Introduzione

I fenomeni acustici sono, come è noto, fenomeni oscillatori che si propagano in un mezzo elastico. E’ evidente che una descrizione adeguata dei fenomeni sonori richiede la conoscenza dei valori che in ogni istante assumono le grandezze acustiche, e in particolare la pressione acustica, nei vari punti del mezzo interessato, ossia la conoscenza particolareggiata del campo sonoro. Lo scopo principale di questa lezione sarà appunto quello di esprimere le grandezze acustiche attraverso un modello matematico; ci occuperemo quindi dello studio dell’equazione di D’Alembert, di una sua applicazione e della sua soluzione analitica nel caso specifico delle onde piane progressive. Infine introdurremo una nuova grandezza, la densità dell’energia sonora.

L’equazione di D’Alembert

Consideriamo un volumetto infinitesimo di fluido dV in un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni:

Il suo volume sarà dato dalla formula:

Sapendo che la massa di un corpo è uguale al prodotto tra la sua densità e il suo volume, otteniamo la massa del volumetto:

Richiamiamo la 2^ legge di Newton:

e ricaviamo l’accelerazione:

dove è la velocità delle particelle del volumetto di fluido.

Sebbene nei fenomeni acustici da noi considerati il fluido attraverso il quale si propaga il suono è mediamente fermo, nel caso più generale potrebbe esserci anche un moto del volumetto; quindi è opportuno scrivere la legge di Newton utilizzando il concetto di derivata sostanziale:

In acustica comunque si considera un campo in cui la velocità media del fluido è nulla e così la derivata sostanziale della velocità rispetto al tempo si riduce ad una derivata ordinaria.

Applicando l’equazione dinamica al volumetto di fluido esprimo il fatto che la forza d’inerzia, per un elemento di volume delimitato da due facce normali alla direzione di propagazione, è equilibrato dalla differenza di pressione che esiste fra le due facce stesse:

Sapendo che , che e limitandoci a studiare la situazione lungo l’asse x abbiamo che:

Eguagliamo l’equazione con la legge di Newton:

Facendo le opportune semplificazioni otteniamo:

Infine, introducendo il gradiente della pressione e passando alle tre dimensioni, arriviamo alla seguente equazione:

Per arrivare all’equazione di D’Alembert mi serve una seconda equazione: devo conoscere come varia la densità al variare della pressione.

Per fare ciò ho bisogno di due ipotesi giustificate dalla situazione che stiamo studiando:

1. La derivata sostanziale della velocità si riconduce a una derivata ordinaria, essendo il fluido mediamente fermo.

2. Ci sono piccole oscillazioni dalla condizione di equilibrio, giustificate dal fatto che i fenomeni acustici provocano piccole oscillazioni.

Quindi:

con

dove è la pressione media atmosferica e è la pressione acustica.

con

dove è la densità media in assenza di perturbazione acustica e è la variazione di densità prodotta dal campo sonoro.

Queste sono le cosiddette approssimazioni di Bousinnesq.

Detto questo prendiamo il fluido, che tratteremo come un gas perfetto, e sottoponiamolo a una trasformazione adiabatica, applicandogli una pressione

Osservando il grafico in figura 4, notiamo che applicando una pressione il sistema oscilla lungo la tangente al punto di equilibrio . Conoscendo la formula di Poisson e che , otteniamo:

Ora calcoliamo la tangente della curva nell’intorno del punto d’equilibrio:

Nell’ultimo passaggio è stato approssimato da , per mezzo delle ipotesi assunte precedentemente. Ora semplifichiamo i termini reciproci:

Introducendo l’equazione di stato dei gas perfetti:

abbiamo:

dove è la velocità del suono.

Siamo arrivati ad avere due equazioni:

1.

2.

nelle incognite . Da queste equazioni otterremo l’equazione delle onde.

Introduciamo una nuova grandezza detta potenziale della velocità tale che ( è una grandezza che non ha un significato fisico diretto, ma è comunque utile dal punto di vista matematico).

Riscriviamo la prima equazione che abbiamo trovato:

Otteniamo:

detta equazione di Eulero.

Adesso abbiamo bisogno dell’equazione di continuità:

sostituendo il potenziale della velocità si ha:

Se ora moltiplichiamo quest’equazione per e inseriamo , arriviamo a un’equazione differenziale di secondo grado detta equazione di D’Alembert:

E’ possibile la soluzione numerica dell’equazione differenziale. Possiamo risolverla analiticamente soltanto nei casi più semplici, come nel caso delle onde piane progressive, delle onde piane stazionarie e delle onde sferiche.

Applicazione: l’intensimetro

L’intensimetro è un strumento acustico che ci permette di misurare la velocità delle particelle del campo sonoro, con la quale ricaveremo l’intensità sonora, tramite la pressione esercitata dal suono su una coppia di microfoni posti lungo una direzione cartesiana.

Logicamente con una sola coppia di microfoni posso misurare soltanto la velocità lungo una direzione cartesiana. Per avere la velocità complessiva mi serviranno tre misure lungo i tre assi cartesiani.

A livello circuitale le uscite dei microfoni si collegano a un operatore, il quale ha un’uscita collegata ad un integratore avente risposta in frequenza di questo tipo:

Infatti supponendo che il segnale sia sinusoidale, ad esempio , otteniamo:

Cioè l’integratore è un filtro che divide per , sfasando il segnale di 90°, e scende di 6dB per ottava.

Ora calcoliamo la velocità , utilizzando l’equazione di Eulero:

Otteniamo:

dove è l’approssimazione alle differenze finite del gradiente di pressione.

Per ottenere l’intensità del suono devo moltiplicare la pressione con la velocità:

dove è la pressione media tra i due microfoni.

Studio dell’onda piana progressiva

L’onda piana progressiva è quell’onda che si sviluppa dentro un tubo di lunghezza indefinita quando il fluido al suo interno viene sollecitato da un pistone che si muove di moto armonico.

Vogliamo trovare le equazioni di:

· velocità;

· pressione;

· impedenza;

· intensità.

Partiamo dalla soluzione dell’equazione di D’Alembert espressa in termini del potenziale della velocità:

con (numero d’onda).

Passando alla notazione complessa:

Noi considereremo solo la parte reale, in quanto la parte immaginaria non ha senso in un contesto fisico.

Sapendo per come è stato costruito geometricamente il problema che abbiamo:

Per ricavare impongo le condizioni all’origine, dove :

e complessivamente otteniamo:

Passiamo ora al calcolo della pressione:

Sapendo che e che :

Osserviamo che velocità e pressione sono in fase.

Calcoliamo ora l’impedenza:

E infine calcoliamo l’intensità:

L’intensità istantanea è in questo caso una grandezza che oscilla a frequenza doppia rispetto alle grandezze caratteristiche del campo acustico, pressione e velocità.

Fig. 9,10,11 - andamento dell’intensità sonora istantanea nel caso in cui pressione e velocità siano segnali sinusoidali in fase.

Facendo una media temporale dell’intensità istantanea ricavo l’intensità media:

Visto che lavoriamo con segnali sinusoidali possiamo sostituire i valori massimi con i rispettivi valori quadratici medi (RMS – root mean squared): e e ricalcolare l’intensità media:

Densità dell’energia sonora

La densità di energia sonora D (o più brevemente, densità energetica) è definita come l’energia sonora che, in un dato istante, risulta localizzata nell’unità di volume circostante un punto assegnato del mezzo di propagazione; essa è cioè la densità di distribuzione di energia sonora nel mezzo:

Riprendendo il caso dell’ onda piana progressiva, detta A la sezione del cilindro, abbiamo che:

e

Per la densità sarà uguale a:

Ora riprendiamo la formula dell’intensità media calcolata in precedenza:

e andiamo a sostituirla nella relazione appena calcolata; otteniamo così la densità dell’energia sonora per l’onda piana progressiva:

Osserviamo che l’equazione , dove U è la velocità dell’energia, nel caso specifico dell’onda piana progressiva si riconduce a:

Quindi tra U e c vale la seguente relazione:

L’uguaglianza vale soltanto nel caso delle onde piane progressive.

Da quanto è emerso in questa lezione, nell’analisi di un campo sonoro dobbiamo determinare la velocità e la pressione se vogliamo fare un’analisi fisica, mentre se vogliamo fare un’analisi puramente energetica sono sufficienti i valori di intensità sonora e di densità di energia.

Per descrivere i fenomeni sonori, è consuetudine esprimere i valori delle grandezze acustiche attraverso i livelli. Introduciamone alcuni:

· Livello di pressione

· Livello di velocità

·
Livello di intensità

· Livello di densità

Per un onda piana progressiva tutti questi livelli sono uguali tra loro, in generale il livello di intensità è più piccolo o al più uguale a quello di densità :

Definiamo come indice di reattività la differenza tra il livello di densità e quello di intensità:

A volte però l’indice di reattività viene indicato come la differenza tra il livello di pressione e il livello di intensità:

ma questo è sbagliato, perché questa differenza potrebbe essere negativa; questo indicherebbe che un campo si può propagare più velocemente di un’onda piana progressiva, e ciò è impossibile.