In questa lezione prendiamo in considerazione due temi d’esame con lo scopo di risolvere alcuni esercizi di riepilogo degli argomenti trattati nel corso di Fisica Tecnica. Ognuno dei 4 esercizi che compongono ogni tema d’esame riguarda una delle 4 parti in cui il corso stesso è stato suddiviso: Termodinamica, Fluidodinamica, Acustica e Trasmissione del calore.
Innanzitutto va detto che all’esame conviene presentarsi con tutti gli strumenti necessari quali:
- Appunti utili: un ingegnere infatti non può permettersi di fidarsi della propria memoria ma deve essere assolutamente sicuro che gli strumenti matematici che adopera siano corretti e idonei; e proprio per questo motivo è consigliabile consultare più fonti, come forma di controllo, in modo da evitare di utilizzare testi incompleti o in cui siano presenti errori (anche solo errori di stampa, inevitabilmente presenti anche sui testi più conosciuti e utilizzati).
- Tabelle: anche in questo caso è doveroso consultare tabelle attendibili e precise. E’ difatti possibile per alcuni esercizi (ne è un esempio proprio un esercizio che tra poco andremo ad affrontare) una soluzione di tipo grafico, che può sostituire la soluzione di tipo algebrico, o più semplicemente fungere da verifica dei calcoli effettuati. E’ importante quindi che la tabella sia stampata o fotocopiata da una fonte precisa su fogli sufficientemente grandi (preferibilmente formato A3).
- Calcolatrice scientifica: per ovvi motivi di precisione e verifica dei calcoli.
- Tavole di conversione: spesso i problemi che si incontrano presentano dati in unità di misura non omogenee o poco utilizzate. E’ necessario quindi riconvertire tutte le grandezze in un sistema di unità di misura omogeneo per poter poi effettuare i conti.
In aggiunta va detto che la precisione nei calcoli è fondamentale. Nel caso particolare dell’esame ogni esercizio presenta un margine d’errore entro il quale deve rientrare il risultato trovato dallo studente. Ma più in generale questa regola vale nel mondo del lavoro in quanto non ci si può permettere di essere vaghi ed imprecisi nei calcoli; in special modo in campo ingegneristico dove si ha a che fare con oggetti sofisticati che devono spesso sottostare a vincoli rigidi e ben precisi.
L’ultima nota da aggiungere riguarda i temi d’esame in seguito risolti. Ogni compito difatti è personalizzato in base al numero di matricola di ogni studente. Per semplicità nella soluzione di questi esercizi viene utilizzato il numero di matricola 123456, ma va specificato che un numero di matricola differente può rendere molto diversi i dati dell’esercizio, e quindi anche il relativo procedimento risolutivo.
I temi d’esame presi in considerazione sono:
Tema d’esame del 7 – 12 – 01
Tema d’esame del 4 – 10 – 01
Entrambi possono essere scaricati dal sito del professor Angelo Farina assieme a tutti gli altri temi d’esame (di cui però non sono disponibili le soluzioni).
L’indirizzo è http://pcfarina.eng.unipr.it/
TEMA D’ESAME DEL 7 DICEMBRE 2001
Esercizio 1
Termodinamica
Tolleranza +/- 5%
Determinare il calore ed il lavoro massimo estraibili dal serbatoio contenente 100+EF kg di acqua, inizialmente alla temperatura di 40+CD/2 °C ed alla pressione di 1 BAR, considerando l’ambiente alla temperatura di 20+B °C.
- Calore Q = ?
- Lavoro massimo Lmax = ?
-
Come già accennato per semplicità utilizziamo il numero di matricola 123456. Si rammenta di non confondere il valore (ad esempio) AB con il valore A*B. Infatti il primo rappresenta il numero composto dalle cifre rappresentate dalle lettere A e B (quindi nel nostro caso è il numero 12); il secondo è invece il prodotto tra la cifra A e la cifra B (che in questo caso è dunque il numero 2)
Quindi i dati diventano:
Ø Massa d’acqua: M = 100 + EF = 100 + 56 = 156 kg
Ø Temperatura iniziale: Ti = 40 + CD/2 = 40 + 34/2 = 57 °C
Ø Temperatura dell’ambiente: T0 = 20 + B = 20 + 2 = 22 °C
Ø Pressione (costante): P = 1 BAR
La quantità di calore estraibile dal serbatoio è:
dove la temperatura finale Tf è uguale a T0. Inoltre in questa forma va sottolineato che stiamo considerando la relazione del calore ceduto all’esterno.
Alla temperatura considerata il calore specifico dell’acqua è Cp = 4,187 kJ/kg K
Otteniamo facilmente il calore ceduto:
Questo serbatoio cede calore all’esterno ma non produce lavoro. Se voglio lavoro quindi devo considerare una macchina termica che mi trasformi il calore ceduto all’esterno in lavoro. Per ottenere il lavoro massimo ho bisogno di una macchina reversibile; più precisamente di una macchina di Carnot. Infatti la macchina di Carnot è la macchina che ottimizza la trasformazione di calore in lavoro.
Sappiamo che il coefficiente economico di una macchina di Carnot è il rapporto tra il lavoro totale fatto sull’ambiente esterno (L) e il calore totale (Q1) assorbito dalla macchina; oppure è dato dalla differenza tra 1 e il rapporto tra le temperature dei serbatoio con cui la macchina lavora (T0 e T1):
da cui si ha che:
La formula considerata qui sopra sarebbe corretta se la temperatura T1 rimanesse costante a 57 °C. In realtà a mano a mano che T diminuisce (fino alla temperatura di 22 °C) ec varia!
Quindi l’equazione considerata va scritta in forma infinitesima:
dove il segno meno deriva dal fatto che il calore Q1 assorbito dalla macchina è uguale e contrario al calore Q precedentemente ceduto dal serbatoio.
Ora integro tra 0 e Lmax il lavoro e di conseguenza al secondo membro integro tra Ti e Tf (cioè la temperatura finale che in questo case è T0):
Ora bisogna fare attenzione alle unità di misura utilizzate per la temperatura in questa formula. Infatti, mentre nella differenza (Ti – Tf) non cambia nulla il fatto di fare i conti in °C o in Kelvin, lo stesso non si può dire per il rapporto all’interno del logaritmo o per la temperatura T0 che lo moltiplica.
Convertiamo dunque da Celsius a Kelvin: 57 °C = 330 K; 22 °C = 295 K;
Esercizio 2
Fluidodinamica
Tolleranza +/- 10%
Un serbatoio di forma
cilindrica ha un diametro di 1+0.02*CD m e contiene acqua sino ad un livello di
5+E m. Sul fondo di esso viene aperto un foro circolare con bordi smussati (b = 0.5), con diametro pari ad 1/25 di quello
del serbatoio, per cui l’acqua comincia ad uscire. Determinare la velocità
iniziale di uscita dell’acqua ed il tempo necessario al completo svuotamento
del serbatoio.
- Velocità iniziale W2,i = ?
- Tempo di svuotamento t = ?
Ø Diametro D1 = 1 + 0,02*34 = 1,68 m
Ø Diametro D2 = D1/25 = 1,68/25 = 0,0672 m (foro d’uscita)
Ø Quota H = 5 + 5 = 10 m
Ø Foro sul fondo: b = 0,5
Dall’equazione di Bernoulli:
W1 e W2 come sappiamo sono le velocità medie rispettivamente di discesa del pelo libero e di uscita dell’acqua dal foro;
g è la costante di gravitazione universale;
z2 – z1 è la differenza tra la quota del foro, rispettivamente, e quella del pelo libero. Quindi la differenza risulta essere negativa (in quanto abbiamo considerato l’asse z positiva verso l’alto). Nel caso particolare della condizione iniziale tale differenza risulta essere –H;
P2 – P1 è la differenza di pressione, da considerarsi nulla in questo caso;
R esprime la resistenza idraulica che oppone il fluido allo scorrimento a causa della propria viscosità;
l è il lavoro che in questo caso è nullo.
Inoltre nell’equazione di Bernoulli possiamo considerare trascurabile W1 rispetto a W2, essendo il pelo libero del serbatoio caratterizzato da un diametro pari a 25 volte il diametro del foro. La velocità con cui si abbassa il pelo libero è di gran lunga inferiore a quella con cui l’acqua esce dal foro. A maggior ragione dunque sarà trascurabile il quadrato di W1 rispetto al quadrato di W2.
cioè per H = 10 m (condizione iniziale) trovo il valore di velocità media d’uscita inziale
Per eseguire il calcolo del tempo di svuotamento bisogna prima fare una considerazione: anche in questo caso (come per l’esercizio precedente) abbiamo un parametro (W2) che varia al variare di un’altra grandezza (H, o più precisamente la radice di H). Quindi dobbiamo considerare un calcolo infinitesimale per poter poi integrare su tutta l’altezza della colonna d’acqua e ricavare così il tempo di svuotamento t.
La portata in volume è:
L’area della sezione A2 è pari a:
ma allo stesso tempo:
dove l’area A1 equivale a:
Il rapporto tra le aree è dunque:
N.B.-> va notato come il calcolo esplicito delle aree
non fosse necessario. Infatti:
quindi
e a questo punto impongo la condizione infinitesima
cioè la velocità di discesa del pelo libero è data dallo spostamento infinitesimale dh lungo l’asse z (col segno meno proprio perché ha verso opposto all’orientamento dell’asse) nell’intervallo infinitesimo di tempo dt.
Eguagliando le due equazioni:
integro da H a 0 al primo membro e quindi da 0 a t al secondo membro.
Esercizio 3
Termocinetica
Tolleranza: +/- 10%
Dentro un cilindro cavo una resistenza genera calore per effetto Joule. La potenza generata è pari a 1000+EF W/m. Il diametro interno è 0.2+F/10 m, quello esterno è il doppio. La conducibilità del materiale è pari a 1+0.1*D W/mK. Il cilindro è mantenuto immerso in vapore di H2O saturo, alla pressione di 10 + C Bar. Determinare la temperatura del vapore e quella esistente sulla parete interna del condotto cilindrico.
- Temperatura del vapore T2 = ?
- Temperatura parete interna T1 = ?
Ø Potenza generata dalla resistenza: Q = 1000 + EF = 1056 W/m
Ø Diametro interno del cilindro cavo: D1 = 0,2 + F/10 = 0,8 m
Ø Diametro esterno del cilindro cavo: D2 = 2*D1 = 1,6 m
Ø Conducibilità: l = 1 + 0,1*D = 1,4 W/m K
Ø Pressione di saturazione: Psat = 10 + C = 13 BAR
La temperatura del vapore risulta essere praticamente la temperatura della parete esterna.
Esercizio 4
Acustica
Tolleranza +/- 0.5
dB e 5%
Determinare il livello sonoro diurno e notturno prodotto presso un recettore posto a 50m di distanza da una linea ferroviaria, su cui transitano, di giorno, 30+EF treni passaggeri e 20+D treni merci, e di notte 6 + B passeggeri e 12+C merci. I valor di SEL misurati alla distanza standard di 7.5m, sono pari rispettivamente per un treno passeggeri a 94+F dB(A), e per un merci a 102+D dB(A).
- Livello equivalente diurno: Leq,g = ?
- Livello equivalente notturno: Leq,n = ?
Ø Distanza ferrovia – recettore: D = 50 m
Giorno:
Ø Np,g = 30 + EF = 30 + 56 = 86 treni passeggeri
Ø Nm,g = 20 + D = 20 + 4 = 24 treni merci
Notte:
Ø Np,n = 6 + B = 6 + 2 = 8 treni passeggeri
Ø Nm,n = 12 + C = 12 + 3 = 15 treni merci
SEL a 7,5 m dalla rotaia:
Ø Treni passeggeri: SELp = 94 + F = 94 + 6 = 100 dB(A)
Ø Treni merci: SELm = 102 + D = 102 + 4 = 106 dB (A)
Per il corretto svolgimento di questo esercizio è necessario considerare il Decreto Ministeriale:
ð D.M. AMB. Del 16 marzo 1998.
Ricordiamo il significato di SEL (Single Event Level)
Quando effettuiamo la misura di un livello nel tempo, e più in particolare per un intervallo di tempo T, otteniamo una distribuzione che, in un caso generico, sarà del tipo:
Tramite semplici principi matematici (in questo caso una media integrale) è possibile sostituire l’intero grafico con un semplice valore, un livello equivalente che sottende (sempre nel periodo T) un’area pari a quella sottesa dal grafico ottenuto. Quest’area rappresenta la quantità di energia rilevata.
Il SEL più in particolare rappresenta la stessa quantità di energia “compressa” in un singolo secondo, in modo da ottenere comunque la stessa area (cioè la stessa quantità di energia) sottesa.
La relazione tra SEL e Livello equivalente è data da:
dove T è il periodo considerato espresso in secondi.
Il valore di SEL totale (diurno o notturno) è dato da:
Noi dobbiamo trovare il livello equivalente diurno e notturno. Va sottolineato come per legge il giorno va dalle 6 alle 22 e quindi dura 16 ore; di conseguenza la notte va dalle 22 alle 6 e dura 8 ore.
Inoltre il valore di SEL fornito è riferito ad una distanza di 7,5 m dalla rotaia, mentre noi dobbiamo trovare il SEL relativo ad una distanza di 50 m.
Cominciamo col calcolare il livello equivalente diurno relativo alla distanza di 7,5 m:
dove Tg è la durata del giorno che abbiamo già visto essere pari a 16 ore, vale a dire:
16h * 3600 = 57600 secondi
Quindi, sostituendo nell’equazione la relazione del SELtot, otteniamo:
sfruttando le proprietà del logaritmo.
In questo caso Np, Nm, SELp e SELm sono riferiti al solo transito di treni durante il giorno. Perciò tali grandezze sono note e ci permettono di ricavare il Livello Equivalente Diurno alla distanza di 7,5 m:
Per poterlo normalizzare alla distanza richiesta di 50 m è sufficiente utilizzare la semplice relazione:
dove A è la distanza alla quale si intende normalizzare il risultato, mentre B è la distanza a cui è noto il valore del livello equivalente. Dunque in questo caso A = 50 m, B = 7,5 m:
Ora applichiamo lo stesso procedimento per la notte ricordando che questa dura 8 ore (pari a 8*3600 = 28800 secondi):
Ora Np, Nm, SELp e SELm sono riferiti al solo transito di treni durante la notte, quindi:
che però è sempre riferito a 7,5 metri. Normalizzo come prima e ottengo:
TEMA D’ESAME DEL 4 OTTOBRE 2001
Esercizio 1
Termodinamica
Tolleranza +/- 10%
Uno psicrometro (igrometro di Assman) viene collocato in una stanza. Dalla misura delle due temperature (bulbo asciutto e bagnato), determinare il titolo ed il grado igrometrico dell’aria nell’ambiente.
|
Temperatura di bulbo asciutto |
Ta = 32+F °C |
|
Temperatura di bulbo bagnato |
Tb = 16+D °C |
- Titolo dell’aria: x = ?
- Grado igrometrico dell’aria: j = ?
Ø Ta = 32+6 = 38 °C
Ø Tb = 16+4 = 20 °C
Questo esercizio offre la possibilità di una soluzione di tipo grafico, che in caso di strumenti sufficientemente precisi può sostituire la soluzione algebrica.
Innanzitutto va ricordato cos’è uno psicrometro (o igrometro di Assman):
Si tratta di uno degli strumenti più sofisticati per la misura dell’umidità dell’aria.
Tale igrometro presenta 2 tubi di ingresso per l’aria che confluiscono in un unico tubo d’uscita dove si può eventualmente trovare una ventola che ne favorisce il flusso. In ognuno dei due tubi d’ingresso è presente un termometro (entrambi uguali); attorno al bulbo di uno di essi è avvolta una garza bagnata con acqua distillata, mentre l’altro ha il bulbo asciutto e su di esso si legge la temperatura ambiente. Nel caso l’aria non sia satura di vapore acqueo si ha l’evaporazione dell’acqua della garza imbevuta, con conseguente abbassamento della temperatura indicata dal termometro bagnato fino ad un valore di equilibrio che rimane poi costante. La differenza tra questa temperatura e quella del bulbo asciutto (temperatura ambiente) ci dà il grado di umidità dell’aria. Questa differenza è tanto maggiore quanto minore sarà il grado di umidità. Tale differenza si annulla quando l’ambiente è saturo.
Va inoltre specificato il significato di titolo e grado igrometrico:
Il titolo è il rapporto tra la massa del vapore e la massa dell’aria secca. Si indica col simbolo x e assume valori positivi a partire dal valore x = 0 nel caso di aria secca.
Il grado igrometrico (detto anche umidità relativa quando espresso in percentuale) è definito come rapporto tra la pressione del vapore nella miscela aria-vapore considerata, e la pressione di saturazione del vapore acqueo alla temperatura di analisi. Si indica col simbolo j (sempre compreso tra 0 e 1)
Il metodo migliore per legare i concetti di titolo, grado igrometrico e temperatura è il diagramma psicrometrico. Esistono comunque anche formule matematiche, facilmente ottenibili considerando aria e vapore acqueo gas perfetti, per cui vale la legge di Dalton (per le miscele di gas perfetti, si può considerare il volume a disposizione di ciascun gas uguale al volume totale).
diagramma igrometrico
Nota Tb è noto anche il punto B, intersezione della verticale passante per Tb e la curva a grado igrometrico costantemente uguale a 1. Nota anche TA, il punto A è dato dall’intersezione tra la curva a entalpia J costante passante per B e la retta verticale corrispondente alla temperatura TA. Noto anche il punto A, basta leggerne dal grafico il grado igrometrico e il titolo corrispondenti.
Dunque nel nostro caso se possediamo una tabella sufficientemente precisa ed attendibile (più di quanto non lo sia quella presente qui sopra) possiamo adottare una soluzione grafica:
Ta = 38 °C, Tb = 20 °C
Intersechiamo la verticale passante per T = 20 °C con la curva di grado igrometrico uguale a 1. Ora consideriamo la retta ad entalpia costante passante per il punto B trovato. Intersechiamo quest’ultima con la verticale passante per T = 38 °C e otteniamo così dal grafico i valori richiesti dall’esercizio.
Consideriamo ora la soluzione algebrica.
la formula generale per il calcolo del titolo è data da
dove Psat è il valore di pressione di saturazione del vapore alla temperatura considerata. Questa grandezza si ottiene delle apposite tabelle del vapore:
per T = 20 °C => PsatA = 0,06755 BAR
per T = 38 °C => PsatB = 0,02103 BAR
essendo Ptot = 1 BAR otteniamo che
a questo valore di titolo corrisponde un valore di entalpia ricavabile dalla relazione:
ma è anche vero che:
ma essendo:
otteniamo:
che è il risultato richiesto dal problema. Se il diagramma igrometrico è sufficientemente preciso il metodo grafico precedentemente esposto dovrebbe consentirci di trovare lo stesso valore.
In generale comunque è più facile commettere un errore maggiore nella lettura di un valore su un grafico piuttosto che nell’approssimazione durante i calcoli, quindi è sempre consigliabile utilizzare entrambi i metodi (grafico ed algebrico) per essere più sicuri.
Esercizio 2
Fluidodinamica
Tolleranza +/- 10%
Della panna, avente viscosità dinamica m pari a 1.2 centiPoise e densità pari a 860 kg/m3 scorre entro un tubo con parete interna liscia. Noto il diametro interno e la portata in massa, determinare il numero di Reynolds e la perdita di carico distribuita per unità di lunghezza del tubo, espressa in Pa/m.
|
Diametro interno del tubo |
D = 20 + 0.2*BC mm |
|
Portata in massa |
Qm = 0.02 + CD/400 kg/s |
- Numero di Reynolds: Re = ?
- Perdita di carico: DP = (P1 - P2) = ?
Ø
D = 24,6 mm = 0,0246 m
Ø
Qm = 0,105 kg/s
Ø
r = 860 kg/m^3
Ø L = 1 m (in quanto il risultato è richiesto per unità di lunghezza)
Il numero di Reynolds si può ricavare dalla relazione:
inoltre:
Esercizio 3
Tolleranza +/- 0.5
dB
Lungo una ferrovia posta a breve distanza da una abitazione, transitano, nel periodo notturno, n. 12 treni passeggeri e n. 20 treni merci. Noto il valore di SEL (livello di singolo evento) prodotto dal passaggio di un treno di ciascun tipo presso l’abitazione, determinare il SEL complessivo di tutti i transiti ed il livello equivalente del rumore nell’intero periodo notturno.
|
SEL di un treno passeggeri |
SELp = 90 + 0.2*BC dB(A) |
|
SEL di un treno merci |
SELm = 98 + 0.2*DE dB(A) |
- SEL complessivo: SELtot = ?
- Livello equivalente notturno: Leq = ?
Ø
SELp = 94,6
dB(A)
Ø
SELm = 107 dB(A)
Ø Np = numero treni passeggeri = 12
Ø Nm = numero treni merci = 20
Questo esercizio è del tutto analogo al quarto esercizio del tema d’esame del 7 dicembre 2001 per cui la soluzione concettualmente risulta essere la stessa.
In questo caso non abbiamo suddivisione tra traffico notturno e diurno ma è dato solo quello diurno. Inoltre il SEL dei treni merci e passeggeri viene già dato riferito alla distanza di 20 m, distanza a cui va riferito anche il SEL totale di treni che transitano durante la notte.La soluzione risulta essere dunque più rapida.
Infatti è sufficiente applicare la definizione di SEL totale:
e quindi quella di Livello equivalente:
dove Tn si riferisce alla durata della notte, che per legge ricordiamo essere l’intervallo di tempo dalle 22 alle 6, e che quindi dura 8 ore (pari a 8*3600 = 28800 secondi):
Esercizio 4
Tolleranza +/- 20%
La panna dell’esercizio n. 2 ha un calore specifico
di 2400 kJ/kgK. Per pastorizzarla, la parete del condotto, lungo 100 m, viene
mantenuta alla temperatura di 120°C mediante condensazione di vapore.
Conoscendo la temperatura di entrata e di uscita della panna nel tratto di
condotto riscaldato, determinare il coeff. di convezione medio e la potenza
termica scambiata.
|
Temperatura di ingresso panna |
T1 = 4 + 0.4*B °C |
|
Temperatura di uscita panna |
T2 = 100 + 0.2*DE °C |
- Coefficiente di convezione: h = ?
- Potenza termica scambiata: Q = ?
Ø
Cp = 2400 kJ/kg K
Ø
Tp = 120 °C
Ø
L = 100 m
Ø T1 = 4,8 °C
Ø T2 = 109 °C
