Scambio termico per irraggiamento

Introduzione

Questo tipo di scambio termico è, dopo la conduzione e la convezione , il terzo modo attraverso il quale i corpi cedono e ricevono energia dal sistema nel quale si trovano; tale scambio avviene attraverso l’emissione e l’assorbimento di onde elettro-magnetiche e si differenzia dai due precedenti poiché non necessita di un mezzo trasmissivo.

Supponiamo allora di avere un sistema costituito solamente da due corpi , come in fig .1, che siano separati da un mezzo trasparente alla radiazione elettromagnetica (ad esempio il vuoto) e si trovino a due temperature diverse:

Fig.1 Scambio termico per irraggiamento tra due corpi

Il flusso di energia tra questi due corpi è continuo ed in generale è diverso da zero (cioè Fa ¹Fb); anche quando si raggiunge l’equilibrio termodinamico essi continuano comunque ad emettere e assorbire radiazione.

Questo discorso vale anche , nel caso di un corpo concavo, per le varie parti di un corpo stesso:

Fig.2 Scambio termico per irraggiamento in un corpo concavo

In seguito ,per semplicità , faremo sempre riferimento a corpi convessi nei quali questo fenomeno non avviene.

Onde elettro-magnetiche

La propagazione di un’onda elettro-magnetica è descritta completamente dalle equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti che esprimono il legame tra la variazione del vettore campo elettrico E e il vettore induzione magnetica B e viceversa:

(1) (2)

dove i vettori E e D sono ortogonali tra loro e rispetto alla direzione di propagazione, che è rettilinea .Come si può notare dalla presenza delle derivate rispetto al tempo nelle equazioni (1) e (2) , non si può avere propagazione di un’onda elettromagnetica se non si hanno valori del campo E o del campo B fluttuanti nel tempo.Ne consegue che un oggetto fortemente carico,pur producendo un elevato campo elettrico , non è in grado di scambiare calore per irraggiamento.Neanche la presenza simultanea di campo elettrico e magnetico(dovuti ad esempio ad una elettrocalamita) è sufficiente a garantire l’emissione di onde elettromagnetiche.

Fig.3 Propagazione di un’onda elettromagnetica

La condizione che massimizza il valore dell’energia trasportata è che i due vettori siano in fase (come in fig.3).

La lunghezza d’onda e la frequenza sono legate dalla relazione:

(3)

dove l è lunghezza d’onda, f la frequenza e c è la velocità della luce nel mezzo considerato; in particolare nel vuoto essa raggiunge il suo valore massimo

Negli altri mezzi invece tale velocità vale :

(4)

dove n è una costante tipica del mezzo nel quale si propaga l’onda ed è detta indice di rifrazione assoluto del mezzo. Non esistono mezzi nei quali n è minore di uno,cioè la luce nel vuoto si propaga con la massima velocità possibile.

La tabella che segue mostra alcuni indici di rifrazione rispetto al vuoto, per l=589nm (riga gialla del sodio):

Mezzo materiale	Indice	Mezzo materiale	Indice
Aria(c.n di T e p) Acqua(20°C) Fluoruro di sodio Acetone Alcool etilico Soluzione di zucchero(30%) Quarzo fuso Soluzione di zucchero(80%)	1.000029 1.33 1.33 1.36 1.36 1.38 1.46 1.49	Normale vetro crown Cloruro di sodio Polistirene Bisolfuro di carbonio Vetro flint denso Zaffiro Il più denso vetro flint Diamante	1.52 1.54 1.55 1.63 1.65 1.77 1.89 2.42

Fig.4 Alcuni indici di rifrazione rispetto al vuoto per l=589nm.

Le onde elettromagnetiche vengono poi suddivise e classificate in base alla loro lunghezza d’onda :

Fig.5 Lo spettro elettromagnetico

Come si può osservare la luce visibile è solo una riga sottilissima dell’intero spettro che si estende intorno alla l=550nm.

Considerazioni energetiche

Per quanto riguarda il trasporto di energia da parte di un’onda elettromagnetica ,esso avviene ad ogni lunghezza d’onda.Occorre però fare distinzione tra le varie bande poiché ,a valori “normali” di campo, gli effetti predominanti su un corpo investito dalla radiazione possono essere molto diversi .Il fenomeno che a noi interessa è quello dello scambio termico di energia.

Ad esempio per l’ultravioletto , raggi X, raggi g e radiazione cosmica già a valori modesti di campo si osservano forti effetti ionizzanti che tendono a danneggiare componenti organici pur non provocandone un sensibile riscaldamento.

Per quanto riguarda invece le onde radio, per avere una variazione di temperatura apprezzabile, occorre investire il campione con valori di campo elevatissimi.

Per le onde di Hertz invece (50 Hz<f <1000 Hz) il problema principale è il valore della frequenza che può interagire con alcuni meccanismi biologici che regolano il sistema nervoso;anch’esse però non contribuiscono efficacemente allo scambio termico.

Per tutte queste ragioni ci si occupa degli effetti termici praticamente solo per le microonde , la luce visibile e l’infrarosso.

A questo proposito è perciò opportuno dare alcune definizioni di grandezze che ci aiuteranno a capire quale sia la quantità di energia scambiata da un corpo per irraggiamento.

Spettro di emissione

Fino ad ora abbiamo considerato solamente onde monocromatiche, quella che in acustica chiamiamo toni puri, sinusoidi ad una ben determinata frequenza.

Sono poche le sorgenti di radiazione elettromagnetica che emettono questo tipo di radiazioni, una delle quali è la lampada laser.

Gli altri corpi emettono simultaneamente su un ampio spettro di frequenze, compiendo una cosiddetta emissione in banda larga.Questo accade poiché ogni elemento ha un numero finiti di stati elettronici eccitabili che corrispondono a diverse lunghezze d’onda che possono essere emesse; quando si ha a che fare con un elemento singolo si osservano quindi delle righe isolate mentre più in generale quando si ha a che fare con un corpo composito lo spettro di emissione è solitamente continuo, a banda larga e presenta dei picchi corrispondenti agli elementi che lo costituiscono.

Fig. 6 Spettro di emissione di un corpo generico

Spettro di assorbimento

Supponiamo di avere un materiale semitrasparente sul quale incide una radiazione elettromagnetica “bianca”(cioè con intensità I_i costante a tutte le frequenze); in generale parte di essa verrà trasmessa( I_t) mentre la restante verrà in parte riflessa(I_r), in parte assorbita(I_a).

Fig.7 Comportamento della radiazione elettromagnetica

Se si va a misurare la quantità di energia trasmessa e la si va a disegnare in funzione della lunghezza d’onda si trova lo spettro di assorbimento del materiale.Tale spettro sarà il duale di quello di emissione cioè si troveranno dei minimi in corrispondenza delle lunghezze d’onda alle quali si aveva il massimo di emissione e viceversa.

Siamo di fronte ad un fenomeno simmetrico: l’elettrone che da uno stato eccitato si porta in una condizione di minore energia emette un fotone ad una determinata lunghezza d’onda, ma nel momento in cui sotto l’azione di una luce bianca è eccitato assorbe un fotone alla stessa frequenza, caratteristica della particolare transizione.

Fig.8 Spettro di assorbimento dello stesso materiale di fig.6

Corpo Nero

Qualunque corpo che si trovi ad una temperatura diversa dallo zero assoluto emette una certa quantità di energia che in generale è diversa per corpi diversi.Il corpo nero è definito come quel corpo che è in grado di emettere più energia di qualsiasi altro.

In generale lo spettro di emissione di un materiale ad una certa temperatura in funzione della lunghezza d’onda presenta un andamento curvilineo con diversi massimi e minimi:

Fig. 9 Spettri di emissione di corpi diversi tutti alla stessa temperatura

(ogni linea di diverso colore rappresenta lo spettro di un corpo)

Lo spettro di emissione del corpo nero si ottiene dall’inviluppo di infiniti spettri di corpi diversi poiché nessun corpo ,ad una qualsiasi lunghezza d’onda, può emettere più energia di esso.

Una definizione alternativa di corpo nero (vista la reciprocità tra spettri di emissione e assorbimento) potrebbe anche essere quella di corpo che colpito da una radiazione è in grado di assorbirla completamente.

Anche se sembra solo una astrazione matematica il corpo nero può essere realizzato con buona approssimazione attraverso una cavità di materiale con buona conducibilità termica e pareti interne il più possibile opache alla quale si possa accedere solo attraverso un piccolo foro sulla superficie.

Fig.10 Esempio di corpo nero

Il piccolo foro sulla superficie, dal quale la radiazione entrante non riesce più ad uscire poiché dopo varie riflessioni all’interno della cavità viene assorbita dal materiale, può essere un buon esempio di corpo nero.

Inoltre, facendo riferimento alla fig.7, definendo:

(5) Coefficiente di assorbimento

(6) Coefficiente di riflessione

si può anche contraddistinguere il corpo nero osservando che per esso e solo per esso a=1 e r=0.

I corpi non neri vengono detti colorati poiché emettono(assorbono) in modo differente alle diverse lunghezze d’onda e quindi sono distinguibili per il “colore” maggiormente emesso (assorbito).

Grandezze energetiche caratteristiche

E’ necessario introdurre alcune grandezze specifiche che permettano di quantificare la quantità di energia scambiata da un corpo per irraggiamento.

Detta q la potenza emessa per unità di superficie ( W/m² s)(si può osservare per quanto detto precedentemente che essa è funzione della temperatura), si definisce il potere emissivo monocromatico o specifico q^| come

(7) (W/m³s)

ed esso rappresenta la quantità di energia emessa per un certo intervallo unitario di lunghezza d’onda

Allora sarà

(8)

e q viene detto perciò potere emissivo integrale, in quanto rappresenta la quantità totale di energia emessa su tutto lo spettro.

Leggi del corpo nero

Legge di Stefan-Boltzmann

Questa legge lega tra loro la quantità totale di energia emessa da un corpo nero q₀ alla temperatura, in gradi Kelvin, alla quale esso si trova tramite la semplice relazione:

(9)

dove è detta costante di Stefan-Boltzmann .

Per quanto detto in precedenza, per ogni corpo che non sia nero ,varrà perciò sempre la relazione q<q₀.

Definendo poi emissività monocromatica il rapporto:

(10)

si può notare come per un corpo generico essa sia una quantità variabile al variare della lunghezza d’onda mentre per il corpo nero sia costante e uguale a 1.

Se per un corpo vale che l’emissività monocromatica è costante ma diversa da 1 (può essere soltanto minore) allora esso viene chiamato corpo grigio e vale ancora la legge di Stefan-Boltzmann corretta da tale coefficiente.

(11)

Fig.11 Andamento dell’emissività monocromatica in funzione di l

Corrispondenza tra effetti emissivi e assorbenti

Come è già stato fatto quando si parlava di spettri di emissione e di assorbimento, anche ora si vuole mettere in luce la corrispondenza tra questi due effetti; ciò è possibile tramite il semplice esperimento illustrato qui di seguito:

Fig.12 Corpo inserito in una cavità isoterma

Se inseriamo un corpo in una cavità isoterma possiamo osservare come esso si porti più o meno velocemente alla stessa temperatura della cavità e venga a trovarsi in equilibrio termodinamico con il sistema; questo perciò implica che il corpo a regime emette tanta energia quanta ne assorbe.

Tutto ciò può però accadere solo se

(12) e^|(l)=a^|(l)

dove con a^|(l) =a(l)\a₀(l) si può indicare l’assorbività monocromatica.Se non valesse la (12) nessun corpo raggiungerebbe mai l’equilibrio termodinamico!Quindi spesso si parla solamente di spettri e coefficienti di assorbimento tralasciando volutamente le caratteristiche di emissione che sono comunque già note date le prime.

Legge di Planck

Questa legge afferma che il potere emissivo specifico di un corpo nero è esprimibile nella forma

(13)

dove le due costanti c₁ e c₂ valgono rispettivamente:

Fig.13 Spettri di emissione di un corpo nero ricavati dalla Legge di Plance

Questa espressione si ottiene approssimando il corpo emettitore ad un insieme di oscillatori armonici e sposando la fisica quantistica, che associa ad essi dei livelli energetici discreti.

Legge di Wien

Come si vede dalla fig.13 lo spettro di emissione di un corpo nero presenti un massimo. Questa legge mostra come la lunghezza d’onda alla quale si presenta il massimo diventa sempre più piccola all’aumentare della temperatura. Tale comportamento è descritto dalla seguente relazione detta Legge di Wien:

(14)

Fig.14 Legge di Wien

Tale relazione può essere ricavata derivando la legge di Planck rispetto alla lunghezza d’onda e può essere rappresentata graficamente come illustrato in fig.14.

Il massimo delle curve diventa sempre più marcato e si sposta verso le alte frequenze al crescere delle temperature, cioè dall’infrarosso tende a spostarsi verso il visibile; questo spiega perché i corpi freddi non emettono nulla nel visibile,mentre quando si scaldano diventano luminosi.

Nasce cosi il concetto della temperatura di colore cioè della temperatura alla quale devo portare il corpo nero per emettere uno spettro simile il più possibile a quello del corpo che considero .Tale concetto in gergo fotografico è stato oggetto di fraintendimenti in quanto si dice calda una luce con componenti vicine al rosso (che in realtà sono fredde),mentre si definiscono luci fredde quelle vicino al blu che in realtà sono ben più energetiche.

Attraverso tale parametro posso dare una stima qualitativa della bontà di sistemi di illuminazione , infatti tanto più la temperatura di colore si avvicina a quella della luce solare (5500K ) tanto più l’illuminazione è migliore.Non è comunque detto che due corpi con la stessa temperatura di colore abbiano lo stesso effetto cromatico;per la lampada al neon ad esempio che si avvicina molto ai 5500k è ben nota la scarsa qualità. Tale concetto viene inoltre utilizzato durante la scelta di pellicole fotografiche per ottenere una resa che sia la migliore possibile.

Legge di Prevost

In pratica la legge di Prevost è una conseguenza del primo principio della termodinamica applicato allo scambio termico per irraggiamento; essa afferma che a regime la potenza scambiata da un corpo q_s è uguale alla potenza emessa q_e meno quella ricevuta qr cioè:

(15)

Ricordando poi che la quantità di energia ricevuta è uguale a quella incidente q_i moltiplicata per il coefficiente di assorbimento a si ottiene:

(16)

Legge di Lambert

Questa legge descrive il comportamento angolare dell’emissione del corpo nero e rende conto dell’anisotropia di tale fenomeno. Per descrivere tale fenomeno occorre introdurre il concetto di potere emissivo integrale i definito come la potenza emessa per unità di superficie su un angolo solido dw, cioè

(17) i =dq/dw

dove w è l’elemento infinitesimale di angolo solido e l’unità di misura di i è ianti poiché l’angolo solido si misura in steradianti.

Fig.15 Angolo solido

Con l’aiuto della fig.15 è possibile ricordare la definizione di angolo solido :

w =A\r²

Modificando poi l’equazione (15) e integrando sulla semisfera cioè su 2P steradianti si ottiene:

(18)

Fig.16 Potere emissivo integrale

Il potere emissivo angolare viene convenzionalmente rappresentato in coordinate polari: l’inviluppo delle sue ampiezze è detto solido fotometrico.

Fig. 17 : Esempio di solido fotometrico

In questi diagrammi l’angolo con l’orizzontale rappresenta la direzione di emissione, la distanza della curva dall’origine rappresenta l’ampiezza del potere emissivo angolare. Spesso essi sono simmetrici rispetto all’asse verticale, ma non è la regola.

La legge di Lambert descrive l’andamento di i(q) per il corpo nero dove q è l’angolo indicato in fig.16. e i_m è il massimo di emissione che viene raggiunto in direzione normale alla superficie di emissione; tale legge dice che:

(19)

Il solido fotometrico corrispondente è perciò una circonferenza:

Fig.18 Solido fotometrico del corpo nero

Purtroppo però per gli altri corpi non è possibile ricavare relazioni altrettanto semplici poiché in generale i solidi fotometrici hanno forme molto più complesse.