Moto esterno
Argomenti della lezione:
-moto esterno
-coefficiente aerodinamico di penetrazione
-galleria del vento e teoria dei modelli (esempio)
-esercizio 1 : velocità di una goccia di pioggia
-esercizio 2 : spinta del vento sui pali di una linea elettrica
-esercizio 3 : spinta del vento su un edificio
Con
il termine moto esterno indichiamo quella parte della
fluidodinamica che studia il moto dei fluidi attorno ai corpi.
Il moto esterno coinvolge tutti quei casi in cui un
fluido viene a contatto con la superficie esterna di un oggetto ed è
equivalente, ai fini delle leggi fisiche, il fatto che l’oggetto sia fermo e il
fluido si muova o che il fluido sia fermo e l’oggetto si muova. In sostanza è
importante il moto relativo tra fluido e corpo di contatto.
Infatti, il moto relativo tra fluido e corpo di contatto provoca su quest’ultimo degli sforzi (cioè forze per unità di superficie) che possono essere di due nature, normale e tangenziale.
Lo sforzo normale è dovuto alla pressione che il fluido esercita su qualunque superficie che vi sia immersa; tale pressione agisce perpendicolarmente all’ostacolo. Questo genere di effetto non è dovuto alla viscosità del fluido, perciò interverrebbe anche se il fluido fosse ideale (cioè a viscosità nulla).
Gli sforzi tangenziali nascono dall’ interazione tra le particelle del fluido a diretto contatto con il corpo immerso (ferme rispetto ad esso per l’ipotesi di aderenza) e quelle vicine, quando si è in presenza di moto relativo tra fluido e corpo.
Figura 1
In fig.1 vediamo la sezione frontale del cilindro con
sforzo normale
sforzo tangenziale
che vengono esplicitati come 
, cioè come forza su unità di superficie
Figura 2
La fig. 2 illustra la sezione di un filo cilindrico investito dal fluido. Il fluido lambisce il solido e non potendolo attraversare si sposta lungo la superficie esterna.
Nel caso di un fluido reale (cioè a viscosità non nulla) si genera tra le particelle del fluido e la superficie del cilindro un attrito viscoso che provoca la perdita, per scambio termico, di parte dell’energia cinetica del fluido.
Gli sforzi normali tendono a diminuire procedendo da 0° a 180° in senso orario e l’andamento della pressione sarà quello illustrato in fig.3. Gli sforzi normali danno luogo ad una forza risultante F che tende a trascinare il corpo.
Figura 3
Gli sforzi tangenziali, ossia la tensione esercitata tangenzialmente alla superficie del cilindro, dovuta all’attrito viscoso del fluido, hanno un andamento illustrato dal grafico in fig.4.
Figura 4
La forza risultante delle tensioni
normali e tangenziali è una forza F applicata nel baricentro del corpo con
direzione e verso concordi a quelli del fluido, detta forza di trascinamento
la cui formula è
con
area frontale
densità del fluido
velocità media
coefficiente di penetrazione aerodinamico
(espresso anche come 
oppure come 
)
L’ area frontale è una grandezza caratteristica ed è definita come la proiezione sul muro del piano d’ombra del corpo ( in fig.5 esempio di area frontale di un camioncino).
Figura 5
è il
coefficiente aerodinamico di penetrazione (misura il rapporto fra la velocità
di un corpo e la potenza che gli è necessaria per muoversi a quella velocità).
Ne risulta perciò che una forma è tanto più
aerodinamica, quanto più basso è il suo 
.
Per la corretta determinazione numerica del
coefficiente 
devono essere noti la
forma del corpo (geometria del corpo) e il numero di Reynolds, la cui formula è
dove
lunghezza caratteristica (es.:diametro nel caso di sfera o
cilindro)
= viscosità
cinematica del fluido
Il valore di 
si trova su grafici caratteristici delle varie forme
geometriche. Nel grafico in fig.6 è riportato il coefficiente 
in funzione del
numero di Reynolds per le forme semplici di cilindro e sfera.
Figura 6
Nel caso reale risulta molto complesso
calcolare analiticamente il valore 
e t(q). Per i casi più complessi, ovvero per casi in cui
i solidi non siano delle figure geometriche elementari, è praticamente
impossibile valutare numericamente le grandezze di cui sopra.. Per questi
motivi, la fluidodinamica esterna viene studiata principalmente per via sperimentale, cioè con le cosiddette gallerie
del vento.
Nella galleria del vento un modello dell’oggetto da studiare, mantenuto fisso, viene investito da una corrente d’aria pari a quella che l’oggetto dovrebbe possedere nel moto reale, spostandosi esso stesso nell’aria.Si possono così osservare e misurare caratteristiche aerodinamiche, variazioni di temperatura e di pressione, turbolenze.
Lo studio dei sistemi complessi (per esempio ali di aerei, automobili, radiatori, ecc.) richiederebbe, specialmente per oggetti di grandi dimensioni, gallerie del vento molto grosse e quindi molto costose. A questo inconveniente pone rimedio la teoria dei modelli che, come dice la parola stessa, fa uso di modelli in scala del sistema da studiare. Secondo la teoria dei modelli, infatti, è possibile studiare la fluidodinamica esterna di un sistema con lunghezza caratteristica L usando un modello in scala del sistema stesso con lunghezza caratteristica L’<L, i risultati così ottenuti possono essere riportati sul modello originale tramite numeri puri.
La grandezza
caratteristica di un sistema è la dimensione di una particolare zona presa come
riferimento per tutte le altre e scalando questa viene scalato l’intero
sistema. Nella studio fluidodinamica esterna la grandezza presa come
riferimento è l’ area frontale (vedi fig.5).
Esempio
Si vuole calcolare la velocità da applicare ad un modello di automobile in galleria del vento in modo che i risultati ottenuti possano essere riportati correttamente sul modello originale.
Modello scala 1:2
come ipotesi base
della teoria dei modelli, che esplicitata diventa
semplificando ottengo
da cui
è quindi la velocità
da applicare al modello in galleria del vento.
La teoria dei modelli può anche essere utilizzata per calcolare le spinte del vento sugli edifici.
ESERCIZIO 1
Una goccia di pioggia, approssimata con una sferetta di diametro D=1mm , cade liberamente in aria atmosferica alla temperatura di 20°C. Si vuole calcolare la velocità raggiunta dalla goccia.
Figura 7
Poiché la goccia è di piccole dimensioni, la sua velocità limitata ci permette di trascurarne le deformazioni dovute alla pressione dell’aria, che tenderebbero ad appiattirla.
La goccia d’acqua non scende con moto uniformemente accelerato, come si potrebbe pensare, ma dopo un primo aumento lineare si assesta su un valore asintotico, poiché è soggetta a due forze in equilibrio fra loro, la forza peso e la forza d’attrito.
In questo caso la forza peso
dove 
e g = accelerazione
di gravità
diventa quindi
dove D è il diametro della goccia (D = 1 mm)
La forza d’attrito è data da
dove 
velocità di caduta e l’area frontale è data da
Queste due forze all’equilibrio devono essere uguali
semplifico e ottengo
da cui ricavo
Se 
fosse costante 
crescerebbe con 
.
Ma 
cala all’aumentare di
D, quindi la velocità diventa costante.
Questo calcolo ha però un errore, o meglio
un’approssimazione, non tiene infatti conto della forza di galleggiamento
(che deriva dal
principio di Archimede)
con 
volume
Utilizzo la forza di galleggiamento per ottenere la forza peso netta
La
è quindi espressa
come
Figura 8
La forza di galleggiamento agisce anche nella goccia d’acqua (fig.8).
La formula per trovare 
diventa quindi
Per trovare 
devo avere il valore
di 
Poiché anche
dipende dalla velocità, devo procedere per tentativi ipotizzando
valori di 
.
Tentativo 1
Ipotizzo 
e lo vado a
sostituire nella formula precedente
Controllo il valore sul diagramma di Reynolds e trovo
Sostituisco il valore trovato
nell’equazione di 
Il valore calcolato non concorda
con quello di 
che avevamo ipotizzato.
Tentativo 2
Ipotizzo 
e ottengo
da cui
Sostituisco il valore trovato
Il valore calcolato non concorda
con quello di 
che avevamo ipotizzato.
Tentativo 3
Riprovo ipotizzando 
e ottengo
da cui
e
Il risultato
ottenuto non concorda con il valore di 
che avevamo
ipotizzato. Si deve procedere ancora per tentativi fino ad arrivare ad un
risultato che soddisfi entrambe le equazioni di 
e di 
.
ESERCIZIO 2
Si vuole calcolare il momento flettente alla base del palo in c.a. di una linea elettrica, causata dall’azione del vento che soffia con velocità di 100 km/h per poterlo dimensionare correttamente.
Figura 9
Dati dell’esercizio:
momento flettente
Determino la forza del filo
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente
aerodinamico 
da cui ottengo
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione iniziale
Su superfici piccole le spinte del vento sono irrisorie.
Determino la forza del palo
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente
aerodinamico 
da cui ottengo
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione della forza
Figura 10
In fig.10 il
diagramma delle forze (la 
è applicata nel
baricentro del palo stesso)
Il filo scarica la forza sul palo.
Calcolo il momento alla base del palo
Il risultato ottenuto è l’azione a cui il palo in c.a. deve essere dimensionato.
ESERCIZIO 3
Si vuole calcolare la spinta del vento sull’edificio.
Figura 11
Dati dell’esercizio:
Sulla parete 1. la pressione agisce sull’intera superficie in maniera uniforme, mentre la velocità è nulla.
Sulla parete 2. invece non c’è contropressione (la possiamo trascurare), mentre la velocità non è nulla.
ma per ipotesi
e semplificando otteniamo
da cui
Calcolo la forza F (spinta del vento sull’edificio) in funzione della pressione e dell’area frontale (area della parete) dall’equazione.
Le spinte del vento sono azioni critiche per gli edifici che hanno un grande sviluppo in altezza e grandi superfici (vengono dimensionati per resistere alle azioni orizzontali).
Un altro caso pericoloso, per le strutture basse, sono le strutture a copertura sferica.
Figura 12
In questo caso
la forza di trascinamento è diretta principalmente verso l’alto. Mentre nel
caso precedente ho considerato 
(componente
orizzontale di 
) unitario, in questo secondo esempio il coefficiente 
(componente verticale
di 
) non è trascurabile.
Considero il caso più clamoroso
Utilizzo questo valore per
trovare 
Il valore ottenuto è molto più grande del peso della struttura, che va in crisi facilmente.
Per il calcolo delle azioni del vento esistono delle norme UNI che indicano i fattori di sicurezza anche per le strutture geometriche più complicate.