- Esercizi sui gas perfetti : - Esempio 1 pag 1

- Esempio 2 pag 4

chimicamente omogenei : - Introduzione pag 7

- Proprietà dei liquidi pag 8

- Proprietà dei vapori saturi umidi pag 12

- Esercizio di calcolo

delle proprietà dei vapori saturi umidi pag 15

Un recipiente di superficie (A) contiene una massa (M_gas) di azoto (N₂) considerato come gas perfetto. La parte superiore del recipiente, sulla quale e’ appoggiato un grave di massa (M), e’ mobile e mantiene il recipiente ad una data pressione (p₁) e ad una temperatura (T₁). Comunicando al gas una certa quantità di calore (Q), il gas subirà una trasformazione ISOBARA.

Supponendo di essere a livello del mare (p_atm = 1 BAR), si vuole:

1.calcolare il volume finale occupato dal gas;

2.calcolare il lavoro netto svolto dal sistema;

3.verificare se e’ avvenuto cambiamento di ENTROPIA nel sistema.

1.Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti, si può scrivere:

Da questa operazione si riuscirà a calcolare V₂, cioè il volume occupato dal gas dopo la trasformazione. Per completare questo calcolo, però, occorre conoscere:

M_gas = 1 Kg (dato)

R_gas = 297 J/Kg K (tabella)

p₂ = p₁ = costante = 3 BAR (si considera una trasformazione isobara)

Proprio grazie a tale considerazione, utilizzando il primo principio in forma entalpica, si può scrivere:

(2)

essendo .

In questo modo si calcola la temperatura T₂ dopo la trasformazione:

(3)

Dunque, sostituendo i valori trovati, nell’equazione di stato si avrà:

2. Per conoscere, ora, il lavoro netto svolto dal sistema, si deve considerare:

(4)

da cui il grafico di figura 2:

Nella relazione (4) L è il lavoro totale svolto dal sistema, sia per vincere la pressione interna, sia per cambiare temperatura:

(5)

Per determinare tale valore, bisogna calcolare V₁, utilizzando l’equazione di stato per l’azoto:

(6)

quindi, per la (5)

L₀, invece, è il lavoro svolto sul sistema dalla pressione esterna:

(7)

dove:

da cui per la (7)

e per la (4)

3. Poiché la pressione dello stato fisico finale coincide con quella dello stato fisico iniziale, si considera una trasformazione isobara reversibile, per cui :

e, utilizzando la definizione di entropia, si trova:

=.

Una bombola di volume specifico v₁ contiene un gas alla pressione p₁.

Immaginando di aprire all’improvviso il rubinetto di questa bombola, si osserverà una forte fuoriuscita del gas dall’ugello.

Si vuole calcolare la velocità media w₂ del gas uscente.

w₂

p₀

fig. 3 - Trasformazione del sistema

fig. 4 – Rappresentazione della

trasformazione sul grafico (p,v)

Per la risoluzione di questo problema è necessario fare delle considerazioni preliminari:

1. la velocità di uscita non dipende dalla sezione del foro;

2. il processo può essere considerato come adiabatico reversibile; possono cioè essere trascurate tutte le dissipazioni di energia verso l’esterno;

3. l’energia cinetica nello stato iniziale può essere ritenuta nulla, essendo trascurabile rispetto all’energia cinetica nello stato finale.

Dopo queste premesse si nota che l’energia totale è:

(1)

cioè è la somma tra l’energia interna e l’energia cinetica al momento dell’apertura del foro.

Avendo considerato il processo come adiabatico reversibile si avrà, per il primo principio della termodinamica:

(2)

dove l’espressione di l vale:

(3)

e lo si verifica tramite considerazioni microscopiche dei fenomeni che avvengono nell’ugello.

Sostituendo il valore di l così ottenuto nella (2), risulta che:

(4)

quindi

(5)

e, cambiando di segno la (5), si ottiene:

(6).

Ricordando che, in una trasformazione adiabatica come quella considerata, valgono:

(7) e (8)

e sostituendo la (7)nella (6):

(9)

quindi la (8) nella (9), si ottiene:

(10).

Grazie alle premesse iniziali e alle precedenti considerazioni si giunge a poter calcolare la velocità media del gas in uscita tramite l’utilizzo delle coordinate termodinamiche del gas.

Per finire, si considera l’equazione di stato del gas nel processo adiabatico:

(11)

dunque

(12)

dove:

Sostituendo nella (10) il valore di (v) ottenuto dalla (12), si può determinare l’integrale in dp e quindi la velocità media w₂:

e w₂ sarà:

La tabella 1 propone i valori di "C_l" di alcuni liquidi.

Tab. 1- Calori specifici di alcuni

liquidi, calcolati a 20°C e

1 atm

L’espressione dell’entalpia, ricavata dal primo principio della termodinamica, è:

dove:

e, integrando ambo i membri:

Calcolando in casi reali il valore dei due addendi che forniscono l’entalpia ci si accorge che

cioè che il calore scambiato è molto maggiore del lavoro, così che si potrebbe pensare di non considerare il valore del lavoro. Questo, però, comporterebbe un equivoco tra energia interna ed entalpia in situazioni che, nella realtà, sono molto frequenti. Un esempio è la pompa di figura 7 la quale lavora portando il liquido da una posizione di partenza, ad una posizione finale, con pressioni differenti.

fig. 7 – Pompa che lavora a

pressioni differenti

E’ dunque giusto lasciare indicata anche l’espressione del lavoro.

L’espressione dell’entropia è data dal rapporto

e, in questo caso , si può giungere facilmente a calcolare la differenza di entropia (S₂ –S₁), tra uno stato iniziale "1" e uno stato finale"2" di un liquido, se si considera il primo principio della termodinamica in forma classica per il quale:

Si può quindi sostituire

con

e si avrà

dove T₁ e T₂ sono le temperature di partenza e di arrivo dei due stati considerati nella trasformazione.

Si sono così definite tutte le formule riguardanti le proprietà dei liquidi, ma è opportuno ricordare che, per il calcolo di tali proprietà, per ogni elemento, occorre conoscere le tabelle dei valori dei volumi specifici a temperature date.

Lo stato di vapore saturo umido è uno stato di transizione in cui la materia si viene a trovare ogni qualvolta passa dallo stato liquido a quello di vapore o, viceversa, dallo stato di vapore a quello liquido. Durante tale passaggio la materia è in equilibrio tra le due fasi "LIQUIDO +VAPORE SATURO SECCO" e tende ad assumere il primo stato con la diminuzione del proprio volume, o ad aumentare il proprio volume, assumendo il secondo stato.

Osservando, infatti, il diagramma (p,v) di figura 5, si nota che la fase di vapore saturo umido è tra la curva limite "MCN" della "campana di Andrews" e la linea del punto triplo "O" (punto del diagramma (p,v) in cui la materia è in equilibrio fra i tre stati solido, liquido, gassoso) ed è rappresentata da segmenti di retta paralleli all’ asse delle ascisse; ciò significa che, per determinate temperature, la pressione rimane, senza approssimazioni, costante.

Le trasformazioni isoterme che avvengono in questo stato della materia, dunque, sono anche delle trasformazioni isobare e le rette che le rappresentano degenerano una nell’altra. Pertanto, non esiste un’equazione di stato, cioè una formula chiusa che definisca analiticamente le trasformazioni in questo stato di transizione tra due fasi;

per questo motivo, al fine di facilitare i calcoli delle proprietà della materia, all’interno del campo dei vapori saturi umidi è opportuno introdurre una variabile indipendente. Questa è detta TITOLO ed è definita come la massa del vapore saturo secco, rapportata a quella del sistema:

( Sul diagramma di figura 5 sono riportate anche alcune curve caratterizzate dal valore costante del titolo e dette curve isotitolo, che si diramano tutte dal punto critico "C").

Per ogni segmento di isobara/isoterma, i titoli assumono valori decimali che vanno da dove A è il punto in cui la materia è esclusivamente allo

stato liquido ( liquido saturo )

( nel grafico (p,v), il punto si trova sul ramo inferiore della curva limite )

a dove B è il punto in cui la materia ha assunto

completamente lo stato di vapore secco

( nel grafico (p,v), il punto si trova sul ramo superiore della curva limite ).

Già da questa osservazione, possiamo intuire come il titolo sia utile dal punto di vista dei calcoli: fissato un punto su un generico segmento di isobara/isoterma, infatti, il titolo sarà determinato dal rapporto tra i due segmenti contigui. In ogni caso, l’unico modo per determinare i valori delle proprietà dei vapori saturi umidi dei vari elementi, sfruttando la conoscenza dei titoli in cui calcolarle, sarà quello di disporre di alcune tabelle come, ad esempio, la tabella 2 di seguito proposta.

TABELLA

Tab.2 – Proprietà dell’ acqua e del vapore saturo.

In queste tabelle, il più delle volte, non sono riportati direttamente i valori delle proprietà dei vapori umidi, bensì i valori delle caratteristiche del liquido e del vapore secco corrispondenti nei vari titoli. Ad ogni modo, disponendo di tali dati, si giunge facilmente a determinare le proprietà dei vapori saturi umidi attraverso l’uso di alcune relazioni che sfruttano la proprietà additiva.

Bisogna, però, avere ben presente il fatto che qui non si può parlare di valori medi specifici ( e quindi di coordinate termodinamiche ), ma solo di valori medi pesati: le grandezze-funzione dello stato fisico sono, infatti, i valori corrispondenti alle condizioni limite "l" e "v" , che dipendono solo dalla pressione (o dalla temperatura) e non dipendono dalla ripartizione della massa tra le fasi. Si possono scrivere, pertanto, le seguenti formule:

volume:;

entalpia: ;

entropia:.

Dividendo e moltiplicando tali espressioni per (Ml+Mv) si ricavano, infine, le relazioni utili, con l’aiuto delle tabelle, alla determinazione delle proprietà:

dove v_v-v_l = v_d

ENERGIA INTERNA: dalla definizione di entalpia si ha:

quindi

dove

dove

dove .

A questo punto si possono definire i valori, appena introdotti, di v_d, u_d, h_d s_d:

v_d rappresenta la variazione di volume conseguente alla vaporizzazione completa, a pressione costante, dell’unità di massa di liquido; tale grandezza prende correttamente il nome di volume specifico differenziale;

u_d viene detto anche energia interna specifica differenziale e può essere determinato, utilizzando le grandezze sopra introdotte, attraverso la seguente relazione:

u_d = r-p_lv_{d ;}

h_d, trattandosi di una trasformazione a pressione costante, rappresenta la quantità di calore che è necessario fornire all’unità di massa di liquido per vaporizzarla completamente; è detta anche calore latente di vaporizzazione e, nella tabella 3, è indicata con il simbolo "r";

s_d viene calcolato con la seguente relazione:

in quanto, per effetto dell’equilibrio liquido vapore, si ha la corrispondenza delle trasformazioni isobare ed isoterme.

Si dispone, ora, di tutti gli elementi per provare a risolvere un semplice esercizio sul calcolo delle proprietà dei vapori saturi umidi.

Si considera dell’acqua a pressione p e allo stato di vapore saturo umido, in un determinato titolo x.

Si vuole calcolare il valore della temperatura "T" , dell’entalpia specifica "h", dell’entropia specifica "s" e del volume specifico "v" cui si trova l’acqua sul titolo x considerato.

1. Il valore di "T" si legge dalla tabella 3:

   T=263 °C

2. 

3. 

   Si può verificare la validità di tale risultato provando a calcolare il valore di s_d attraverso l’utilizzo della sua definizione:

   

   dunque si è avvicinato il valore precedentemente calcolato (s_d=3,0672 Kj/Kg)!

   

4.