Si intende far fluire dell'olio per motori da una bacinella ad un'altra posta a 50 metri di altezza rispetto alla precedente. Per realizzare questo sistema si usa un tubo di diametro interno di 100 millimetri e di lunghezza 1 chilometro. La portata richiesta in volume è di 20 litri al secondo. Sono richieste la Potenza e la Prevalenza relative alla pompa.

D h = 50 m ( altezza della seconda bacinella rispetto alla prima )

L = 1 km = 10³ m ( lunghezza del tubo )

D_int = 100 mm = 10^-1 m ( diametro interno del tubo )

DATI TABULATI:

m = 8,5 Poise = 0,85 Ns/m² ( viscosità dinamica dell'olio per motori )

r = 0,92 g/cm³ ( densità dell'olio per motori )

Potenza ( P ) e prevalenza della pompa ( D p ).

Una pompa è caratterizzata da due dati principali: potenza e grafico prevalenza-portata. La prevalenza è per definizione la differenza di pressione uscita-ingresso della pompa e varia con la portata in volume secondo un grafico tipo quello a destra (curva A).

Sovrapponiamo a questo grafico quello che esprime le variazioni di pressione ingresso-uscita del circuito in relazione alla portata in volume (Curva B).

Il punto in cui le due curve si incontrano sarà il punto di lavoro del nostro sistema e cioé la coppia differenza di pressione-portata in volume raggiunta a regime dal sistema stesso. Una forte analogia si ritrova con la caratteristica volt-amperometrica di un generatore non ideale messa a confronto con quella di un carico resistivo. In un caso generale:

Questo è un esempio di come, grazie alla teoria dell'analogia, sia possibile ricavare da modelli di tipo elettrotecnico risultati validi anche in ambiti e discipline completamente differenti.

Notiamo inoltre che sarebbe buona norma sovradimensionare la portata in volume rispetto a quella prevista durante l'utilizzo potendo poi eventualmente ridurla usando una valvola regolabile.

Una scelta opportuna delle sezioni permette di semplificare la soluzione delle equazioni. L'equazione di Bernoulli applicata al sistema ( trascurando gli a ) :

si semplifica scegliendo come sezioni i due peli liberi assunti dall'olio nelle bacinelle. Infatti:

• I peli liberi hanno grande sezione per cui le velocità del liquido al pelo è trascurabile rispetto agli altri termini dell’equazione.
• Entrambi i peli liberi si trovano a pressione atmosferica quindi il termine di variazione di pressione è nullo.

L’equazione si semplifica in:

(1)

dove H rappresenta il dislivello e il lavoro compiuto dalla pompa. Applicando l’equazione di Bernoulli al sistema costituito dalla sola pompa si trova facilmente che in generale dove è la densità del fluido.

R rappresenta le perdite di carico concentrate e distribuite, per cui può essere calcolato con la formula:

Possiamo calcolare W:

dove A è l’area della sezione normale del tubo e vale con D=100mm. Ne consegue che W = 2.55 m/s.

Ora, per calcolare le perdite di carico devo valutare in quale regime si muove l’olio: laminare o turbolento. Poichè l’olio è un fluido molto viscoso mi aspetto che sia laminare ma verifichiamo con i calcoli:

dove tutti i termini sono noti per cui: Re = 276 (<2300) e siamo in pieno regime laminare. In questo caso la relazione per il tubo tondo fra x e Re è: . Le perdite di carico distribuite sono:7539 . L’unità di misura è perchè le perdite di carico sono energie specifiche per unità di massa di fluido. Le perdite di carico concentrate sono trascurabili essendo b circa 3 per i tre gomiti e l’imbocco.

Passiamo al calcolo della prevalenza della pompa:

e dall’equazione 1:

7387.6 Kpa = 73.87 bar

La potenza vale 147752 W

Una volta stabilito il punto di lavoro del nostro sistema (coppia ), bisogna dimensionare opportunamente la pompa. Se ne sceglierà una il cui grafico caratteristico passi per il punto trovato (o sia appena superiore) e il cui rendimento sia massimo in un suo intorno.

Trovato il valore del rendimento h sarà: nel nostro caso @ 250 KW. Il motore che aziona la pompa deve allora erogare almeno una potenza di 250 KW.

Dato il sistema in figura, determinare la prevalenza della pompa che garantisce una portata in massa di .

D = 0.05 m

L = 8 m

DATI TABULATI:

n = 10^-6 m²/s ( viscosità cinematica dell'acqua )

r = 1000 Kg/m³ ( densità dell'acqua )

Diagramma di Moody

Nomogramma per le perdite concentrate

Prevalenza della pompa ( D p ).

Scegliamo i peli liberi come sezione di lavoro. L’equazione di Bernoulli si riduce a:

. Infatti i peli liberi hanno grande sezione, quindi le loro velocità sono trascurabili così come le variazioni di altezza.

Le perdite di carico sono . Per trovare x occorre il numero di Reynolds dove 1.53 m/s. Re vale allora 76500 per cui siamo in regime turbolento. Dal diagramma di Moody:

si ricava un fattore di attrito x pari a 0.0385.

Dal Nomogramma si può ora colcolare la lunghezza equivalente dovuta all’imbocco ed allo sbocco.

L_eq = 1.1 m (imbocco) + 1.7 m (sbocco) = 2.8 m.

Allora 9.73

La prevalenza che deve avere la pompa vale:

159700 Pa @ 1.6 bar.

Nota: le perdite di carico dovute alla pompa sono considerate nel suo rendimento.

Dato il sistema in figura, determinare da quale delle due vasche l’acqua cade più velocemente.

D = 0.1 m per entrambi i tubi

L₁ = 10 m

L₂ = 20 m

e = 0 ovvero tubi lisci

DATI TABULATI:

n = 10^-6 m²/s ( viscosità cinematica dell'acqua )

Diagramma di Moody

Velocità di caduta dell’acqua.

Come prima approssimazione consideriamo H = L.

Scegliamo i peli liberi come sezione di lavoro. L’equazione di Bernoulli si riduce a:

dove con b = 1 a causa dell’imbocco. Infatti l’acqua al pelo è praticamente ferma rispetto alla velocità che assume in 2. Oltretutto i punti 1 e 2 si trovano entrambi a pressione atmosferica. Ne consegue:

che è l’espressione generale della velocità. Possiamo notare subito che raddoppiare H non vuol dire raddoppiare le perdite di carico totali perchè il b associato all’imbocco non varia. Ne consegue che la velocità aumenta se il tubo è più lungo.

Il problema ora è calcolare x che dipende da Re, il quale a sua volta dipende da W. Si procede ad una soluzione ricorsiva. Considero il tubo di lunghezza 10 m e parto da un valore di prova della velocità che può essere per esempio 14 m/s ovvero il massimo possibile, come se l’acqua cadesse come corpo libero senza attriti. Allora 1.400.000 moto turbolento. e è dato a 0 quindi nel diagramma di Moody si usa la curva più in basso relativa ai tubi lisci. Si ottiene: x = 0.011 e quindi W^* = 9.67 m/s. Ripetiamo usando questo valore di W per calcolare Re:

Re = 966584 turbolento

x = 0.012

W^**=9.44 m/s

Re = 944361 turbolento

x = 0.012 indistinguibile dal valore precedente sul diagramma di Moody quindi scegliamo W^**=9.44 m/s.

Questo meccanismo di calcolo ricorsivo funziona sempre perchè le curve di Moody sono monotone decrescenti. Di solito la ricorsione si ferma quando la variazione nei valori ottenuti riguarda cifre decimali oltre la terza.

Analogamente per il tubo da 20 m si ottiene:

W^*=19.8 m/s

Re = 198090 turbolento

x = 0.0159

W^**=9.68 m/s

Re = 968894 turbolento

x = 0.012

W^***=10.74 m/s

Re = 1074298 turbolento

x = 0.0119

W^****=10.77 m/s che consideriamo il valore risolutivo. Come previsto la velocità è più elevata.

Una fontana viene azionata da una pompa con prevalenza 1 bar. Si chiede l’altezza h raggiunta dallo zampillo.

H = 2 m ( altezza dell’ugello )

D p = 1 bar

D = 0.04 m

d = 0.01 m

e = 0.05 mm

DATI TABULATI:

n = 10^-6 m²/s ( viscosità cinematica dell'acqua )

r = 1000 Kg/m³ ( densità dell'acqua )

Altezza h dello zampillo.

Consideriamo le superfici determinate dal pelo dell’aqua nella fontana e dal ugello di uscita. l’equazione di Bernoulli :

. Entrambe le velocità sono incognite quindi mi servirà un sistema di due equazioni e la prima è proprio quella di Bernoulli. La seconda si ottiene facilmente eguagliando le portate prima e dopo l’ugello per cui si ha W₂ = 4W₁.

Cominciamo con il calcolare . La L_eq della strozzatura dell’ugello vale 0.7 m e quindi 33.75× x × W₁².

Il lavoro della pompa vale 100 J/Kg

L’equazione di Bernoulli diventa allora:

e quindi .

Per calcolare x mi serve però il numero do Re che dipende a sua volta da W₁. Il problema si risolve attraverso il metodo ricorsivo.

Prendiamo come velocità di prova quella che l’acqua avrebbe se fosse x = 0.

W₁ = 3.27 m/s.

130800 turbolento

x = 0.016 dal diagramma di Moody

W^*=3.16 m/s

Re = 126475 turbolento

x = 0.0159

W^**=3.16 m/s che consideriamo il valore risolutivo. Allora W₂ = 12.64 m/s.

L’altezza h vale: 8.14 m.

Calcolare la velocità di uscita dell'acqua dal serbatoio in figura e la sua portata in massa.

H = 5 m

D = 0.15 m diametro del tubo di scarico

Angolo del tubo = 45°

e = 0.5 mm tubo di calcestruzzo

DATI TABULATI:

b = 5.5 della valvola e dell'imbocco

n = 10^-6 m²/s ( viscosità cinematica dell'acqua )

r = 1000 Kg/m³ ( densità dell'acqua )

Velocità di uscita dell'acqua e portata in massa.

La lunghezza del tubo è L = 7.071. Consideriamo nulle la velocità del pelo libero e la variazione di pressione ambientale fra il pelo e lo sbocco. Anche il lavoro compiuto sul sistema è nullo e perciò l'equazione di Bernoulli si riduce a:

.

R = R_c+R_d =W² ( 2.75 + 23.57x ). Mettendo questo nella formula si ottiene:

. Per calcolare x valutiamo . A partire da un valore iniziale di 9.9 m/s procediamo per ricorsione:

Re = 1485000 turbolento

scabrezza relativa = 0.0034

x = 0.028

W^*=3.54 m/s

Re = 531281 turbolento

x = 0.028

W^**=3.54 m/s che consideriamo il valore risolutivo.

La portata in massa è 6.34 Kg/s

Determinare la portata in massa d'acqua della sorbona.

L = 10 m

D = 0.5 m ( diametro del tubo )

e = 0.05 mm

DATI TABULATI:

n = 10^-6 m²/s ( viscosità cinematica dell'acqua )

r _acqua = 1000 Kg/m³ ( densità dell'acqua )

r _aria = 1.03 Kg/m³ ( densità dell'aria a 20 °C )

Portata in massa d’acqua.

Prima di tutto è importante capire secondo quale principio fisico funziona la sorbona: l’aria immessa dalla base sotto forma di piccole bollicine e l’acqua all’interno del tubo vengono considerate un unico fluido di densità inferiore a quello della sola acqua. Spinto dalla differenza di pressione il fluido misto sale verso la superficie.

Questo tipo di pompa viene utilizzato per esempio in mare per aspirare acqua quando la presenza di agenti in sospensione o di sabbia potrebbe interferire con il funzionamento di pompe meccaniche convenzionali.

Il problema principale nel formalizzare il meccanismo prima descritto è che salendo l’aria si espande per cui la densità del fluido diminuisce. Per i nostri calcoli impostiamo perciò due metodi risolutivi: nel primo, non considerando questa variazione di desità, troveremo una soluzione che a rigore sarà valida solo un un tratto infinitesimo all’inizio della sorbona. Successivamente useremo il risultato trovato come punto di partenza per un calcolo che comprenda la variazione di densità.

Un’approssimazione comune ai due metodi sarà di non tenere conto del differenziale di velocità fra acqua e aria: si ammetterà quindi che il fluido si comporti come se fosse omogeneo. Inoltre i calcoli funzionano bene finchè non intervengono termini di perdite di carico dovuti a turbolenze per la presenza di troppa aria rispetto all’acqua nel tubo. Il fluido misto è quindi quasi completamente acqua.

Primo metodo:

Impostiamo l’equazione di Bernoulli tenendo conto che, se non consideriamo l’espansione dell’aria, il fluido si mouve con la stessa velocità per tutta la sorbona. Inoltre la differenza di pressione fra le imboccature è data dalla legge di Stevino:

D P = r _acqua× g× h

L’equazione di Bernoulli viene:

dove .

Prima di tutto dove 0.001 m³/s, e per la stessa equazione è nota . Per cui r _fluido rimane funzione solo di , a sua volta funzione della velocità di salita:

Come al solito per calcolare x abbiamo bisogno del numero di Reynolds . Per poter procedere al calcolo per ricorsione impostiamo primi calcoli e mettiamo insieme le equazioni di cui disponiamo (e /D = 0.0001):

Scegliamo una prima velocità di tentativo di 0.7 m/s (ragionevole). Iterando si ottiene un risultato di W = 0.82 m/s e una densità del fluido r _fluido= 998.47 Kg/m³ ovvero come se il fluido fosse quasi tutta acqua, come previsto. Questo comporta una portata in massa di fluido pari a r _fluidoWS = 642,715 Kg/s che sono certo una grande quantità, anche se bisogna considerare che il tubo ha diametro di 50 cm. Questa è anche con buona approssimazione la portata in massa d’acqua perchè l’aria contribuisce solo per 0.0013 Kg/s sui più di 600.

Secondo metodo:

Consideriamo ora la variazione di desità del fluido. Impostare completamente il problema comporterebbe risolvere equazioni differenziali non facili quindi ci limiteremo a valutare un densità media e una velocità media di salita. Anche la velocità di salita del fluido infatti varia perchè l’aria espandendosi sale più velocemente. L’equazione di Bernoulli diventa:

. I termini fra parentesi angolari sono valori medi sulla variazione lungo tutta la sorbona. Cerchiamo di rendere tutto funzione della W₂, in modo da poter poi procedere con il metodo ricorsivo.

Prendiamo come valore di W₁ quello calcolato prima: 0.82 m/s e lo stesso vale per r _{fluido, iniziale} = 998.47 Kg/m³. Si ha comunque:

Per calcolare r _{fluido, finale} consideriamo che vale dove questa volta cambia, per esempio linearmente al variare della pressione (isotermicamente): . Se la sorbona è alta 10 m il rapporto fra le pressioni vale 2 dato che la pressione atmosferica è di circa 1 atm e ogni 10 m la pressione dell’acqua aumenta di 1 atm. A 10 m di profondità vi sono quindi 2 atm di pressione. Il valore di è fissado dai dati e non varia. Diversamente e dipendono dalla velocità di salita dell’acqua: . Per calcolare i valori finali saranno tutte funzioni di W₂.

Anche < R > va calcolata in base alla < W >, anche se ricordando che , si riesce a renderla funzione solo di W₂ ( W₁ = 0.82 m/s ). Stesso ragionamento anche per il numero di Reynolds: . Le equazioni che abbiamo a disposizione sono ora tutte funzioni di W_2:

e /D = 0.0001

Scegliamo come W₂ di prova proprio il valore di W₁ = 0.82 m/s. Iterando si ottiene il valore ragionevole di W₂ = 0.945 m/s per una < r > = 997.88 kg/m³. La < W > cercata è allora 0.8825 m/s da cui la portata in massa di fluido (che è circa quella dell’acqua) di 691,29 kg/s. Come ci si aspettava viene leggermente superiore.