Esercizio 1 : Lo scatolone adiabatico

Si consideri un recipiente chiuso, non deformabile, isolato dall’ambiente esterno e separato in due parti distinte per mezzo di un setto estraibile meccanicamente e termicamente isolante.

Si supponga che nelle due porzioni del recipiente si trovi acqua allo stato liquido e sotto forma di vapore saturo, in condizioni di equilibrio, rispettivamente nelle quantità di 1 e 2 kg, alle pressioni di 9,8 e 0,98 bar e con un titolo di 0,1 e 0,5.

Si determinino pressione e titolo all’interno del recipiente una volta che è stato estratto il setto e che si è lasciato il sistema a riposo per un tempo sufficientemente lungo perché si sia determinata una nuova situazione di equilibrio.

Figura 1-Esercizio 1

Soluzione:

Si assuma come sistema il recipiente stesso e siano A e B due porzioni del sistema chimicamente e fisicamente omogenee individuate all’interno del recipiente dal setto estraibile (figura 1).

Siano M_A=1 kg, P_A=9,8 bar e x_A=0,1 rispettivamente la massa, la pressione il titolo misurate nella porzione A del sistema. Analogamente siano M_B=2 kg, P_B=0,98 bar e x_B = 0,5 le rispettive grandezze caratterizzanti la porzione B del sistema.

Innanzi tutto osserviamo che le temperature delle due porzioni A e B del sistema sono stati considerati come dati impliciti del problema. Come si può osservare dal diagramma di figura 2, infatti, nella regione di equilibrio liquido-vapore, ovvero al di sotto delle curve limite ac e bc, pressione e temperatura non sono variabili indipendenti ma una delle due è univocamente determinata al fissare dell’altra. Tutto ciò in accordo con il fatto che un sistema fisicamente e chimicamente omogeneo è completamente descritto da due coordinate termodinamiche che, in questo caso, sono la pressione ed il titolo.

Figura 2-Diagramma (p,v) dell'acqua

Prima di addentrarci nella soluzione rigorosa dell’esercizio cerchiamo di valutare spannometricamente le due coordinate termodinamiche P_C e x_C, vale a dire la pressione ed il titolo nella situazione di equilibrio finale C del sistema.

Chiariamo che quella che dobbiamo descrivere è la situazione del sistema C all’equilibrio; non possiamo infatti descriverne l’evoluzione immediatamente dopo l’estrazione del setto sfruttando la termodinamica dell’equilibrio come non potremmo, del resto, sperare di descriverla tramite coordinate termodinamiche, che hanno senso solamente in situazioni di equilibrio.

Supponiamo allora legato da relazione lineare il comportamento del sistema nei due istanti considerati. Come diretta conseguenza il punto C di coordinate termodinamiche (P_C,V_C) dovrà trovarsi nel diagramma (p,v) sulla retta passante per i punti A e B come mostrato in figura 2. Supponendo inoltre che le grandezze termodinamiche cercate siano determinabili come medie pesate delle corrispondenti grandezze in A ed in B e sapendo che:

(1)

(il sistema è infatti un sistema chiuso ed è quindi valido il principio di conservazione della massa) possiamo concludere che la coordinata del punto C sulla retta AB, scelta la origine in A è data da:

(2)

ovvero:

(3)

come in figura 2.

Ammettendo ora un certo margine di errore dovuto alla reale non linearità della trasformazione effettuata, possiamo pensare che le coordinate termodinamiche (P_C,V_C) siano individuate da un punto del diagramma termodinamico contenuto nell’ellissoide di asse AB e centrato in C come mostrato in figura 2.

Quello che ci aspetteremo sarà allora un risultato del tipo:

(4)

Cerchiamo ora la soluzione attraverso un metodo più rigoroso. Avendo a che fare con un numero di incognite pari a due dovremo cercare, come minimo, due equazioni indipendenti cioè che traggano origine da principi fisici separati perché il problema sia matematicamente risolubile.

Una prima equazione è rappresentata dalla (1), che proviene dalla diretta applicazione del principio di conservazione della massa al sistema chiuso. Oltre a ciò, il sistema è da considerarsi isolato, quindi incapace di dar luogo a scambi di calore o lavoro con l’esterno per cui, dal primo principio della termodinamica, otteniamo immediatamente che:

(5)

cioè che l’energia totale interna al sistema si conserva durante la trasformazione.

Sfrutteremo, inoltre, una terza equazione, che risulta essere vera se supponiamo trascurabile il volume occupato dal setto estraibile rispetto al volume dell’intero recipiente. Secondo questa equazione:

(6)

Introducendo ora i volumi specifici v_C, v_B e v_A la (6) diviene:

(7)

Ricordiamo ora che per i volumi specifici ed il titolo dei vapori saturi vale la relazione lineare:

(8)

dove v_L e v_d sono, rispettivamente, i volumi specifici della fase liquida e quello differenziale univocamente determinati, al fissare della pressione, dalla tabella 2 riportata al termine dell’esercizio.

Otteniamo quindi che la (7) può essere riscritta come:

(9)

Utilizzando ora la (9) e la (1) possiamo ottenere il volume specifico v_C come:

(10)

ovvero, numericamente:

(11)

dove le unità di misura sono state prese nel S.I. e le grandezze costanti non fornite dal testo sono state derivate dalle già citate tabelle per il vapore saturo.

A questo punto, in totale analogia con la soluzione di carattere spannometrico prima ottenuta, possiamo ottenere, sfruttando un diagramma (p,v) sufficientemente preciso, una soluzione grafica che determini il punto C come intersezione della già utilizzata retta AB del grafico di figura 2 con la retta parallela all’asse delle pressioni e passante per il punto (0,v_C). Tale risultato rimane comunque fondamentalmente affetto da errore e non è da considerarsi come soluzione precisa del problema data la non effettiva linearità della trasformazione supposta durante la costruzione della retta AB.

Sapendo ora che, in generale, l’energia interna specifica per i vapori saturi può essere scritta come:

(12)

con u_L e u_d energia interna specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale, possiamo utilizzare la (5) e ricavare l’energia interna specifica per il sistema C come:

(13)

ovvero, numericamente:

(14)

dove si sono sempre sfruttate le tabelle di vapore saturo per la determinazione delle costanti, si sono espresse le energie in kj e le pressioni in kPa.

Il punto C sul diagramma (p,v) è ora univocamente determinato, si sono infatti fissate due coordinate termodinamiche che, per i sistemi omogenei, sappiamo essere sufficienti ad una completa descrizione dello stato del sistema. Vogliamo tuttavia ricavare le due coordinate richieste dal problema: x_C e P_C.

Il sistema che ci permette di svolgere tale operazione è dato dalle equazioni:

(15)-(16)

Osserviamo che, sebbene il sistema sia fisicamente risolubile poiché le uniche incognite sono x_C e P_C mentre v_LC, v_dC, u_LC e u_d sono determinate, fissata P_C, tramite le tabelle di vapore saturo, non siamo di fronte ad un problema algebricamente ben posto poiché non è possibile formulare le seconde grandezze come funzione delle prime. In altri termini non possiamo ottenere una soluzione del sistema in forma chiusa.

Nasce, a questo punto, un problema di calcolo numerico della soluzione che può essere risolto utilizzando, principalmente, due metodi differenti.

Un primo metodo, detto anche metodo Monte Carlo, consiste nel ricercare la soluzione, a meno di un errore fissato, scegliendo e testando valori totalmente casuali per una delle due grandezze cercate.

Supponiamo infatti di scegliere, in modo casuale, il valore di P_C. Così facendo vengono automaticamente fissate tutte le grandezze in gioco (utilizzando le tabelle di vapore saturo e l’equazione (15)) e diventa possibile testare la correttezza della soluzione ottenuta tramite la restante equazione (16), che deve risultare una identità.

Con un certo numero di tentativi, in linea teorico infinito, si giunge allora alla soluzione del sistema. Notiamo che l’utilizzo di questo metodo, in apparenza impraticabile, si rivela proficuo date le vaste potenzialità e la rapidità di calcolo raggiunta oggigiorno dai calcolatori elettronici. La risoluzione del problema si riduce allora alla formulazione di un valido algoritmo che preveda la generazione di numeri casuali, all’interno di un certo intervallo della retta reale (generalmente scelto attorno al valore di pressione ottenuto spannometricamente all’inizio dell’esercizio).

Un secondo metodo di soluzione del problema può essere rappresentato da uno dei così detti metodi iterativi. A differenza del metodo Monte Carlo, che si basava sulla generazione totalmente casuale del numero rappresentante la potenziale soluzione, vogliamo ora pilotare la scelta dei tentativi quantomeno successivi al primo.

Scegliamo allora una pressione P_C¹ approssimativamente pari a quella ottenuta nella (4) in modo del tutto approssimato. Utilizzando l’equazione (15) e le tabelle di vapore saturo otteniamo quindi, come già fatto nell’applicare il metodo Monte Carlo, tutti gli altri valori incogniti del problema. Sempre come per il precedente metodo risolutivo possiamo ora testare la soluzione tramite l’equazione (16). A questo punto, supponendo di non essere di fronte ad un risultato soddisfacente, possiamo pilotare la scelta del successivo valore di P_C ripetendo il procedimento sopra descritto per due valori di pressione, uno superiore e l’altro inferiore a P_C¹ _,e scegliendo come P_C² quello al quale corrisponde un valore di u_C , ottenuto dalla (16), più vicino a quello reale di 1287 kj/kg.

I successivi valori di pressione saranno poi determinati sottraendo o sommando una quantità arbitraria a quelli direttamente precedenti a seconda che il valore di P_C¹ sia maggiore o minore di quello di P_C² . Si proseguirà con questo procedimento fintanto che i valori di u_C ottenuti, sempre dalla (16), non cominceranno a divergere dal valore fissato di 1287kj/kg, istante nel quale si saranno individuati due valori P_Cⁿ e P_C^m tali per cui : u_Cⁿ _< u_{C <} u_C^m.

Ora il corretto valore di pressione, soluzione del sistema, può essere determinato con precisione teoricamente infinita tramite un semplice metodo di bisezione.

Applichiamo allora questo metodo al problema che abbiamo posto ottenendo così la tabella 1.

Num. iterazione	PC (bar)	xC	uC (kj/kg)
1	3	0,94	2425
2	1,96	0,65	1820
3	1,47	0,49	1472
4	1,18	0,4	1266

Tabella 1

Osserviamo che, in questa applicazione del metodo iterativo, la convergenza si è ottenuta diminuendo il valore iniziale di pressione, fermandosi poi al valore 4 di P_C a cui corrisponde un valore di energia interna inferiore a quello reale (pari a 1287 kj/kg). Ulteriori iterazione avrebbero infatti portato a divergere dal valore reale.

Tralasciando di applicare il sopraccitato metodo di bisezione tra i valori estremanti di 1472 kj/kg e 1266 kj/kg (e quindi tra I valori di pressione di 1,47 bar e 1,18 bar) possiamo adottare come soluzione i valori di pressione e titolo ottenuti durante l’ultima iterazione, caratterizzati da un sufficiente grado di precisione. Pertanto si avrà che : x_C =0,4 e P_C =1,18 bar =118 KPa.

Come nota conclusiva osserviamo che potevano essere utilizzati diversi tipi di metodi iterativi per ottenere la soluzione cercata anche se la convergenza di ciascuno, non è, in generale, indipendente dalla scelta del valore di partenza. Un valore di partenza approssimativamente pari al reale valore risolutivo, infatti, agevola la buona riuscita del metodo; il che sottolinea, ancora una volta, l’importanza della prima soluzione ottenuta, sebbene questa fosse basata su di un presupposto di linearità della trasformazione fondamentalmente errato.

Tabella 2-Tabella termodinamica per i vapori d’acqua saturi.

Ricordiamo che per il volume specifico differenziale vale la relazione: v_d=v_g-v_L

e che l’energia interna specifica differenziale e della fase liquida possono essere ottenute come: u_L=h_L-pv_L u_d=h_d-pv

Temperatura		Pressione		Entalpia specifica		Volume specifico
°C	K	Bar		kj/kg		10^-3m^3/kg
t	T	p		hL	hd	vL	vg
96	369,15	0,87686		402,2	2267,5	1,0406	1915,3
98	371,15	0,94301		410,6	2262,2	1,0421	1789,3
100	373,15	1,01325		419,1	2256,9	1,0437	1673,0
102	375,15	1,0878		427,5	2251,6	1,0453	1565,5
104	377,15	1,1668		435,9	2246,3	1,0469	1466,2
106	379,15	1,2504		444,4	2240,9	1,0485	1374,2
108	381,15	1,3390		452,9	2235,4	1,0502	1288,9
110	383,15	1,4327		461,3	2230,0	1,0519	1209,9
112	385,15	1,5316		469,8	2224,5	1,0536	1136,6
114	387,15	1,6362		478,3	2219,0	1,0553	1068,5
116	389,15	1,7465		486,7	2213,4	1,0571	1005,2
118	391.15	1,8628		495,2	2207,9	1,0588	946,34
120	393,15	1,9854		503,7	2202,2	1,0606	891,52
122	395,15	2,1145		512,2	2196,6	1,0625	840,45
124	397,15	2,2504		520,7	2190,9	1,0643	792,83
126	399,15	2,3933		529,2	2185,2	1,0662	748,40
128	401,15	2,5435		537,8	2179,4	1,0681	706,91
130	403,15	2,7013		546,3	2173,6	1,0700	668,14
132	405,15	2,8670		554,8	2167,8	1,0720	631,88
134	407,15	3,3407		563,4	2161,9	1,0740	597,95
136	409,15	3,2229		572,0	2155,9	1,0760	566,18
138	411,15	3,4138		580,5	2150,0	1,0780	536,41
140	413,15	3,6138		589,1	2144,0	1,0801	508,49
142	415,15	3,8231	597,7		2137,9	1,0821	482,30
144	417,15	4,0420	606,3		2131,8	1,0843	457,71
146	419,15	4,2709	614,9		2125,7	1,0864	434,60
148	421,15	4,5101	623,5		2119,5	1,0886	412,88
150	423,15	4,7600	632,1		2113,2	1,0908	392,45
152	425,15	5,0208	640,8		2106,9	1,0930	373,22
154	427,15	5,2929	649,4		2100,6	1,0953	355,10
156	429,15	5,5767	658,1		2094,2	1,0976	338,03
I58	431,15	5,8725	666,8		2087,7	1,0999	321,94
160	433,15	6,1806	675,5		2081,3	1,1022	306,76
162	435,15	6,5016	684,2		2074,7	1,1043	292,42
164	437,15	6,8356	692,9		2068,1	1,1070	278,89
166	439,15	7,1831	701,6		2061,4	1,1095	266,09
168	441,15	7,5445	710,4		2054,7	1,1119	254,00
170	443,15	7,9202	719,1		2047,9	1,1145	242,55
172	445,15	8,3106	727,9		2041,1	1,1170	231,72
174	447,15	8,7160	736,7		2034,2	1,1196	221,47
176	449,15	9,1368	745,5		2027,3	1,1222	211,75
178	451,15	9,5736	754,3		2020,2	1,1248	202,54
180	453,15	10,027	763,1		2013,2	1,1275	193,80

Esercizio 2: La determinazione del titolo dei vapori saturi

Supponiamo di voler determinare il valore del titolo di un vapore saturo all’interno di un recipiente in pressione oppure all’interno di un condotto. Per fare ciò sono possibili, in generale, due differenti metodi sperimentali.

1° metodo:

Figura 3-Esercizio 2(1° metodo)

Supponiamo di disporre di un recipiente in pressione contenente vapore saturo alla pressione P₁ pari ad 1 bar e, di conseguenza, alla temperatura T₁ pari a 100 °C (valori che possono essere determinati sperimentalmente attraverso l’uso di un manometro e di un termometro).

Colleghiamo allora al recipiente un condotto, dotato di una valvola inizialmente chiusa, che sfocia in un calorimetro completamente isolato e contenente una massa M_L pari a 0,35 kg di acqua alla temperatura T₂ di 25 °C. Osserviamo che l’isolamento del calorimetro può essere ottenuto, ad esempio, tramite una intercapedine di vetro in cui si è praticato il vuoto e tramite un tappo di sughero come in figura 3.

Facciamo allora gorgogliare, aprendo la valvola, il vapore saturo contenuto nel recipiente all’interno del calorimetro e misuriamo la massa d’acqua e la temperatura all’interno del calorimetro stesso, ottenendo così le grandezze M₃=0,395 kg e T₃=64°C. Per chiarezza si sono rappresentati i tre stati di equilibrio oggetto del nostro studio nel diagramma di figura 4.

Figura 4-Diagramma (p,v) dell'acqua

Dalla misura della massa d’acqua nel calorimetro dopo aver fatto gorgogliare il vapore saturo, otteniamo immediatamente la massa di acqua transitata attraverso la valvola :

(17)

A questo punto, il problema si dimostra molto simile a quello risolto precedentemente, con la differenza che l’esercizio di pagina 1 descriveva una trasformazione in cui era il volume totale del recipiente a rimanere costante mentre qui, ad essere costante, è la pressione del sistema formato dal recipiente e dal colorimetro (essendo quest’ultimo stato chiuso a pressione atmosferica quindi ad 1 bar).

Scrivendo allora il primo principio della termodinamica in forma entalpica e differenziale otteniamo:

(18)

Poiché poi il sistema è da considerarsi isolato e poiché non vi sono variazioni di pressione durante la trasformazione la (18) diviene:

(19)

dove H, ricordiamo, rappresenta l’entalpia del sistema.

Integrando la (19) tra gli istanti iniziale e finale della trasformazione otteniamo:

(20)

l’entalpia iniziale e finale del sistema è cioè rimasta invariata.

Prima di scrivere la (20) in forma più estesa per ricavare il titolo x₁ nel recipiente, osserviamo che non si deve trascurare il fatto che anche il calorimetro possiede un calore specifico e quindi una propria inerzia termica. Portando dalla temperatura T₂ a quella T₃ la massa d’acqua nel calorimetro, parte del calore dovrà essere speso per aumentare la temperatura del calorimetro stesso, in equilibrio termico con l’acqua in esso contenuta. Per tenere conto di questo fatto possiamo pensare il calorimetro come un corpo ideale, privo di inerzia termica, e aggiungere, nel calcolo, all’acqua realmente presente all’interno del dispositivo una ulteriore quantità di liquido avente capacità termica pari a quella dello strumento stesso. Questa quantità d’acqua è solitamente indicata sul fondo del calorimetro dal costruttore e, in questo caso, può essere considerata pari a M_C = 0,22 kg.

Ricordiamo allora che l’entalpia specifica h₁ all’interno del recipiente prima dell’apertura della valvola, può essere scritta, trovandoci nel dominio dei vapori saturi, come :

(21)

con h_L1 e h_d1 entalpia specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale alla pressione di 1bar (determinabili dalle tabelle di vapore saturo).

Scriviamo allora la (20) in forma estesa, fissando alla temperatura di 0°C il valore nullo della funzione di stato entalpia e ottenendo così l’espressione:

(22)

dove c_L è il calore specifico del liquido (c_L=4187 j/kg×K).

Svolgendo i calcoli nella espressione (22) si ottiene la relazione:

(23)

dove si sono sfruttate le usuali unità di misura del S.I oltre alla tabella 2.

Risolvendo la (22) rispetto ad x₁ si ottiene, infine, il valore del titolo cercato come pari a 0,85.

2° metodo:

Figura 5-Esercizio 2 (2° metodo)

Questo secondo metodo è adatto alla misura del titolo di vapori saturi ad alte pressioni e, di conseguenza, ad alte temperature.

Supponiamo di voler misurare, sperimentalmente, il titolo di un vapore saturo all’interno di un condotto alla pressione P₁ di 28 bar, determinabile facilmente tramite l’utilizzo di un manometro collegato al condotto. Pratichiamo allora un foro sulla parete del condotto e colleghiamovi una conduttura comunicante con l’esterno e dotata di una valvola, inizialmente chiusa. Apriamo quindi la valvola lasciando fuoriuscire il vapore ad una pressione P₂ pari a quella atmosferica e misuriamo la temperatura del vapore tramite un semplice termometro a mercurio, ottenendo così un valore T₂ pari a 115 °C (figura 5).

Figura 6-Diagramma (p,v) dell'acqua

Tale processo di fuoriuscita del vapore, indicato in figura 6 dalla linea tratteggiata, viene denominato laminazione ed è un processo irreversibile che permette di poter trascurare, in prima approssimazione, il calore nonché il lavoro scambiato tra il vapore e l’ambiente esterno. Ciò equivale a considerare che il vapore fuoriesca già alla pressione atmosferica di 1 bar e che il foro sia sufficientemente piccolo da permettere una veloce diffusione del vapore ovvero, una espansione adiabatica dello stesso.

Se, oltre all’approssimazione appena descritta, trascuriamo anche le variazioni di energia cinetica e potenziale delle particelle costituenti la massa di vapore, possiamo scrivere il primo principio della termodinamica in forma entalpica, applicato al sistema aperto costituito dal condotto e dalla valvola, come:

(23)

Sottolineiamo il fatto che il processo in questione è stato rappresentato in figura 5 solo a titolo esplicativo poiché, trattandosi di un processo irreversibile, non può essere individuato da una linea continua su di un qualunque diagramma termodinamico.

Preoccupandoci allora dei soli stati iniziali e finali del sistema e non del tipo di trasformazione avvenuta, possiamo integrare la (23) lungo una qualunque trasformazione reversibile tra gli stati 1 e 2 e otterremo sempre la relazione:

(24)

che esprime l’invarianza dell’entalpia specifica tra gli stati 1 e 2 del sistema.

Possiamo esprimere l’entalpia specifica dello stato 1 sfruttando la oramai nota relazione per i vapori saturi, secondo la quale:

(25)

con h_L1 e h_d1 entalpia specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale alla pressione P₁ di 28 bar.

Scriviamo inoltre l’entalpia dello stato 2 sfruttando la descrizione dei vapori surriscaldati, per la quale:

(26)

dove h_L2 e h_d2 sono, rispettivamente, l’entalpia specifica della fase liquida e l’entalpia differenziale alla pressione P₂ di 1 bar (si veda la tabella 2). Specifichiamo che il punto 2^ è individuato, come da figura 6, dall’intersezione tra la curva limite superiore e la isobara alla pressione P₂ di 1 bar e che quindi T_2^ =100 °C. Notiamo inoltre che, nella (26), si è indicato un valore del calore specifico a pressione costante che va mediato tra i due valori che si ottengono alle temperature T₂ e T_2^ (in questo caso si assumerà che: ).

Con queste puntualizzazioni possiamo ottenere, uguagliando la (25) alla (26), come da (24), la relazione:

(27)

da cui si ricava un valore del titolo x₁ pari a 0,946.

Tabella 3-Tabella termodinamica per i vapori d’acqua saturi.

Temperatura		Pressione	Entalpia specifica		Volume specifico
°C	K	Bar	kj/kg		10^-3m^3/kg
t	T	p	hL	hd	vL	vg
200	473,15	15,549	852,4	1938,6	1,1565	127,16
210	483,15	19,077	897,7	1898,5	1,1726	104,24
220	493,15	23,198	943,7	1856,2	1,1900	86,038
230	503,15	27,976	990,3	1811,7	1,2087	71,450
240	513,15	33,478	1066,4	1735,0	1,2291	59,654
250	523,15	39,776	1085,8	1714,7	1,2513	50,037

Esercizio 3: La caldaia

La caldaia di figura 7 è capace di trasformare 1 kg di acqua, alla temperatura di 60°C, in vapore alla pressione di 40bar e alla temperatura di 300°C. Si calcoli la quantità di calore assorbita durante tale processo.

Figura 7-Esercizio 3

Soluzione:

Figura 8- Diagramma (p,v) dell'acqua

La trasformazione termodinamica effettuata dal dispositivo è rappresentata sul diagramma (p,v) di figura 8. Si tratta si una trasformazione isobara, alla pressione costante di 40 bar, tra gli stati 1 e 4 individuati dalle temperature T₁=60 °C e T₂=300°C.

Introducendo i punti 2 e 3 sul diagramma termodinamico, individuati dalle curve limite e dalla linea isobara alla pressione di 40bar, suddividiamo il processo in tre differenti trasformazioni che possono essere così descritte:

·Una prima trasformazione, tra gli stati 1 e 2, a pressione costante, in cui si riscalda 1 kg di acqua liquida alla temperatura T₁ fino a raggiungere la temperatura T₂=250 °C, che non è altro se non la temperatura di ebollizione dell’acqua alla pressione di 40 bar .

·Una seconda trasformazione, tra gli stati 2 e 3, ancora a pressione costante e a temperatura costante (T₃=T₂=250 °C) in cui tutta l’acqua viene trasformata in vapore saturo secco.

·Un’ultima trasformazione, sempre a pressione costante, che trasforma il vapore saturo secco in vapore surriscaldato alla temperatura finale T₄ pari a 300 °C.

In tutte e tre le trasformazioni descritte viene assorbita una differente quantità di calore che chiameremo, rispettivamente, q₁₂ q₂₃ e q₃₄,quantità tutte riferite all’unità di massa. Il calore cercato, ovvero il calore assorbito nell’intera trasformazione, sarà quindi dato, sempre per unità di massa, da:

(28)

Considerando allora il sistema aperto rappresentato dalla caldaia possiamo scrivere il primo principio della termodinamica in forma entalpica come:

(29)

essendo il processo condotto a pressione costante.

Osserviamo che dire che il termine vdp è nullo nel bilancio energetico rappresentato dalla (29) equivale a dire che, all’interno della caldaia, non si compie lavoro né sul né a spese del sistema e che quindi il lavoro compiuto nella trasformazione, dato dall’area sottesa dalla trasformazione sul diagramma di figura 7, non è altro se non lavoro svolto sull’ambiente.

Integrando allora la (29) tra gli istanti 1 e 4 otteniamo:

(30)

Poiché inoltre l’entalpia è una funzione di stato possiamo riscrivere la (30) come:

(31)

il che equivale, da un punto di vista analitico, a spezzare in tre parti l’integrale della (29) tra gli stati 1 e 4.

In particolare, osserviamo che le tre variazioni di entalpia ottenute nella (31), non sono altro se non, rispettivamente, i tre calori q₃₄, q₂₃ e q₁₂ scambiati nelle tre trasformazioni sopra individuate. Per dimostrare ciò basta infatti ripetere per le tre trasformazioni il ragionamento fatto tra gli stati 1 e 4 nell’ottenere la (30).

Si avrà quindi dimostrato che:

(32)

espressioni che ,sostituite nella (31), ci riportano ,del resto, alla (28).

Restano allora da calcolare i tre salti di entalpia sopra indicati.

·La variazione di entalpia nella trasformazione tra gli stati 1 e 2 è data da:

(34)

con c_L calore specifico del liquido preso, indifferentemente, a volume o a pressione costante.

·Per la trasformazione tra gli stati 2 e 3 si ha, per definizione:

(35)

la variazione di entalpia cercata è cioè l’entalpia differenziale alla pressione di 40bar, altrimenti detta calore latente di vaporizzazione, ed è pari a 1713kj/kg, come si può dedurre da opportune tabelle di vapore saturo.

·La trasformazione tra 3 e 4 è ancora a pressione costante pertanto:

(36)

dove si è preso il calore specifico a pressione costante mediato tra le due temperature a cui avviene il processo(si veda la tabella 3).

Sommando queste tre espressioni si ottiene allora dalla (31):

(37)

e, numericamente (c_L=4187 j/kg×K):

(38)

Essendo infine di 1 kg la massa M considerata, il calore ceduto alla caldaia sarà pari a:

(39)

Tabella 4-Calore specifico dell’acqua alla pressione costante di 40 bar in funzione della temperatura

Temp.(°C)	CP(kj/kg×K)
240	-
260	3,483
280	3,262
300	3,136
320	3,027
340	2,931
360	2,851

Esercizio 4: La pentola a pressione

Figura 9-Esercizio 4

Si consideri una pentola a pressione, ovvero un recipiente indeformabile dotato di una valvola di sfiato che può essere, a proprio piacimento, tenuta aperta o chiusa (si veda la figura 9). Si supponga che al suo interno si trovino, ad un certo istante, 10kg di acqua liquida in equilibrio con 1 kg di vapore d’acqua saturo alla pressione di 1 bar (situazione che può essere raggiunta portando alla temperatura di ebollizione 11 kg di acqua tenendo lo sfiato della pentola aperto).

Si calcoli la quantità di calore che è necessario fornire alla pentola per portare, con la valvola chiusa, il vapore saturo alla pressione di 5 bar.

Soluzione:

Il processo descritto può essere rappresentato, su di un diagramma (p,v), come una trasformazione isocora dalla pressione P₁ di 1bar alla pressione P₂ di 5bar (figura 10).

Figura 10-Diagramma (p,v) dell'acqua

Dal momento in cui la valvola della pentola è chiusa, il contenitore rappresenta un sistema chiuso, anche se non isolato. Possiamo quindi scrivere, indicando con u l’energia interna specifica del sistema, il primo principio della termodinamica come:

(40)

Osservando ora che la trasformazione avviene a volume costante la (1) può essere riscritta come:

(41)

Integrando poi la (41) tra gli stati 1 e 2 come da figura 10 otteniamo che:

(42)

dove con q₁₂ si è indicato il calore specifico assorbito durante il processo.

Le energie interne specifiche dei due stati in questione dipendono linearmente dal valori dei rispettivi titoli secondo le formule:

(43)

dove u_L1 e u_L2 sono le energie interne specifiche della fase liquida alle pressioni P₁ e P₂ e dove u_d1 ed u_d2 sono le entalpie differenziali, sempre calcolate alle stesse pressioni P₁ e P₂.

Il valore del titolo x1 è inoltre dato da:

(44)

dove m_l e m_v sono, rispettivamente, la massa del liquido e quella del vapore alla pressione iniziale di 1bar.

Differentemente, il valore del titolo x₂ può essere calcolato a partire dal seguente insieme di equazioni che utilizza, oltre al fatto che la trasformazione è isocora, le espressioni dei volumi negli stati 1 e 2 in funzione del titolo.

(45)

Dalle (45) si ricava allora che:

(46)

Sfruttando le oramai note tabelle termodinamiche si ottiene il valore di x ₂ come:

(47)

Utilizzando ora le (43), possiamo ottenere i valori delle energie interne specifiche nei due stati studiati.

(48)

Infine, dalla (42), possiamo determinare il valore del calore specifico q₁₂ come differenza delle due energie interne u₂ ed u₁:

(49)

Per ricavare il calore richiesto dal problema rimane dunque da moltiplicare per la massa d’acqua in gioco ottenendo la quantità:

(50)