Sistema aperto : bilancio massa e energia

Un sistema e` una porzione di spazio delimitata da una superficie detta confine che puo` essere chiusa, impedendo lo scambio di materia con l’esterno, tipica dei sistemi chiusi che da essa prendono nome e che abbiamo fino ad ora trattato, o aperta lasciando entrare e uscire materia attraverso zone dette rispettivamente sezioni di ingresso e sezioni di uscita. La massa che fluisce all’interno di un sistema aperto non si puo` generalmente considerare costante, nonostante che in assoluto valga il principio di conservazione della massa secondo il quale la massa dell’universo non dovrebbe cambiare nel tempo. In realta` tale principio va rivisto attraverso la teoria relativistica fondata sulla legge di Einstein:

(1)

che ammette il consumo di massa a scapito di energia ( tale fenomeno e` riscontrabile nelle stelle durante la fusione nucleare attraverso il processo protone-protone che trasforma idrogeno in elio con perdita di massa e produzione di energia ). Tra massa ed energia non esiste quindi distinzione. Tuttavia si puo` notare che il coefficiente di proporzionalita` tra queste due grandezze e` pari alla velocita` della luce elevata al quadrato, cio` significa che ogni joule di energia equivale ad una massa infinitesima, di conseguenza anche se si ha a che fare con sistemi che scambiano calore per i quali quindi vale (1), l’errore che si commette non considerando lo scambio tra massa e energia e` irrilevante ripetto ad errori di approssimazione e di calcolo. Trascurando dunque la trasformazione di massa all’interno di un sistema aperto, lo si puo` per semplicita` assimilare ad un condotto le cui superfici laterali sono impermeabili e per il quale lo scambio di materia avviene attraverso due sezioni: una di entrata e una di uscita e lo scambio di lavoro per mezzo di un albero rotante che attraversa il condotto (vd. Fig.1).

Fig.1

Sara` poi possibile estendere il risultato ottenuto per questo modello semplificato a sistemi piu` complessi dotati di un maggior numero di sezioni d’ingresso e di uscita

Per affrontare lo studio del suddetto sistema semplificato si considera un sistema chiuso ausiliario che si sposta nello spazio per il quale le proprieta` termodinamiche non variano nel tempo, e una porzione fissa di spazio: il sistema aperto, che nel tempo viene attraversato dal sistema chiuso (vd Fig.2 e Fig.3).

Fig.2

Fig.3

Bilancio della massa

Per il sistema aperto c’e` una variazione nel tempo sia di massa che di energia allora lo si considera in due istanti di riferimento: e . La massa del sistema aperto per vale , dopo un intervallo di tempo cioe` per vale:

(2)

dove rappresenta la variazione di massa durante . Per quanto riguarda il sistema chiuso ausiliario, per comprende tutta la massa contenuta nel sistema aperto in quell’istante: , piu` una porzione collocata a monte della sezione che costituisce la massa che sta per entrare nel sistema aperto. Trascorso l’intervallo di tempo sufficiente per consentire a tutta la massa di entrare e a una massa , generalmente diversa da , di uscire, per il sistema chiuso ausiliario risulta costituito da data da (2) piu` (vd Fig.4 e Fig.5).

Fig.4

Fig.5

Mentre il sistema aperto e` stato interessato dall’entrata di una massa e dall’uscita di una massa , il sistema chiuso ausiliario, per definizione di sistema chiuso, ha conservato nell’intervallo di tempo la stessa massa pur avendo subito uno spostamento nello spazio. Si puo` quindi scrivere un’ equazione di bilancio di massa per il sistema chiuso data da

(3)

dove il pedice “sc” sta per sistema chiuso.

Sostituendo a e la massa contenuta nei due istanti si ottiene:

(4)

Dividendo entrambi i membri di (4) per si ha:

(5)

che ordinando, si puo` scrivere:

(6)

Il primo membro dell’equazione (6) rappresenta un rapporto incrementale quindi, per definizione di derivata, facendo il limite per che tende a zero si ottiene:

(7)

dove il pedice “sa” sta per sistema aperto, rappresenta la variazione di massa per il sistema aperto, e sono definite portate in massa e indicano rispettivamente la massa che entra in e la massa che esce da nell’unita` di tempo.

Nel caso piu` generale in cui il sistema sia costituito da piu` sezioni di entrata e di uscita la (7) assume la forma

(8)

se inoltre la massa che fluisce all’interno del sistema non e` interessata da reazioni chimiche si puo` ad ogni specie chimica associare un’ equazione del tipo (8).

Se il sistema aperto si trova in regime stazionario cioe` se le sue proprieta` termodinamiche e meccaniche assumono in ogni punto valori costanti nel tempo, la portata in massa che entra e` uguale alla portata in massa che esce cioe`

(9)

Bilancio dell’energia

E` possibile calcolare l’equazione di bilancio dell’energia sfruttando la stessa schematizzazione usata per il bilancio della massa riportata in Fig.3 e Fig.4.

Per alla massa contenuta nel sistema chiuso ausiliario e` associata un’energia pari a

(10)

dove e` l’energia di e corrisponde all’energia di .

puo` essere espressa come somma di tre contributi: energia cinetica, energia potenziale e energia interna di cui si considerano i valori specifici

(11) (12) (13)

le cui distribuzioni sono ipotizzate uniformi in .

Quindi

(14)

Per l’energia vale:

(15)

dove e` l’energia associata a mentre corrisponde, analogamente a sopra, all’energia di .

Se nell’intervallo di tempo il sistema chiuso ausiliario puo` modificare il proprio contenuto di energia solo per mezzo di scambi di calore e di lavoro , alla sua energia per data da (15) devono essere aggiunti tali contributi. Si puo` allora scrivere un’ equazione di bilancio energetico che esprime il fatto che la variazione di energia nell’intervallo di tempo e` uguale alla quantita` di energia scambiata sottoforma di calore e di lavoro. In altre parole si applica il primo principio della termodinamica per sistemi chiusi al sistema ausiliario

(16)

Sostituendo (14) e (15) in (16) si ottiene:

(17)

dove la quantita` di calore scambiato vale:

(18)

dove rappresenta la quantita` di calore scambiato nell’unita` di tempo, e la quantita` di lavoro scambiato e` data da due contributi: il lavoro scambiato attraverso l’albero rotante dato da

(19)

dove rappresenta la quantita` di lavoro scambiato nell’unita` di tempo, e il lavoro compiuto dal fluido per introdurre nel sistema aperto la massa e per estrarre dallo stesso la massa .

Il lavoro necessario per spingere la massa all’interno del sistema (vd Fig.6) vale:

(20)

supposto di poter considerare la sezione uguale a e costante sulle due sezioni

Fig.6

Analogamente per spingere la massa all’esterno del sistema

(21)

Inoltre sono valide le seguenti relazioni:

(22)

(23)

dove rappresenta il volume specifico.

Quindi sostituendo (22) e (23) in (20) e (21) si ottiene:

(24)

(25)

Usando la (18), la (19), la (24) e la (25), considerando come somma algebrica di , e , tenendo conto della convenzione che il lavoro e` positivo se fatto dal sistema sull’esterno e ordinando, la (17) puo` essere scritta:

(26)

dove per ogni sezione si considera ciascuna forma di energia costante. In realta` si vedra` in seguito che l’energia cinetica e l’energia potenziale presentano una distribuzione non uniforme.

Dividendo entrambi i membri della (26) per e ricordando la definizione di entalpia

(27)

si ha:

(28)

Analogamente a quanto fatto per l’equazione di bilancio della massa, facendo il limite per che tende a zero, la (28) assume la forma

(29)

Nel caso di regime stazionario il contenuto di energia e di massa del sistema rimangono costanti quindi il primo membro si annulla, vale l’equazione (9), e definita

(30)

la (29) si puo` scrivere:

(31)

che divisa per rappresenta l’equazione di bilancio dell’energia di un sistema aperto in regime stazionario

(32)

dove e . Nel definire la suddetta equazione non si e` tenuto conto del fatto che l’energia cinetica e l’energia potenziale non sono uniformemente distribuite lungo la sezione del condotto adottato come semplificazione di un sistema aperto. Ci si propone quindi di calcolare tali forme di energia in modo piu` rigoroso.

Calcolo dell’energia cinetica

Per determinare l’espressione dell’energia cinetica si deve considerare la sua dipendenza dalla velocita` del fluido che attraversa il condotto. Tale velocita` non e` pero` costante, ma varia in funzione della sezione che si prende in considerazione e della distanza dall’asse del condotto. In atre parole dipende dal tipo di moto che il fluido puo` assumere. All’interno del condotto infatti, il fluido non si comporta come un corpo rigido per il quale l’energia cinetica vale:

(33)

dove si indica con la massa e con la velocita`, ma il suo moto puo` variare fra due condizioni estreme di moto laminare e di moto turbolento. Nel primo caso (vd Fig.7) e` possibile considerare il fluido suddiviso in tanti filetti che si muovono senza intersecarsi, nel secondo caso, schematizzato in Fig.8, invece si mescolano dando luogo a vortici, cioe` le componenti secondo i tre assi cartesiani di riferimento della velocita` in un medesimo punto variano continuamente e irregolarmente col tempo.

Fig.7-----------------------------------------------Fig.8

Attraverso i due profili si nota che la velocita`, e quindi l’energia cinetica, varia lungo la sezione, allora si ricorre ad una velocita` media definita come quel valore ipotetico della componente della velocita` parallela all’asse che, uniforme su tutta la sezione , sarebbe in grado di dare la stessa portata in volume di quella che si ha in realta`

(34)

dove rappresenta il vettore normale alla sezione e il prodotto e` dovuto al fatto che per il calcolo della velocita` media interessano solo le componenti che fanno entrare e uscire il fluido. La massa che nell’unita` di tempo attraversa la generica sezione del condotto e` data da

(35)

che, se considero costante, per definizione di assume la forma

(36)

da cui e` possobile ricavare la portata in volume

(37)

La (36) fornisce l’espressione della velocita` media

(38)

Nota , dalla (33) e` possibile ricavare l’energia cinetica che il sistema possiede nell’unita` di tempo

(39)

il cui valore specifico vale:

(40)

In realta` l’energia cinetica posseduta dal fluido e` maggiore di quella data da (40) in quanto il profilo di velocita` non e` uniforme in modulo (vd Fig.7 e Fig.8) e la differenza tra il modulo delle velocita` nella zona centrale del condotto e apporta un contributo positivo dovuto al fatto che il quadrato del valor medio e` minore del valor medio dei quadrati. Inoltre tale espressione nel caso piu` generale di moto turbolento non tiene in considerazione le componenti della velocita` sul piano della sezione. Si introduce percio` un coefficiente correttivo con il quale la (40) si scrive:

(41)

Il fattore assume valori compresi tra 1 e 2. In particolare vale 2 nel caso di moto completamente laminare per il quale la velocita` varia con legge parabolica di secondo ordine il cui profilo e` detto profilo parabolico di Poiseuille, tipico di sostanze quali l’olio. Vale invece 1 nel caso di moto rigido il cui profilo si puo` considerare piatto. Tra i fluidi che presentano un profilo di tale genere c’e` il burro.

Il moto turbolento per il quale ogni elemento di fluido scambia nel tempo energia cinetica con gli elementi circostanti a causa della viscosita`, e quindi la velocita` lungo la sezione tende ad un valor medio, puo` essere ben approssimato da un modello di moto a profilo piatto.

Calcolo dell’energia potenziale

Per il calcolo dell’energia potenziale, si fa riferimento ad un corpo di massa che si trova nel campo gravitazionale ad un’altezza . Ad esso e` associata una energia

(42)

dove rappresenta l’accelerazione di gravita` pari a . Il valore specifico dell’energia potenziale vale:

(43)

Sostituendo la (41) e la (43) nella (32) si ottiene:

(44)

che in condizioni di variazione di energia cinetica e variazione di energia potenziale trascurabili si puo`scrivere:

(45)

che rappresenta l’equazione di bilancio di energia per un sistema aperto.

L’equazione di bilancio di energia trova grande applicazione nello studio delle macchine a fluido tra le quali molto importanti sono quelle che sfruttano come ciclo termodinamico di funzionamento il ciclo di Rankine.

Ciclo di Rankine

Il ciclo di Rankine, ciclo termodinamico per la produzione di energia, si realizza con la successione di quattro apparecchiature: pompa, caldaia, turbina e condensatore disposte come in Fig.9

Fig.9

Il fluido che descrive il ciclo e` l’acqua che nella pompa passa da una pressione inferiore a una superiore con relativo aumento di temperatura dovuto pero` alla sola compressione (da 1 a 2), nella caldaia viene riscaldata e vaporizzata a pressione costante fino a raggiungere lo stato di vapore saturo secco prelevando calore dalla combustione di un combustibile e dell’aria comburente (serbatoio caldo)(da 2 a 3). La turbina produce lavoro meccanico a scapito del vapore che si espande adiabaticamente all’interno di apposite palette (vd Fig.11a,b,c,d)(da 3 a 4) e il condesatore porta l’acqua dalla fase di vapore a bassa pressione alla fase liquida attraverso una trasformazione a temperatura e pressione costanti cedendo calore ad una serpentina (serbatoio freddo)(da 4 a 1). I singoli componenti si possono considerare dei sistemi aperti, quindi per il loro studio e` possibile utilizzare la (45) in quanto non essendo in movimento, l’energia cinetica e l’energia potenziale sono trascurabili. Se inoltre si ipotizzano irrilevanti le perdite di carico e le dispersioni di calore che hanno luogo lungo le condutture che collegano le diverse apparecchiature, gli stati fisici del fluido all’uscita di un apparecchio e all’ingresso del successivo possono essere considerati coincidenti. Si ottiene quindi il seguente ciclo (vd Fig.10)