ONDE STAZIONARIE

 

Prima di tutto dobbiamo affermare che questa proprietà non è specifica delle onde acustiche, ma di tutte le onde in genere.

La formazione di onde stazionarie è un caso d'interferenza (ovvero sovrapposizione), dato che si tratta della somma di onde di uguale frequenza ma di fase non ovunque uguale.

In acustica per ottenere la sovrapposizione  di 2 onde di ugual frequenza è relativamente semplice, basta considerare un’onda sonora e la corrispondente onda riflessa da un qualsiasi materiale.

Se consideriamo il precedente fenomeno isolato all’interno di un tubo troveremo punti chiamati Nodi dove onde trasmesse e riflesse arrivano in opposizione di fase e, componendosi annullano i loro effetti; mentre nei cosiddetti Ventri, esse arrivano in concordanza di fase ottenendo massima risultante dalla loro somma. Sulla formazione di onde stazionarie è basato il funzionamento delle casse risonanti o casse armoniche degli strumenti musicali.

 

 

 Figura 1

 

Questo fatto può essere messo facilmente in evidenza mediante il tubo di Kundt (Figura 1), che è un semplicissimo pezzo di tubo di vetro del diametro di un paio di cm, e della lunghezza di circa 1 m, tagliato agli estremi e disposto orizzontalmente.

Un tappo di sughero forzato nel tubo può esservi spostato mediante un lungo manico o bacchetta, delimitando così la porzione di tubo utilizzata per l'esperimento. Sul fondo del tubo si dispone una traccia di polverina costituita da granellini particolarmente fini e leggeri. Si dispone una sorgente sonora all'estremità aperta del tubo. Spostando il tappo di sughero nel tubo di vetro si ricerca lunghezza utile di quest'ultimo per  la quale la colonna d'aria in esso contenuta entra in risonanza con la nota emessa dalla sorgente di onde sonore.

Si nota allora che la formazione di onde stazionarie nell'area contenuta nel tubo è visualizzata dalla disposizione della polvere che, in corrispondenza dei ventri si sparge su un'ampia porzione della parete del tubo mentre, in corrispondenza dei nodi giace sul fondo dello stesso.La distanza tra ventri e nodi, così rilevata, consente una misura delle lunghezze d'onda acustiche.

 

 

 

 

Nella realtà non esistono materiali che consentono una riflessione totale dell’onda sonora (con impedenza Z  infinita), cioè questi ultimi saranno responsabili di una attenuazione d’ampiezza dell’onda riflessa.

Studiando l’acustica, diventa quindi indispensabile analizzare il comportamento dei materiali se sottoposti a sollecitazioni sonore.

 

 

Coefficienti Acustici

 

Analizzando l’acustica diventa indispensabile conoscere il comportamento dei materiali sottoposti a sollecitazioni sonore.

Quando il treno d’onde iniziale viene a contatto con un materiale con caratteristiche meccaniche (principalmente impedenza)  si suddivide in 3 parti: una parte delle onde è riflessa dal materiale e torna indietro, un’altra parte è assorbita dal materiale ed infine una parte attraversa il materiale stesso. In termini di intensità sonora si riassume nella  figura 2:

 

 

Figura 2

 

In termini di intensità si definiscono tre indici:

·        Intensità Incidente (Ii): l’intensità che ha l’onda appena prima di                                                            entrare in contatto con il materiale;

·        Intensità Assorbita (Ia):            l’intensità della parte d’onda assorbita;

·        Intensità Trasmessa (It):           l’intensità della parte d’onda trasmessa oltre il                                        materiale;

·        Intensità Riflessa (Ir):   l’intensità della parte d’onda riflessa;

 

 

Esprimendo quanto disegnato in formule analitiche:

 

                                                                                                   (1)

 

dividendo la precedente per Ii si ha

                                                                                                

 

dove si definiscono tre nuovi valori:

·        Coefficiente d’Assorbimento:     =  a

·        Coefficiente di Riflessione:         =  r

·        Coefficiente di Trasmissione:     =  t

 

 

e la loro somma da 1; in particolare si possono vedere così:

 

                                                                                                         (2)

 

     Ora possiamo individuare il Coefficiente di Assorbimento Acustico Apparente (a), che è il principale strumento per valutare la capacità di assorbimento acustico di un materiale; il suo valore è:

 

                                                                                                (3)

 

Come si vede dalla definizione di Coefficiente Apparente, per valutare la capacità di assorbimento di un materiale non importa la quantità di suono assorbito o trasmesso ad un ambiente esterno collegato, ma la quantità di onde riflesse; è anche per questo che tale coefficiente è detto di assorbimento apparente, in realtà infatti considera solo le onde riflesse e la condizione migliore si ha quando tutto il suono è assorbito dal materiale.

Il caso migliore ed ideale si ha quando r = 0 e quindi a = 1, in questo caso si parla di materiali perfettamente fonoassorbenti, nel caso (a = 0 e r = 1) si parla invece di materiali perfettamente riflettenti.

Facendo un esempio pratico, considerando la diffusione del suono in una stanza chiusa con una finestra, il migliore materiale assorbente acusticamente sono le finestre aperte; infatti l’aria è il materiale con minor coefficiente di riflessione acustica essendo la sua densità e consistenza molto piccola (ovvero offrendo un impedenza molto piccola).

Tralasciando il paradosso della finestra che ha scarso significato ingegneristico, buoni materiali che offrono alto assorbimento delle onde sonore sono i materiali espansi a celle aperte come il poliuretano espanso, lana di roccia, velluto, ecc. O in generale i materiali detti fonoassorbenti (con valori di a prossimi a 1). La caratteristica comune di questi materiali è che si lasciano attraversare dall’aria opponendo però molta resistenza, il che equivale a presentare un’alta impedenza per le onde sonore.

Il principio con cui funzionano tali materiali fonoassorbenti è quello di incanalare le onde sonore in tanti cunicoli di piccolissime dimensioni smorzando le stesse per effetto del loro attrito contro le pareti di tali cunicoli. Inevitabilmente questo attrito che viene prodotto si trasforma in calore e moto vibrazionale delle pareti stesse.

 

 

Come Calcolare il

Coeff.di Assorbimento Apparente

 

Prendiamo un altoparlante ed inseriamolo all’interno di un tubo, ed all’estremità opposta mettiamo un materiale che ha la capacità  di riflettere (o meglio senza variazione  di ampiezza o frequenza) quello che gli viene trasmesso . Se l’altoparlante produce un tono puro avremo un treno d’onde che finendo contro il tassello del precedente materiale ideale verrà riflesso. Tutto questo provocherà punti  (o meglio piani  siccome il fronte d’onda prodotto dall’altoparlante è piano) in cui l’onda diretta e quella riflessa avranno interferenza costruttiva oppure  distruttiva.

 

 

Figura 3

 

Sappiamo che per l’intensità misurata all’interno del tubo vale sempre I≤Dc, e che il simbolo d’uguaglianza vale solo per onde piane progressive senza onda riflessa, ossia quando α=1.

 

             e                  

 

Le due onde interne al tubo, prese separatamente sono onde piane progressive per le quali vale la relazione II=Dc.

                                                 (4)

ottengo il risultati

                                                   (5)

Utilizzando la (5) posso riscrivere la (3)

                                           (6)

 

 

Definizione di CRF

 

Supponiamo che il tubo abbia lunghezza L, dove l’origine del sistema di riferimento è stata messa in corrispondenza della chiusura del tubo(Vedi figura 2).

 

Ora vediamo quali sono i dati noti del nostro esperimento:

 

·        L’impedenza del campione che chiude il tubo è zloc=p/u

 

·        La velocità imposta dall’altoparlante all’inizio del tubo in x=-L:

                                                                                                        (7)

 

Per come è definito il potenziale della velocità possiamo ricavare l’espressione della velocità u:

                                                                                                                       (8)

 

Possiamo ora scrivere il potenziale della velocità delle particelle del mezzo (risulta particolarmente semplice perché il caso è monodimensionale):

 

                                                                                 (9)

 

dove f+ è il massimo potenziale dell’onda incidente f- è il massimo potenziale dell’onda riflessa;  ed effettuando la derivata spaziale della (12) ottengo:             

 

                                                                             (10)

 

e la pressione p grazie alla relazione:

                                        (11)

 dove  indica la densità media dell’aria prima della sollecitazione acustica dovuta altoparlante:                                                        

 

                                                                         (12)

 

 

Per porre la condizione al contorno devo calcolare l’impedenza z:

 

                                                                                                                      (13)

 

                                                                                  (14)

E’ possibile riscrivere l’espressione della pressione in questo modo:

 

                                         (15)

dove

           e                                       (16)

 

attraverso la stessa semplificazione  posso riscrivere la velocità(10):

                                         (17)

a questo punto possiamo scrivere z utilizzando le (14),(16), (17):

                                           (18)

ricordando che (dove k è il numero d’onda).

Applicando la condizione al contorno la (18) si può scrivere :

 

                                      (19)

A questo punto definendo il rapporto di riflessione CRF come:

                                                    (20)

possiamo calcolare il coefficiente d’assorbimento a

              o anche                             (21)

Utilizzando la (20) riscriviamo  la (19):

                                              (22)

 

Dunque se dalla (22)si calcola CRF:

                                                (23)

posso dare l’espressione per calcolare a derivante dalla (21):

                                                (24)

Dopo tutti questi calcoli ci siamo accorti che saranno punti in cui la pressione dovuta all’onda diretta e quella dovuta all’onda riflessa si sommano ed altri in cui avviene un’interferenza di tipo distruttivo.

            Analiticamente,questo si scrive:

                                                                       (25)

Vediamo ora quali sono i passi da compiere per misurare sperimentalmente il valore del coefficiente di assorbimento.

 

 

Operazioni sperimentali per l’individuazione

del Coeff.di Assorbimento

 

E’ semplice misurare i valori di minimo e massimo della pressione all’interno del tubo, occorre un microfono a pressione in grado di muoversi al suo interno.

In questo modo si misura solo il modulo della pressione; per riuscire ad ottenere anche la fase dell’onda occorre misurare la distanza d,  tra un massimo o un minimo della pressione, e dove il tubo è chiuso, ed infine imponendo la relazione:

                                               (26)

Dove il –1 indica che le due onde sono in controfase.

                                                   (27)

                                                   (28)

 

N.B. Tuttavia la fase dell’impedenza non ha un preciso significato fisico; l’effetto dovuto a un materiale a impedenza complessa equivale a quello di un materiale a impedenza reale spostato a destra o a sinistra rispetto alla posizione in cui effettivamente si trova durante l’effettuazione della misura. Il contributo della fase può essere interpretato come se l’onda riflessa non fosse generata sulla superficie del campione ma a una certa “profondità”. Per questa ragione, normalmente si richiede solo il modulo dell’impedenza.

 

Notiamo anche che pmin non è nullo in quanto l’onda riflessa ha intensità minore di quella incidente.

            Possiamo ora sperimentalmente fare una lettura della pressione, attraverso un microfono posto all’interno del tubo.

Osservando il grafico 1, bisogna ricordarsi che il microfono non può distinguere l’onda incidente da quella riflessa, e quindi P sarà la somma delle due onde.

 

 

Grafico 1

 

Il metodo appena descritto per individuare  e di conseguenza il valore dell’impedenza del materiale,presenta l’enorme svantaggio della dispendiosità in termini di tempo. Infatti questo strumento richiede la presenza di un operatore, che per ogni frequenza del suono dell’altoparlante sposti il microfono lungo l’asse delle x alla ricerca del valore minimo della pressione. Inoltre risulta difficile effettuare misure accurate soprattutto alle alte frequenze dove le lunghezze d’onda sono molto piccole, ed un errore di qualche m può diventare rilevante.

Per ovviare a questo problema si usano due microfoni fissi, distanti d, all’interno del tubo.Questi possono compiere le stesse operazioni di prima senza spostare continuamente il microfono per trovare i massimi e i minimi.

Dai due microfoni leggo le due pressioni p1 e p2, e da esse posso ricavare:

                                               (29)

                                         (30)

Avendo la pressione media pmedia la velocità u, posso ricavare l’intensità I e la densità d’energia D

                                            (31)

                                           (32)

e da qui è possibile calcolare il coefficiente di assorbimento del  materiale grazie alle formule(4)(5)(6).

Dove il primo addendo della (32) rappresenta la Densità Cinetica (Dc) mentre il secondo la Densità Potenziale (Dp).In assenza di eventi esterni, per la legge della conservazione dell’energia queste due componenti  si bilanceranno in modo che la loro somma sia costante.

In generale il grado di assorbimento varia in funzione della frequenza (f) e dello spessore del materiale (confrontando lo stesso materiale a diversi spessori).

 

Graficamente:

 

Grafico 2

 

La capacità fonoassorbente di un materiale quindi non è costante a tutte le frequenze e per essere apprezzabile deve essere dell’ordine della lunghezza delle onde sonore che deve smorzare. Inoltre ci sono comportamenti limite: alle basse frequenze per ottenere alti valori di a è necessario usare materiali con grandi spessori o meglio ricorrere ad altre tecniche di assorbimento acustico; al contrario alle altissime frequenze bastano materiali semplici e di piccolo spessore.

Come si vede è difficile individuare un corretto spessore in grado di comportarsi uniformemente a tutte le frequenze; una regola che comunque è usata per stabilire quanto spesso deve essere il materiale fonoassorbente è:

 

                                                        (33)

 

(dove s lo spessore del materiale da usare e l la lunghezza d’onda del suono).

Per assorbire le basse frequenze di solito si usano sistemi di doppie pareti una esterna cedevole al suono e una interna rigida, separate da un sottile strato d’aria o di materiale elastico.

L’effetto che si crea è simile a quello di una massa M collegata ad una molla fissata (di elasticità k) ad una parete come in figura:

 

Figura 4

 

Questo sistema quando si trova in condizioni di risonanza assorbe completamente le oscillazioni imposte dalle onde sonore. Tale frequenza di oscillazione, detta frequenza naturale di oscillazione è:

                                                      (34)

 

E’ comunque importante notare la distinzione tra assorbimento acustico ed isolamento acustico: nel primo caso si fa riferimento alla riflessione delle onde sonore, nel secondo caso si parla di isolamento di un ambiente dalle onde acustiche di un altro ambiente ad esso collegato.

Ad esempio sul soffitto delle aule della nostra facoltà è stato utilizzato del polistirene ondulato, in modo che le onde sonore della voce dell’insegnante  scontrano con esso si infrangono disperdendosi in tante onde più piccole con direzione casuale(oltre che ad essere convogliate nei pori piccolissimi di questi materiali). Quindi nelle aule universitarie si predilige il suono diretto rispetto a quello riflesso, che a volte risulta spiacevole perché produce l’eco.

 

Propagazione del suono in ambiente esterno

Gli esempi che si possono fare su sistemi interessati da queste speculazioni sono molteplici:

·        rumore prodotto da mezzi di trasporto (auto, treni, aeroplani)

·        edifici (sistemi di refrigerazione, ventilatori)

·        sistema di amplificazione per esterni (per concerti in uno Stadio)

Propagazione Sferica

La propagazione sferica è facile da descrivere: una distanza sorgente – ricevitore sufficientemente elevata rispetto alla lunghezza d’onda  in modo che quest’ultimo possa considerare la sorgente come un punto.

L’energia che si propaga resta in prima approssimazione costante (nessun assorbimento da parte dell’aria) ma la intensità sonora diminuisce perché si distribuisce su una superficie sempre più grande.

Figura 5

 

 

Sia LI1=80dB l’intensità a 1m, LI2 a 2m vale . La diminuzione di intensità al raddoppio della distanza ha una sigla (DL2) e nel caso della propagazione sferica vale sempre DL2=6dB ed è il livello massimo che si può ottenere da una qualsiasi propagazione.

  (35)

 

      (36)

    (38)

    (37)

     (39)

 

Sono tutti livelli espressi in decibel. Solo LW non è omogenea alle altre  (il livello di potenza dipende dalla sorgente e di conseguenza LW resta costante in ogni punto)

Fissato dunque LW, possiamo dedurre il livello di intensità:

Essendo i valori di riferimento W0 e I0 arbitrari li possiamo scegliere uguali al fine di semplificare la relazione e i loro valori effettivi (valori che saranno spiegati in seguito) sono:

 e dalle altre relazioni

Possiamo ricavare la (36) dalla (35):

                                           (40)

Determinato questo valore vogliamo che le altre relazioni (37) (38) e (39) assumano in un dato punto lo stesso valore che assume LI per poter così parlare di unico Livello Sonoro, e ciò è sempre possibile visto che i valori di riferimento sono arbitrari.

 

Conosciamo anche una relazione che unisce la velocità alla pressione (solamente nelle onde piane progressive o in onde sferiche)  .

Se prendiamo un valore particolare della  il valore di u0 resta fissato e vale .

 

abbiamo così ottenuto il valore di I0 precedentemente usato (che è anche uguale a W0).

In queste condizioni è facile da verificare che .

Ovviamente fuori dal caso di onda piana progressiva le relazioni vengono meno. E’ già stato verificato che in un tubo  i valori p e v si alternano. Non è solo il caso del tubo, ma semplicemente in ogni stanza reale, dove i valori di I, D, P, u, sono leggermente diversi in ogni punto. Una grandezza comunque è limitata : , la prima è l’energia che si propaga (e interferisce con l’energia riflessa), mentre la seconda è un’energia vera e propria, e dunque somma sia dell’energia che si propaga e dell’energia riflessa.

Possiamo dunque utilizzare questa differenza  per stimare la propagazione teorica di un suono in un ambiente.

Ricordiamo che le grandezze sono omogenee e solo in prima approssimazione rappresentano l’energia. In un ambiente minimamente riflettente, ogni grandezza ha una storia a parte.

In un tubo ad onde stazionarie per esempio non possiamo legare mai LI per esempio a LP.

 varia da punto a punto, mentre  dipende dal termine a.

La norma ISO9614 è da considerarsi in questo senso obsoleta in quanto usa come metro di campione proprio la differenza  invece che la più corretta .

 

 

Sorgente Sonora Lineare

 

Consideriamo adesso il caso di una sorgente sonora non più puntiforme, ma lineare. I fronti d’onda adesso non sono più sferici, ma cilindrici.

Questo argomentazione permette la trattazione di strade, ferrovie, linee di trasporto in generale, visto che si propagano in modo lineare.

 

Al fine del calcolo del livello equivalente obbliga a scomporre un singolo evento in una serie di piccoli, ma continui eventi.

Figura 5

 

I due segnali sono però profondamente differenti: se raddoppio la distanza dal primo il livello scende di 6dB, se mi allontano dal secondo solo di 3dB:

 dove con s ho indicato la densità di energia (energia prodotta da 1 m)

Figura 6

DL2=3dB

 

Se mi allontano da un’autostrada (sorgente lineare) il livello sonoro scende di 3dB/raddoppio, mentre se mi allontano da una fabbrica (sorgente concentrata) il livello sonoro cala di 6dB/raddoppio della distanza. Mentre se per sorgenti puntiformi la costante era   ora per sorgenti lineari la costante diventa .

 

Esercizio 1:

 

Un’autostrada è percorsa da una fila uniforme di soli autocarri (sorgente lineare). Calcolare il livello sonoro in un ipotetico centro residenziale a 50m di distanza dall’autostrada.

Lw (di un autocarro) =        100 dB

V di ogni autocarro   =       80 Km/h

n° di camion per unità di tempo = 1000 veicoli/h

 

 

 

Effettuando l’approssimazione di eventi continui, utilizzando V e il numero di veicoli che passano in un’ora, posso calcolare la distanza tra un camion e l’altro che sarà d = 80m.

                 dB

  su unità di lunghezza

dB

 dB

 

 

ESERCIZIO 2:

 

Un’onda stazionaria che si propaga in un tubo chiusa ad una estremità (vedi Figura )

·        LI = 83 dB

·        LD = 88 dB

 

Determinare il coefficiente d’assorbimento α e il livello di pressione massima LPmax  :

 

                

Quindi:

                                                  

                                                   

 W/m2            W/m2                 

Per trovare il livello di pressione massima devo sommare le pressioni dell’onda incidente e dell’onda riflessa, in pratica quando si ha un’interferenza costruttiva.

 

 dB                              dB

 dB

 

In questo esercizio se fosse stato α=0 avremmo ottenuto LD =88 dB  e Linc =85dB=Lrif  ed LP =91 dB