite è lecita solo quando d è molto minore della lunghezza d’onda l . Nel momento in cui sale molto la frequenza, infatti, la lunghezza d’onda diventa pochi millimetri e quindi con l’approssimazione alle differenze finite approssimiamo con una retta un oggetto che è ben lungi dall’esserlo:

Non è quindi possibile coprire l’intero campo di frequenze da 20 a 20000Hz con un microfono con soli due trasduttori. Questo tipo di microfoni è affidabile solo nel campo di frequenze centrali: con d=20mm si copre un campo di frequenze da 100 a 10000Hz.

L’integrale (30) è possibile risolverlo per via numerica. Se lavoriamo con forme d’onda di segnali campionati si tratta semplicemente di fare delle somme, se invece dobbiamo risolverlo per via analogica si può dimostrare che fare un’integrazione nel tempo equivale nel dominio della frequenza a far attraversare al segnale un filtro analogico con un guadagno che cala linearmente con la frequenza:

Quest’ultima è la tecnologia usata ormai da circa 20-30 anni per costruire i cosiddetti microfoni sound-feel che restituiscono tre segnali elettrici analogici.

Ritornando all’equazione di D’Alembert bisogna dire che questa si integra in tre soli casi:

-) l’onda piana progressiva;

-) l’onda sferica progressiva;

-) l’onda piana stazionaria.

In tutti gli altri casi l’equazione di D’Alembert non si integra: esistono svariati programmi di calcolo che sfruttano dei metodi numerici come gli elementi finiti o gli elementi di contorno e ci forniscono la soluzione dell’equazione in casi geometrici complessi.

Il caso dell’onda piana stazionaria che si ha dentro un tubo a onde stazionarie è particolarmente interessante da studiare.

Nel punto 1 della Fig. 6 il campo sonoro si riflette: il campo sonoro riflesso va così a interferire con quello di incidenza formando i cosiddetti pattern di interferenza.

Il tubo a onde stazionarie viene quindi usato per misurare le proprietà acustiche dei materiali: infatti, al variare del materiale che costituisce la terminazione, cambia il campo riflesso e di conseguenza siamo in grado di stabilire la frazione di energia assorbita dal materiale stesso.

Forniamo qui di seguito le definizioni di alcune grandezze che giocano un ruolo fondamentale nel campo dell’acustica per studiare l’aspetto energetico del suono.

1. Potenza sonora

La potenza sonora di una sorgente si indica con il simbolo W, si misura in watt(W) e rappresenta l’energia emessa nell’unità di tempo: quindi, quando siamo in presenza di una sorgente che sta producendo suono significa che questa sta trasferendo potenza all’aria che la circonda.

La potenza sonora dunque è il parametro indicativo di quanto una sorgente sia forte e per questo viene utilizzata come valore di riferimento nella determinazione della validità degli apparecchi acustici come ad esempio gli altoparlanti degli impianti stereo.

A partire dalla potenza sonora possiamo definire il rendimento di un apparecchio acustico. Considerando una sorgente elettroacustica ai cui morsetti d’ingresso forniamo una determinata potenza elettrica W_EL e alla cui uscita abbiamo un certo campo acustico irradiato di potenza W_AC, definiamo rendimento h il rapporto tra la potenza acustica ottenuta e quella elettrica fornita:



 



Figura 7 – sorgente elettroacustica

 

 

Il rendimento h è solitamente basso e può variare dall’ 1-2% per gli altoparlanti ad alta fedeltà (HiFi) al 15% per gli altoparlanti a tromba che producono pressioni elevate con poco contributo elettrico.

Se consideriamo, ad esempio, l’impianto tipico di un’aula universitaria con un amplificatore da 100W che pilota quattro casse di media qualità (h =2,5%) da 25W ciascuna abbiamo: W_AC = 0,025× 25 = 0,625W. Possiamo quindi notare che le potenze acustiche assumono in genere valori piccoli; inoltre, 0,625W è il valore massimo teorico che è possibile ottenere: nella pratica con questo valore di potenza acustica cominciamo a udire un fastidioso fischio in quanto il suono emesso rientra sul microfono, viene riamplificato, riemesso, rientra di nuovo sul microfono ¼ e così via portando il sistema all’instabilità.

 

2. Intensità sonora media

L’intensità sonora media I si ottiene dividendo la potenza acustica per la superficie sulla quale la stessa si è distribuita e si misura in W/m²:



Nel caso particolarmente semplice di una sorgente omnidirezionale che irradia il suono in tutte le direzioni (vedi Fig. 8), l’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza d dalla sorgente:



 



Figura 8 – sorgente acustica omnidirezionale

 

3. Intensità sonora istantanea

Oltre all’intensità sonora media si può definire anche un’intensità sonora istantanea, locale o puntuale i che tiene conto istante per istante delle variazioni delle grandezze acustiche di pressione e velocità:



Dall’intensità sonora istantanea si può ricavare l’intensità sonora media calcolando la media nel tempo del valore istantaneo:



Se pressione e velocità sono segnali sinusoidali in fase (caso a)), sono cioè campi sincroni, abbiamo il massimo trasferimento di energia possibile e possiamo approssimare abbastanza bene l’intensità con il quadrato della pressione in quanto pressione e velocità sono sostanzialmente lo stesso segnale a meno di una costante moltiplicativa (questa approssimazione oggi non è più molto usata poiché pressione e velocità devono essere in fase per avere una buona stima; in passato, invece, era l’unico modo per dare una rappresentazione matematica dell’intensità sonora in quanto non vi erano strumenti in grado di misurare la velocità delle particelle).

Se invece pressione e velocità sono sfasati di 90° (caso b)) il valore istantaneo dell’intensità ha un suo andamento ben determinato, mentre l’intensità sonora media è nulla in analogia con quanto accade nel campo elettrico con correnti e tensioni sfasate.

 

caso a):

 



 



 



Figura 9 – andamento dell’intensità sonora istantanea nel caso in cui pressione e velocità siano segnali sinusoidali in fase

 

 

 

 

caso b):

 



 



 



Figura 10 - andamento dell’intensità sonora istantanea nel caso in cui pressione e velocità siano segnali sinusoidali sfasati di 90° come avviene nel tubo a onde stazionarie

 

Ora se noi abbiamo in ingresso un tono puro a 1000Hz, otteniamo in uscita:

-) nel caso a) un’intensità che ha l’armonica principale a 2000Hz e poi tutte le altre armoniche di ordine più elevato;

-) nel caso b) un’intensità sinusoidale di frequenza doppia rispetto a quella dei segnali di partenza e quindi un tono puro a 2000Hz.

In conclusione, dunque, possiamo dire che l’analisi intensimetrica distrugge le informazioni e mantiene solo il contenuto energetico: non ha quindi senso ascoltare il segnale che rappresenta l’intensità.

 

 

4. Impedenza

Un’ultima grandezza acustica di notevole importanza è l’impedenza Z così definita:

L’impedenza mi dice quanto il campo sonoro reagisce all’applicazione di una forza.

In generale l’impedenza dovrebbe dipendere dal tempo anche se nella maggior parte dei casi pratici esiste solo una dipendenza dal punto dello spazio considerato. In alcuni casi geometrici semplici abbiamo:

a) Z=costante per l’onda piana progressiva;

b) Z=costante per il tubo a onde stazionarie;

c) Z=Z(d) per l’onda sferica, dove d è la distanza dal centro della sorgente.

L’unità di misura dell’impedenza è Pa / (m/s) a cui è stato dato il nome Rayl in onore di John William Strutt Rayleigh (1842-1919, fisico inglese, studioso di ottica, meccanica e acustica a cui è stato dato il premio Nobel per la fisica nel 1904 per gli studi compiuti con Ramsay che portarono alla scoperta dell’argo, il primo gas nobile identificato).

L’impedenza dell’aria in condizioni normali è di circa 415Rayl.

Quando noi dobbiamo produrre un campo sonoro forniamo una certa velocità per ottenere una determinata pressione: è qui che gioca un ruolo fondamentale l’impedenza. Se noi abbiamo un campo sonoro a bassa impedenza siamo in una situazione sfavorevole poiché dobbiamo imprimere alte velocità per ottenere basse pressioni; se invece il campo sonoro è ad alta impedenza è sufficiente pompare basse velocità per ottenere pressioni elevate come avviene nell’amplificatore a tromba.

Quindi l’amplificatore a tromba è molto utile grazie alla sua funzione di trasformatore di impedenza.

Esiste un concetto simile a quello di impedenza acustica che è l’impedenza meccanica Z_n definita come il rapporto tra la forza e la velocità. Quindi l’impedenza acustica è una sorta di impedenza meccanica per unità di superficie.

Vogliamo trovare nel caso dell’onda piana progressiva le espressioni di:

-) velocità;

-) pressione;

-) intensità;

-) impedenza

a partire dalla soluzione dell’equazione di D’Alembert espressa in termini del potenziale F .

La soluzione dell’equazione di D’Alembert nel caso dell’onda piana progressiva è:

che rappresenta la geometria tipica di un pistone piano infinito che si muove con una legge di tipo armonico con velocità angolare w lungo l’asse x. Passando attraverso le formule di Eulero alla notazione esponenziale otteniamo:

con i unità immaginaria.

Considerando per semplicità di scrittura F = F _MAX × e ^{i(w t - kx)} e sapendo che per come è stato costruito geometricamente il problema e scelto il sistema di riferimento le grandezze variano solo lungo l’asse x e quindi Ñ F = ¶ F / ¶ x, abbiamo:

(solo la parte reale di questa espressione rappresenta la velocità, la parte immaginaria non ha senso fisico).

Sapendo che:

ricaviamo che:

poiché F _MAX è una grandezza che ha solo modulo.

Allora:

Volendo ora calcolare la pressione e ricordandoci che p¢ = - r ₀ (¶ F / ¶ t ) otteniamo:

da cui, sapendo che F _MAX = - u _MAX / (i k) e k = w / c:

(velocità e pressione sono in fase).

Allora:

e

Analogamente ragionando in termini di pressione massima con p _MAX = r ₀ c u _MAX e dunque u _MAX = p _MAX / (r ₀ c) otteniamo:

Utilizzando infine i valori medi quadratici (RMS = root mean squared) al posto dei valori massimi e sapendo che (lavorando con segnali sinusoidali)

e

,

abbiamo:

e ragionando in termini di pressione:

Notiamo che per l’onda piana progressiva i valori quadratici medi di pressione e velocità sono proporzionali all’intensità sonora media.