UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

FACOLTA’ DI  INGEGNERIA

 

 

RAGGIO CRITICO DELL’ISOLANTE E

CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI CONVEZIONE

 

 

 

 

 

 

INDICE:

 

·        RAGGIO CRITICO DELL’ISOLANTE.

·        CONDUTTORE ELETTRICO PERCORSO DA CORRENTE.

·        CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI CONVEZIONE E ANALISI DIMENSIONALE.

 

 

 

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RAGGIO CRITICO DELL’ISOLANTE

 

L’argomento che affrontiamo adesso per primo è il cosidetto raggio critico dell’isolante, ovvero com’è possibile che una guaina messa attorno ad un tubo anzichè ridurre lo scambio termico ne produca un aumento.

Consideriamo il caso di un tubo che contiene ad esempio liquido caldo e che normalmente disperde il calore verso l’esterno.Il calore quindi fa questo cammino :va dall’interno che c’è più caldo(temperatura=Ti) all’esterno in cui c’è una temperatura più bassa Te.

 

 

 

 


 

 

Fig .1 - Sezione del tubo in questione. r1 ed r2 sono rispettivamente il raggio interno ed il raggio esterno.

                                                    

 

Dal punto di vista dello scambio termico questo caso può essere visto come la serie di tre resistenze :una resistenza di convezione interna(Rconv,i), una resistenza di conduzione(Rcond) ,una resistenza di convezione esterna(Rconv,e).(Non ci preoccupiamo troppo del fatto che all’interno di queste parti convettive sia davvero tutta convezione oppure ci sia anche una quota di irraggiamento ; supponiamo così che dentro al nostro tubo ci sia un coefficiente di convezione hi e fuori un coefficiente di convezione he entrambi assegnati).

Le tre resistenze sono in serie perchè il calore dal fluido che scorre dentro viene ceduto alla parete interna del tubo(e quindi in questo punto abbiamo la temperatura di parete interna Tpi), da qui andrà alla parete esterna(in cui vi sarà una temperatura di parete esterna Tpe ovviamente maggiore della temperatura esterna)e poi uscirà andando nell’aria esterna.

Cerchiamo ora di descrivere il fenomeno dello scambio termico andando a valutare la potenza termica dispersa.

 

 

 

 

                  ,dove S è la superficie di scambio e K prende il nome di coefficiente di scambio termico o coefficiente globale di scambio termico in quanto congloba vari fenomeni di scambio termico( conduzione, convezione,irraggiamento).

Il prodotto  definisce una nuova grandezza (CT) che prende il nome di conduttanza termica specifica(perchè riferita all’unità di superficie).Non è un numero puro,e la sua unità di misura è il W/m2K.

 

 

 

Vediamo ora un esempio numerico.( Tubo di plastica).

 

l  =  1 W/mK                                            L = 10 m

r1 =  50 mm                                              Ti = 80 °C

r2 =  80 mm                                              Te = 20°C

hi = 200 W/ m2K

he = 10 W/ m2K

 

E’ da osservare in questi dati come hi ed he abbiano valori molto diversi e ciò perchè il primo rappresenta un fenomeno di convezione forzata mentre il secondo rappresenta un fenomeno di convezione naturale.

 

 

 

 

 

                                                                

Come commento a questo esempio si può osservare che 2000 W per un tubo di 5 mm di diametro non sono pochi, basti pensare che per riscaldare una casa di 4-5 stanze servono 6-10 mila Watt.E’ evidente dunque che c’è troppa dispersione di calore.

Allora quello che si fa è rivestire il tubo con uno strato di isolante(che quindi in pratica lo possiamo pensare come un secondo tubo che avvolge il primo).(E’ però da ricordare che nella realtà si usano tubi di diametro minore rispetto a quanto fatto nell’esempio e quindi la superficie di scambio è minore, ma comunque questo problema della troppa dispersione di calore rimane.)

Questo isolante (che avrà un suo liso) introduce una nuova resistenza termica.E’ ovvio che la cosa è funzionale se si usa un materiale che ha una conducibilità l non elevatissima, in modo da poter sperare di far ridurre lo scambio termico.

 

 

 

             
Fig .2 - Sezione del tubo rivestito con la guaina isolante.

                                                

 

Quindi ora le resistenze termiche in serie sono quattro :due di conduzione(della parete del tubo e dell’isolante) e due di convezione (interna ed esterna).

 

 

 

 

 

 

Fig .3 - Rappresentazione schematica delle quattro resistenze in serie.

 

 

 

Descriviamo ora l’espressione che ci dà la potenza termica.

 

 

 

 

 

 

Proviamo a valutarla numericamente considerando l’esempio fatto in precedenza e supponendo r3 = 100 mm(ciò significa che l’isolante ha uno spessore di solo 1 cm ma comunque dovrebbe dare già qualche risultato) e liso=0,05 W/mK

 

 

 

 

 

 

Allora abbiamo trovato che la potenza termica scambiata è diminuita notevolmente, anche con appena uno spessore di 1 cm.Questo è il concetto base dell’isolamento termico dei tubi.

Quello che può sembrare paradossale è che invece a volte mettendo una guaina isolante intorno al tubo, la potenza termica dispersa anzichè calare , cresce.

Questo è un fatto tipico di quando si usa una guaina molto sottile e contemporaneamente si ha  a che fare con un materiale non così isolante ;ebbene in tale situazione può allora accadere che con la guaina si disperde più calore che senza.

La ragione fisica di questo fenomeno sta  nel fatto che delle quattro resistenze in serie solo le ultime due dipendono dallo spessore della guaina.E mentre la terza resistenza r3 ce l’ha al numeratore, la resistenza di convezione esterna ha r3 al denominatore.

A seconda allora dei valori numerici che ci sono  succede che ad esempio al crescere di r3 può dominare la crescita della terza resistenza (che determina quindi un aumento della resistenza termica totale e quindi una diminuzione della potenza termica scambiata)o il calo della quarta(determinando così una crescita della potenza termica scambiata).

Possiamo vedere ciò che  tipicamente succede in questo grafico.

 

 

                                          

 

 

Fig .4 - Andamento tipico della potenza termica scambiata in funzione del raggio dell’isolante.

                                      

 

All’aumentare del raggio dell’isolante la resistenza termica tipicamente può scendere e poi sale.Esiste quindi un raggio chiamato raggio critico dell’isolante al quale la resistenza termica presenta un minimo e conseguentemente la potenza dissipata presenta un massimo.

Per determinare il valore numerico di tale raggio l’analisi matematica insegna che bisogna fare la derivata della resistenza termica totale rispetto il raggio dell’isolante(r3) ed imporla uguale a zero.

 

 

 

 

 

 

Nell’esempio di prima scopriamo che il raggio critico dell’isolante è minore di r2.

Infatti rcrit= 0,05/10=0,005 m.

Ciò significa dunque che mettendo una guaina isolante attorno al nostro tubo la resistenza termica totale altro non può fare che aumentare e quindi la potenza dispersa può solo diminuire. Infatti siamo nella situazione in cui il tubo è già molto più grosso del raggio critico, e allora con questo tipo di isolante ,qualunque spessore mettiamo, lo scambio termico cala. E’ allora questo il caso in cui possiamo stare tranquilli.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vediamo ora un altro esercizio, in cui vedremo che qui invece la presenza dell’isolante incide in modo diverso.

Consideriamo un conduttore elettrico(un tondino di rame).(E’ un problema di pura convezione).

 

 

 

                                                  

 

 

L = 1 m                          he = 10 W/ i2K

D = 1 mm                       Tamb= 20°C

R = 0,1 ohm/m

i  = 10 A

 

=R i2 =*     

 m2

*

 

Come commento si può osservare che 338°C sono veramente tanti :se lo tocchiamo ci scottiamo, ed inoltre se alle estremità del filo ci sono delle saldature a stagno queste si sciolgono.E’ chiaramente allora una temperatura inaccetabile(è vero che 10 A sono tanti ed è anche vero che il rame usato è balordo, ma comunque la temperatura del filo rimane troppo alta).Dobbiamo allora in un qualche modo raffreddare questo filo.Stabilito che la potenza sarà sempre la stessa(in questo esercizio è imposta ed uguale a 10 W),l’unica cosa che si può cercare di cambiare è la facilità con cui la stessa viene rimossa.

Passiamo allora da questa configurazione ad un’altra in cui attorno al mio conduttore metto una guaina isolante(di gomma) .

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

                                             

 

 

 

Vogliamo allora determinare qual è il raggio ottimale di questa guaina dal punto di vista della dissipazione del calore, cioè il raggio in corrispondenza del quale lo scambio termico è massimo.

(Consideriamo liso=0,1 W/mK).

 

 

 

 

 

 

 

 

Dai conti fatti si è visto quindi che la temperatura del filo è calata e abbiamo scoperto dunque che l’isolante attorno ai fili favorisce il raffreddamento.E’ da osservare che comunque solitamente non si usano guaine così grandi ,ma  ad es. un valore tipico è r3=2mm , a cui competerebbe nell’esempio appena fatto  una Tfilo=190,3 °C, e ciò fa vedere  che comunque la presenza della guaina si fa sentire.

 

Accenno solo al fatto che il problema della dissipazione termica è un problema molto importante.Ad esempio i processori dei computer non vanno più veloci di quello che vnno per problemi di dissipazione del calore.Ciò perchè da un certo punto di vista per farli andare più forte servono dei componenti più piccoli, e il problema della dissipazione del calore diventa sempre più cruciale.

 

 

 

 

 

 

Passiamo ora al secondo argomento della lezione.

 calcolo dei coefficienti di convezione.

 

Alla base della strategia di analisi del problema dello scambio termico per convezione ci sono la  teoria della similitudine e l’utilizzo di tecniche chiamate analisi dimensionale.

Essa è costituita da una serie di analisi di un problema fondate su operazioni coinvolgenti grandezze rappresentative del problema stesso, le quali vengono manipolate in modo da essere rese adimensionali (ossia dei numeri puri).

In tal modo un’equazione scritta con numeri puri diventa invariante rispetto alle dimensioni fisiche del problema; quindi un’equazione matematica scritta con grandezze adimensionali avrà sempre la stessa soluzione, indipendentemente da quale sia il problema fisico considerato.

Se un’equazione ha determinate condizioni al contorno relative a grandezze adimensionali ed è scritta in variabili adimensionali, la soluzione, ovviamente adimensionale, è invariante e pertanto la si risolve una volta per tutte e ad essa si fa riferimento per tutti i casi resi simili tramite operazioni di analisi dimensionale.

Lo scopo di tale analisi è rendere simili due problemi utilizzando opportuni

fattori di scala; esiste sempre un modo per risolvere un problema utilizzandone un altro che gode della proprietà della similitudine manipolando i valori numerici delle grandezze in gioco affinchè i parametri adimensionali abbiano gli stessi valori.

 

Esempio: analogia fra strato limite termico e fluidodinamico

Due punti che godono della similitudine sono ad esempio due punti situati in entrambi i casi sullo strato limite, poiché tali punti godono dello stesso valore della grandezza adimensionale che esprime l'incognita del problema.

Col senno di poi, se l’equazione in un punto ha la stessa soluzione (che vale 0.99) significa che i due problemi erano in condizione di similitudine.

 

Quando noi non conosciamo la soluzione in un problema quale quello dello scambio termodinamico, andiamo per similitudine a risolvere un problema noto come quello fluidodinamico e dall’omonimo calcolo otteniamo l’informazione termica desiderata.

Abbiamo già usato il principio di similitudine per trovare il cosiddetto circuito elettrico equivalente; in acustica è infatti frequente la ricerca dell’equivalente elettronico di un sistema.

E’ esattamente quello che facciamo qui: usiamo l’effetto dell’analisi dimensionale per ottenere la soluzione del problema estrapolandola da una soluzione che è già stata trovata per un problema simile a quello che ci interessa.

Nella pratica tuttavia quello che accade è che almeno un problema capostipite va risolto, cioè l’analisi dimensionale consente di estendere la validità del risultato di un problema risolto, ma è necessario risolvere un problema per ogni classe.

 

Per classe si intende ogni geometria (parete piana, tubo, sfera, cilindro,…), ogni moto(convezione naturale in aria ferma, convezione forzata dovuta ad esempio a un ventilatore che soffia aria contro una superficie,…). Si hanno inoltre classi diverse anche a seconda che il moto sia laminare o turbolento.

Quindi l’unione di diverse geometrie, diverse cause di moto e diversi regimi di moto produce un certo numero di casi (circa 30 ÷ 35) ciascuno dei quali va risolto una prima volta.

La questione ora è duplice: bisogna saper risolvere i casi già noti (che rappresentano il 90 – 95% dei casi pratici) e anche i casi nuovi; in quest’ultimo ambito in genere si conclude che l’unica soluzione possibile è tramite esperimento (ne sono un esempio le gallerie del vento viste per il moto dei fluidi).

 

Schema dell’analisi dimensionale.

 

Il trucco base è quello di scrivere una relazione matematica in forma adimensionale che leghi fra loro un numero sufficientemente ridotto di variabili adimensionali.

Il numero di variabili che rientrano nel caso è dato dal Teorema di Buckingham (detto anche Teorema ).

Tale teorema è molto simile alla regola delle fasi di Gibbs; esso dice che il numero di parametri adimensionali necessario a descrivere compiutamente un fenomeno fisico è dato dal numero di variabili fisiche del problema diminuito del numero di relazioni che le legano.

Quindi:

N° VARIABILI INDIPENDENTI = N° VARIABILI TOTALI – N° RELAZIONI

 

       In base a questo teorema, nel nostro caso di scambio termico per convezione, il

numero di variabili indipendenti è 4, quindi il Teorema di Buckingham dice che in un problema di scambio termico, dove il numero di variabili è molto più alto, il numero di raggruppamenti adimensionali è:  

OSS: il Teorema di Buckingham dice quanti sono i raggruppamenti, ma non quali

sono.

In una certa misura esiste una libertà di scelta dei raggruppamenti adimensionali (ad es. anche in termodinamica potevo scegliere due variabili indipendenti a piacere per descrivere uno stato del problema).

Se prendiamo un numero maggiore di variabili, ad esempio 5, la quinta è sempre esprimibile matematicamente in funzione delle prime quattro.

 

La scelta che si predilige tradizionalmente in questo settore è quella di prendere come 4 variabili indipendenti e adimensionali del problema i seguenti quattro numeri puri noti:

 

 

Re    =  numero di Reynolds

Gr    =  numero di Grashof           

Pr     =  numero di Prandtl

/L  =  posizionatore (o fattore di forma)

 

Il posizionatore(o fattore di forma) è un parametro addizionale che dà la posizione di un punto nel campo, dove  è la coordinata (in termini vettoriali) e L è la lunghezza caratteristica(che ad es. può essere un diametro).

 

 

        Riprendiamo le variabili adimensionali d’ingresso e vediamone l’espressione analitica:

• numero di Reynolds                    

dove:  è la velocità media con cui il fluido viene spinto contro la parete;

in  convezione naturale =0, da cui Re=0

           è la lunghezza caratteristica

      * è la viscosità cinematica

 

 

• numero di Prandtl         

dove:  è la diffusività termica del fluido in esame

 

Il numero di Prandtl dice quanto rapidamente si propaga in un fluido l’effetto di parete.

• numero di Grashof                    

dove: è l’accelerazione di gravità         

          è il coefficiente di dilatazione termica

          *        e  sono rispettivamente la temperatura della parete e del fluido

 

Il numero di Grashof rappresenta la vivacità delle forze di galleggiamento. In particolare il numero di Grashof assume rilevanza nei problemi di convezione naturale e ciò deriva dal fatto che contiene il coefficiente di dilatazione termica .

Tale coefficiente è dato da

dove (riferendoci a un gas): p è la pressione

                                             v è il volume

                                             T è la temperatura

 

Le sue dimensioni sono:  ; esso dice di quanto varia il volume specifico aumentando la temperatura del gas.

Se il gas è perfetto  è facile da calcolare, infatti per i gas perfetti vale che

da cui ricavo

derivando rispetto alla temperatura mantenendo p costante ottengo

cioè in un gas perfetto il coefficiente di dilatazione termica è uguale al reciproco della temperatura assoluta.

Non è però così per tutte le sostanze, ad esempio per l’acqua il valore di  è tabellato in funzione della temperatura.

 

In conclusione ho le 4 grandezze di ingresso del problema, per calcolare il coefficiente di convezione h devo conoscere: , , , , , , , .

 

Attenzione!

In tutti i casi di scambio termico lo studio è sempre nel fluido, non sul materiale di cui è fatta la parete; lo scambio termico è un fenomeno che accade nel fluido, dentro la parete ho la conduzione.

Perciò tutte le grandezze che stiamo trattando sono relative al fluido.

       Una volta note le 4 variabili indipendenti in ingresso a cui associamo dei valori, a noi interessa ricavarne un unico dato in uscita, che è il coefficiente di convezione, il quale non appartiene alle variabili elencate sopra.

A tal proposito il Teorema di Buckingham dice che se abbiamo un quinto valore da calcolare, questo è funzione dei 4 indipendenti; quindi esiste un coefficiente di convezione adimensionale funzione dei 4 valori adimensionali.

 

Un coefficiente di convezione adimensionale è definito nel modo seguente:

                 (1)

Abbiamo già visto tale grandezza quando abbiamo definito il numero di Biot rapportando il coefficiente di convezione dentro il fluido con la conducibilità in aria del materiale solido che costituisce la parete; il numero di Biot quindi non dipende solo dalla convezione, ma dipende dal rapporto fra resistenza termica convettiva e resistenza termica conduttiva.

Ora invece ho solo un problema di convezione (non mi interessa quello che accade dentro il materiale) quindi il  che compare nel coefficiente di convezione adimensionale non è riferito alla parete ma al fluido.

Il rapporto (1) si chiama numero di Nusselt, cioè

dove:  è il coefficiente di convezione

           è la lunghezza caratteristica

           è la conducibilità del fluido

 

Il rapporto suddetto è uguale solo formalmente al numero di Biot, infatti Nu dice cosa accade nel fluido, mentre Biot dice cosa accade nel corpo.

In base al Teorema di Buckingham, Nu sarà funzione dei quattro numeri puri precedentemente esposti; non può assumere valori arbitrari, ma fissati i valori dei 4 parametri d’ingresso ha un unico valore, cioè         

dove  rappresenta un legame funzionale.

Dire che esiste un legame funzionale equivale a dire che esiste un unico “formulino” algebrico con valori numerici fissati e invarianti che lega funzionalmente i 4 input all’unico output.

Il formulino è chiamato soluzione del problema.

Trovare il formulino significa aver risolto un problema fisico per una certa classe.

Ci sarà un range di validità per gli input, nel quale vale il formulino, ad es.

A<Re<B

C<Gr<D

E<Pr<F

e dato un certo campo di validità si ottiene una formula.

Alcune di queste formule sono note; ad esempio per l’acqua che scorre dentro un

tubo la formula si chiama di Dittus-Boelter e dice che

0.4 se il fluido sta venendo scaldato dalla parete

0.3 se il fluido sta cedendo calore alla parete

 

 

 

In tale caso non c’è dipendenza dal posizionatore perché si considera il regime sviluppato, cioè quando la regione d’ingresso è terminata, e non c’è dipendenza dal numero di Grashof perché siamo in convezione forzata.