Lo studio di fenomeni acustici, dal punto di vista fisico, è strettamente legato ad altri settori della scienza quali la fisiologia e la psicologia. La prima di queste studia il meccanismo di percezione dei suoni e gli organi dell’udito l’altra studia le sensazioni sonore in relazione agli stati d’animo prodotti in chi ascolta.

Già gli antichi filosofi greci (in particolare Aristotele) avevano osservato che quando un corpo emette dei suoni si trova in uno stato di vibrazione, movimento che si comunica all’aria circostante provocando onde paragonabili ai cerchi prodotti sulla superficie di uno specchio d’acqua dalla caduta di un sasso. Si può dunque dire che l’acustica studia i suoni e le onde sonore. Noi ci soffermeremo nello studio di queste ultime, in particolare nella stesura dell’equazione di D’Alambert mostrando una sua applicazione ed infine parleremo di Densità dell’energia sonora.

Matematico e filosofo francese vissuto a Parigi tra il 1717 ed il 1783, membro Dell’Academia a soli 20 anni scrisse varie opere ed esegui vari studi tra i quali il moto delle corde vibranti dando una formulazione rigorosa del problema matematico di queste :

Iniziamo col posizionare un volumetto di fluido (studieremo onde che si propagano

dell’aria) in un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale :

Le dimensioni del volumetto, scomposte nelle rispettive direzioni, danno il volume di questo :

Conoscendo la relazione che lega la massa di un corpo con il suo volume (massa=densita· volume) otteniamo, appunto, la massa del volumetto di fluido, infatti :

(dove con r indichiamo la densità del fluido)

Ricaveremo l’equazione di D’Alambert dalla Legge di Newton :

(forza=massa · accelerazione)

quindi mancano le forze in gioco e l’accelerazione, ricaviamo queste grandezze partendo dall’accelerazione.

In una dimensione :

portando tale relazione in un sistema di riferimento tridimensionale si avrà che :

(dove con u_x,u_y,u_z indichiamo le velocità, delle particelle di fluido, riferite alle rispettive direzioni figuranti a pedice)

Abbiamo cosi ottenuto la relazione :

[ Mettiamo in risalto il fatto che nell’equazione dell’accelerazione la velocità sarebbe U detta velocità d’assieme totale del sistema. Questa ha una componente detta velocità acustica, (scomposta nelle componenti direzionali), da noi utilizzata ed un componente, termine di trasporto, ritenuta da noi nulla in quanto facciamo l’ipotesi che il fluido sia fermo, quindi a velocità nulla.]

Ci serve ora una espressione per la forza dF.

Sapendo che una forza può essere definita come una pressione esercitata su di una superficie possiamo scrivere :

(dove p è la pressione esercitata sulla superficie A)

Ora pensando ad una faccia del volumetto , preso ad esempio nella direzione x, e bilanciando le forze in gioco si ha :

La forza complessiva diviene :

sfruttando il Teorema del Differenziale :

si ha :

e ragionando lungo le tre direzioni :

Eguagliando l’equazione con la Legge di Newton

si ottiene :

Infine, introducendo il gradiente della pressione, semplificando i termini comuni (dV) avremo :

1ª equazione à

Arrivati a questo punto, ricordando che il volumetto è composto da un fluido, di questo fluido ci interessa come la sua densità r vari al variare della pressione.

Pensando ad un gas perfetto (il nostro caso il fluido) introdotto in un pistone sottoposto, quindi, ad una pressione

Si nota che applicando una pressione P’ al gas il sistema oscilla attorno al punto di equilibrio (p,v), lungo la tg a questo. Possiamo cosi ricavare la relazione tra pressione e densità :

e la pendenza della retta tangente è :

essendo P₀ = cost questo implica dP₀ = 0 quindi dr = dr ’.

Trascurando i termini di 2º ordine e semplificando i termini reciproci () si ottiene :

introducendo l’equazione di stato dei gas perfetti :

abbiamo :

2ª equazione à

essendo c la velocità del suono ()

Questo risultato ci dice che il gas è tanto meno comprimibile quanto più la propagazione avvine velocemente.

Abbiamo cosi due equazioni :

in tre incognite P,u,r .

L’equazione delle onde acustiche è legata a queste due.

È essenziale introdurre il Potenziale di velocità F  :

Risolvendo le equazioni precedenti utilizzando il Potenziale di velocità :

Perché queste siano uguali deve essere:

.

sostituendo si ha:

Moltiplicando questa per ed inserendo otteniamo un equazione differenziale di 2º grado detta equazione di D’Alambert :

Questa equazione può essere risolta attraverso una :

• Soluzione analitica (casi risolubili come onde piane progressive, onde piane stazionarie, onde sferiche).
• Soluzione numerica (utilizzando metodi discreti tipo il metodo degli elementi finiti o quello delle differenze finite dove si discretizza rispettivamente lo spazio ed il tempo).

Si può concludere dicendo che :

L’intensimetro è uno strumento acustico che ricava l’intensità sonora ,o meglio la velocità sonora utilizzata per calcolare l’intensità, tramite la pressione esercitata dal suono cioè dalle particelle portatrici del suono, su microfoni (nel nostro caso due) posizionati in un certo modo.

Noi useremo una coppia di microfoni che , ovviamente, devono essere uguali il più possibile tra loro per avere un appropriato studio della variazione di pressione.

A livello circuitale si collegano le uscite dei microfoni ad un operazionale avente , a sua volta, l’uscita collegata ad un integratore che presenterà, in uscita, un segnale proporzionale alla componente cartesiana associata alla posizione dei microfoni, della velocità. Per avere le tre componenti di uno spazio tridimensionale avremo bisogno di tre coppie di microfoni posizionati lungo i tre assi cartesiani dello spazio 3D.

Ricaviamo l’intensità del suono lungo l’asse x .

Dove .

Quello che ci manca è la u_x ,qui entra in gioco l’intensimetro.

Utilizziamo l’equazione di Eulero

approssimando il metodo discreto delle differenze finite ed integrando otteniamo :

Supponendo il segnale sinusoidale si ha :

cioè l’integratore non è altro che un filtro che divide per w (pulsazione), sfasando il segnale di 90º e scende di 6dB per ottava.

È ora utile l’equazione di D’Alambertt per onde piane progressive.

In un onda piana progressiva tutte le particelle di un piano si muovono in un’unica direzione con uguale velocità e pressione, una sorgente di questo moto può essere un pistone che , in modo armonico, si muove all’interno di un tubo.

Le condizioni al contorno sono date dall’ipotesi che all’istante t=0 lo spostamento sia nullo (s=0) e la velocità sia massima (u=u_max).

L’equazione di D’Alambert per un onda piana progressiva è :

dove k=w/c è il numero d’onda.

Utilizzando la notazione di Eulero, la rappresentazione della precedente formula si può scrivere :

in quanto solo la parte reale della formula è coerente in un contesto fisico. Spesso comunque Re viene omesso.

Nel nostro caso, essendo in una dimensione, si ha :

quindi

Imponendo le condizioni al contorno si ha:

E la Pressione ?

Sappiamo che :

allora possiamo scrivere

perciò :

e volendo calcolare l’intensità relativa :

Infine facendo una media temporale dell’intensità istantanea si ricava il valore di intensità acustica detta anche intensità media :

La propagazione di un’onda, in un mezzo qualsiasi, e precisamente la variazione di velocità e pressione a livello locale, comporta anche la propagazione di energia.

Per misurare tale energia si introduce il coefficiente di densità di energia che dà una misura dell’energia per unità di volume :

Se torniamo a pensare ad un pistone in un cilindro, detta A l’area del pistone avremo che :

Prendendo t=1 secondo e sostituendo tali grandezze nella definizione di densità di energia ricaviamo che :

Potendo scrivere l’intensità dal punto di vista energetico come un contributo potenziale ed un contributo cinetico :

possiamo ricavare l’equazione di densità di energia con i contributi energetici :

Si può cosi affermare che :

Certo le sue componenti potenziale e cinetica si travasano tra loro, compensando le proprie variazioni.

Notiamo che nel caso di un onda piana progressiva

e nel caso generale

dove U è diverso da c, cioè si può dire che :

dove l’uguaglianza vale solo nel caso di onde piane progressive.

Da quanto detto, per conoscere le caratteristiche del sistema da analizzare, in acustica si ha che :

• dal punto di vista fisico è necessario rilevare i valori di velocità e di pressione.
• dal punto di vista energetico è necessario rilevare i valori di intensità sonora e di densità di energia.

Introduciamo per finire il livello di densità.

Ogni grandezza acustica è misurata in dB. Introduciamo alcuni livelli :

• livello di pressione
• livello di velocità
• livello di intensità
• livello di densità

Per un onda piana progressiva tutti questi livelli sono uguali tra loro, in generale il livello di intensità è più piccolo o al più uguale a quello di densità :

il livello di pressione può superare il livello di densità al più di 3 dB tanto come quello di velocità.

Si definisce indice di reattività del nostro corpo la differenza che vi è tra il livello di densità e quello di intensità :

quanto più è reattivo il nostro corpo tanto più questo indice è grande.

Spesso si indica l’indice di reattività come la differenza tra il livello di pressione e quello di intensità :

ma questo è sbagliato in quanto questa differenza potrebbe essere negativa , un indice negativo indicherebbe che un campo si può propagare più velocemente di un onda piana progressiva, per quanto detto prima questo è impossibile.

Vibrazione : movimento oscillatoria di particelle attorno alla posizione di equilibrio.

Onde : si osserva spesso che le perturbazioni di una data grandezza fisica, in una certa regione dello spazio, si trasmette alle regioni circostanti. Questo comportamento, comune a molti fenomeni fisici, è noto come propagazione delle onde. La propagazione del suono, della luce, delle vibrazioni di un corpo elastico sono esempi di questo comportamento.

Accelerazione : variazione di velocità che un copro subisce in un certo intervallo di tempo.

Legge di Newton : ogni corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché forze esterne, agendo su di esso, non lo costringono a mutare il suo stato. La forza, quindi, può essere espressa come la massa del corpo moltiplicata per l’accelerazione che subisce tale corpo.

Equazione di stato dei gas perfetti : dette p la pressione, v il volume specifico, T la temperatura espressa in Kelvin, R₀ costante universale (=8314 J/mol K) ,m la massa molare degli elementi componenti il gas si ha :

Potenziale : grandezza scalare tridimensionale tale che il suo gradiente è uguale ad un vettore dato,nel nostro caso la velocita.