SUPERFICI ALETTATE

INDICE RAPIDO

Calcolo dell'efficienza di una singola aletta e dell'intero blocco di alette

Cosa sono e dove si impiegano.

In molti dispositivi elettronici attuali è molto importante il controllo della temperatura di esercizio al fine di non comprometterne il funzionamento, per questo è necessario rendere ottimale lo smaltimento del calore.

Per aumentare lo scambio termico e quindi evitare il surriscaldamento di transistors, chips e altri dispositivi elettronici si possono utilizzare due metodi:

· applicare superfici alettate

· forzare l’aria sul dispositivo. (es. ventola).

Il primo metodo essendo poco costoso e facilmente realizzabile è il migliore per aumentare i coefficienti di convezione dispositivo aria e di conseguenza lo smaltimento del calore.

Il secondo come vedremo in seguito si trova accoppiato al primo come aiuto, da solo infatti produce quasi irrilevanti effetti di raffreddamento e per contro spinge le particele presenti nell’aria a toccare il dispositivo che se incandescente le carbonizza.

Si può comprendere l’importanza che ha assunto lo studio dell’alettatura soprattutto nel raffreddamento delle CPU (non esiste processore che non possieda la sua coppia ventola-dissipatore) e di tutti gli altri dispositivi che fanno impiego dell’elettronica e della microelettronica.

Le alette.

Descrizione.

Le alette sono dei parallelepipedi, di materiale metallico, posti con la faccia più piccola a contatto con la superficie da raffreddare (Fig. 1), in sostanza possono essere viste come una serie di "costole" rettangolari che sporgono perpendicolarmente dalla superficie da raffreddare, Sono costituite di materiale metallico in genere Alluminio o Oro (come è facile intuire per motivi di costo e duttilità il primo è il più utilizzato).

Esistono alette di svariate forme che permettono di migliorarne le prestazioni: a sezione rettangolare (quelle in Fig.1, costituiranno il nostro modello), coniche, a spillo, circolari e molte altre che qui non tratteremo. A pagina 9 sono riportate due tabelle che forniscono il rendimento delle alette in base alle loro rispettive forme.

Fig. 1 – Superficie alettata.

Funzionamento.

Parametri geometrici caratteristici di un’aletta, considerata separatamente dalle altre, sono (Fig.2):

· la lunghezza L

· lo spessore s

· per quanto riguarda la terza dimensione, cioè la profondità dell’aletta noi la considereremo unitaria (1 metro), potendola anche porre infinita.

Fig. 2 – Aletta.

Il calore per conduzione fluisce dal dispositivo da raffreddare al metallo delle alette, per poi essere disperso per convezione tramite le due facce, inferiore e superiore, ed in misura minore dalla testa delle stesse.

Nel caso in cui l’aletta sia stata ottenuta per fusione dal dispositivo, nel punto di contatto entrambi avranno la stessa temperatura che indicheremo con T_P (temperatura di parete), spostandoci lungo l’aletta, la temperatura tenderà a diminuire fino al valore di temperatura dell’ambiente circostante (normalmente rappresentato dall’aria) che indicheremo con . In figura 3 è possibile vedere rappresentato graficamente il flusso del calore attraverso l’aletta. Le linee scure rappresentano il calore che dal dispositivo da raffreddare fluiscono nell’aletta per poi essere disperso dalle facce laterali in maniera variabile con la posizione lungo la sezione.

Fig. 3 – Sezione trasversale aletta.

OSS: Nel caso in cui, invece, l’aletta sia stata applicata successivamente alla costruzione del dispositivo, bisognerà tenere conto di una certa resistenza R_C nel punto di contatto col dispositivo. In tal caso la temperatura alla base dell’aletta sarà inferiore a T_P . Soluzione del problema è il tappetino termoconduttivo.

In figura 4 si può notare, invece, l’andamento della temperatura in funzione della lunghezza dell’aletta, si vede che esiste un punto oltre il quale lo scambio di calore è pressoché nullo essendo la temperatura dell’aletta di poco superiore a quella dell’ambiente, .

Fig. 4 – Temperatura dell’aletta in funzione della sua lunghezza.

Studio matematico della dispersione.

Nello studio matematico del funzionamento dell’aletta è necessario supporre che la propagazione del calore nell’aletta avvenga solo lungo la componente parallela ad essa, in realtà il calore si disperde anche sulle due facce laterali, ma se lo spessore è trascurabile rispetto alla lunghezza dell’aletta (s<<L) l’ipotesi fatta è accettabile.

Lungo la direzione delle ascisse x, la resistenza termica R non è trascurabile, ma se consideriamo un elemento infinitesimo dx possiamo su di esso supporla costante, così come la temperatura T.

In Fig.5 si può notare quale sia il computo del calore scambiato nell’elemento infinitesimo.

Fig. 5 – Analisi del calore scambiato da un elemento infinitesimo.

d e d rappresentano le potenze scambiate per conduzione, mentre rappresenta la potenza scambiata per convezione. Supponiamo che quest’ultima assuma lo stesso valore sia relativamente alla superficie superiore che a quella inferiore.

Bilanciando gli scambi abbiamo che:

POTENZA ENTRANTE = POTENZA USCENTE (1)

Ovvero

(2)

ma anche:

(3)

Sapendo che la potenza di conduzione è per la legge di Fourier:

(4)

dove λ è la conducibilità termica.

Quindi per il calore entrante nell’elemento nel punto x, dunque, otteniamo:

(5)

mentre per il calore uscente nel punto x+dx utilizziamo uno sviluppo di Taylor:

(6)

da cui otteniamo:

(7)

sostituendo poi la (5) nel secondo membro della (7) abbiamo la seguente equazione:

(8)

ovvero:

(9)

Il flusso disperso dalle facce per convezione è poi pari a:

(10)

dove h è il coefficiente di convezione.

Sostituendo poi la (9) e la (10) nella (3):

(11)

ovvero ponendo :

(12)

che è una equazione differenziale omogenea di secondo grado.

Poniamo ora e otteniamo:

(13)

analoga all’equazione di D’Alambert già vista in acustica.

La soluzione dunque risulta:

(14)

nell’acustica m² era negativo e quindi m era immaginario questo secondo le equazioni di Eulero portava ad avere una funzione q oscillante. In questo caso invece m² è positivo e dunque q rappresenta una funzione smorzata.

Non rimane che risolvere l’equazione (13). Per farlo dovremo effettuare una integrazione. Valutiamo le condizioni al contorno, cioè per x = 0 e per x = L.

· Per x = 0 imponiamo il valore della temperatura alla base dell’aletta. Per farlo dobbiamo tenere conto del fatto che il dispositivo si trova alla temperatura Tp e che fra esso e la base dell’aletta esiste una resistenza Rc.

· Per x = L impongo il valore del flusso di convezione. Supponiamo, infatti, che la punta dell’aletta non scambi calore con l’ambiente per convezione, ovvero .

Se s<<L l’ultima considerazione è più che accettabile, ma esistono anche alette il cui spessore è paragonabile alla lunghezza. Tali alette si dicono “tozze”. In tal caso si procede in questo modo: si considera un’aletta equivalente (Fig. 6) di lunghezza L_c=L+(s/2) e si suppone che scambi calore tramite la punta. In questo caso, infatti, la perdita di calore per convezione avviene solo tramite le pareti, ma equivale alla perdita dell’ aletta originaria.

Fig. 6 – Metodo grafico per calcolare di L_c

Procedendo in questo modo è come se avessimo spaccato in due la punta dell’aletta e l’avessimo aperta in modo da prolungare la superficie della stessa.

Le condizioni al contorno dunque diventano:

(15)

(16)

dove e .

Risolvendo otteniamo la A e la B dell’ espressione (14):

(17)

(18)

Sostituendo poi la (17) e la (18) nella (14) si ha:

(19)

dove si vede che m, costante di estinzione dell’onda, è dimensionalmente l’inverso di una lunghezza essendo l’esponenziale ad esponente adimensionale.

Calcoliamo, ora, la potenza scambiata per convezione dall’aletta:

(20)

OSS: Notiamo che se l’aletta fosse stata ricavata sul dispositivo per fusione sarebbe stato Rc = 0.

Efficienza dell’alettatura.

Efficienza della singola aletta.

Consideriamo da prima il caso della singola aletta e vediamo come calcolarne l’efficienza.

La potenza scambiata dall’aletta è inferiore a quella scambiata se la stessa scambiasse calore isotermicamente. Vediamolo meglio introducendo l’efficienza dell’aletta:

(21)

dove 2hL(T_P – T_¥) rappresenta la potenza che l’aletta scambierebbe se fosse tutta alla medesima temperatura.

Sostituendo (20) e (21) otteniamo:

(22)

· Al crescere della lunghezza L () l’efficienza diminuisce sempre più () mentre la potenza tende ad un valore massimo.

· Migliore è la conducibilità l, invece, migliore risulta essere il funzionamento (ad esempio utilizzando alluminio).

Bisogna dunque bilanciare L e l. In genere le alette non hanno mai un’efficienza inferiore al 40%.

Efficienza di un blocco di alette.

Facendo riferimento alla figura 7, chiamiamo S₀ la superficie da raffreddare, S_al la superficie del dispositivo ricoperta di alette, S_piana la superficie del dispositivo in contatto diretto con l’ambiente e S_svil la superficie dell’alettatura a contatto dell’aria.

Abbiamo che: S₀ = S_al + S_piana.

La superficie non alettata del dispositivo S_piana scambia calore direttamente da T_P a T_¥: per questo processo prendiamo efficienza e = 1.

Fig. 7 – Vista in sezione di un’alettatura.

Valutiamo la potenza scambiata:

(23)

dove al secondo membro abbiamo rispettivamente la potenza scambiata dalle alette e quella scambiata dalla superficie non alettata.

Consideriamo l’alettatura come una singola aletta e sviluppiamo la (23):

(24)

dove nel secondo addendo del secondo membro non compare l’efficienza che avevamo precedentemente posto unitaria.

Il tutto si può riscrivere come:

(25)

dove S_al,tot= S_piana + S_svil ovvero l’intera superficie a contatto con l’aria, mentre e_al,tot risulta essere l’efficienza dell’alettatura che tiene conto sia delle alette che della superficie non alettata.

Sull’ efficienza dell’alettatura incide anche il materiale di costruzione, purtroppo quelli che hanno un’ottima conducibilità, come rame e argento, non sono ampiamente impiegabili per il loro costo e duttilità così si utilizza l’alluminio.

Anche la forma è molto importante, riportiamo di seguito due grafici che esprimono l’efficienza delle alette in funzione della loro forma, , Fig. 8 e Fig. 9:

Fig. 8 – Grafico efficienza delle alette triangolari e rettangolari.

Fig. 9 – Grafico efficienza alette circolari e dritte.

Dimensionamento alettatura.

Ai fini pratici ciò che è importante è la capacità di dimensionare un’alettatura su di un dispositivo in base alle sue caratteristiche.

Per questo riportiamo qui di seguito il metodo di dimensionamento, tenendo presente che si tratta di un metodo tipicamente “controintuitivo”, cioè alla fine dei conti si vedrà che è sempre meglio tenere le alette basse e poco spesse, contro quanto l’intuizione suggerirebbe.

Se indichiamo con eal efficienza della singola aletta e con etot l’efficienza totale dell’ alettatura è:

(26)

dove si è posto:

da cui si ottiene finalmente:

Quindi a livello pratico è buona norma partire a dimensionare le alette considerandole tozze e basse per poi via via che si svolgono i calcoli affinarle e renderle più performanti, è sempre più facile che supporre le alette sottili e lunghe.

ESERCIZIO

Alettatura su una CPU (Central Processing Unit).

Oggigiorno lo studio del raffreddamento dei processori dei PC ha assunto una importanza enorme, con CPU che lavorano a frequenze sempre più elevate e vengono alimentate con tensioni sempre maggiori per elaborare sempre più informazioni nel minor tempo possibile.

Oltre alle CPU nei computer di oggi anche il processore della scheda grafica così come i vari chipsets presenti sulla scheda madre e sulle schede delle periferiche sono dotati di dispositivi di raffreddamento.

Consideriamo una CPU (es. PENTIUM PRO, Fig. 10) di un Computer con la superficie quadrata di lato L = 50mm, tale dispositivo è in grado di dissipare una potenza di 50W nell’ambiente (alla temperatura di 20 gradi Centigradi).

Fig. 10 – CPU (Central Processing Unit)

1. Trovare a che temperatura si porta il dispositivo.

2. Studiare una opportuna alettatura per abbassare la temperatura.

CASO A - Nessuna alettatura:

Risolviamo da prima il problema in situazione di convezione naturale, cioè in ambiente con aria ferma.

C’è solo scambio termico, quindi la potenza scambiata è:

(1)

da cui:

(2)

Supponiamo accettabile per la CPU una temperatura di 100°C.

E’ necessario a questo punto conoscere il numero di Grashof Gr, la cui espressione è data da:

g = 9.81m/s² è l’accelerazione di gravità

b = 1/T è il coefficiente di dilatazione termica (che nel caso di gas è l'inverso della temperatura).

L = 0.05m è il lato della superficie quadrata

n_aria= 16^.10^-6m²/s è la viscosità cinematica dell’aria

Il numero di Prandtl in queste condizioni è Pr = 0,71

Possiamo, dunque, calcolare il numero di Rayleigh Ra:

il valore ottenuto è molto inferiore a 10⁹ quindi ci troviamo in condizioni di moto laminare.

Valutiamo, ora, il numero di Nusselt:

ma:

con l_aria= 0,03 w/mK è la conducibilità termica dell’aria.

Ricaviamo dunque h:

Possiamo calcolare la temperatura del dispositivo:

Un valore che è decisamente troppo alto.

Nella trattazione precedente, però, è stato trascurato lo scambio termico dovuto all’irraggiamento. Ripetiamo il procedimento considerandolo.

Al posto di h prenderò h_tot=h+h_r,dove h_r è il coefficiente di irraggiamento:

dove a=0,8 è il coefficiente di assorbimento del materiale, in genere plastica nera, e s₀=5,67·10^-8 w/m²K⁴ è la costante di Stefan-Boltzmann.

Per cui

Il che ci porta a calcolare sempre troppa alta!

CASO B - Con alettatura applicata:

Si rende necessario quindi applicare un’alettatura come quella che si può vedere nella figura successiva:

Fig. 10 – Alettatura applicata alla CPU.

Consideriamo un’alettatura in alluminio (l_all= 120w/mK) ricavata per fusione (R_c= 0). Ogni aletta ha lunghezza L = 20 mm, larghezza pari al dispositivo, spessore s = 3 mm e dista dalla successiva 3 mm. Da ciò si deduce che il numero massimo di alette applicabili sarà 8. Il concetto è quello di alettare la superficie per il 50%.

Rifacendoci alla teoria abbiamo:

ma anche:

dove:

Inoltre:

da cui notiamo che lo sviluppo completo delle alette è decisamente maggiore dell’area della CPU.

Calcoliamo inoltre il fattore che ci consentirà di trovare il valore di efficienza dell’aletta, prendendo come valore di h quello che non tiene conto della parte radiante, cioè 9,56:

conoscendo il quale possiamo ricavare l’efficienza sul diagramma di Fig.9 che risulta e_A=0,97.

Inoltre, conoscendo:

ricaviamo la temperatura:

che è un valore inaccettabile.

Supponiamo quindi di raddoppiare la lunghezza delle alette, da 20 a 40mm, ciò causerà un calo del rendimento, ma mi abbasserà sicuramente la temperatura a valori accettabili.

Si ottiene quindi:

Da cui si ricava sempre da figura 9 che e_A= 0.93, quindi rifacendo i calcoli precedenti si ottiene un valore di temperatura di 85 gradi.

Potevo inoltre migliorare le prestazioni aumentando il coefficiente di convezione applicando una ventola (in convezione forzata il coefficiente di convezione risulterebbe 30 – 35 volte superiore). Così facendo avremmo aumentato la dissipazione e diminuito la temperatura; oppure colorando le alette di nero, ciò ci avrebbe fatto recuperare qualche W/m².

Sulle moderne CPU si trova oltre che all’ accoppiata dissipatore ventola un tappetino siliconico termoconduttivo (in rosa nella figura 12), si tratta di una pasta di silicone dalle elevate proprietà termoconduttive che è in grado di riempire eventuali irregolarità delle superfici metalliche a contatto che potrebbero limitare la trasmissione del calore.

Fig. 12 – Particolare del tappetino termoconduttivo.

Le schede madri stesse possiedono sensori per il monitoraggio della temperatura dei processori e delle altre componenti che grazie a software appositi (un esempio alla figura 13), mentre lavoriamo col nostro computer monitorizzano la situazione.

Questo ci fornisce una misura della importanza fornita dai produttori di componenti elettroniche allo smaltimento del calore. Perché non si ripetano più spiacevoli situazioni, come quella del PENTIUM PRO per cui tutti i primi processori entrati sul mercato bruciavano inesorabilmente.