Scambiatori di calore

Gli scambiatori di calore sono macchine che permettono uno scambio termico, e quindi di entalpia, tra due fluidi. In genere i fluidi sono separati da un divisorio metallico che impedisce il contatto chimico, caratteristica indispensabile nei processi in cui si vuole mantenere separato un fluido “pulito” (latte o altri liquidi alimentari) da uno contaminato (acqua, olio,…). Non essendoci contatto le pressioni dei fluidi possono anche essere molto diverse.

L’ esempio più importante di utilizzo di uno scambiatore in cui i fluidi si miscelano è quello della pastorizzazione del latte: in questo caso vapore ad alta temperatura si mischia al latte per sterilizzarlo, separandosi poi a fine processo.

Il generico scambiatore è un apparecchio avente due sezioni d’ ingresso e due d’ uscita:

Bilancio entalpico, andamento della temperatura

Si può assumere che lo scambio di entalpia avvenga solo tra i due fluidi, in quanto gli scambiatori vengono costruiti in modo da rendere il flusso di calore verso l’ esterno trascurabile, quindi:

(1)

All’ interno dello scambiatore non sono presenti turbine o altri macchinari in grado di produrre lavoro, quindi:

(2)

A questo punto, considerando lo scambiatore un sistema aperto, posso procedere ad un bilancio energetico :

(3)

(4)

dove e sono le portate in massa e h le entalpie. Riordinando:

(5)

Sostituendo all’ entalpia il calore specifico a pressione costante, ottengo un’ espressione con le temperature:

(6)

E’ possibile tracciare un grafico delle temperature in funzione della posizione all’ interno di uno scambiatore di lunghezza L:

Dal grafico risultano evidenti le seguenti relazioni tra le temperature:

, , ,

ossia A è il fluido da raffreddare, B quello da riscaldare, ma (ovviamente!) la sua temperatura finale non potrà essere maggiore di quella iniziale di A. Non è invece possibile affermare che , nel seguito verrà illustrato uno scambiatore particolarmente efficiente in cui ciò può non avvenire.

Struttura

Dal punto di vista strutturale in questo corso verrà studiato un solo tipo di scambiatore, chiamato tubo in tubo, molto utilizzato nell’ industria alimentare per le ottime caratteristiche igieniche. Esso è costituito da due parti: un tubo interno e una camicia che lo avvolge.

Il tubo interno è in acciaio inox, materiale estremamente liscio, senza scabrezze, facile da lavare, su cui non si riescono a depositare eventuali impurità. Nel tubo scorre il fluido di processo (A), cioè quello sottoposto a lavorazione, nella camicia esterna il fluido di servizio (B), la cui natura e temperatura dipendono dalla lavorazione (acqua calda o fredda, vapor acqueo, azoto,…). La camicia non necessita di particolari accorgimenti igienici, ma è costruita anch’ essa in acciaio inox per compatibilità elettrochimica, ossia per evitare reazioni elettrochimiche e correnti galvaniche che porterebbero altri metalli ad arrugginire . Per la stessa ragione ogni parte dello scambiatore è in acciaio inox, anche le saldature.

Temperatura media logaritmica

Volendo studiare il percorso che compie il calore da un generico punto A a un generico punto B non posso trascurare la presenza della parete in acciaio inox, non essendo questo un buon conduttore di calore. Passando al circuito elettrico equivalente trovo dunque tre resistenze in serie:

con , , L = lunghezza scambiatore, lAC = conducibilità dell’ acciaio. La potenza termica scambiata risulta essere :

(7)

(8)

Lungo lo scambiatore però DT non è certo costante, è necessario trovare un valore medio da porre nell’ espressione (7).

Il semplice valor medio aritmetico:

(9)

non è matematicamente rigoroso (per quanto nella pratica dia risultati accettabili). E’ necessario ricorrere al calcolo integrale, con il quale si ricava un valor medio logaritmico. Valuto la potenza scambiata lungo un generico elemento infinitesimo dx:

(10)

con resistenza locale, funzione di x, ottenuta sostituendo dx a L nell’ espressione della resistenza totale:

(11)

Sostituendo nell’ espressione (10), ottengo :

(12)

il denominatore è costante, lo indico con R’, resistenza termica per unità di lunghezza, dimensionalmente: [R’]=[Km/W]. Passando poi ad un punto di vista termodinamico, posso scrivere:

(13)

ottenendo così altre due espressioni per (il segno meno nella prima è dovuto al fatto che il fluido cede calore):

(14)

(15)

dividendole per le rispettive portate in massa e calori specifici, sottraendo membro a membro, ottengo:

(16)

in cui posso inserire la (12):

(17)

è un’ equazione differenziale a variabili separabili, pur di considerare una variabile; posso dunque integrare tra e , tra 0 e L:

(18)

risolvendo:

(19)

ma per definizione di R’, e , sostituisco, cambio i segni nel logaritmo e sviluppo:

(20)

Giungo così alla definizione di :

(21)

raccogliendo un meno sopra e sotto (NB: -lnA = ln(1/A)), ottengo l’ espressione più comune di :

(22)

i valori forniti da quest’ espressione non si discostano significativamente da quelli forniti dal valor medio aritmetico, pur di considerare piccole variazioni di T.

Scambiatori controcorrente

Fino ad ora si è dato per scontato che i due fluidi scorrano nello stesso verso, in realtà essi possono anche scorrere in verso opposto, negli scambiatori controcorrente:

L’ andamento della temperatura in funzione della posizione è il seguente:

Si nota facilmente che gli scambiatori controcorrente sono particolarmente efficienti, mantenendo un DT elevato lungo tutto il tragitto. Addirittura può accadere, come nel caso preso in esame nel grafico, che .

Esercizio

Il seguente esercizio mostra la valutazione delle prestazioni termodinamiche di uno scambiatore.

Sia dato uno scambiatore avente come fluido di processo azoto, come fluido di servizio acqua. Determinare la temperatura di uscita dell’ acqua e la superficie interna del tubo nei casi lo scambiatore sia equicorrente e controcorrente.

Vengono forniti i seguenti dati:

a)determino la temperatura d’ uscita dell’ acqua, essa non dipende dal verso in cui scorre:

(23)

i calori specifici sono tabellati:,

ricavo così (verrà utile in seguito) e :

(24)

(25)

L’ acqua ha un incremento di temperatura modesto, del resto immetto molta più acqua che azoto, ed essa ha un calore specifico quadruplo di quello dell’ azoto.

b)determino la superficie interna del tubo; prima di procedere definisco il coefficiente globale di scambio K come :

(26)

Quindi:

(27)

con:

Le lunghezze dei raggi di tubo e camicia devono essere misure commerciali, reperibili cioè sul mercato. Pongo:

, ,

K risulta essere:

(28)

Dalle tabelle ricavo , ma e restano incognite.

Parto cercando : si tratta di convezione forzata, è dunque ragionevole applicare l’ equazione di Dittus-Boelter:

(29)

Il numero di Prandtl è tabellato: Pr = 0,71, ricavo il numero di Reynolds:

(30)

La viscosità è tabellata: , manca la velocità, però so che:

(31)

con area interna:

Essendo l’ azoto un gas perfetto vale :

pv = RT

da cui ricavo la densità:

(32)

essendo , la massa molare dell’ azoto e T = 398K un ragionevole valor medio di temperatura tra ingresso e uscita. Allora:

(33)

(34)

Poiché l’ equazione di Dittus-Boelter vale per , la posso usare, ottenendo così Nu:

(35)

dalle tabelle ricavo: , posso così trovare :

(36)

(37)

Per trovare procedo nello stesso modo, partendo dal numero di Reynolds:

(38)

L’ acqua scorre tra due cilindri, devo dunque considerare il diametro idraulico equivalente:

(39)

essendo p il perimetro bagnato dall’ acqua. La viscosità dell’ acqua è tabellata: ; manca la velocità, che ricavo come già fatto per l’ azoto:

(40)

(41)

Il moto è laminare, posso usare la formula di Böhm, mentre il numero di Prandtl è tabellato: Pr = 6,1. Allora:

(42)

sulle tabelle trovo , posso quindi ricavare e quindi K:

(43)

(44)

è un valore molto simile ad , il problema è cioè dominato dalla resistenza convettiva interna.

Posso trovare in equicorrente e controcorrente:

(45)

(46)

Posso infine trovare S:

(47)

(48)

(49)

il che conferma quanto già si sapeva: in controcorrente lo scambiatore è più efficiente, richiede cioè, a parità di prestazioni, una superficie di scambio minore.