Esercizio 1 : Lo scatolone adiabatico

     

Si consideri  un recipiente chiuso, non deformabile, isolato dall’ambiente esterno e separato in due parti distinte per mezzo di un setto estraibile meccanicamente e termicamente isolante.

       Si supponga che nelle due porzioni del recipiente si trovi acqua allo stato liquido e sotto forma di vapore saturo, in condizioni di equilibrio, rispettivamente nelle quantità di 1 e 2 kg, alle pressioni di 9,8 e 0,98 bar e con un titolo di 0,1 e 0,5.

       Si determinino pressione e titolo all’interno del recipiente una volta che è stato estratto il setto e che si è lasciato il sistema a riposo per un tempo sufficientemente lungo perché si sia determinata una nuova situazione di equilibrio.

 

 

 

Figura 1-Esercizio 1

Soluzione:

Si assuma come sistema il recipiente stesso e siano A e B due porzioni del sistema chimicamente e fisicamente omogenee individuate all’interno del recipiente dal setto estraibile (figura 1).

Siano MA=1 kg, PA=9,8 bar e xA=0,1 rispettivamente la massa, la pressione il  titolo misurate nella porzione A del sistema. Analogamente siano MB=2 kg, PB=0,98 bar e xB = 0,5 le rispettive grandezze caratterizzanti la porzione B del sistema.

 Innanzi tutto osserviamo che le temperature delle due porzioni A e B del sistema sono stati considerati come dati impliciti del problema. Come si può osservare dal diagramma di figura 2, infatti, nella regione di equilibrio liquido-vapore, ovvero al di sotto delle curve limite ac e bc, pressione e temperatura non sono variabili indipendenti ma una delle due è univocamente determinata al fissare dell’altra. Tutto ciò in accordo con il fatto che un sistema fisicamente e chimicamente omogeneo è completamente descritto da due coordinate termodinamiche che, in questo caso, sono la pressione ed il titolo.   

Figura 2-Diagramma (p,v) dell'acqua

Prima di addentrarci nella soluzione rigorosa dell’esercizio cerchiamo di valutare spannometricamente le due coordinate termodinamiche PC  e xC, vale a dire la pressione ed il titolo nella situazione di equilibrio finale C del sistema.

Chiariamo che quella che dobbiamo descrivere è la situazione del sistema C all’equilibrio; non possiamo infatti descriverne l’evoluzione immediatamente dopo l’estrazione del setto sfruttando la termodinamica dell’equilibrio come non potremmo, del resto, sperare di descriverla tramite coordinate termodinamiche, che hanno senso solamente in situazioni di equilibrio.

Supponiamo allora legato da relazione lineare il comportamento del sistema nei due istanti considerati. Come diretta conseguenza il punto C di coordinate termodinamiche (PC,VC) dovrà trovarsi nel diagramma (p,v) sulla retta passante per i punti A e B come mostrato in figura 2. Supponendo inoltre che le grandezze termodinamiche cercate siano determinabili come medie pesate delle corrispondenti grandezze in A ed in B e sapendo che:

                                     

               (1)

 

(il sistema è infatti un sistema chiuso ed è quindi valido il principio di conservazione della massa) possiamo concludere che la coordinata del punto C sulla retta AB, scelta la origine in A è data da:

 

                                                                       (2)

ovvero:                                   

                               (3)

come in figura 2.

Ammettendo ora un certo margine di errore dovuto alla reale non linearità della trasformazione effettuata, possiamo pensare che le coordinate termodinamiche (PC,VC) siano individuate da un punto del diagramma termodinamico contenuto nell’ellissoide di asse AB e centrato in C come mostrato in figura 2.

Quello che ci aspetteremo sarà allora un risultato del tipo:

                                                                                     

               (4)

 

Cerchiamo ora la soluzione attraverso un metodo più rigoroso. Avendo a che fare con un numero di incognite pari a due dovremo cercare, come minimo, due equazioni indipendenti cioè che traggano origine da principi fisici separati perché il problema sia matematicamente risolubile.

Una prima equazione è rappresentata dalla (1), che proviene dalla diretta applicazione del principio di conservazione della massa al sistema chiuso. Oltre a ciò, il sistema è da considerarsi isolato, quindi incapace di dar luogo a scambi di calore o lavoro con l’esterno per cui, dal primo principio della termodinamica, otteniamo immediatamente che:

                

                                                                  (5)

 

cioè che l’energia totale interna al sistema si conserva durante la trasformazione.

Sfrutteremo, inoltre, una terza equazione, che risulta essere vera se supponiamo trascurabile il volume occupato dal setto estraibile rispetto al volume dell’intero recipiente. Secondo questa equazione:                

                (6)

Introducendo ora i volumi specifici vC, vB e  vA   la (6) diviene:

                                        

           (7)

 

Ricordiamo ora che per i volumi specifici  ed il titolo dei vapori saturi vale la relazione lineare:               

 

                (8)

 

dove vL  e vd sono, rispettivamente, i volumi specifici della fase liquida e quello differenziale univocamente determinati, al fissare della pressione, dalla tabella 2 riportata al termine dell’esercizio.

Otteniamo quindi che la (7) può essere riscritta come:

 

                                                 (9)

 

Utilizzando ora la (9) e la (1) possiamo ottenere il volume specifico vC    come:

 

                                                      (10)

ovvero, numericamente:

 

                          (11)

 

dove le unità di misura sono state prese nel S.I. e le grandezze costanti non fornite dal testo sono state derivate dalle già citate tabelle per il vapore saturo.

A questo punto, in totale analogia con la soluzione di carattere spannometrico prima ottenuta, possiamo ottenere, sfruttando un diagramma (p,v) sufficientemente preciso, una soluzione grafica che determini il punto C come intersezione della già utilizzata retta AB del grafico di figura 2 con la retta parallela all’asse delle pressioni e passante per il punto (0,vC). Tale risultato rimane comunque fondamentalmente affetto da errore e non è da considerarsi come soluzione precisa del problema data la non effettiva linearità della trasformazione supposta durante la costruzione della retta AB.

Sapendo ora che, in generale, l’energia interna specifica per i vapori saturi può essere scritta come:

                            

                                                                (12)

con uL e ud  energia interna specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale, possiamo utilizzare la (5) e ricavare l’energia interna specifica per il sistema C come:

 

                                                    (13)

ovvero, numericamente:

 

                    (14)

 

dove si sono sempre sfruttate le tabelle di vapore saturo per la determinazione delle costanti, si sono espresse le energie in kj e le pressioni in kPa.

Il punto C sul diagramma (p,v) è ora univocamente determinato, si sono infatti fissate due coordinate termodinamiche che, per i sistemi omogenei, sappiamo essere sufficienti ad una completa descrizione dello stato del sistema. Vogliamo tuttavia ricavare le due coordinate richieste dal problema: xC e PC.

Il sistema che ci permette di svolgere tale operazione è dato dalle equazioni:

 

                                              (15)-(16)        

 

Osserviamo che, sebbene il sistema sia fisicamente risolubile poiché le uniche incognite sono xC e PC mentre vLC, vdC, uLC e ud sono determinate, fissata PC, tramite le tabelle di vapore saturo, non siamo di fronte ad un problema algebricamente ben posto poiché non è possibile formulare le seconde grandezze come funzione delle prime. In altri termini non possiamo ottenere una soluzione del sistema in forma chiusa.

Nasce, a questo punto, un problema di calcolo numerico della soluzione che può essere risolto utilizzando, principalmente, due metodi differenti.

Un primo metodo, detto anche metodo Monte Carlo, consiste nel ricercare la soluzione, a meno di un errore fissato, scegliendo e testando valori totalmente casuali per una delle due grandezze cercate.

Supponiamo infatti di scegliere, in modo casuale, il valore di PC.  Così facendo vengono automaticamente fissate tutte le grandezze in gioco (utilizzando le tabelle di vapore saturo e l’equazione (15)) e diventa possibile testare la correttezza della soluzione ottenuta tramite la restante equazione (16), che deve risultare una identità.

Con un certo numero di tentativi, in linea teorico infinito, si giunge allora alla soluzione del sistema. Notiamo che l’utilizzo di questo metodo, in apparenza impraticabile, si rivela proficuo date le vaste potenzialità e la rapidità di calcolo raggiunta oggigiorno dai calcolatori elettronici. La risoluzione del problema si riduce allora alla formulazione di un valido algoritmo che preveda la generazione di numeri casuali, all’interno di un certo intervallo della retta reale (generalmente scelto attorno al valore di pressione ottenuto spannometricamente all’inizio dell’esercizio).

Un secondo metodo di soluzione del problema può essere rappresentato da uno dei così detti metodi iterativi. A differenza del metodo Monte Carlo, che si basava sulla generazione totalmente casuale del numero rappresentante la potenziale soluzione, vogliamo ora pilotare la scelta dei tentativi quantomeno successivi al primo.

Scegliamo allora una pressione PC1 approssimativamente pari a quella ottenuta nella (4) in modo del tutto approssimato. Utilizzando l’equazione (15) e le tabelle di vapore saturo otteniamo quindi, come già fatto nell’applicare il metodo Monte Carlo, tutti gli altri valori incogniti del problema. Sempre come per il precedente metodo risolutivo possiamo ora testare la soluzione tramite l’equazione (16). A questo punto, supponendo di non essere di fronte ad un risultato soddisfacente, possiamo pilotare la scelta del successivo valore di PC ripetendo il procedimento sopra descritto per due valori di pressione, uno superiore e l’altro inferiore a  PC1 ,e scegliendo come PC2 quello al quale corrisponde un valore di uC  , ottenuto dalla (16), più vicino a quello reale di 1287 kj/kg.

I successivi valori di pressione saranno poi determinati sottraendo o sommando una quantità arbitraria a quelli direttamente precedenti a seconda che il valore di PC1 sia maggiore o minore di quello di PC2 . Si proseguirà con questo procedimento fintanto che i valori di uC ottenuti, sempre dalla (16), non cominceranno a divergere dal valore fissato di 1287kj/kg, istante nel quale si saranno individuati due valori PCn e PCm tali per cui : uCn < uC < uCm.

Ora il corretto valore di pressione, soluzione del sistema, può essere determinato con precisione teoricamente infinita tramite un semplice metodo di bisezione.

Applichiamo allora questo metodo al problema che abbiamo posto ottenendo così la tabella 1.                                    

Num. iterazione

PC (bar)

xC

uC  (kj/kg)

1

3

0,94

2425

2

1,96

0,65

1820

3

1,47

0,49

1472

4

1,18

0,4

1266

 

 

 

 

Tabella 1

Osserviamo che, in questa applicazione del metodo iterativo, la convergenza si è ottenuta diminuendo il valore iniziale di pressione, fermandosi poi al valore 4 di PC a cui corrisponde un valore di energia interna inferiore a quello reale (pari a 1287 kj/kg). Ulteriori iterazione avrebbero infatti portato a divergere dal valore reale.

 

 

Tralasciando di applicare il sopraccitato metodo di bisezione tra i valori estremanti di 1472 kj/kg e 1266 kj/kg (e quindi tra I valori di pressione di 1,47 bar e 1,18 bar) possiamo  adottare come soluzione i valori di pressione e titolo ottenuti durante l’ultima iterazione, caratterizzati da un sufficiente grado di precisione. Pertanto si avrà che : xC =0,4  e PC =1,18 bar =118 KPa.

Come nota conclusiva osserviamo che potevano essere utilizzati diversi tipi di metodi iterativi per ottenere la soluzione cercata anche se la convergenza di ciascuno, non è, in generale, indipendente dalla scelta del valore di partenza. Un valore di partenza approssimativamente pari al reale valore risolutivo, infatti, agevola la buona riuscita del metodo; il che sottolinea, ancora una volta, l’importanza della prima soluzione ottenuta, sebbene questa fosse basata su di un presupposto di linearità della trasformazione fondamentalmente errato.

 

Tabella 2-Tabella termodinamica per i vapori d’acqua saturi.

Ricordiamo che per il volume specifico differenziale vale la relazione: vd=vg-vL

e che l’energia interna specifica differenziale e della fase liquida possono essere ottenute come: uL=hL-pvL      ud=hd-pv

 

Temperatura

Pressione

 Entalpia specifica

Volume specifico

        °C

K

Bar

         kj/kg

     10-3m3/kg

t

T

p

hL

hd

vL

vg

96

369,15

0,87686

402,2

2267,5

1,0406

1915,3

98

371,15

0,94301

410,6

2262,2

1,0421

1789,3

100

373,15

1,01325

419,1

2256,9

1,0437

1673,0

102

375,15

1,0878

427,5

2251,6

1,0453

1565,5

104

377,15

1,1668

435,9

2246,3

1,0469

1466,2

106

379,15

1,2504

444,4

2240,9

1,0485

1374,2

108

381,15

1,3390

452,9

2235,4

1,0502

1288,9

110

383,15

1,4327

461,3

2230,0

1,0519

1209,9

112

385,15

1,5316

469,8

2224,5

1,0536

1136,6

114

387,15

1,6362

478,3

2219,0

1,0553

1068,5

116

389,15

1,7465

486,7

2213,4

1,0571

1005,2

118

391.15

1,8628

495,2

2207,9

1,0588

946,34

120

393,15

1,9854

503,7

2202,2

1,0606

891,52

122

395,15

2,1145

512,2

2196,6

1,0625

840,45

124

397,15

2,2504

520,7

2190,9

1,0643

792,83

126

399,15

2,3933

529,2

2185,2

1,0662

748,40

128

401,15

2,5435

537,8

2179,4

1,0681

706,91

130

403,15

2,7013

546,3

2173,6

1,0700

668,14

132

405,15

2,8670

554,8

2167,8

1,0720

631,88

134

407,15

3,3407

563,4

2161,9

1,0740

597,95

136

409,15

3,2229

572,0

2155,9

1,0760

566,18

138

411,15

3,4138

580,5

2150,0

1,0780

536,41

140

413,15

3,6138

589,1

   2144,0

1,0801

508,49

142

415,15

3,8231

597,7

  2137,9

1,0821

 482,30

144

417,15

4,0420

606,3

  2131,8

1,0843

 457,71

146

419,15

4,2709

614,9

  2125,7

1,0864

 434,60

148

421,15

4,5101

623,5

  2119,5

1,0886

 412,88

150

423,15

4,7600

632,1

  2113,2

1,0908

 392,45

152

425,15

5,0208

640,8

  2106,9

1,0930

 373,22

154

427,15

5,2929

649,4

  2100,6

1,0953

 355,10

156

429,15

5,5767

658,1

  2094,2

1,0976

 338,03

I58

431,15

5,8725

666,8

  2087,7

1,0999

 321,94

160

433,15

6,1806

675,5

  2081,3

1,1022

 306,76

162

435,15

6,5016

684,2

  2074,7

1,1043

 292,42

164

437,15

6,8356

692,9

  2068,1

1,1070

 278,89

166

439,15

7,1831

701,6

  2061,4

1,1095

 266,09

168

441,15

7,5445

710,4

  2054,7

1,1119

 254,00

170

443,15

7,9202

719,1

  2047,9

1,1145

 242,55

172

445,15

8,3106

727,9

  2041,1

1,1170

 231,72

174

447,15

8,7160

736,7

  2034,2

1,1196

 221,47

176

449,15

9,1368

745,5

  2027,3

1,1222

 211,75

178

  451,15

   9,5736

   754,3

  2020,2

1,1248

 202,54

180

453,15

   10,027

   763,1

  2013,2

1,1275

 193,80

 

                                           

Esercizio 2: La determinazione del titolo dei vapori saturi

 

Supponiamo di voler determinare il valore del titolo di un vapore saturo all’interno di un recipiente in pressione oppure all’interno di un condotto. Per fare ciò sono possibili, in generale, due differenti metodi sperimentali.

 

 

1° metodo:

 

Figura 3-Esercizio 2(1° metodo)

 

 

       Supponiamo di disporre di un recipiente in pressione contenente vapore saturo alla pressione P1 pari ad 1 bar e, di conseguenza, alla temperatura T1 pari a 100 °C (valori che possono essere determinati sperimentalmente attraverso l’uso di un manometro e di un termometro).

Colleghiamo allora al recipiente un condotto, dotato di una valvola inizialmente chiusa, che sfocia in un calorimetro completamente isolato e contenente una massa ML pari a 0,35 kg di acqua alla temperatura T2 di 25 °C. Osserviamo che l’isolamento del calorimetro può essere ottenuto, ad esempio, tramite una intercapedine di vetro in cui si è praticato il vuoto e tramite un tappo di sughero come in figura 3.

Facciamo allora gorgogliare, aprendo la valvola, il vapore saturo contenuto nel recipiente all’interno del calorimetro e misuriamo la massa d’acqua e la temperatura all’interno del calorimetro stesso, ottenendo così le grandezze M3=0,395 kg e T3=64°C. Per chiarezza si sono rappresentati i tre stati di equilibrio oggetto del nostro studio nel diagramma di figura 4.

 

                                                                                                      Figura 4-Diagramma (p,v) dell'acqua

Dalla misura della massa d’acqua nel calorimetro dopo aver fatto gorgogliare il vapore saturo, otteniamo immediatamente la massa di acqua transitata attraverso la valvola :

 

                       (17)

 

    A questo punto, il problema si dimostra molto simile a quello risolto precedentemente, con la differenza che l’esercizio di pagina 1 descriveva una trasformazione in cui era il volume totale del recipiente a rimanere costante mentre qui, ad essere costante, è la pressione del sistema formato dal recipiente e dal colorimetro (essendo quest’ultimo stato chiuso a pressione atmosferica quindi ad 1 bar).

Scrivendo allora il primo principio della termodinamica in forma entalpica e differenziale otteniamo:

                

                                                               (18)

 

Poiché poi il sistema è da considerarsi isolato e poiché non vi sono variazioni di pressione durante la trasformazione la (18) diviene:

                

                                                                      (19)

 

dove H, ricordiamo, rappresenta l’entalpia del sistema.

Integrando la (19) tra gli istanti iniziale e finale della trasformazione otteniamo:

 

                                                      (20)

 

l’entalpia iniziale e finale del sistema è cioè rimasta invariata.

Prima di scrivere la (20) in forma più estesa per ricavare il titolo x1 nel recipiente, osserviamo che non si deve trascurare il fatto che anche il calorimetro possiede un calore specifico e quindi una propria inerzia termica. Portando dalla temperatura T2 a quella T3 la massa d’acqua nel calorimetro, parte del calore dovrà essere speso per aumentare la temperatura del calorimetro stesso, in equilibrio termico con l’acqua in esso contenuta. Per tenere conto di questo fatto possiamo pensare il calorimetro come un corpo ideale, privo di inerzia termica, e aggiungere, nel  calcolo, all’acqua realmente presente all’interno del dispositivo una ulteriore quantità di liquido avente capacità termica pari a quella dello strumento stesso. Questa quantità d’acqua è solitamente indicata sul fondo del calorimetro dal costruttore e, in questo caso, può essere considerata pari a MC = 0,22 kg.

Ricordiamo allora che l’entalpia specifica h1 all’interno del recipiente prima dell’apertura della valvola, può essere scritta, trovandoci nel dominio dei vapori saturi, come :

 

                                                    (21)

 

con hL1 e hd1 entalpia specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale alla pressione di 1bar (determinabili dalle tabelle di vapore saturo).

Scriviamo allora la (20) in forma estesa, fissando alla temperatura di 0°C il valore nullo della funzione di stato entalpia e ottenendo così l’espressione:

 

                             (22)

 

dove cL è il calore specifico del liquido (cL=4187 j/kg×K).

Svolgendo i calcoli nella espressione (22) si ottiene la relazione:

 

                                                                                                                                                                                                                             (23)

dove si sono sfruttate le usuali unità di misura del S.I oltre alla tabella 2.

Risolvendo la (22) rispetto ad x1 si ottiene, infine, il valore del titolo cercato come pari a 0,85.

 

 

 

2° metodo:

Figura 5-Esercizio 2 (2° metodo)

 

 

Questo secondo metodo è adatto alla misura del titolo di vapori saturi ad alte pressioni e, di conseguenza, ad alte temperature.

Supponiamo di voler misurare, sperimentalmente, il titolo di un vapore saturo all’interno di un condotto alla pressione P1 di 28 bar, determinabile facilmente tramite l’utilizzo di un manometro collegato al condotto. Pratichiamo allora un foro sulla parete del condotto e colleghiamovi una conduttura comunicante con l’esterno e dotata di una valvola, inizialmente chiusa. Apriamo quindi la valvola lasciando fuoriuscire il vapore ad una pressione P2 pari a quella atmosferica e misuriamo la temperatura  del vapore tramite un semplice termometro a mercurio, ottenendo così un valore T2 pari a 115 °C (figura 5).

 

                                                                 Figura 6-Diagramma (p,v) dell'acqua

 

Tale processo di fuoriuscita del vapore, indicato in figura 6 dalla linea tratteggiata, viene denominato laminazione ed è un processo irreversibile che permette di poter trascurare, in prima approssimazione, il calore nonché il lavoro scambiato tra il vapore e l’ambiente esterno. Ciò equivale a considerare che il vapore fuoriesca già alla pressione atmosferica di 1 bar e che il foro sia sufficientemente piccolo da permettere una veloce diffusione del vapore ovvero, una espansione adiabatica dello stesso.

Se, oltre all’approssimazione appena descritta, trascuriamo anche le variazioni di energia cinetica e potenziale delle particelle costituenti la massa di vapore, possiamo scrivere il primo principio della termodinamica in forma entalpica, applicato al sistema aperto costituito dal condotto e dalla valvola, come:

 

                                                                                    (23)

 

Sottolineiamo il fatto che il processo in questione è stato rappresentato in figura 5 solo a titolo esplicativo poiché, trattandosi di un processo irreversibile,  non può essere individuato da una linea continua su di un qualunque diagramma termodinamico.

Preoccupandoci allora dei soli stati iniziali e finali del sistema e non del tipo di trasformazione avvenuta, possiamo integrare la (23) lungo una qualunque trasformazione reversibile tra gli stati 1 e 2 e otterremo sempre la relazione:

 

                                         *            (24)

 

che esprime l’invarianza dell’entalpia specifica tra gli stati 1 e 2 del sistema.

Possiamo esprimere l’entalpia specifica dello stato 1 sfruttando la oramai nota relazione per i vapori saturi, secondo la quale:

 

                                                                (25)

 

con hL1 e hd1 entalpia specifica rispettivamente della fase liquida e differenziale alla pressione P1 di 28 bar.

Scriviamo inoltre l’entalpia dello stato 2 sfruttando la descrizione dei vapori surriscaldati, per la quale:

 

                                                          (26)

 

dove hL2 e hd2 sono, rispettivamente, l’entalpia specifica della fase liquida e l’entalpia differenziale alla pressione P2 di 1 bar (si veda la tabella 2). Specifichiamo che il punto 2^ è individuato, come da figura 6, dall’intersezione tra la curva limite superiore e la isobara alla pressione P2 di 1 bar e che quindi T2^ =100 °C. Notiamo inoltre che, nella (26), si è indicato un valore del calore specifico a pressione costante che va mediato tra i due valori che si ottengono alle temperature T2 e T2^ (in questo caso si assumerà che:  ).

Con queste puntualizzazioni possiamo  ottenere, uguagliando la (25) alla (26), come da (24), la relazione:

 

                          (27)

 

da cui si ricava un valore del titolo x1 pari a 0,946.

                                                                                        

Tabella 3-Tabella termodinamica per i vapori d’acqua saturi.

 

  Temperatura

Pressione         

Entalpia specifica

Volume specifico

 °C

   K

   Bar

          kj/kg

      10-3m3/kg

   t

   T

    p

     hL

    hd

     vL

    vg

200

473,15

15,549

852,4

1938,6

1,1565

127,16

210

483,15

19,077

897,7

1898,5

1,1726

104,24

220

493,15

23,198

943,7

1856,2

1,1900

86,038

230

503,15

27,976

990,3

1811,7

1,2087

71,450

240

513,15

33,478

1066,4

1735,0

1,2291

59,654

250

523,15

39,776

1085,8

1714,7

1,2513

50,037

 

Esercizio 3: La caldaia

 

La caldaia di figura 7 è capace di trasformare 1 kg di acqua, alla temperatura di 60°C, in vapore alla pressione di 40bar e alla temperatura di 300°C. Si calcoli la quantità di calore assorbita durante tale processo.

Figura 7-Esercizio 3

Soluzione:

 

Figura 8- Diagramma (p,v) dell'acqua

La trasformazione termodinamica effettuata dal dispositivo è rappresentata sul diagramma (p,v) di figura 8. Si tratta si una trasformazione isobara, alla pressione costante di 40 bar, tra gli stati 1 e 4 individuati dalle temperature T1=60 °C e T2=300°C.

Introducendo i punti 2 e 3 sul diagramma termodinamico, individuati dalle curve limite e dalla linea isobara alla pressione di 40bar, suddividiamo il processo in tre differenti trasformazioni che possono essere così descritte:

·Una prima trasformazione, tra gli stati 1 e 2, a pressione costante, in cui si riscalda 1 kg di acqua liquida alla temperatura T1 fino a raggiungere la temperatura T2=250 °C, che non è altro se non la temperatura di ebollizione dell’acqua alla pressione di 40 bar .

·Una seconda trasformazione, tra gli stati 2 e 3,  ancora a pressione costante e a temperatura costante (T3=T2=250 °C) in cui tutta l’acqua viene trasformata in vapore saturo secco.

·Un’ultima trasformazione, sempre a pressione costante, che trasforma il vapore saturo secco in vapore surriscaldato alla temperatura finale T4 pari a 300 °C.

In tutte e tre le trasformazioni descritte viene assorbita una differente quantità di calore che chiameremo, rispettivamente, q12 q23 e q34,quantità tutte riferite all’unità di massa. Il calore cercato, ovvero il calore assorbito nell’intera trasformazione, sarà quindi dato, sempre per unità di massa, da:

 

                                                            (28)

 

           

Considerando allora il sistema aperto rappresentato dalla caldaia  possiamo scrivere il primo principio della termodinamica in forma entalpica come:

 

                                                          (29)

 

essendo il processo condotto a pressione costante.

Osserviamo che dire che il termine vdp è nullo nel bilancio energetico rappresentato dalla (29) equivale a dire che, all’interno della caldaia, non si compie lavoro né sul né a spese del sistema e che quindi il lavoro compiuto nella trasformazione, dato dall’area sottesa dalla trasformazione sul diagramma di figura 7, non è altro se non lavoro svolto sull’ambiente.

Integrando allora la (29) tra gli istanti 1 e 4 otteniamo:

 

                                                                       (30)

 

Poiché inoltre l’entalpia è una funzione di stato possiamo riscrivere la (30) come:

 

                                               (31)

 

il che equivale, da un punto di vista analitico, a spezzare in tre parti l’integrale della (29) tra gli stati 1 e 4.

In particolare, osserviamo che le tre variazioni di entalpia ottenute nella (31), non sono altro se non, rispettivamente, i tre calori q34, q23 e q12 scambiati nelle tre trasformazioni sopra individuate. Per dimostrare ciò basta infatti ripetere per le tre trasformazioni il ragionamento fatto tra gli stati 1 e 4 nell’ottenere la (30).

Si avrà quindi dimostrato che:

                                                                                (32)

 

espressioni che ,sostituite nella (31), ci riportano ,del resto, alla (28).

 

 

Restano allora da calcolare i tre salti di entalpia sopra indicati.

·La variazione di entalpia nella trasformazione tra gli stati 1 e 2 è data da:

 

                                                                     (34)

 

con cL calore specifico del liquido preso, indifferentemente, a volume o a pressione costante.

·Per la trasformazione tra gli stati 2 e 3 si ha, per definizione:

 

                                                                    (35)

           

la variazione di entalpia cercata è cioè l’entalpia differenziale alla pressione di 40bar, altrimenti detta calore latente di vaporizzazione, ed è pari a 1713kj/kg, come si può dedurre da opportune tabelle di vapore saturo.

       ·La trasformazione tra 3 e 4 è ancora a pressione costante pertanto:

 

                                                   (36)

 

dove si è preso il calore specifico a pressione costante mediato tra le due temperature a cui avviene il processo(si veda la tabella 3).

Sommando queste tre espressioni si ottiene allora dalla (31):

 

                                                     (37)

 

e, numericamente (cL=4187 j/kg×K):

                 (38)

 

Essendo infine di 1 kg la massa M considerata, il calore ceduto alla caldaia sarà pari a:

 

                                                                     (39)

 

 

 

 

Tabella 4-Calore specifico dell’acqua alla pressione costante di 40 bar in funzione della temperatura      

 

Temp.(°C)

CP(kj/kg×K)

240

 -

260

3,483

280

3,262

300

3,136

320

3,027

340

2,931

360

2,851

 

 

Esercizio 4: La pentola a pressione

                                                                               

                                                                

                                                                                         Figura 9-Esercizio 4 

 

Si consideri una pentola a pressione, ovvero un recipiente indeformabile dotato di una valvola di sfiato che può essere, a proprio piacimento, tenuta aperta o chiusa (si veda la figura 9). Si supponga che al suo interno si trovino, ad un certo istante, 10kg di acqua liquida in equilibrio con 1 kg di vapore d’acqua saturo alla pressione di 1 bar (situazione che può essere raggiunta portando alla temperatura di ebollizione 11 kg di acqua tenendo lo sfiato della pentola aperto).

Si calcoli la quantità di calore che è necessario fornire alla pentola per portare, con la valvola chiusa, il vapore saturo alla pressione di  5 bar.

 

 

Soluzione:

 

Il processo descritto può essere rappresentato, su di un diagramma (p,v), come una trasformazione isocora dalla pressione P1 di 1bar alla pressione P2 di 5bar  (figura 10).

Figura 10-Diagramma (p,v) dell'acqua

Dal momento in cui la valvola della pentola è chiusa, il contenitore rappresenta un sistema chiuso, anche se non isolato. Possiamo quindi scrivere, indicando con u l’energia interna specifica del sistema, il primo principio della termodinamica come:

 

                                                                  (40)

 

Osservando ora che la trasformazione avviene a volume costante la (1) può essere riscritta come:

 

                                                                            (41)

 

Integrando poi la (41) tra gli stati 1 e 2 come da figura 10 otteniamo che:

 

                                                                     (42)

 

dove con q12 si è indicato il calore specifico assorbito durante il processo.

Le energie interne specifiche dei due stati in questione dipendono linearmente dal valori dei rispettivi titoli secondo le formule:

 

                                                               (43)

 

dove uL1 e uL2 sono le energie interne specifiche della fase liquida alle pressioni P1 e P2 e dove ud1 ed ud2 sono le entalpie differenziali, sempre calcolate alle stesse pressioni P1 e P2.

Il valore del titolo x1 è inoltre dato da:

 

                                                                      (44)

 

dove ml e mv sono, rispettivamente, la massa del liquido e quella del vapore alla pressione iniziale di 1bar.

Differentemente, il valore del titolo x2 può essere calcolato a partire dal seguente insieme di equazioni che utilizza, oltre al fatto che la trasformazione è isocora, le espressioni dei volumi negli stati 1 e 2 in funzione del titolo.

 

                                       (45)

 

Dalle (45) si ricava allora che:

 

                                                                  (46)

 

Sfruttando le oramai note tabelle termodinamiche si ottiene il valore di x 2 come:

 

                                                     (47)

 

 

 

Utilizzando ora le (43), possiamo ottenere i valori delle energie interne specifiche nei due stati studiati.

 

                                     (48)

 

Infine, dalla (42), possiamo determinare il valore del calore specifico q12 come differenza delle due energie interne u2 ed u1:

 

                                                   (49)

 

Per ricavare il calore richiesto dal problema rimane dunque da moltiplicare per la massa d’acqua in gioco ottenendo la quantità:

 

                                        (50)