Università degli Studi di Parma

Facoltà di Ingegneria elettronica

Anno accademico 2001 – 2002

Corso di Fisica Tecnica

Docente: prof. Angelo Farina

Elaborato di Rocca Davide

Matricola 124601

Lunedì 10 dicembre 2001 parte prima 14:30 – 16:30

Raggio critico dell’isolante

Il nostro obbiettivo è quello di capire com’è possibile che una guaina termoisolante abbia l’effetto di migliorare lo scambio termico invece di inibirlo.

Consideriamo allo scopo un tubo contenete un liquido caldo (fig. 1):

Dove:

• T_i è la temperatura interna del tubo
• T_e è la temperatura all’ esterno del tubo, la temperatura ambiente
• Q è la quantità di calore scambiata dall’interno verso l’esterno

Inoltre indicheremo con

• r_i il raggio interno del tubo
• r_e il raggio esterno del tubo
• T_pi temperatura della parete interna
• T_pe temperatura della parete esterna
• L la lunghezza del tubo

Supponendo che il fenomeno sia solo convettivo, cioè ipotizzo che non ci sia irraggiamento, questo sistema può quindi essere modellizzato come 3 resistenze termiche poste in serie

Ti

Tpi

Tpe

Te

Dove:

• R_conv,i : resistenza di convezione interna
• R_cond,t : resistenza di conduzione del tubo
• R_conv,e : resistenza di convezione esterna

E inoltre sono noti i coefficienti di convezione interno, h_i, esterno, h_e, e la conducibilità termica del tubo, λ.

E’ quindi possibile descrivere il fenomeno dal punto di vista termico:

(1)

Occorre quindi determinare i valori delle tre resistenze termiche:

• R_conv,i resistenza termica di tipo convettivo dell’interno del tubo

(2)

la superficie interna del tubo, S_i, prendendo un tratto di tubo lungo L vale

(3)

E quindi sostituendo

(4)

• R_cond,t questa è una resistenza termica di tipo conduttivo dovuta al materiale che costituisce le pareti del tubo che contiene il liquido e, come già noto, può essere calcolata facendo:

(5)

• R_conv,e resistenza termica di tipo convettivo dell’ambiente esterno al tubo, dovuta al fatto che il sistema è posto in aria ferma, caratterizzata da un proprio coefficiente di conduzione che rappresenta un’ulteriore resistenza termica per il calore prodotto

(6)

allora, sostituendo le espressioni che abbiamo ricavato e rielaborando, otteniamo che la potenza termica dispersa dall’isolante vale

(7)

dove

• K è il coefficiente globale di scambio termico che riassume in sé tutti i fenomeni avvenuti, anche complessi; però questa è una definizione impropria, perché ha come unità di misura m²/K quindi il nome corretto sarebbe conduttanza termica specifica;
• è l’ammettenza termica totale del sistema.

Esempio

Consideriamo un tubo in polietilene e supponiamo che il sistema sia caratterizzato da queste informazioni:

• 
• r_i = 50 mm
• r_e = 80 mm
• L = 10 m
• T_i = 80 °C
• T_e = 20 °C
• 
• 

e si nota che h_i ha un valore tipico da convenzione forzata, mentre il valore del coefficiente h_e è tipico della convenzione naturale.

Ho ora tutte le informazioni per valutare Q, la potenza termica dispersa dal tubo:

e questo risultato, se si trattasse ad esempio di un riscaldamento domestico costituirebbe una perdita di potenza inaccettabile.

Per cercare di limitare questo fenomeno si mette l’isolante che è un secondo tubo che introduce un’ulteriore resistenza termica e che inoltre avrà una sua conducibilità termica λ_g, a seconda del cui valore è possibile migliorare o peggiorare lo scambio termico con l’ambiente; l’isolante avrà inoltre un proprio raggio che chiameremo r_g.

La sitazione è meglio descritta nello schema seguente:

T_e

r_g

r_i

Rr r

Ora il sistema sarà descritto da un modello che prevede 4 resistenze termiche poste sempre in serie:

Quindi la potenza termica dispersa nell’ambiente sarà ora data da

(8)

e raccogliendo si ottiene

(9)

Supponendo di avere uno strato esterno costituito da polistirolo o poliuretano espanso avrò

e supponendo che l’isolante abbia uno spessore di 1 cm avremo

r_g = 100 mm

Facendo i calcoli con la (9) otteniamo

da cui risalta che mettendo una guaina isolante sul tubo si ha una netta diminuzione della potenza termica dispersa.

Però in alcuni casi usando una guaina sottile (se fosse spessa non ci sarebbero problemi) con valori di conducibilità termica non troppo piccoli si può ottenere un peggioramento perché a seconda delle costanti termiche è possibile che la diminuzione della resistenza termica per convezione verso l’esterno, R_conv,e predomini sull’aumento della resistenza termica di conduzione dell’isolante, R_cond,isol; graficamente:

	RTOT
Rmin
		0

r

Quindi esisterà un raggio, detto raggio critico dell’isolante, r_c, in cui la resistenza termica è minima e di conseguenza diventa più efficiente lo scambio termico con l’esterno e questo valore è un punto di minimo in cui ci sarà un’inversione di pendenza della curva.

Possiamo anche valutare questo valore derivando l’espressione della potenza termica dispersa rispetto alla distanza dal centro, il raggio, ma possiamo derivare solo l’espressione della resistenza termica totale in quanto le due grandezze sono legate da costanti, ed in particolare solo i termini in cui compare il raggio dell’isolante, r_isol, perché gli altri due sono costanti:

(10)

e il raggio critico dell’isolante è quindi

(11)

ed è indipendente dai fattori di forma del sistema.

L’aumento del raggio dell’isolante, e quindi della superficie di scambio, provoca una diminuzione della resistenza di convezione R_conv,e, e , almeno inizialmente un aumento della potenza scambiata, finchè la resistenza di conduzione della guaina, R_cond,g, non cresce abbastanza da compensare la diminuzione della resistenza di convezione.

Se il raggio esterno del tubo che deve essere isolato è più grande del raggio critico nel caso in cui si vuole diminuire lo scambio termico non ci saranno problemi perché la presenza dell’isolante può solo migliorare l’efficienza del sistema; per contro, se il raggio del tubo è più grande del raggio critico, non posso (per altre esigenze) favorire lo scambio termico con un opportuno spessore dell’isolante.

Nel nostro caso otteniamo

ESEMPIO APPLICATIVO

Valutiamo ora il caso di un conduttore elettrico che non deve surriscaldarsi troppo al passaggio della corrente elettrica; esso è un cilindro metallico pieno rivestito da un isolante termico. Al passaggio della corrente nel filo si genera, per effetto Joule una quantità di calore che se non viene eliminata provoca danni irreparabili all’intero istema e questo è proprio il limite fisico per la corrente che può attraversare il cavo.

d=1mm

L = 1 m

Nel nostro caso consideriamo un filo elettrico in rame con resistenza specifica attraversato da una corrente I = 10A, con le seguenti dimensioni:

Il calore prodotto da questa corrente nel conduttore è quindi

Supponendo di avere una temperatura esterna

T_e = 20 °C

e che l’ambiente esterno abbia un coefficiente di convezione con valore

si ottiene che lo scambio termico che avviene sulla superficie del conduttore elettrico la possiamo anche calcolare facendo

(12)

essendo

(13)

Quindi uguagliando le due espressioni si ricava la temperatura raggiunta dal filo quando è attraversato da una corrente di 10A:

e questo è un valore inaccettabile perché raggiungerebbe una temperatura sufficiente a far fondere lo stagno e quindi potrebbe danneggiare il sistema, nello specifico le saldature che potrebbero essere presenti al suo interno.

Allora occorre trovare il modo di raffreddare questo filo, perché la potenza scambiata è imposta e non può essere ridotta.

La soluzione più efficiente per dissipare tale calore è quella di mettere una guaina in plastica, che servirà anche da isolante elettrico.

Il raggio ottimale di questa guaina, se non ci sono problemi di alta tensione e quindi di perforamento dell’isolante, è proprio il raggio critico che ha la proprietà di massimizzare lo scambio termico con l’esterno, ed è sempre dato dalla stessa espressione indipendentemente dalle temperature e dai materiali in gioco.

Riassumo la situazione con uno schema:

Scegliendo un isolante caratterizzato da una conducibilita termica

otteniamo

che è un valore sproporzionato rispetto alle dimensioni del filo.

Comunque in questo caso dovremo applicare la formula (8) perché avremo il contributo di 4 resistenze termiche da considerare; quindi scegliendo un raggio dell’isolante pari al raggio critico ottengo la temperatura sulla superficie del filo (a rigore la temperatura al centro del filo è maggiore rispetto al valore sulla pello dello stesso, ma data l’alta conducibilità termica del rame posso assumere la temperatura costante):

(14)

da cui si ricava la temperatura a cui opera il filo in presenza del rivestimento isolante:

(15)

e facendo i calcoli si ottiene

che è un valore molto più accettabile di quello precedente.

Fissando ora uno spessore dell’isolante più vicino alle applicazioni pratiche, cioè supponendo che la guaina abbia uno spessore di 0,05 mm che equivale ad un diametro d_g = 2 mm otteniamo

cioè dato che ci siamo allontanati dal valore del raggio critico la temperatura è aumentata perché è diminuita l’efficienza dello scambio termico, ma abbiamo ottenuto un valore che tuttosommato è ancora accettabile.

Il problema dello scambio termico non tanto è critico per le linee elettriche perché in questi casi può anche essere risolto aumentando la sezione del filo, ma lo è per i chip dei microprocessori perché il notevole incremento di prestazioni ha portato una maggiore produzione di calore per effetto Joule e di conseguenza un peggioramento della dissipazione termica che diventa inefficacie; prorpio per dissipare questo calore in eccesso i package dei microprocessori sono costruiti con forme particolari con alette di raffreddamento o addirittura portano delle ventole.

Questo è il limite principale nell’evoluzione dei processori moderni.

Calcolo dei coefficienti di convezione

Ci occuperemo ora del fenomeno della convezione all’interno di un fluido, tipicamente aria o acqua, e i risultati che conseguiremo saranno validi per qualsiasi fluido grazie al concetto di analogia di Reynolds.

Studiando la fluidodinamica abbiamo già determinato le grandezze da considerare per determinare il fattore di attrito all’interno di un condotto, ξ, anche se di solito lo si legge dal diagramma di Moody, e sarà un’espressione di questo tipo:

(16)

ed è un numero adimensionale, dove è il fattore di scabrezza relativa.

Anche nel caso dell’analisi analitica delle perdite di calore in un condotto useremo la stessa strategia di studio, cercheremo cioè di scrivere una relazione matematica in forma adimensionale che leghi tra loro un numero sufficientemente ridotto di variabili adimensionali.

Ad esempio dovremo determinare un coefficiente di convezione che dovrà essere adimensionale per rispettare il nostro schema di studio.

Si possono scegliere le variabili indipendenti in diversi modi, ma in ogni caso non è importante se nel problema sono coinvolte molte grandezze, è importante il numero di gradi di libertà dello stesso perché sono quelli che determinano il numero di variabili che dovranno essere considerate indipendenti. A questo scopo faremo uso del

TEOREMA DI BUCKINGHAM

qualunque sia la complessità apparente, il numero di variabili, di un

problema, il numero di variabili realmente indipendenti è dato da

N_var,ind = N_var,tot – N_formule

dove N_formule stà ad indicare il numero di equazioni che legano tra loro tutte le grandezze fisiche coinvolte; questo teorema però indica quante sono le grandezze, ma non quali sono .

Quindi per un problema di scambio termico, note tutte le variabili fisiche in gioco, il numero di variabili indipendenti necessarie è pari a 4; conseguenza di questa affermazione è che il coefficiente di conduzione adimensionalizzato di conduzione h^* sarà funzione di 4 raggruppamenti adimensionalizzati indipendenti.

Quindi per esprimere tale coefficiente noi opereremo le seguenti scelte:

Re	numero di Reinolds
Gr	numero di Grashof
Pr	numero di Prandtl
	posizionatore

§ R_e numero di Reinolds; è un numero puro che permette di valutare semplicemente le perdite di carico all’interno di un condotto ed ha la seguente espressione analitica:

(17)

dove:

§ W è la velocità del fluido nel condotto

§ D è la dimensione caratteristica del condotto

§ μ è la viscosità propria del fluido

§ G_r numero di Grashof; rappresenta la vivacità delle forze di galleggiamento. Occorre tenerne conto perché stiamo trattando un caso di convezione naturale in cui è presente un moto convettivo. Si calcola con la seguente relazione:

(18)

dove:

§ g è l’accelerazione di gravità e vale

§ T_p è la temperatura della parete

§ T_∞ è la temperatura dell’ambiente esterno

§ ν è la viscosità cinematica che indica quanto velocemente si diffonde uno strato limite all’interno del tubo

§ β è il coefficiente di dilatazione termica che, riferendoci ad un gas, indica quanto si dilata lo stesso in funzione della temperatura

(19)

e dimensionalmente vale

Nel caso di un gas perfetto questo coefficiente è facile da

calcolare perché ricordando la relazione

(20)

si ottiene che

(21)

e quindi fissando una temperatura media

(22)

e andando a sostituire la 21 e la 22 nella 19 otteniamo

(23)

In conclusione nel caso di un gas perfetto abbiamo ottenuto che il numero di Grashof avrà la seguente espressione fisica:

(24)

Però per un liquido non ideale, qual è l’acqua ad esempio, questo non è vero perché il coefficiente di dilatazione termica varia in funzione della temperatura, allora dovremo leggere tale valore da apposite tabelle in cui è tabulato il valore di β al variare della temperatura.

Inoltre lo scambio termico sarà nullo solo se β = 0 oppure se g = 0 (cioè quando non c’è movimento convettivo del fluido più leggero).

§ P_r: numero di Prandt; in pratica esprime la maggiore o minore rapidità ad instaurarsi dello strato limite fluidodinamico rispetto allo strato limite termico:

(25)

dove α² è la diffusività termica e ricordando che è espressa da

(26)

sostituendo otteniamo che

(27)

Ad esempio per l’aria avremo che e tale valore è indipendente dalle condizioni di pressione e temperatura.

Lo strato limite termico è il luogo dei punti in cui la temperatura adimensionale

(28)

assueme valore T^* = 0,99 cioè, la temperatura su tale strato ha subito una variazione che è pari ad almeno il 99% del valore di regime.

Al di sotto di tale curva la temperatura inizia a diminuire avvicinandomi alla parete, mentre al di sopra mantiene la sua temperatura.

Se P_r >1 la viscosità prevale sulla conducibilità termica e quindi avrò un rallentamento dello strato, mentre se P_r <1 aumenterà la velocità di sviluppo dello strato limite termico.

§ posizionatore; è un fattore di forma che serve ad indicare la posizione di una sezione di riferimento rispetto alla dimensione caratteristica, L, ed è adimensionale.

Quindi abbiamo ottenuto che il coefficiente di convezione adimensionalizzato, che chiameremo numero di Nussel, N_u, è dato da

(29)

e per il teorema di Buckingham sarà funzione dei 4 numeri puri che abbiamo appena discusso.

Vogliamo ora cercare di dare un significato fisico ai coefficienti adimensionali che abbiamo scelto, perché a seconda dei valori che assumono gli stessi dovremo usare delle diverse equazioni risolutive.

Il numero di Reinolds può essere interpretato come

(30)

e se

§ R_e < 2300 siamo in regime laminare

§ R_e > 4100 siamo in regime turbolento

mentre per il numero di Grashof possiamo dare la seguente interpretazione

(31)

e se Gr << 1 saremo nel caso di convezione forzata.

Il seguente rapporto, nel caso di moto di un fluido in un condotto, è un numero puro che dovremo valutare per stabilire se lo scabio termico avviene per convezione naturale, oppure per convezione forzata o infine per convezione mista.

Se:

§ allora siamo nel caso di convezione forzata, quindi il numero di Nussel risulterà dipendere solo dal numero di Reinolds e dal numero di Prandt:

§ allora siamo nel caso di convezione naturale, quindi il numero di Nussel risulterà dipendere solo dal numero di Grashof e dal numero di Prandt:

§ allora siamo nel caso di convezione mista e quindi il numero di Nussel risulterà dipendere solo dal numero di Reinolds, dal numero di Grashof e dal numero di Prandt:

In conclusione per il calcolo del coefficiente adimensionale di conduzione, il moto del fluido, laminare o turbolento, è responsabile direttamente delle formule che dovremo impiegare per determinare i valori richiesti nel problema.

Ogni formula inoltre ha una sua grandezza caratteristica che non è sempre la stessa, ma dipende dalle scelte e dalle convenzioni adottate dallo scienziato che ha dimostrato la formula stessa.

Ad esempio per

10⁴ < R_e < 2· 10⁶

il numero di Nussel dovremo calcolarlo con la formula di DITTUS-BOELTER

(32)

e tale equazione serve, ad esempio, a valutare lo scambio termico di un flusso d’acqua che scorre in un tubo in condizioni di regime turbolento.