Scambio termico

Lo scambio termico (trasmissione del calore) può avvenire in tre modi diversi, anche contemporaneamente; questi modi sono:

• conduzione: da una molecola ad un’altra posta a contatto con la prima, senza che avvenga movimento reciproco; è la trasmissione che si manifesta internamente ai corpi solidi o nei liquidi in riposo o infine tra due corpi posti a diretto contatto;
• convezione, vale a dire per "trasporto" da parte di molecole che, nel loro movimento, cedono il calore ad altre molecole; una trasmissione di questo tipo avviene in generale negli aeriformi, le cui particelle hanno una grande libertà di movimento, e nei liquidi quando non si trovano in quiete;
• irraggiamento attraverso onde elettromagnetiche, che possono propagarsi attraverso qualsiasi gas ed anche nel vuoto.

Storicamente, lo studio del calore è iniziato circa a metà dell’ottocento; prima gli effetti termici erano sempre stati collegati ad una sostanza chimica chiamata "calorico" che fluiva da un corpo ad un altro a causa di differenze di pressione. Nonostante fosse errata, questa teoria riusciva ad interpretare i fenomeni osservati e perciò fu mantenuta per molto tempo.
Come abbiamo già precisato, i tre meccanismi di trasmissione del calore sono tra loro collegati. Per semplicità vengono però studiati separatamente. Iniziamo dallo studio della conduzione.
 

Conduzione

Lo scambio di calore per conduzione avviene nei solidi e nei fluidi fermi. Microscopicamente, ciascun atomo di un reticolo cristallino è legato agli atomi vicini; il legame tra questi atomi è dato da un equilibrio tra forze repulsive ed attrattive, perciò può essere considerato elastico. Perturbando un atomo di un reticolo, questo comincia ad oscillare (il sistema ha un basso smorzamento) e trasmette il suo moto agli atomi adiacenti. L’effetto di questo moto è un aumento della temperatura di tutto il reticolo considerato.

Si considera una lastra solida con entrambe le pareti A e B mantenute ad una temperatura T₀, ad un certo istante supponiamo che la temperatura della parete A aumenti bruscamente da T₀ a T₁>T₀. Cosa succede? Innanzitutto a causa dell’aumento di temperatura le molecole della lastra sulla faccia A vibrano più velocemente delle altre; col passare del tempo le molecole che vibrano più velocemente trasmettono il loro moto a quelle adiacenti che aumenteranno a loro volta la loro energia cinetica. Trascorso un tempo sufficientemente grande, si giunge ad un regime stazionario in cui il profilo della temperatura è lineare; questo significa che anche in regime stazionario la lastra non è all’equilibrio, poiché punti diversi della lastra sono a diverse temperature e questo porta ad uno scambio di calore (che è una forma di energia).
 

Ricapitolando, si ha un regime transitorio quando T=T(x,t) e un regime stazionario quando T=T(x) (cioè quando la temperatura del corpo resta costante nel tempo).

La legge di Fourier afferma che esiste proporzionalità tra flusso di calore e gradiente di temperatura in un corpo in regime stazionario. Questa legge, per un problema monodimensionale si scrive:

(1)         

doveè il calore scambiato nell’unità di tempo per unità di superficie (si misura in W/m² ), T(x) è la temperatura alla coordinata x del corpo e l è una grandezza caratteristica del materiale chiamata conducibilità termica (misurata in W/mK ). Valori di l per alcuni materiali sono riportati nella tabella 1.

Per la maggior parte dei materiali si ha l =l (T) cioè la conducibilità termica di un materiale varia al variare della temperatura (generalmente aumenta all’aumentare della temperatura); nella pratica si utilizza un valore medio e si considera costante.
 

Materiale	Conducibilità termica  a 20° C (W/mK)
Acciaio con 5% Ni	29
Acciaio con 30% Ni	105
Acqua (liquida in quiete a 20°C)	0,63
Acqua pesante 10 ¸ 100°C	0,56 ¸ 0,65
Alcool	0,21
Alluminio	210
Aria (in quiete a 20°C)	0,026
Argentana	27
Argento	420
Asfalto	0,64
Basalto	1,27 ¸ 3,5
Bronzo	58 ¸ 65
Carbone	0,14 ¸ 0,17
Carbone di storta	4
Carbone in polvere	0,12
Cartone	0,14 ¸ 0,23
Cartongesso in lastre	0,21
Caucciù	0,13 ¸ 0,23
Celluloide	0,35
Cellulosa compressa	0,24
Cemento in polvere	0,070
Cenere	0,069
Creta	0,90
Duralluminio	160
Ferro elettrolitico	87
Ferro ed acciaio	46,5/58
Gesso	0,4
Ghiaccio	2,20/2,50
Ghisa	50
Glicerina	0,220
Grafite	4,9
Granito	3,18 ¸ 4,10
Incrostazioni di caldaia	1,16 ¸ 3,49
Intonaco di calce e gesso	0,70
Legno asciutto ^ alle fibre di abete e pino	0,10 ¸ 0,12
Legno asciutto ^ alle fibre di quercia	0,18
Legno asciutto parallelamente alle fibre	0,15 ¸ 0,27
Linoleum	0,18
Manganina	23
Marmo	2,1 ¸ 3,5
Mercurio liquido a 0° C	8,13
Mercurio liquido a 60° C	9,64
Mercurio liquido a 120° C	10,92
Mercurio liquido a 160° C	11,6
Mercurio liquido a 222° C	12,78
Mica	0,39
Muratura di pietrame	1,40 ¸ 2,40
Muratura refrattaria (dinas, schamotte, silica) 200° C	0,70 ¸ 0,90
Muratura refrattaria (dinas, schamotte, silica) 1000° C	1,2 ¸ 1,4
Naftalina	0,37
Neve (appena caduta e per strati fino a 3 cm)	0,06
Neve (soffice, strati da 3 a 7 cm)	0,12
Neve (moderatamente compatta, strati da 7 a 10 cm)	0,23
Neve (compatta, strati da 20 a 40 cm)	0,70
Nichel	58 ¸ 65
Oli e petroli	0,12 ¸ 0,17
Oro	299
Ottone	70 ¸ 116
Pietra arenaria	1,30 ¸ 1,75
Pietra calcare compatta	0,70
Pietra calcare granulosa	0,95
Piombo solido	35
Pb 44,5% + Bi 55,5% (lega liq.) 160 ¸ 320° C	9,2 ¸ 11,3
Platino	70
Porcellana	0,80 ¸ 1,05
Quarzo ^ all’asse	6,60
Quarzo parallelo all’asse	12,80
Quarzo oggetti fusi	1,4 ¸ 1,9
Rame (8300 Kg/m3)	302
Rame (8900 Kg/m3)	395
Sabbia asciutta	0,35
Sabbia con 7% di umidità	1,16
Sodio solido	125,60
Sodio liquido 100 ¸ 500° C	86 ¸ 67
Na 56% + K 44% (lega Na, K liq.) 100 ¸ 500° C	27
Stagno	64
Steatite	2,7
Sughero (200 Kg/m3)	0,052
Vetro	0,5 ¸ 1
Wood (lega)	12,78
Zinco	110
Zolfo	0,23

Dalla tabella 1 si può notare che l’aria ferma è il migliore isolante termico dopo il vuoto. Le proprietà isolanti del vuoto sono sfruttate nella costruzione del vaso Dewar, che è un contenitore utilizzato per la conservazione di gas liquefatti. Il vaso Dewar è un recipiente di vetro o metallo, a superfici riflettenti e a doppia parete, provvisto di una intercapedine in cui si fa il vuoto, in modo da rendere minimi gli scambi di calore con l’esterno (v. fig. 3 e fig. 4).

Si può estendere la Legge di Fourier per regimi non stazionari: in questo caso la temperatura dipende anche dal tempo, per cui è necessario utilizzare la derivata parziale:

 (2)         

In regime stazionario non c’è accumulo di calore: infatti T ha andamento lineare (perciò la sua derivata è costante), se anche l è costante, si ottiene che  è indipendente dal tempo e dall’ascissa x. Questo implica che il calore che entra è uguale a quello che esce.

In regime transitorio, invece, la quantità di calore che entra è inizialmente molto maggiore di quella che esce dal corpo, perciò si ha un accumulo di calore e un conseguente aumento di temperatura. Dalla figura 5 si può verificare cosa accade all’istante iniziale di un fenomeno di conduzione in una lastra in cui una parete è improvvisamente posta ad una temperatura superiore a quella del resto della lastra. Si nota che in prossimità della parete posta a temperatura maggiore il gradiente di temperatura è molto elevato (idealmente infinito), mentre in tutto il resto della lastra il gradiente è nullo. Questo per l’equazione (2) significa che nella lastra all’istante iniziale entra una grande quantità di calore dalla parete posta a temperatura maggiore, mentre in tutto il resto del corpo non si hanno flussi di calore.

Nei problemi di conduzione del calore la situazione di equilibrio è raggiunta senza oscillazioni (v. fig. 6); tali sistemi vengono detti sovrasmorzati e devono il loro comportamento al fatto che l’equazione differenziale che li descrive non contiene il termine lineare. Per questa proprietà i problemi di scambio termico vengono facilmente risolti mediante metodi numerici che convergono sempre.
 

Si estende ora la legge di Fourier per corpi di geometrie qualsiasi. Si considera un corpo generico di volume V nello spazio; all’interno di esso vale la seguente legge di Fourier generalizzata:

(3)         

è la densità di flusso di calore ed è un vettore che punta nella direzione in cui la temperatura diminuisce.

Si suppone di voler determinare la distribuzione di temperatura nel corpo, avendo delle condizioni al contorno su tutta la sua superficie. Poiché la legge di Fourier non considera l’energia interna si utilizza anche il primo principio della termodinamica, che scritto per un corpo rigido vale:

 (4)         

per un volume infinitesimo si può scrivere:

 (5)        

per il primo membro, mentre per il secondo:

 (6)         

dove dQ_sc indica il calore scambiato dal volume infinitesimo dV, mentre dQ_g rappresenta il calore generato dal corpo stesso, all’interno del volume dV. Questo secondo termine si rende necessario ad esempio nei conduttori elettrici percorsi da corrente, in cui parte della potenza elettrica si trasforma in calore per effetto Joule; oppure nei corpi che partecipano a reazioni nucleari.

Solitamente il calore generato all’interno del corpo dQ_g viene espresso per unità di volume e per unità di tempo:

 (7)         

dall’equazione (7) si nota che dQ_g è un infinitesimo del second’ordine.

Il termine dQ_sc si può invece esprimere integrando il flusso di calore scambiato attraverso la superficie:

 (8)         

dove  è positivo se entrante nel volume infinitesimo ed  è la normale diretta verso l’esterno del volume. Applicando il Teorema di Gauss si ottiene:

 (9)         

Combinando l’equazione (9) con la (3) si ricava:

(10)         

Se il parametro l è costante può uscire dall’operatore divergenza e l’equazione (10) diventa:

 (11)         

I risultati ottenuti si possono finalmente inserire nell’equazione (4) ottenendo:

(12)         

Semplificando e dividendo per dt si ottiene:

 (13)         

L’equazione (13) è chiamata Equazione di Fourier e consente di ricavare T(x,y,z,t ) una volta assegnate le condizioni al contorno che possono essere di tre tipi:

• T imposta
• imposto
• (parete adiabatica)

L’equazione di Fourier può essere semplificata nel caso il termine generativo non sia presente ():

 (14)         

(15)         

dove a ² si chiama diffusività termica e si misura in m²/s (esattamente come la viscosità cinematica ). Nell’espressione di a ², l è proporzionale al trasporto di calore, mentre cr è proporzionale all’inerzia termica. Se a ² è alta, significa che la conducibilità termica assume un valore elevato rispetto all’inerzia (regime transitorio breve per una lastra piana a facce parallele).

Scrivendo l’equazione di Fourier (14) in regime stazionario (derivata rispetto al tempo nulla) si ottiene l’equazione di Laplace:

 (16)         

Applicazione 1

Si risolve ora l’equazione (16) per una lastra piana indefinita a facce piane parallele in regime stazionario (v. fig. 7):

Le condizioni al contorno sono:

(17)         

Poiché stiamo trattando un problema monodimensionale lungo la direzione x possiamo scrivere l’equazione di Laplace (16) nel seguente modo:

(18)         

integrando l’equazione (18) due volte si ottiene:

(19)        

Imponendo le condizioni al contorno (17) si ottiene:

(20)        

Inserendo le (20) nella soluzione (19):

(21)         

Mediante l’equazione (21) si conosce la temperatura in ogni punto della lastra. Per calcolare il calore scambiato (che è costante per ogni punto e per ogni tempo poiché ci siamo messi in condizioni stazionarie) si scrive l’equazione (3) per problemi monodimensionali:

(22)         

Il problema affrontato si poteva risolvere utilizzando la legge di Fourier, ma poiché non interessava conoscere il regime transitorio si sarebbero incontrate complicazioni inutili.
 

Applicazione 2

Consideriamo ora un tubo cilindrico (v. fig. 8) al quale si impone la temperatura T₁ sulla pelle interna e la temperatura T₂ su quella esterna. Vogliamo trovare la funzione T=T(r) che esprime la temperatura in funzione del raggio in regime stazionario e il valore di . Questa volta determiniamo piuttosto che  perché il primo è costante, mentre il secondo vale:

 (23)         

e quindi varia al variare del raggio.

Possiamo scrivere la (3) in questo modo:

(24)         

e uguagliando alla (23):

 (25)         

integrando entrambi i membri della (25) tra R1 ed R2:

 (26)         

Questo tipo di equazione è spesso scritta sotto questa forma:

(27)         

dove k è una costante globale di scambio, mentre S₁ è la superficie interna. Il risultato (26) si scrive anche sotto quest’altra forma:

(28)         

Rimane da calcolare la temperatura in funzione del raggio. Per ottenerla si ricalcola l’integrale (26) tra il raggio minore e un raggio qualunque:

Dall’equazione (29) si nota che l’andamento della temperatura con il raggio è logaritmica.