Autore : Azzali Andrea

Gli scambiatori di calore sono sistemi aperti che vengono utilizzati per scambiare calore fra due fluidi a diversa temperatura. Lo scambio termico tra i due fluidi avviene solitamente attraverso una parete metallica che separa gli stessi.

Figura 1 Schematizzazione di uno scambiatore tubo in tubo

Ad esempio il fluido A e il fluido B raffigurati schematicamente in figura non vengono a contatto e quindi non si mescolano. Questo tipo di scambio avviene fra aria ed acqua nei radiatori dei motori a scoppio oppure nel processo di pastorizzazione del latte in cui latte e vapore sono tenuti strettamente isolati per motivi igienici e per motivi di contaminazione del prodotto stesso. Esistono anche scambiatori a contatto i quali vengono usati più raramente di cui non verrà fatta alcuna trattazione. Le modalità di scambio del calore in questi dispositivi sono due :

• CONVEZIONE in ciascun fluido ;
• CONDUZIONE attraverso la parete ;

Figure 2-3. Sezioni longitudinale e normale di uno scambiatore tubo in tubo.

I tipi di scambiatori più in uso sono :

1. TUBO IN TUBO : sono costituii da 2 tubi concentrici in cui passano due liquidi a temperature diverse. La loro superficie è costituita rispettivamente per il tubo più interno da una parete di metallo termoconvettore mentre per quello più esterno da un materiale termoisolante. Ne vediamo una sezione ortogonale in figura (3) in cui i due strati sono evidenziati in colore diverso. Questo tipo di meccanismo è molto usato nell'industria alimentare in quanto il tubo interno si mantiene intatto dalle incrostazioni ottenendo così un ottimo livello di igiene. L'assenza delle stesse è dovuta al fatto che il tubo è molto accessibile e facilmente lavabile, in quanto costituito da acciaio INOX. I due fluidi usati in questo procedimento vengono classificati in: fluido di servizio il quale apporta calore dal tubo più esterno e che di solito è costituito da acqua ; fluido servito che subisce l’apporto di calore. Gli scambiatori tubo in tubo si suddividono ulteriormente in scambiatori in :

• EQUICORRENTE quando i due fluidi hanno stesso verso di scorrimento. Mi fornisce un riscaldamento minore, rispetto al secondo qui sotto citato, ma più veloce e quindi è privilegiato in processi che richiedono rapidità quali la pastorizzazione del latte. Questo però offre a parità di superficie di scambio una potenza minore rispetto al
• CONTROCORRENTE che si ha quando i due liquidi hanno verso opposto .

Questo viene evidenziato nei due grafici appresso.

Figura 4. Grafico T(x) dello scaldatore in equicorrente.

Figura 5. Grafico T(x) dello scaldatore in controcorrente.

Dai grafici messi a confronto emerge subito che :

• negli scambiatori in equicorrente vi possono essere zone in cui il liquido di servizio si trova a una temperatura inferiore del liquido servito che scorre nel tubo più interno. Inoltre la differenza di temperatura D T(x) all’inizio del contatto ovvero D T(0) è molto elevata quindi il riscaldamento del liquido interno risulta più veloce, ciò però va a discapito di un rendimento elevato. Entrano infatti in gioco elevate variazioni di entropia e quindi notevole lavoro disperso.
• Negli scambiatori in controcorrente la differenza di temperatura è ovunque costante e non elevata ovvero l’entropia del sistema varia poco. Per questo il rendimento di questo tipo di meccanismo è più elevato ma meno rapido.

Consideriamo ora il caso in equicorrente cercando di ottenere una espressione del calore scambiato del tipo :

  (1)

Mi si pone il problema di determinare quale variazione di temperatura devo considerare : D T₁ , D T ₂ , D T _medio ?

Supponiamo di essere a pressione costante in quanto i liquidi sono in prima approssimazione incomprimibli. Dal primo principio della Energia ho :

    (2)

  (3) 

  (4)

A regime la quantità termica scambiata è nulla perché il calore scambiato dai due liquidi è uguale in modulo ma di segno opposto. Quindi a regime ottengo

  ( A REGIME ) (5)

Ora considero la sezione dx come illustrata in figura 1-2. Lungo questo tratto infinitesimo ho uno scambio di calore anch’esso infinitesimo dQi . Sviluppiamo le nostre considerazioni in primo luogo sulla superficie interna del tubo interno in cui ho scambio termico per convezione. Sappiamo che :

  (6)

e per la superficie interna:

  (7)

Ottengo :

  (8)

Ma la variazione di calore fra questi due punti mi da una variazione infinitesima della temperatura dei fluidi che ricavo dalla formula della capacita calorica :

(9)

  (10)

Ora eseguo la differenza dei due termini dT_A e dT_B e ottengo :

 In questa equazione andiamo a sostituire dQi con il valore ricavato nella formula (8) ottenendo come risultato una equazione differenziale di prim’ordine a variabili separate:

(11)

Cerco una soluzione generale al problema di Cauchy integrando l’equazione trovata :

  (12)

Ottengo la soluzione :

  (13)

Gli scambiatori tubo in tubo lavorano in regime di scambio di convezione forzata e quindi sappiamo che il coefficiente di scambio K _i è debolmente dipendente dalla temperatura. Cerchiamo allora di raggiungere una espressione esplicita di DT _{m e d i o} . Dal sistema delle due equazioni trovate ricaviamo la nostra incognita .Sappiamo che:

  (14)

Andando a sostituire nella formula (13) ottengo :

  (15)

Ma dalle equazioni (2) e (3) ricavo che:

(16)

Dalla risoluzione di questo sistema lineare ottengo l’espressione cercata di DT _medio  il quale per la sua forma particolare viene detto DT _{m e d i o}  LOGARITMICO :

(17)

Questa espressione del DT _{m e d i o}  può essere utilizzata sia per gli scambiatori che lavorano in equicorrente sia per quelli che lavorano in controcorrente in quanto durante i calcoli non ho fatto alcuna ipotesi se non quella iniziale di essere a pressione costante. Quindi considerando i moduli delle temperature posso cambiare lo stato A in B e viceversa (A Þ B ) . Consideriamo ora alcuni esempi in cui si usano fluidi particolari.

ARIA CALDA. Ipotizziamo che i liquidi in questione siano entrambi aria calda ovvero che entrambe abbiano pari calore specifico a pressione costante. Ovvero :

Supponiamo ora che la portata del fluido A che chiamiamo M_A sia doppia rispetto alla portata di B, M_B restando però a sezione costante.

Il mio DT _{m e d i o} risulta diverso nei due casi di equicorrente e controcorrente determinando un calore scambiato fra i due fluidi differente :

1. EQUICORRENTE





Figura 6. Diagramma T(x) in un caso particolare di scambiatore in equicorrente.

2. CONTROCORRENTE

Finora abbiamo considerato unicamente lo scambiatore tubo in tubo che rappresenta il tipo più semplice in quanto la separazione fra i due liquidi è netta ed inoltre questi si muovono unicamente lungo l’asse delle x .Esistono però anche altri tipi di scambiatori in cui il liquido di servizio e quello servito si incrociano muovendosi in uno spazio tridimensionale.

1. SCAMBIATORI A DOPPIO PASSO (Nel mantello) : è una sorta di incrocio fra scambiatori in equicorrente e in controcorrente. Il fluido di servizio è sempre quello che risiede nella camicia esterna in quanto provoca depositi e incrostazioni.

 



Figura 8. Scambiatore a doppio passo nel mantello.

In questo tipo di scambiatore si unisce la maggiore velocità di riscaldamento dell’uno e la maggiore potenza dell’altro. I calcoli su questo tipo di scambiatore sono più complicati in quanto i due liquidi non scorrono unicamente lungo l’asse delle x ma vengono a essere fra di loro ortogonali. Vi sono altri tipi di scambiatori che lavorano a contatto o meno quali SCAMBIATORI A PASSO MISTO o A PIASTRE CORRUGATE ma di questi non verrà fatta alcuna trattazione.

2. SCAMBIATORI A CORRENTI INCROCIATE : questo tipo di scambiatore si presenta in due versioni principalmente le quali si differenziano per il fatto di avere una il liquidi nel mantello mescolato, l’altra entrambe i liquidi non mescolati ( del tipo presentato in figura (9) ).

 N . B : Per scambiatori più complessi di quelli tubo in tubo come gli ultimi due esempi presentati entrano in gioco nella convezione forzata elementi non più costanti e quindi devo introdurre un coefficiente correttivo il quale mi tenga conto di questi fattori distorcenti. Questo coefficiente utilizzato per dimensionare il DT _{m e d i o} a seconda del tipo di scambiatore viene indicato con F ed si trova diagrammato su tabulati del tipo raffigurato in figura 10 . Per ottenere l’effettiva differenza media di temperatura nei vari tipi di processi si utilizza la seguente formula :

(18)

Figura 10. Grafico del fattore di penalizzazione F.

Sull’ascissa di questi grafici è riportato il valore adimensionale P il quale rappresenta l’efficacia del riscaldamento o del raffreddamento e può variare fra zero, nel caso che uno dei due fluidi sia a temperatura costante, a uno. Mentre il parametro Z , anch’esso adimensionale, che caratterizza le diverse curve è il rapporto fra le capacità termiche dei fluidi moltiplicate per la portata del fluido.

(19)

(20)

Dal grafico riportato si nota subito che :

• se Z è grande mi basta un P piccolo per far crollare il rendimento dello scambiatore.
• Se invece ho uno Z piccolo mi occorre un P grande per ottenere lo stesso risultato.

ESERCIZI SUGLI SCAMBIATORI.

Esercizio 1. In un camino di altezza pari a 5m i fumi entrano a 260 °C ed escono a 253 °C. La temperatura dell’aria esterna con cui il camino scambia calore è di 0 °C. Calcolare il ? T _{m e d i o LOGARITMICO}  .

Figura 11. Camino di Esercizio1

Si supponga ora che la portata dei fumi sia 1/10 di quella considerata. Se la quantità di calore scambiata è la stessa avrò che il raffreddamento dei fumi sarà maggiore e è quindi il salto di temperatura DT ₂ fra aria e fumi all’uscita più grande. Supponiamo ad esempio che la temperatura dei fumi all’uscita sia di 190 °C.

Allora il D T _{m e d i o LOGARITMICO}  diventa:

Mentre il valore medio lineare diventa :

Fra i due valori vi è uno scarto minimo e questo è giustificato dal fatto che uno dei due liquidi ,in questo caso l’aria esterna, che scambia calore è a temperatura costante e quindi approssima molto il DT _{m e d i o LOGARITMICO}  al valore lineare.

Esercizio 2. In uno scambiatore tubo in tubo scorrono rispettivamente, nel tubo interno azoto mentre nella camicia esterna acqua con una portata M_H2O = 5000 Kg / h. La temperatura dell’acqua in ingresso è 20 °C. Trovare :

• La temperatura dell’acqua in uscita sapendo che la pressione dell’azoto è costantemente 2 Bar.
• Calcolare la lunghezza del tubo in equicorrente e in controcorrente.

Figura 12. Scambiatore tubo in tubo

Indico con D_i il diametro interno del tubo interno pari a 101mm e con D_e il diametro esterno del tubo interno pari a 108mm.Inoltre indico con D₂ il diametro del tubo esterno pari a 125mm e di cui ignoro il materiale costituente in quanto non ho scambi con l’esterno.

Figura 13. Sezione normale di uno scambiatore tubo in tubo

Riassumendo i dati in mostro possesso :

SOLUZIONE : ricaviamo la temperatura di uscita dell’acqua dal bilancio dell’energia. Ricaviamo il calore scambiato dall’azoto ricordando che siamo a pressione costante.

Questo è lo stesso calore scambiato dall’acqua in quanto questa è termicamente isolata dall’esterno. Otteniamo :

Devo applicare la terza relazione dell’energia  Q = K · S · D T _{m e d i o LOGARITMICO}   prima in equicorrente poi in controcorrente :

Ora dobbiamo cercare il coefficiente di scambio K per ottenere il calore scambiato nello scambiatore. Per far questo ricorriamo alle resistenze termiche :

(20)

Dal numero di Reynolds si deduce che il regime dell’azoto, che si trova nel tubo interno in uno stato di convezione forzata, è turbolento. Infatti sappiamo che il valore critico di Reynolds che mi indica il passaggio dal regime laminare a quello turbolento è R_e @ 2300. Quindi per ricavare il nostro coefficiente di convezione interna h _i dobbiamo ricorrere al numero di Nusselt secondo l'equazione di Dittus-Boelter che ha validità per i fluidi correnti in tubo in regime turbolento.

Ora devo calcolare il coefficiente di convezione per l’acqua che sappiamo scorrere nella camicia esterna tenendo conto nei calcoli di Reynold, della velocità, ecc.. che essa assume una forma di corona circolare e quindi dovremo calcolare il diametro equivalente.

Si noti come la velocità dell’acqua sia molto inferiore a quella dell’azoto e ciò dovuto soprattutto a una maggiore densità del primo rispetto al secondo. Ora per trovare Reynolds devo calcolarmi il diametro idraulico equivalente D_eq della corona circolare in quanto questa ha una geometria complessa:

ove p è il perimetro bagnato dall'acqua. Ora posso calcolare Reynolds :

Il numero di Reynolds mi indica che non posso applicare, per trovare Nusselt, Dittus-Boelter, come riportato nella tabella qui sotto, in quanto ha validità da un numero di Reynolds pari a 10000 in su. Uso allora la formula di Böhm che vale fra 2500 e 10000.Applicando dunque la formula di Böhm ottengo il valore di Nusselt adeguato per ricavare il coefficiente di convezione h _e lato acqua :

Allora ricavo il mio coefficiente di scambio visto nella formula (20) inserendo i valori trovati.  

Considero unicamente la resistenza di convezione interna in quanto le resistenze termiche dell’acciaio sono trascurabili. Posso allora finalmente ricavare la lunghezza L del tubo nei casi di equicorrente e controcorrente che è quanto richiesto dal problema.