Trattando un problema di conduzione
del flusso di calore attraverso una resistenza termica ci si può rifare al ben
noto caso del flusso di corrente che attraversa una resistenza elettrica
essendo i due sistemi analoghi, cioè retti da equazioni simili, intercambiabili
tra loro con la semplice accortezza di sostituire i simboli delle grandezze
coinvolte nel sistema.
Il fenomeno conduttivo
attraverso una parete è di tipo lineare ma studiando un sistema che richieda
l’applicazione di questo modello è necessario introdurre una correzione che dà
ragione dei fenomeni convettivi non lineari che si instaurano nelle vicinanze
della parete stessa. A questo scopo introduciamo il modello dello strato limite
termico che ci permetterà di considerare adeguatamente i fenomeni prima citati.
|
Figura 1- Strato limite termico
Dentro lo Strato limite
termico è localizzata una “resistenza termica” non lineare che può essere
valutata con una pseudo-legge di Fourier
(1)
quindi
(1.1)
Il termine h viene chiamato coefficiente di
adduzione ed è in realtà somma del coefficiente di convezione e quello di
irraggiamento
(2)
Da una verifica dimensionale è immediato
verificare che
(3)
In considerazione della (3) appare quindi
scorretto il nome di coefficiente essendo questo riservato, secondo le norme
del Sistema Internazionale, alle sole grandezze adimensionali
Fatte queste premesse
possiamo ora illustrare il modello utilizzato per il calcolo del flusso termico
attraverso la parete di Fig.1
Il sistema equivale a una
serie di tre resistenze (ricordando quanto detto sull’analogia di due sistemi
fisici) così schematizzabile:
Quindi il flusso termico può essere calcolato come:
(4)
Consideriamo in questo caso una superficie
unitaria per alleggerire la notazione e riscriviamo le resistenze in funzione
dei parametri del sistema:
, , e di conseguenza
l’equazione per il flusso termico:
(5)
Quest’ultima offre una valutazione più accurata di
un modello che considera semplicemente il trasporto conduttivo che si verifica
all’interno della parete. Queste considerazioni sono valide per approssimare un
sistema del nel quale la Tp ,
ovvero temperatura di parete, è incognita. Discutiamo alcuni esempi che possano
chiarire l’uso del modello.
Ricordando quanto detto in precedenza la soluzione
del problema è immediata sostituendo i dati nella (5), si ha quindi
tenendo conto della superficie in oggetto
Considerata la superficie totale calcolo il calore disperso attraverso le
pareti:
Questa tuttavia non è la potenza necessaria a riscaldare l’edificio poiché
è necessario valutare anche la quantità di calore necessaria a riscaldare
l’aria che, secondo normativa, và introdotta ogni ora nell’ambiente.
Il volume dell’edificio è pari a V=1000m3 e, trattando di
un’abitazione residenziale, il ricambio d’aria deve essere pari a 0.25V/h
ovvero Varia=300m3/h. Essendo introdotta dall’esterno
avrà una temperatura di 0oC. La potenza necessaria a scaldare tale
volume d’aria è data da
dove M è la portata in massa
La massa dell’aria in questione si può facilmente ricavare conoscendo la
sua densità r=1.2Kg/m3 e sapendo che Cp=1000 J/Kg*K ottengo per Qv
un valore di
Non solo dello stesso ordine di grandezza della potenza dispersa attraverso
le pareti ma anche confrontabile per valore numerico. In fase di progetto
l’impianto di riscaldamento andrà quindi dimensionato per fornire una potenza
pari alla somma di Q+QV, nell’ordine quindi di 4kW.
|
Figura 2 - Sezione della parete
Come appare dalla figura
la parete è costituita da una lastra d’acciaio a contatto con l’acqua e da un rivestimento
esterno di travetti di cemento alternati ad altri di materiale isolante. In
questa situazione risulta particolarmente comodo applicare il principio di
equivalenza con le reti elettriche. Una prima schematizzazione del sistema può
essere la seguente:
Figura 3 - Le temperature di parete di cemento ed isolante sono considerate uguali
R1 è la resistenza dello
strato limite termico (relativo alla parete d’acciaio), R2 la resistenza della
parete d’acciaio, R3 e R5 le resistenze delle pareti di cemento e di isolante,
R4 ed R6 le resistenze dello strato limite termico (relativo alla parete di
travetti) differenziato a seconda dei due materiali
Per una maggiore
precisione si dovrebbe considerare il fato che , ovvero che le temperature di parete, per cemento ed
isolante, non sono uguali; questo corrisponde alla nuova rete
Figura 4
R2 ed R3 sono ora due
diverse resistenze in considerazione del fatto che, pur partendo dalla
temperatura comune della parete di acciaio, le temperature di arrivo (per le
pareti di cemento e isolante) sono diverse.
Continuando nello stesso
senso possiamo raffinare ulteriormente la schematizzazione come nella Fig. 5
Figura 5
Anche questa rete però è
solo un’approssimazione della realtà fisica, non fornisce quindi il risultato
reale poiché non tiene conto, per esempio, della conduzione tra gli strati B1
e B2 che andrebbe schematizzato come in fig. 6
Figura 6 – Viene considerata anche la conduzione tra gli strati affiancati
Il modello che offre la
maggio semplicità di calcolo è quello rappresentato in Fig. 5. Procediamo
quindi con lo sviluppo dei conti (per la sola zona compresa tra le due linee
orizzontali di Fig. 2) tenendo presente che:
Resistenza di convezione acqua
Resistenza di conduzione acciaio (su cemento)
Resistenza di conduzione cemento
Resistenza di convezione aria (su cemento)
Resistenza di convezione acqua
Resistenza di conduzione acciaio (su isolante)
Resistenza di conduzione isolante
Resistenza di convezione aria (su isolante)
Calcoliamo la potenza dissipata nel primo ramo
e quella nel secondo ramo
La potenza totale dissipata è quindi pari a 667W
Come già detto in
precedenza questa è solo un’approssimazione del risultato reale poiché il modello schematizza grandezze distribuite
con parametri concentrati
Con i dati del problema posso anche calcolare le varie temperature di parete. A titolo di esempio calcoliamo la temperatura sul pannello di cemento (come “caduta” del flusso parziale sulla resistenza equivalente del travetto di cemento)
e,
analogamente, per l’isolante
Dati
che danno un’idea dell’importanza della scelta dei materiali quando si renda
necessario un isolamento termico.
Esistono principalmente
due metodi per la misura della capacità termica: il metodo della lastra piana
doppia e mediante il termoflussimetro. Per entrambi la misura viene effettuata
su di un provino normalizzato, ovvero una lastra quadrata (di lato 500 mm) del
campione di spessore variabile. A titolo di esempio riporto le condizioni
richieste ad un campione dal laboratorio di misura dell’università di Padova
Figura 7 - Il banco per la determinazione dello spessore del provino
Figura 8 - Provini imbustati, pronti per l’esecuzione della prova
È il metodo di misura più preciso e costoso e che richiede il tempo
maggiore per la sua attuazione. Di seguito vediamo lo schema
dell’apparecchiatura usata per questo tipo di misura
1.sezione centrale della piastra calda 2.anello di guardia della piastra calda 3.provino 4.piastra fredda 5.secondo anello di guardia 6.isolamento ai bordi 7.secondo isolamento di guardia 8.flusso di aria raffreddante NB: il flusso d’aria può essere sostituito da un
bagno termostatico
Figura 9 - Schema dell’apparecchiatura a lastra piana doppia con doppio anello di
guardia
La generazione del calore
è delegata ad una resistenza (1 nella figura 9) per effetto Joule. Di conseguenza
ho a disposizione il dato preciso del calore fornito ai provini.
Nell’apparecchiatura
rappresentata i vettori Q (il flusso di calore) sono esattamente
perpendicolari alla lastra (per la sua simmetria costruttiva). Facendo
riferimento alla relazione
(6)
posso calcolare senza problemi il coefficiente di
conducibilità termica l essendo esso l’unica incognita del problema (dove s è lo spessore del
provino)
Questo metodo è meno
preciso ma molto più economico del precedente. Si possono avere buone
precisioni di misura tarando spesso i termoflussimetri utilizzati.
Il termoflussimetro è un
materassino di un materiale di cui siano note le caratteristiche sul quale è
avvolta a spirale una termocoppia differenziale. Le f.e.m. della termocoppia
sono in serie quindi, avendo a disposizione un buon numero di avvolgimenti e
avendo cura di tarare lo strumento di frequente (a causa delle variazioni delle
caratteristiche del materiale che compone il materassino), è comunque possibile
ottenere una buona precisione. Di seguito è mostrato lo schema di
un’apparecchiatura abbastanza sofisticata per la misura di l con questo metodo
1.
termoflussimetro superiore, lato freddo 2. termoflussimetro
inferiore, lato caldo 3. piastre metalliche 4. isolamento unità
riscaldante o raffreddante 5. provino 6. molle di supporto
dell'unità raffreddante superiore 7. meccanismo di
abbassamento per l'unità raffreddante superiore 8. ventilatore per la
circolazione dell'aria interna 9. spira raffreddante per
il controllo del punto di rugiada dell'aria interna 10. resistenza riscaldante
per il controllo della temperatura dell'aria interna 11. gabbia interna per
convogliare il flusso d'aria interna condizionata attorno
all'apparecchiatura 12. cabina isolata che
racchiude l'apparecchiatura 13. motore del ventilatore 14. isolamento dei bordi
del provino
Figura 10 - Schema dell’apparecchiatura a doppio
termoflussimetro e
singolo provino
Il segnale elettrico
trasmesso dalla termocoppia è proporzionale a DT tra i capi del termoflussimetro
Utilizzando
la (6) ora che conosco Q posso ricavare il valore di l