Argomenti trattati

Esercizi sul moto dei fluidi

· Esercizio n° 1 e 2 – Esempi di ciclo iterativo

· Esercizio n° 3 – Lo svuotamento di due serbatoi

· Esercizio n° 4 – La fontana

Appendice

· Diagramma di Moody

· Nomogramma

· Coefficiente Beta per alcune accidentalità presenti in un circuito idraulico

Esercizi sul moto dei fluidi

Esercizio n° 1 – Esempi di ciclo iterativo

Testo

In un tubo orizzontale di diametro D=15cm e lunghezza L=300m scorre acqua con una portata 1800 l/min ad una temperatura di 27° C.

Calcolare quanto varia la portata se l’acqua viene raffreddata fino a 5° C considerando che la potenza della pompa è costante (=costante)(coeff. di rendimento ).

Dati

L = 300 m

=costante

=1800 l/min

° C

= 5° C

D =15 cm

Soluzione

Ricaviamo dapprima la viscosità cinematica dal rapporto tra la viscosità statica e la densità dell’acqua , i cui valori sono stati ottenuti su tabelle apposite considerando il liquido alla temperatura di 27° C e alla pressione di 1 BAR.

Ora calcoliamo il numero di Reynolds per risalire, tramite il diagramma di Moody, al fattore di attrito e comprendere anche sotto quale tipo di regime ci troviamo (laminare, di transizione o turbolento).

Per determinare la velocità del fluido dividiamo la portata per la sezione del tubo:

Determinato il valore (siamo in regime fortemente turbolento) possiamo, conoscendo la scabrezza relativa , valutare il fattore di attrito avvalendoci del diagramma di Moody.

Otteniamo così =0.0145

Calcoliamo le perdite distribuite:

Dunque la potenza della pompa è:

Dato che la pompa ha un rendimento , la potenza effettiva risulta:

Se riduco la temperatura avrò delle variazioni nei valori della viscosità e quindi nel numero di Reynolds, mentre per ipotesi, terrò la velocità costante.

Quindi avrò

e consultando il diagramma di Moody mantenendo il precedente valore di scabrezza relativa e utilizzando il nuovo numero di Reynolds, ottengo:

Il fattore di attrito è aumentato(Reynolds invece è diminuito) e, poiché abbiamo supposto costante la potenza della pompa, deve essere calata la portata. Se è calata la portata, però dovrà diminuire anche la velocità che in un primo momento avevamo supposto costante.

La velocità sarà

Ricalcolando i vari coefficienti e parametri dovrò ora tenere la nuova velocità.

Ottengo:

Ma la nuova portata varrà:

Il processo iterativo non converge per cui adesso provo a mantenere costante la prevalenza e non più la velocità.

e calcolo la nuova portata:

la nuova prevalenza sarà, dovendo essere la potenza costante:

adesso utilizzo la nuova prevalenza per iterare ulteriormente calcolando il nuovo numero di Reynolds, la nuova velocità e un’ulteriore prevalenza:

il nuovo valore della velocità sarà:

mentre quello della portata:

e calcolando la prevalenza otteniamo un valore prossimo a quello definitivo:

Casella di testo: In queste tipologie di problema che coinvolgono cicli iterativi, vale una regola empirica che tende a tenere costante il termine con esponente minore e far variare il termine con esponente maggiore; nelle formule precedenti, per esempio, la velocità, che era elevata al quadrato, è stata fatta variare mentre la prevalenza è stata tenuta costante.

Esercizio n° 2 – Esempi di ciclo iterativo

Testo

Due tubi orizzontali (1 e 2) posti in serie, di diametro rispettivamente =5cm e =10cm e lunghezza =180m e =90m collegano due serbatoi riempiti con acqua (la differenza di quota tra i due peli liberi vale =6m). Sapendo che i tubi sono in ghisa con un =0.2mm e considerando un coefficiente di viscosità cinematica , calcolare la portata in volume di acqua tra i due serbatoi.

Dati

=180m

=90m

=5cm

=10cm

H=6m

Soluzione

Per cominciare scriviamo la legge di Bernoulli applicata alle due sezioni:

in cui il primo termine è stato troncato perché le velocità sono molto piccole e quindi trascurabili mentre il secondo termine è barrato poiché il salto di pressione è nullo in soli 6m di dislivello.

Calcolo adesso le perdite concentrate e distribuite avvalendomi della lunghezza equivalente ricavata dalla consultazione del nomogramma in appendice.

(1)

ma la portata deve essere la stessa nelle due sezioni:

allora:

Sostituiamo nella (1) e otteniamo:

ricaviamo allora :

(2)

Nell’equazione (1) sono presenti tre incognite (la velocità ed i fattori d’attrito e ). Poiché i fattori di attrito dipendono dalla velocità tramite il numero di Reynolds, risolveremo il problema innescando un ciclo iterativo e considerando una che chiameremo “velocità di primo tentativo.

· Primo tentativo

Ora calcolo i numeri di Reynolds corrispondenti:

Calcolo adesso la scabrezza relativa dei tubi in ghisa:

Considerando i valori appena calcolati (numeri di Reynolds e scabrezza relativa), consultiamo il diagramma di Moody per risalire ai coefficienti di attrito e .

Abbiamo:

Ricaviamo facilmente le lunghezze equivalenti consultando il Nomogramma: alla voce allargamento brusco di sezione corrisponde il punto 13 del diagramma mentre alla voce allargamento brusco di diametro corrisponde il punto 10. Otteniamo:

Sostituiamo i valori nella (2) e avremo:

· Secondo tentativo

E ricalcoliamo Reynolds:

A cui corrispondono rispettivamente:

Sostituiamo quindi nella (2) ottenendo:

L’iterazione potrebbe continuare ma otterremmo risultati di valore analogo. Siamo giunti ad una buona approssimazione del risultato reale.

Esercizio n° 3 – Lo svuotamento di due serbatoi

Testo

A due serbatoi uguali di forma cilindrica (A e B) di diametro D=1m riempiti di acqua (), sono stati applicati alla base due condotti di lunghezza diversa (rispettivamente e con ) e diametro d=100mm. Determinare quale dei due serbatoi si svuota per primo.

Dati

D=1m

d=100mm

Soluzione

Calcoliamo le perdite di carico concentrate e distribuite:

in cui L è la lunghezza del condotto mentre è la velocità nella sezione 2.

Applico l’equazione di Bernoulli di bilancio dell’energia:

esplicitando :

Supponiamo che la lunghezza del tubo L sia circa uguale ad H ().

Notiamo che la velocità con cui esce l’acqua dipende dal fattore d’attrito, che a sua volta dipende dalla stessa ; dunque è necessario procedere tramite un ciclo iterativo. Ipotizzo di trascurare le perdite distribuite ponendo (questo permette di considerare il condotto liscio).

(velocità di primo tentativo) =

Dal diagramma di Moody, considerando una scabrezza relativa ottengo

Da questo valore ricavo la velocità di secondo tentativo:

ottengo

Da questo valore ricavo la velocità di terzo tentativo:

che può essere considerata il risultato definitivo.

Operando in modo analogo con il serbatoio B otteniamo:

Dal diagramma di Moody, considerando una scabrezza relativa ottengo

Da questo valore ricavo la velocità di secondo tentativo:

ottengo

che è il nostro risultato definitivo.

Abbiamo dimostrato che B si svuota prima rispetto ad A.

Esercizio n° 4 – La fontana

Testo

Una fontana è alimentata da una pompa di prevalenza Dp. Determinare l’altezza h raggiunta dal getto.

Dati

L = 6 m

Dp = 4 BAR = 4 x 10⁵ Pa

D = 0.08 m

d = 0.02 m

e = 0.05 mm

r = 10³ Kg/m³

u = m/r = 10^-6 m²/s

Soluzione

Iniziamo a risolvere il problema prendendo 2 sezioni nella fontana della figura a cui faremo riferimento nella legge di Bernulli. Scegliamo una prima sezione all’altezza del pelo dell’acqua nella fontana (sezione 3), mentre prendiamo la seconda sull’orifizio di diametro d (sezione 2).

L’equazione di Bernoulli:

(1)

Il termine verrà tralasciato in quanto le due sezioni scelte si trovano entrambe alla pressione atmosferica.

Abbiamo bisogno di un’ulteriore equazione per risolvere il sistema in 2 incognite. Sfruttiamo l’equazione di continuità uguagliando le portate nelle due sezioni:

(2)

Poichè la sezione S = , otterremo

Risolviamo allora il sistema:

(3)

Consideriamo allora le perdite di carico. Utilizzando il Nomogramma in appendice possiamo calcolare le perdite di carico localizzate come perdite distribuite su una determinabile lunghezza equivalente . Conoscendo il diametro interno del tubo (2 mm) e il numero a cui corrisponde questa accidentalità (allargamento brusco di sezione ) è facile ricavarne il valore:

0.7

Troviamo adesso il valore delle perdite di carico in funzione del coefficiente d’attrito :

(4)

Sostituendo nel nostro sistema otteniamo una seconda funzione di questo tipo:

(5)

Il calcolo del fattore di attrito però, richiede la conoscenza del numero di Reynolds Re e della velocità che individueranno sul diagramma di Moody un determinato valore di . In questo caso non è possibile calcolare Re in quanto esso stesso dipende dalla velocità w.

Dunque utilizzeremo un procedimento iterativo. Per iniziare possiamo calcolare il valore di velocità che avremmo in presenza di un fattore di attrito nullo.

Quando

Questo valore di velocità ci porterebbe a calcolare il seguente numero di Reynolds:

(6)

Siamo in presenza di moto turbolento. Con questo determinato valore di Re e utilizzando la viscosità data leggiamo sul diagramma di Moody un nuovo valore di diverso dal precedente che chiameremo .

Con questo nuovo coefficiente d’attrito calcoliamo con la (5) una nuova velocità . Questo nuovo valore, che differisce di poco dal valore precedente, posso considerarlo il mio valore definitivo.