UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

Anno accademico 2001-2002

Corso di laurea : ingegneria delle telecomunicazioni

 

Corso di fisica tecnica

Docente del corso : Angelo Farina

Relazione della lezione di fisica tecnica tenuta il giorno 11/12/2001 alle ore 16 :30-18 :30

 

Argomenti trattati

v Scambio termico tra due superfici piane

v Fattore di forma

v Esercizi sullo scambio termico

 


Esercizio 1

 

Questo esercizio studia lo scambio termico tra due superfici piane S1 e S2 poste l’una di fronte all’altra, a temperature T1 e T2 e separate dal vuoto. Esse saranno studiate nei tre casi:

1.      Entrambe le superfici nere

2.      Una superficie grigia, una nera

3.      Entrambe le superfici grigie

Fig. 1 – Scambio di calore tra due superfici

S1 e S2 entrambe nere

 

Il coefficiente di assorbimento è pari  per entrambi i corpi.

Utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann trovo

  (1)

dove ricordiamo che  è la  costante di Boltzmann = 5.67 10-8   

Dalla legge di Prevost (ricordando a=1) ricavo

   (2)

S1 grigia, S2 nera

I coefficienti di assorbimento sono ; da Stefan-Boltzmann abbiamo

  (3)

La superficie 1 assorbe il calore  e quindi riflette , che ritorna sulla superficie 2 e viene da essa assorbito insieme alla quantità emessa da 1.

  (4)

Da qui ricaviamo la potenza scambiata

  (5)

S1, S2 entrambe grigie

Abbiamo ; chiamiamo non solo l’energia riflessa, ma tutta quella che arriva su S2, e analogamente . Se risolviamo il sistema

  (6)

troviamo i valori che cerchiamo:

 

Possiamo sostituire (7) nella relazione di Prevost  relativa alla superficie S1 per trovare una equazione generale per lo scambio termico tra due superfici grigie indefinite piane parallele, di cui le due precedentemente trovate erano casi particolari:

  (9)

Nota: Le energie sono parzialmente riflesse dall’una all’altra superficie, teoricamente all’infinito; rigorosamente questo problema andrebbe risolto con un transitorio, considerando ogni singola riflessione, ma la risoluzione tramite il bilancio energetico non comporta un errore rilevante.

Si vede che il calore scambiato tra i due corpi grigi (ad esempio due mura di mattoni) non è certo trascurabile; se poi i due corpi non fossero separati dal vuoto ma da aria libera di circolare, troveremmo anche fenomeni di convezione.

Esempio numerico

  

Distanza tra le lastre 0,05 m

Sostituendo nella equazione appena trovata otteniamo

  (10)

Consideriamo ora il contributo del flusso convettivo. Calcoliamo innanzitutto il numero di Grashof:

 (11)

Il numero di Raleigh risulta quindi inferiore a 109 e ci troviamo quindi in moto laminare. Calcoliamo quindi il numero di Nusselt sostituendo a Gr il valore trovato nella (11) :

 (12)

e con questo possiamo trovare il coefficiente di convezione h

  (13)

Adesso abbiamo tutto quanto ci serve per calcolare

  (14)

Osservazione: se avessimo alzato T1 e T2 pur mantenendo il (ad esempio (T1=500 °C e T2=400°C), il sarebbe rimasto pressoché invariato, mentre avremmo avuto un , cioè diventa confrontabile con .

In una caldaia che lavora intorno ai 1550 °C, il calore scambiato per convezione rappresenta un 8-10% del calore totalmente scambiato.


Fattore di forma (o di vista)

 

Introduciamo questo parametro che ci permetterà di studiare lo scambio termico tra corpi più complessi delle due superfici piane indefinite.

Presi due corpi qualsiasi che si scambiano calore, non tutta la potenza emessa  da un corpo viene recepita dal secondo corpo, ma solo una parte di essa (che chiamiamo  viene assorbita e il resto si disperde.

Fig. 2 – scambio termico tra due corpi qualsiasi

 

Definiamo quindi fattore di forma (o di vista) il rapporto tra il calore assorbito dal corpo 2 e il calore totale emesso dal corpo 1

  (15)

Se un corpo è completamente circondato, tutto il calore che esso emette viene assorbito dagli altri corpi e quindi

  (16)

Il fattore di forma si calcola sull’ipotesi che la quantità di calore percepita da un corpo è proporzionale all’angolo solido con cui esso viene visto dalla sorgente. Infatti, presi due elementi di superficie S1 ed S2 di entrambi i corpi e conoscendo gli angoli solidi e  riferiti alle rispettive superfici, è possibile calcolare

  (17)

Integrando poi sulla superficie completa dei due corpi si trova  da cui poi si ricava il fattore di forma. Esistono inoltre formule che permettono di ricavare più facilmente il valore del fattore di forma tra due superfici.

Esercizio

Analizziamo ora uno di questi casi particolari, ossia il caso di un corpo convesso completamente contenuto all’interno di un’altro grande e chiuso. Supponiamo che il corpo esterno (detto 1) sia nero; chiamiamo S1 e S2 le superfici dei due corpi e T1 e T2 le rispettive temperature.

Fig. 3 – Un corpo contenuto dentro un altro

Si vede subito che  e quindi , cioè tutto il calore emesso dal corpo 2 viene assorbito dal corpo 1. Si ha invece che solo parte del calore emesso dal corpo 1 viene assorbito dal corpo 2, cioè .

Mettiamoci in condizioni isoterme, ossia ; la quantità di calore emessa deve essere pari a quella ricevuta.

Sappiamo che la potenza emessa dalle superfici è pari a

  (18)

  (19)

Per definizione di fattore di forma, inoltre, il calore assorbito dal corpo 2 è pari a

  (20)

La potenza scambiata dal punto di vista del corpo 2 è

  (21)

ma se T1 = T2 allora trovo che il fattore di forma è pari a

  (22)

e questo valore è valido anche quando T1 e T2 non coincidono.

Sostituendo il valore del fattore di forma nella (21) abbandonando le ipotesi restrittive precedenti trovo che la potenza scmbiata da un corpo contenuto all’interno di un altro molto maggiore che può essere considerato come un corpo nero è

  (23)

 

 

Se il corpo 1 non è più assimilabile ad un corpo nero il sistema da risolvere si modifica in questo modo

  (24)

la cui soluzione inserita nella legge di Prevost mi porta a

     (25)

Questa  vale per tutti i casi in cui un corpo è completamente contenuto dentro un altro. Si vede infatti che se ossia se S1 fosse molto piccolo rispetto a S2 ritroveremmo la che avevamo calcolato nel caso in cui il corpo 1 era nero.

Esercizio – Forno rotante per la cottura del cemento

 

Dato un forno cilindrico rotante per la cottura del cemento, di lunghezza 5 m, diametro 1.5 m, con temperatura di parete 523 K, coefficiente di assorbimento 0.8, calcolare la potenza termica dispersa per irraggiamento dal forno sapendo che la temperatura ambiente è di 300K.

Dati

d = 1.5 m      = 523K

r = 5m           = 300 K

a = 0,8

 

Fig. 4 – Forno rotante per la cottura del cemento

 

 

Soluzione

 

Consideriamo il forno piccolo rispetto al capannone industriale, che verrà quindi trattato come un corpo nero.

  (26)

che è un valore molto alto. Si può provare ad abbassarlo inserendo intorno al tubo una schermatura fissa di lamiera di diametro  e .

Fig. 5 – Forno rotante con schermatura

Per calcolare la potenza emessa dal forno mi manca la temperatura della schermatura. Posso però considerare lo scambio tra il forno e l’esterno come somma di due scambi, il primo tra il forno e la schermatura e il secondo tra la schermatura e l’esterno. Ricavo quindi in due modi diversi.

·      Tra forno e schermatura

  (27)

·      Tra schermatura ed esterno

  (28)

Eguaglio le due espressioni ed ottengo una equazione del 4° grado, non molto facile da risolvere analiticamente.
Procedendo per tentativi si giunge al risultato di .

Possiamo quindi calcolare la potenza in uscita che risulta

  (29)

che è meno di un terzo di quella calcolata senza schermatura.

L’introduzione di questa schermatura, inoltre, non comporta errori significativi anche in presenza di fenomeni di convezione.

 

Osservazione

Visto che le relazioni appena osservate sono funzioni di , per poterle utilizzare insieme ad altre resistenze termiche spesso si costruisce una resistenza equivalente del tipo

  (30)  

con    (31)

Questo metodo non è preciso, visto che la resistenza così costruita non è lineare, ma siccome la potenza scambiata per irraggiamento è bassa in presenza di fenomeni convettivi o conduttivi, questo tipo di artificio comporta un errore generalmente non superiore al 1%.

Esercizio – Tubo con isolante

 

E’ dato un tubo di acciaio lungo un metro, di cui sono noti raggio interno ed esterno e conducibilità termica , ricoperto da uno strato di isolante di cui conosciamo il raggio , il coefficiente di assorbimento a e la conducibilità termica . All’interno del tubo scorre acqua di cui conosciamo la temperatura , la velocità v e il grado igrometrico.
E’ nota inoltre la temperatura dell’ambiente.

Fig. 6 – Tubo in acciaio con isolante

Calcolare se il raggio dell’isolante è sufficiente ad evitare la formazione di rugiada sulla superficie del tubo.

Dati

Soluzione

Sul diagramma psicrometrico troviamo che ad un grado di 0,5 alla temperatura esterna di 20°C corrisponde una temperatura di rugiada di 9,8°C. Per sicurezza verificheremo che la temperatura di parete esterna sia .

Il circuito equivalente per questo sistema è

Fig. 7 – circuito equivalente

Calcoliamo uno ad uno il valore delle resistenze termiche

(1)     Troviamo il numero di Reynolds

  (32)

Il numero di Nusselt, sapendo che per l’acqua a 5°C, diventa

  (33)

Tra i valori tabellati troviamo la conducibilità dell’acqua , che ci permette di ricavare il coefficiente di convezione h

  (34)

A questo punto possiamo calcolare la prima resistenza

  (35)

(2)       (36)

(3)       (36)

Rispetto a  possono essere considerate trascurabili.

(4)     E` presente solo convezione naturale. Calcoliamo il numero di Grasshof

  (37)

da cui ricaviamo che il moto è laminare. Con i valori tabellati di a, b e C troviamo che il numero di Nusselt è pari a

  (38)

da cui ricavo il coefficiente di convezione

  (39)

Calcoliamo ora il coefficiente di irraggiamento, che sommeremo al coefficiente di convezione, usando la formula semplificata (31) descritta sopra

  (40)

Il coefficiente complessivo è la somma dei due cioè

  (41)

 

Il valore della resistenza equivalente è quindi pari a

  (42)

Ora ho tutto quello che mi serve; ricostruisco il mio circuito semplificato che trovo essere di questa forma

Fig. 8 – circuito semplificato

Siccome  e sono quasi uguali, si può dire che la temperatura tra le due resitenze sarà all’incirca la media tra le temperature agli estremi del circuito, ossia che la temperatura di parete varrà

   (43)

che, essendo un valore superiore a 10°C, mi assicura che l’isolante è sufficiente per evitare la formazione di rugiada.

 

Appendice 

Tabella diametro interno delle tubazioni

DN

pollici

mm

1/2"

15

-

16

3/4"

20

1"

25

1" 1/4

32

1" 1/2

40

2"

50

2" 1/2

60 - 65

-

75

3"

80

-

90

4"

100

-

110

5"

125

-

140

6"

150

-

160

-

180

8"

200

-

225

10"

250

-

280

12"

300

-

315

14"

350

-

355

16"

400

18"

450

20"

500

-

560

24"

600

-

630

-

710

PE Sigma 50

PE Sigma 80

Acciaio

PN 6

PN 10

PN 16

PN 10

PN 16

PN 25

saldato

s/ sald.

-

-

-

-

-

-

16.7

16.7

-

12.8

11.4

-

-

-

-

-

-

16.2

14.4

-

-

-

21.7

22.3

21.8

20.4

18.0

-

-

-

28.5

27.9

28.2

26.0

23.0

-

-

-

36.6

36.6

35.4

32.6

28.8

-

-

-

42.5

42.5

44.2

40.8

36.2

-

-

36.2

53.9

53.9

55.8

51.4

45.6

-

-

45.8

69.7

69.7

66.4

61.2

54.2

-

61.4

54.4

-

-

-

-

-

-

-

-

81.7

81.7

79.8

73.6

65.0

-

73.6

65.4

-

-

-

-

-

-

-

-

107.1

106.3

91.4

90.0

79.6

96.8

90.0

79.8

-

-

110.8

102.2

90.4

110.2

102.2

90.8

132.5

130.7

124.0

114.4

101.2

123.4

114.6

101.6

-

-

-

-

-

-

-

-

160.3

159.3

141.8

130.8

115.8

141.0

130.8

116.2

-

-

159.6

147.2

130.2

158.6

147.2

130.8

-

-

177.2

163.6

144.8

176.2

163.6

145.2

209.1

207.9

199.4

184.0

162.8

198.2

184.0

163.4

-

-

221.6

204.4

181.0

220.4

204.6

181.6

261.8

260.4

248.2

229.0

-

246.8

229.2

203.4

-

-

-

-

-

-

-

-

312.1

309.7

279.2

257.6

-

277.6

257.8

228.8

-

-

-

-

-

-

-

-

343.0

341.4

314.8

290.4

-

312.8

290.6

258.0

-

-

354.6

327.2

-

352.6

327.4

-

393.8

390.4

399.0

368.0

-

396.6

368.2

-

444.6

441.2

443.4

-

-

440.6

409.2

-

495.6

490.4

496.6

-

-

495.6

-

-

-

-

-

-

-

555.2

-

-

597.0

589.6

558.6

-

-

625.8

-

-

-

-

629.6

-

-

705.2

-

-

-

-

 

ø esterno

mm

50

60 - 65

75

90

110

125

140

160

180

200

225

250

280

315

355

400

500

630

Tubi PVC pressione
Tubi PVC fognatura tipo SN

PN 6

PN 10

PN 16

SN2

SN4

SN8

46.4

45.2

42.6

-

-

-

59.2

57.0

53.6

-

-

-

70.6

67.8

63.8

-

-

-

84.6

81.4

76.6

-

-

-

103.6

99.4

93.6

-

-

-

117.6

113.0

106.4

-

-

-

134.4

126.6

119.2

-

-

-

150.6

144.6

136.2

153.6

152.0

150.6

169.4

162.8

153.2

-

-

-

188.2

180.8

174.2

192.2

190.2

188.2

211.8

203.4

-

-

-

-

235.4

226.2

-

240.2

237.6

235.4

263.6

253.2

-

-

-

-

299.6

285.0

-

302.6

299.6

296.6

334.2

-

-

-

-

-

376.6

-

-

384.2

380.4

376.6

-

-

-

480.4

475.4

470.8

-

-

-

605.4

599.2

593.2

Tabella diametro esterno delle tubazioni

Pollici
Diametro
Nominale
Acciaio
PE - PVC
Ghisa
Fibrocemento

6 - B

10 - C

12,5 - D

15 - E

17,5 - F

1/8"

-

10.3

-

-

-

-

-

-

-

1/4"

-

13.7

-

-

-

-

-

-

-

3/8"

10

17.2

16

-

-

-

-

-

-

1/2"

15

21.3

20

-

-

-

-

-

-

3/4"

20

26.9

25

-

-

-

-

-

-

1"

25

33.7

32

-

-

-

-

-

-

1" 1/4

32

42.4

40

-

-

-

-

-

-

1" 1/2

40

48.3

50

-

-

-

-

-

-

2"

50

60.3

63

-

-

-

-

-

-

2" 1/2

60 - 65

76.1

75

77

78

78

78

78

78

3"

80

88.9

90 - 110

98

98

98

102

106

110

4"

100

114.3

110 - 125

118

118

120

126

132

136

5"

125

139.7

125 - 140

144

143

147

153

159

165

6"

150

168.3

160 - 180

170

168

174

182

190

196

7"

175

-

-

197

195

201

211

219

227

8"

200

219.1

200 - 225

222

222

234

244

252

262

9"

225

-

-

248

249

253

269

281

293

10"

250

273

250 - 280

274

276

286

296

306

318

12"

300

323.8

315-355

326

330

344

354

368

380

14"

350

355.6

355-400

378

384

400

414

428

442

16"

400

406.4

400-450

429

438

456

472

490

504

18"

450

457.2

450-500

480

492

512

534

550

566

20"

500

508

500-560

532

546

570

592

612

626

24"

600

609.6

630

635

-

680

696

720

-

Tutte le misure a parte la prima colonna (pollici) sono espresse in mm.

 

Tabella Spessori isolanti minimi delle condotte

Conduttività termica utile

 (W/m °C)

Spessore dell'isolante (mm)

Condotte tipo "A"

Condotte tipo "B"

Condotte tipo "C"

0.030

19

9.5

5.7

0.032

21

10.5

6.3

0.034

23

11.5

6.9

0.036

25

12.5

7.5

0.038

28

14.0

8.4

0.040

30

15.0

9.0

0.042

32

16.0

9.6

0.044

35

17.5

10.5

0.046

38

19.0

11.4

0.048

41

20.5

12.3

0.050

44

22.0

13.2

 

Note:

Le condotte tipo A corrono in ambienti non riscaldati.

Le condotte tipo B corrono all’interno dell’isolamento termico dell’edificio verso l’interno del fabbricato.

Le condotte tipo C corrono all’interno degli edifici e in locali riscaldati.

 

I dati riportati nella tabella seguente sono forniti a titolo indicativo per la progettazione di massima. I valori utili da adottare nella progettazione esecutiva di dettaglio devono essere sempre desunti dal valore dichiarato dal produttore, se certificato. I dati sono riferiti alla temperatura media di 40°C e tengono conto dell’influenza della posa, delle tolleranze di spessore, delle tolleranze di produzione, del comportamento nel tempo, della stabilita dimensionale, ecc., in senso generale.

 

Tipo di materiale

Configurazione

Densità (Kg/m³)

l a 40°C (W/mK)

Lana di vetro

feltri

19

0.050

22

0.046

55

0.041

pannelli

22

0.046

60

0.040

coppelle

60

0.039

Lana di roccia

feltri

80

0.047

120

0.044

pannelli

60

0.044

120

0.041

coppelle

100

0.041

Polietilene (PEF) estruso in continuo, non reticolato, in tubi

tubi

30

0.045

Polietilene (PEF) espanso in continuo reticolato termosaldato

 

30

0.045

Polietilene (PEF) espanso in continuo in lastre reticolato

lastre

30

0.045

Poliuretano espanso Pur/Pir in coppelle

 

 

coppelle

 

 

15

0.040

20

0.039

40

0.038

Poliuretano espanso Pur/Pir in flessibile

 

coppelle

 

15

0.040

30

0.039

Poliuretano espanso Pur/Pir espanso in situ

 

30

0.045

Elastomeri espansi (FEF) estrusi in continuo

 

 

 

55

0.040

70

0.040

Resine fenoliche (FF) espanse

coppelle

30

0.038

Polistirene (PSE) espanso

coppelle

20

0.045

Polistirene estruso (PER) rigido

coppelle

30

0.040

 

Tab. 2.11 - Conduttività termiche indicative di riferimento di alcuni materiali isolanti tratte da UNI 10376