UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
Facoltà di ingegneria
Anno accademico 2000-2001
Corso di Fisica Tecnica
Docente: prof. Angelo Farina
Lunedì 11 dicembre 2000-parte prima
Elaborato di Francesco
Pedrielli
Matricola n° 125184
Argomenti della lezione:
-Enunciato e spiegazione dell’equazione di Fourier
-Risoluzione di 3 esercizi sulla conduzione del calore
In fluidodinamica l’equazione differenziale di secondo ordine detta di Navier che definisce la viscosità, è ricavata dalle leggi di Newton. Analogamente in acustica, sempre dalla legge fondamentale del moto è stata ricavata l’equazione di Helmotz.
fig.1
Nel tempo infinitesimo dt sul confine infinitesimo del volume rappresentato in fig. 1 si scambia una quantità di calore dQ a sua volta infinitesima che è l’effetto della variazione dell’energia interna.
Non c’è il termine –dL che compare nell’enunciato del 1° principio perché si considera la sostanza indeformabile, dunque non c’è lavoro di deformazione.
Il c che compare nell’ ultima relazione è, a rigore, il calore specifico a volume costante proprio per l’indeformabilità della sostanza.
Il primo membro esprime il dQ. Questo può, però, essere espresso come la somma del calore scambiato e di quello generato.
E questa è una novità! Fino ad ora si è considerato unicamente “il calore che va e quello che viene” ma mai “quello che c’è”.
Il calore generato può essere prodotto da:
-reazioni chimiche (calore di reazione)
-correnti elettriche (effetto joule)
-reazioni nucleari.
L’effetto joule è il processo più comune.
Questo calore non è proveniente dall’esterno.
Vediamo ora di quantificarlo
dove si misura in W/m³ ed è il lavoro generato nell’unità di tempo e di volume (è una quantità specifica riferita al volume che sta occupando).
Il fatto che il calore generato dipenda in questa relazione unicamente dal volume permette di affrontare fenomeni generativi come quelli nucleari che dipendono dallo spazio e non dalla massa.
Analizziamo ora la quantità di calore scambiata al contorno: chiamo ds lo spigolo del cubo
Utilizzando il teorema di Gauss è possibile trasformare questo integrale di superficie in un integrale di volume ottenendo così la forma
sostituendo e integrando ottengo
Dividendo per dt e riscrivendo sotto forma di derivata parziale arrivo alla forma
Questa è l’equazione di Fourier che governa la variazione di temperatura (T) nel tempo (t) in funzione del gradiente spaziale (ovvero a causa o degli effetti generativi o di trasporto di calore dovuto alla conducibilità del materiale).
Affronta, cioè, i transitori: prima potevamo analizzare soltanto flussi stazionari.
I problemi di transitorio termico si presentano quando un componente non è in grado di smaltire la potenza massima istantaneamente.
Si può fare un parallelo con un componente elettronico come il diodo: esso lavora in transitori periodici, dove si hanno cali periodici della temperatura che permettono al diodo di sopportare correnti maggiori perché dissipa continuamente calore.
Facciamo ora un esempio:
Se prendiamo una lastra di metallo e misuriamo la sua temperatura troviamo un valore . Studiamo ora come varia la temperatura all’interno dell’oggetto se lo immergiamo in un liquido a temperatura .
Inizialmente, dunque, se rappresentiamo graficamente la lastra su un sistema di assi cartesiani indicando sull’asse delle ascisse la posizione e sull’asse delle ordinate la temperatura che, in quella posizione, andiamo a misurare, si ottiene