In questa lezione sono stati presentati alcuni esercizi applicativi del concetto di grado igrometrico e di titolo nelle miscele composte da aria e vapore acqueo.
Di seguito vengono proposti alcuni richiami
teorici per facilitare lo svolgimento degli esercizi.
Ricordiamo che il concetto di umidità dell’aria è analogo a quello di grado igrometrico che è possibile ricavare dalla relazione:
; (1)
segue la
definizione di titolo:
; (2)
nei seguenti esercizi viene frequentemente
utilizzata la relazione che lega l’entalpia specifica J al
titolo:
(3)
dove:
calore specifico dell’aria a pressione
costante
calore specifico dell’aria a pressione
costante
calore latente di vaporizzazione
Come ausilio pratico è riportata
una tabella contenente varie proprietà dell’aria umida satura (100% di umidità)
alla pressione atmosferica standard (tabella A).
- Esercizio 1 -
Nel primo esercizio si
vuole determinare la quantità di calore da sottrarre a una massa
M = 10kg di aria umida con grado j = 0,7 alla pressione atmosferica P = 760mmHg = 1 bar, per portarla
da una temperatura T1 =
30°C a una T2 =
10°C.
Il sistema è chiuso per cui il calore scambiato è pari alla sola differenza di entalpia; il grado igrometrico viene portato da 0,7 a 1, la temperatura della massa d’aria sale fino a quella di rugiada (tratto 1 - 2) e saturandosi, la successiva sottrazione d'energia causa sia l'ulteriore diminuzione della temperatura dell'aria, sia la condensazione del vapore e la conseguente deumidificazione (2 - 3). Lo schema riassuntivo dei passaggi subiti dall’aria è riportato in questo grafico:
Ci apprestiamo dunque a calcolare la differenza tra l’entalpia nel punto 3 e l’entalpia del punto 1:
(4)
da cui, considerando la sola massa d’aria secca
(5)
Per prima cosa occorre calcolare il titolo nei
punti 1 e 3 dopo aver cercato Psat
sulla tabella dei valori specifici dell’aria umida satura (vedi tabella A).
Le entalpie
specifiche:
Per ricavare Ma è sufficiente ragionare su questa relazione ovvia:
E infine ricaviamo il Q cercato dai
risultati precedenti applicati alla (5):
Il valore negativo di Q è da conferma ai
risultati, essendo un calore ceduto.
- Esercizio 2 -
Fig.2 - Schema di
funzionamento di un condizionatore d’aria.
Un condizionatore d’aria ha la funzione di rinfrescare e deumidificare l’aria che vi entra. Il funzionamento è relativamente semplice:
per prima cosa sottrae calore all’aria immessa fino a farle raggiungere la temperatura di rugiada, poi raccoglie l’acqua che si è formata per condensazione e infine innalza la temperatura del flusso secco uscente poiché la seconda fase tende a raffreddarlo eccessivamente.
Il suo insieme può essere suddiviso in quattro maggiori blocchi componenti:
·
per facilitare
l’ingresso del flusso d’aria si utilizza una ventola che introduce una
quantità di energia su unità di tempo identificata dalla potenza P;
·
affinché l’aria
subisca una diminuzione di temperatura la si lascia passare attraverso una serpentina
refrigerante (come ad es. il condensatore di una macchina frigorifera) che
sottrae una quantità di calore pari al valore Q1;
·
particolari alette
di raccoglimento incanalano l’acqua condensata in una vaschetta collegata
ad un tubicino da cui può essere riutilizzata come acqua distillata;
·
una batteria
riscaldante cede un valore Q2 di calore al flusso d’aria prima di lasciarlo
uscire dal condizionatore.
Un ambiente ha volume pari a V = 470. Si vuole determinare i calori per unità di tempo e scambiati da un
condizionatore per portare l’aria da t1 = 32°C a t2 = 20°C, noti j 1 = 0,5, j 2 = 0,5, la potenza della ventola P =
0,45kW e la portata in volume del condizionatore .
I ragionamenti per unità di tempo sono del tutto
analoghi al caso ideale assumendo un tempo unitario = 1s. Deduciamo dal
funzionamento del condizionatore sul grafico in fig.3 i quattro passaggi cui
l’aria è sottoposta:
Le curve in tratteggio rappresentano tre diversi valori di j. Il secondo tratto della caratteristica percorre
parte del diagramma psicrometrico a j
costante (= 1). Il valore è estrapolato dallo stesso diagramma intersecando la curva j = 0,5 con la verticale t = 20°C, scorrendo
orizzontalmente verso la curva j = 1 e leggendo il corrispondente valore di t pari
a 10°C. Le approssimazioni sono trascurabili.
Lungo il primo tratto (1 – 1a) l’aria viene raffreddata e j sale a 1 mantenendo il titolo costante dopodiché
(1a - 1b) parte del vapore condensa e la temperatura raggiunge il valore (il titolo
diminuisce) e infine (1b – 2), riscaldandosi, j raggiunge il 50% e la temperatura sale al valore desiderato (il titolo è
ancora costante). Calcoliamo subito i titoli significativi:
Ricaviamola portata in massa di aria secca e di
acqua prodotta dalla condensazione; dal bilancio della pressione :
ricaviamo PA
e dall’equazione di
Dalton, assumendo l’aria secca come gas perfetto
otteniamo:
si noti che la massa d’ aria secca in ingresso è
pari a quella in uscita
Dal bilancio entalpico ricaviamo :
(7)
hL è l’entalpia specifica dell’acqua liquida
considerata alla temperatura t1b, ricavata mediante il diagramma psicrometrico
(vedi fig. 3) equivalente a circa 10°C.
Non rimane che
calcolare le entalpie specifiche:
Ora siamo in grado di ricavare dalla (7), questa volta passando all’unità di
tempo in secondi:
altri non è che la differenza di entalpia tra
il punto 2 e 1b:
Dimensionalmente ritroviamo una potenza dal
rapporto tra un calore (lavoro) e un tempo. è ovviamente negativo poiché rappresenta un’energia uscente
dal sistema. Il lavoro idraulico della ventola tende a modificare la pressione
del flusso d’aria ma le variazioni in questione sono del tutto trascurabili.
- Esercizio 3 -
Miscelatore
semplice
Sono note le seguenti caratteristiche di 1 e 2:
si vuole determinare la temperatura e il grado igrometrico del flusso 3.
Per prima cosa bilanciamo l’aria secca:
poi, per il bilancio delle entalpie ci occorre conoscere il titolo :
ma per risolverla occorrono anche i titoli e :
e dunque
.
Non rimane che calcolare temperatura e grado
igrometrico bilanciando le entalpie:
ma sappiamo che quest’ultima entalpia è ricavabile anche con l’equazione
(3) e invertendo, calcoliamo :
analogamente, invertendo la (2), otteniamo :
.
-
Esercizio 4 -
Un miscelatore presenta due flussi di aria in ingresso, rispettivamente di
portata , . Se sono noti anche i titoli e , quanta acqua deve essere introdotta se si vuole ottenere un
unico flusso miscelato, avente titolo ?
Questo miscelatore si comporta inversamente al condizionatore: anziché sottrarre acqua dall’aria umida, attraverso dei nebulizzatori introduce umidità nel flusso d’aria uscente.
In questo esercizio si richiede la quantità
d’acqua che ad ogni ora viene consumata per obbedire alle specifiche.
Si procederà per prima cosa al calcolo dell’aria
secca bilanciando la massa entrante:
e
e otteniamo:
.
Calcoliamo ora la massa di acqua nebulizzata
bilanciando il vapore:
Valori di alcune proprietà per aria
umida satura alla pressione atmosferica standard.
t[°C] |
p[kPa] |
w[kgv/kg a] |
v[m3/kg
a] |
h[kJ/kg a] |
t[°C] |
p[kPa] |
w[kgv/kg a] |
v[m3/kg
a] |
h[kJ/kg a] |
|
|
|
|
|
10 |
1,2272 |
0,007625 |
0,8120 |
29,25 |
-30 |
0,0380 |
0,000233 |
0,6891 |
-29,58 |
11 |
1,3119 |
0,008159 |
0,8156 |
31,62 |
-29 |
0,0422 |
0,000259 |
0,6920 |
-28,51 |
12 |
1,4017 |
0,008725 |
0,8192 |
34,07 |
-28 |
0,0467 |
0,000287 |
0,6949 |
-27,44 |
13 |
1,4969 |
0,009327 |
0,8229 |
36,61 |
-27 |
0,0517 |
0,000318 |
0,6977 |
-26,36 |
14 |
1,5978 |
0,009965 |
0,8266 |
39,24 |
-26 |
0,0572 |
0,000352 |
0,7006 |
-25,27 |
15 |
1,7045 |
0,010642 |
0,8303 |
41,97 |
-25 |
0,0633 |
0,000389 |
0,7035 |
-24,17 |
16 |
1,8175 |
0,011360 |
0,8342 |
44,81 |
-24 |
0,0699 |
0,000429 |
0,7064 |
-23,06 |
17 |
1,9370 |
0,012122 |
0,8381 |
47,77 |
-23 |
0,0772 |
0,000474 |
0,7093 |
-21,95 |
18 |
2,0633 |
0,012929 |
0,8420 |
50,84 |
-22 |
0,0851 |
0,000523 |
0,7121 |
-20,82 |
19 |
2,1968 |
0,013784 |
0,8460 |
54,03 |
-21 |
0,0938 |
0,000576 |
0,7150 |
-19,69 |
20 |
2,3378 |
0,014689 |
0,8502 |
57,36 |
-20 |
0,1033 |
0,000635 |
0,7179 |
-18,54 |
21 |
2,4866 |
0,015648 |
0,8543 |
60,83 |
-19 |
0,1136 |
0,000698 |
0,7209 |
-17,37 |
22 |
2,6437 |
0,016663 |
0,8586 |
64,44 |
-18 |
0,1249 |
0,000768 |
0,7238 |
-16,20 |
23 |
2,8093 |
0,017737 |
0,8630 |
68,20 |
-17 |
0,1372 |
0,000844 |
0,7267 |
-15,00 |
24 |
2,9840 |
0,018873 |
0,8674 |
72,13 |
-16 |
0,1507 |
0,000926 |
0,7296 |
-13,79 |
25 |
3,1681 |
0,020075 |
0,8720 |
76,23 |
-15 |
0,1653 |
0,001016 |
0,7326 |
-12,56 |
26 |
3,3620 |
0,021346 |
0,8766 |
80,51 |
-14 |
0,1812 |
0,001114 |
0,7355 |
-11,31 |
27 |
3,5661 |
0,022689 |
0,8814 |
84,97 |
-13 |
0,1985 |
0,001221 |
0,7385 |
-10,04 |
28 |
3,7810 |
0,024109 |
0,8863 |
89,64 |
-12 |
0,2173 |
0,001337 |
0,7415 |
-8,75 |
29 |
4,0070 |
0,025610 |
0,8913 |
94,52 |
-11 |
0,2377 |
0,001463 |
0,7445 |
-7,43 |
30 |
4,2447 |
0,027196 |
0,8964 |
99,63 |
-10 |
0,2599 |
0,001600 |
0,7475 |
-6,08 |
31 |
4,4946 |
0,028871 |
0,9017 |
104,96 |
-9 |
0,2839 |
0,001748 |
0,7505 |
-4,70 |
32 |
4,7572 |
0,030640 |
0,9071 |
110,55 |
-8 |
0,3100 |
0,001909 |
0,7535 |
-3,29 |
33 |
5,0329 |
0,032509 |
0,9127 |
116,39 |
-7 |
0,3382 |
0,002083 |
0,7566 |
-1,85 |
34 |
5,3224 |
0,034483 |
0,9184 |
122,51 |
-6 |
0,3687 |
0,002272 |
0,7596 |
-0,37 |
35 |
5,6263 |
0,036567 |
0,9244 |
128,92 |
_5 |
0,4018 |
0,002476 |
0,7627 |
1,14 |
36 |
5,9450 |
0,038768 |
0,9305 |
135,64 |
-4 |
0,4375 |
0,002697 |
0,7658 |
2,70 |
37 |
6,2793 |
0,041092 |
0,9368 |
142,68 |
-3 |
0,4761 |
0,002936 |
0,7690 |
4,31 |
38 |
6,6297 |
0,043546 |
0,9433 |
150,06 |
-2 |
0,5177 |
0,003194 |
0,7722 |
5,97 |
39 |
6,9969 |
0,046136 |
0,9500 |
157,81 |
-1 |
0,5627 |
0,003473 |
0,7753 |
7,67 |
40 |
7,3815 |
0,048871 |
0,9569 |
165,93 |
0 |
0,6107 |
0,003771 |
0,7786 |
9,43 |
41 |
7,7842 |
0,051760 |
0,9641 |
174,46 |
1 |
0,6565 |
0,004056 |
0,7818 |
11,15 |
42 |
8,2057 |
0,054809 |
0,9715 |
183,42 |
2 |
0,7054 |
0,004360 |
0,7850 |
12,93 |
43 |
8,6468 |
0,058030 |
0,9793 |
192,82 |
3 |
0,7574 |
0,004684 |
0,7883 |
14,75 |
44 |
9,1081 |
0,061432 |
0,9873 |
202,71 |
4 |
0,8128 |
0,005030 |
0,7916 |
16,63 |
45 |
9,5905 |
0,065026 |
0,9956 |
213,10 |
5 |
0,8718 |
0,005398 |
0,7949 |
18,57 |
46 |
10,0947 |
0,068823 |
1,0042 |
224,04 |
6 |
0,9345 |
0,005790 |
0,7982 |
20,57 |
47 |
10,6215 |
0,072835 |
1,0132 |
235,54 |
7 |
1,0012 |
0,006207 |
0,8016 |
22,63 |
48 |
11,1717 |
0,077075 |
1,0226 |
247,64 |
8 |
1,0721 |
0,006651 |
0,8051 |
24,77 |
49 |
11,7462 |
0,081559 |
1,0324 |
260,40 |
9 |
1,1473 |
0,007123 |
0,8085 |
26,97 |
50 |
12,3459 |
0,086300 |
1,0426 |
273,83 |