Alberto Piccini matr

Risoluzione esercizi del 1° appello in data 1/02/2001

Esercizio n°1 – Termodinamica (tolleranza +/- 5%)

Testo. Aria secca è contenuta entro uno stantuffo (quindi non c’è vapore), su cui grava

la pressione atmosferica ed un peso avente massa M pari a 100+AB kg che mantiene costante la pressione al suo interno. L’area dello stantuffo A è pari a 100+CD cm .

La temperatura iniziale Tdel fluido entro lo stantuffo è pari a 20+EF °C. L’altezza iniziale dello stantuffo, z, è pari a 100mm. Al fluido viene comunicata dall’esterno una quantità di calore Q pari ad 1 kcal. Il fluido si espande, sollevando il peso.

Trovare:

1. Temperatura finale .

2. Altezza finale dello stantuffo in mm.

Risoluzione dell’esercizio sostituendo alle lettere ABCDEF, presenti nei dati del problema, il numero di matricola 123456.

Dati: Massa = 100 + AB

Area stantuffo = 100 + CD

Temperatura = = 20 + EF °C = 76°C

= 100 mm

Calore = Q = 1 Kcal (pari a 4187J)

Svolgimento.

L’intero sistema si trova in una condizione di pressione costante che andiamo a rappresentare in un sistema cartesiano, individuando la porzione di lavoro da calcolare ovvero la variazione di calore.

Dopo aver portato tutti i dati alle corrispondenti unità di misura riconosciute dal S.I., possiamo svolgere le operazioni di calcolo iniziando nel trovare la pressione totale; data dalla seguente espressione:

dove indica la pressione atmosferica, che ha valore numerico costante, e g l’accelerazione di gravità, anch’essa con valore numerico costante.

1° Quesito.

Dall’equazione sui gas perfetti (1) abbiamo la possibilità di ricavarci facilmente la massa dell’aria dato che gli altri elementi della formula sono noti e il volume risolvibile facendo un breve passaggio intermedio che consiste nel calcolarsi il volume come prodotto tra la base dello stantuffo e la sua altezza z1 (2).

(1)

(2)

Dalla (1) segue:

L’unità di misura di partenza della temperatura T1 iniziale in gradi centigradi è stata trasformata in gradi Kelvin.

Infine per calcolare la temperatura finale del sistema, basta applicare l’equazione che determina la quantità di calore Q (3).

(3)

L’integrale in questione indica la variazione di pressione, che in questo caso è costante, quindi può essere trascurato.

(3a)

dove è il calore specifico dell’aria a pressione costante (pari a 1000).

Dalla (3) ricaviamo la temperatura finale; quindi segue che:

1626,37 è la temperatura finale . Abbiamo così risposto al primo quesito del problema.

2° Quesito

In risposta al secondo quesito si deve nuovamente considerare l’equazione (1) dei gas perfetti utilizzando in questo caso la temperatura finale e tenendo presente che la pressione rimane costante, possiamo calcolare il volume con altezza ; quindi:

(4)

Dalla (4) ricaviamo

Giunti a questo punto il problema entra nella fase conclusiva che si sintetizza nel calcolo della risultante del rapporto fra il volume e l’area dello stantuffo. Questa risultante non è altro che la nostra , l’altezza finale dello stantuffo, che risponde al secondo quesito del problema.

Nota. Le richiesta del problema sarebbero qui esaurita, ma essendo l’esercizio di semplice esecuzione e volendo fornire allo studente una più reale simulazione del compito d’esame, che da quest’anno consta di soli due problemi di difficoltà maggiore rispetto agli anni passati, verranno aggiunti due nuovi quesiti.

Trovare:

3. Il lavoro netto per sollevando il grave.

4. La variazione di entropia.

3° Quesito

Calcoliamo il lavoro netto utilizzando l’espressione (5) della variazione dell’energia.

(5)

Sostituendo i valori numerici della massa iniziale, dell’accelerazione gravitazionale e della variazione di altezza dello stantuffo nella formula (5) il lavoro risulta essere:

Per una maggiore conferma del risultato del lavoro netto applichiamo la seguente formula:

4° Quesito

La variazione di entropia è data calcolando l’integrale dell’infinitesima parte della quantità di calore.

Definiamo con l’espressione (6) la porzione infinitesima della quantità di calore come il rapporto tra la massa iniziale, il calore specifico dell’aria e la temperatura.

(6)

Andiamo quindi a svolgere i calcoli per trovare la variazione d’entropia, rispondendo all’ultima richiesta del problema.

Esercizio n°2 – Termodinamica (tolleranza +/- 5%)

Testo. Risolvere nuovamente l’esercizio n. 1, ma sostituendo vapore di acqua saturo all’aria secca. In questo caso non è assegnata la temperatura iniziale T₁, ma è invece assegnato il titolo x₁, che vale 0,1+F/74.

Trovare:

1. Titolo finale.

2. Altezza finale dello stantuffo .

Risoluzione dell’esercizio sostituendo alle lettere ABCDEF, presenti nei dati del problema, il numero di matricola 123456.

Dati: Massa = 100 + AB

Area stantuffo = 100 + CD

Titolo = 0,1 +

= 100 mm

Calore = Q = 1 Kcal (pari a 4187J)

Svolgimento.

Le trasformazioni che si attuano nel sistema avvengono a pressione costante, di conseguenza la temperatura è bloccata ad un valore anch’esso costante poiché ci troviamo a svolgere un problema con vapori saturi.

Mostriamo a seguito l’andamento dell’isoterma nel grafico sotto riportato.

1° Quesito

Con l’espressione (7) calcoliamo la variazione d’entalpia in funzione del vapore saturo.

(7)

A seguito dell’espressione (8) ricaviamo l’entalpia specifica.

(8)

dove h è l’entalpia del liquido e h è il calore latente di vaporizzazione che possiede un valore numerico costante, pari a 2211 KJ/Kg.

La variazione di entalpia, sviluppando la (7), risulta essere:

(9)

semplificando l’entropia del liquido h e raccogliendo il calore latente di vaporizzazione h:

Ricordando che il volume dello stantuffo è pari a 0,00134 e che il volume specifico v è dato dall’equazione (10), segue che:

(10)

Ricaviamo quindi l’ultimo elemento, la massa dell’acqua, che sostituito, insieme agli altri, nella (10) ci permetterà di ricavare il Titolo X2.

Svolgendo i calcoli rispondiamo al primo quesito ricavando dalla (10) il Titolo X2:

2° Quesito

Per ricavare l’altezza finale che è la risolvente del rapporto tra e l’aria del stantuffo, bisogna prima calcolare il volume specifico .

Utilizzando la (10) e cambiando gli elementi dell’equazione in funzione del volume specifico :

A questo punto possiamo ricavare anche come il prodotto tra la massa dell’acqua e il volume specifico.

L’altezza finale dello stantuffo è quindi:

Trovare:

3. Il lavoro netto per sollevare il peso.

4. La variazione d’entropia.

3° Quesito

Utilizziamo l’equazione (5).

Segue che il lavoro per sollevare il peso dello stantuffo risulta essere:

4° Quesito

Riprendiamo le espressioni (8) e (9) e sostituendo i valori dell’entalpia con quelli dell’entropia.

(8a)

dove S è l’entropia specifica, è l’entropia del liquido e è l’entropia differenziale.

Calcoliamo quindi l’entropia differenziale:

Dalla (9) segue:

(9a)

Sviluppando i calcoli dalla (9a) ricaviamo il valore della variazione d’entropia.

Risoluzione esercizio dell’appello in data 28/02/2001

Esercizio n°1 – Termodinamica (tolleranza +/- 15%)

Testo. Entro un ambiente di volume V pari a 100+CD m³ si trova aria umida con temperatura T₁ pari a 20+E ed umidità relativa pari a 30+F%. Nell’ambiente viene introdotta una massa di acqua , alla temperatura , cosicché l’umidità cresce ad un valore pari a 60+F%. Ovviamente la temperatura cala, mancando qualsiasi apporto di calore esterno. Determinare:

Trovare:

1. Massa di aria contenuta nell’ambiente;

2. Massa di acqua M₂ .

Risoluzione dell’esercizio sostituendo alle lettere ABCDEF, presenti nei dati del problema, il numero di matricola 123456.

Dati: V = 100 + CD = 134

= 20 + E °C = 25°C

= 60 + F = 66% = 0,66

= 30 + F = 36% = 0,36

Svolgimento.

Nel recipiente viene introdotta una miscela di aria e vapore, quindi la massa totale sarà data dalla loro somma. Bisogna però tener presente che la massa del vapore aumenta introducendo acqua; infatti della (11) ricaviamo la massa del vapore che si ricava aggiungendo l’acqua alla massa del vapore .

(11)

Mostriamo un grafico che spiega la situazione.

1° Quesito.

La massa dell’aria che si trova nel contenitore si calcola utilizzando l’equazione (12) dei gas perfetti nello loro stato fisico finale:

(12)

Dalla legge di Dalton , che afferma che la somma delle pressioni parziali è uguale alla pressione totale, segue che la pressione dell’aria è uguale alla differenza tra la pressione totale e la pressione parziale del vapore ; espresse nella (13).

(13)

Per calcolare la pressione dell’aria da sostituire nella (12) dobbiamo ricavarci la pressione del vapore che è data dallo sviluppo dall’espressione del grado idrometrico , che è il rapporto tra la pressione del vapore e la pressione di saturazione (= 0,031709 Bar).

Dalla (13) ricaviamo la pressione dell’aria:

Sostituendo i valori numerici dei vari elementi dell’equazione (12) e sviluppando i calcoli in funzione della massa d’aria troviamo che:

La massa dell’aria è pari 157.

2° Quesito.

Il sistema si sviluppa in una condizione di pressione ed energia costante. Per ricavare la massa dell’acqua prendiamo in considerazione una temperatura finale ipotetica pari a 22°C.

A questo punto utilizziamo l’equazione (3) della variazione di calore.

Il calore e la variazione di pressione si possono elidere dato che sia l’energia che la pressione hanno valori costanti.

Dall’ eguagliando dei due membri possiamo ricavare la massa dell’acqua.

Dove è l’entalpia iniziale e è l’entropia finale mentre è l’entalpia del liquido.

L’entalpia specifica dell’aria umida J è data dalla formula (14):

(14)

Calcoliamo ora il Titolo :

Dalla equazione (14) possiamo quindi ricavare l’entropia iniziale.

Calcoliamo ore il Titolo :

L’entalpia del liquido è l’ultimo elemento che ancora non si è ancora calcolato per risolvere il problema. Esso è dato dalla seguente formula:

Dove è il calore specifico dell’acqua.

Con la formula che segue andremo a calcolare il valore della massa dell’acqua, tenendo però presente che il risultato che ne conseguirà non sarà corretto dato che abbiamo conferito un valore ipotetico alla temperatura finale, pari a 22°C.

Per ricavare l’esatto valore della massa dell’acqua dobbiamo ricavare l’esatta temperatura finale.

La temperatura finale la calcoliamo dalla formula dell’entropia specifica. Prima però troviamo .

Sviluppando quindi l’equazione dell’entropia specifica in funzione della temperatura finale segue che:

Ora, per ricavare l’esatta massa dell’acqua si dovrà passare attraverso più passaggi di approssimazione, che portino a ricavarne un valore intermedio soddisfacente, tela da non permette che il sistema oscilli.

DOPO VARI TENTATIVI (circa 14), la temperatura finale risulta essere 19,55°C; di conseguenza la massa dell’acqua è 0,356 Kg.

PROBLEMI DI TERMODINAMICA

VAPORE DI ACQUA SATURO (sostanza pura)

Risoluzione esercizi del 1° appello in data 1/02/2001