CORSO DI FISICA TECNICA

ANNO 2001/2002

PROF. ANGELO FARINA

FACOLTA’ DI ARCHITETTURA – UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

Per comprendere efficacemente gli esercizi svolti durante la lezione, si ritiene necessario l’introduzione di richiami teorici inerenti al concetto di: grado idrometrico , titolo, entalpia(specifica).

Un sistema isolato conserva invariata la sua energia totale, indipendemente dalle trasformazioni che subiscono in esso le singole specie di energia.

Definiamo Aria secca una miscela di gas la cui composizione (in volume) assumiamo costante:

• 78% Azoto
• 21% Ossigeno
• 1% Gas rari (tra cui elio, neon, argon) ed Anidride Carbonica. All’aria aperta la percentuale di CO₂ è circa 0.03%, quindi si può considerare trascurabile.

L’Aria umida è una miscela fra aria secca e vapor acqueo, la fase complessiva è gassosa, inoltre in prima approssimazione tale sarà considerata una miscela di due gas ideali: infatti il vapor d’acqua presenta una pressione parziale molto piccola, quindi è lecito trascurare il comportamento da vapore surriscaldato.

L’aria che comunemente respiriamo è aria umida, la quantità di vapor acqueo presente nell’atmosfera è variabile, analizziamo ora un primo esperimento utile per comprendere questo fenomeno oltre che per trovare un sistema di misurazione della quantità di vapor acqueo nell’aria.

Come mostrato in figura 1 viene posto un contenitore pieno d’acqua sotto una campana dove è presente aria secca mantenendo T e P costanti. Dopo un certo tempo parte dell’acqua presente nel contenitore evapora. Il vapore formatosi si disperde nella campana, trasformando l’aria secca in aria umida. Il processo continua fino a che la pressione parziale del vapore saturo eguaglia la pressione di saturazione dell’acqua in funzione della temperatura T alla quale si opera .

Supponiamo di avere una bilancia opportunamente tarata sotto al contenitore d’acqua. Possiamo ora introdurre il concetto di titolo, così definito:

(1)

non confondere il titolo appena definito, con quello usato per caratterizzare i vapori saturi, che si indica con la stesso simbolo x. La quantità appena ottenuta può assumere qualunque valore positivo, senza limite superiore. Nel caso dell’aria secca, si avrà x = 0 mentre nel caso di vapore aqueo puro, x ® ¥ .

Il secondo metodo per indicare l’umidità dell’aria, è il cosiddetto grado igrometrico (detta anche umidità relativa, o U.R., quando espresso in percentuale), così definito

(2)

dove P_vap indica la pressione del vapore nella miscela aria-vapore considerata, e P_sat la pressione di saturazione del vapore acqueo alla temperatura di analisi. Il vantaggio di questa grandezza è che è sempre compresa tra 0 e 1, ovvero può essere rappresentata in forma percentuale, tramite una semplice moltiplicazione per 100 (è per questo che quando si sente parlare di umidità non in ambito ingegneristico, dove si preferisce l’uso della grandezza titolo, si parla sempre di valori percentuali). E’ evidente che l’umidità relativa non possa mai superare il 100%. Se così fosse, si avrebbe P_vap > P_sat, impossibile in condizioni stazionarie perchè in questo caso parte del vapore condenserebbe, e la pressione del vapore tenderebbe quindi ad abbassarsi fino a tornare ad un valore lecito. Lo svantaggio del grado igrometrico è che non indica in senso assoluto quanto vapore acque è contenuto nell’aria, ma piuttosto ci da’ un’idea di quanto l’aria sia distante dalla saturazione.

Il metodo migliore per legare i concetti di titolo, grado igrometrico e temperatura è il diagramma psicrometrico, di cui è presente una copia (Figura 1) e una breve descrizione nel paragrafo successivo. Esistono comunque anche formule matematiche, facilmente ottenibili considerando aria e vapore acqueo gas perfetti, per cui vale la legge di Dalton (per le miscele di gas perfetti, si può considerare il volume a disposizione di ciascun gas uguale al volume totale)

(3)

da cui segue

(4)

dove n_v e n_a rappresentano rispettivamente il numero di moli di vapore e di aria secca presenti nella miscela di aria umida considerata, m_v e m_a le masse molari dei due componenti (essendo l’aria un miscuglio di vari gas, la sua massa molare viene calcolata come media pesata delle masse molari dei vari componenti). Infine P_tot è la pressione totale della massa d’aria umida considerata e P_sat la pressione di saturazione del vapore alla temperatura considerata (questa grandezza si ottiene delle apposite tabelle del vapore). L’uguaglianza P_v = j P_sat deriva da (2). Chiaramente la relazione (4) si può invertire, ottenendo il grado igrometrico in funzione del titolo (e della temperatura della massa d’aria analizzata), ottenendo

(5)

dove le grandezze hanno lo stesso significato di prima. Attenzione però, perchè è noto che il grado igrometrico può valere al massimo 1, quindi è necessario imporre questo vincolo quando si applica la formula di cui sopra. Se il risultato è superiore a 1, sicuramente i dati utilizzati non sono validi, ossia non siamo in una situazione reale. Il valore di x tale per cui j = 1, è detto titolo di saturazione. Per ogni particolare temperatura non è possibile che il titolo di una massa d’aria umida superi il titolo di saturazione (che varia in funzione di T).

Il diagramma psicrometrico è di uso relativamente recente. In figura 2 ne è rappresentato un esempio: nel resto della trattazione verranno usate porzioni di questo diagramma, quindi con le stesse unità di misura. E’ stato introdotto per la prima volta con l’Igrometro di Assman (detto appunto Psicrometro), attualmente uno dei modelli di igrometro più usato (per una descrizione vedi pagina 10). La lettura del diagramma è piuttosto semplice, nonostante le tante curve di cui è composto. Innanzittuto sull’asse delle ascisse si trova la temperatura (che nell’esempio sopra varia tra -10°C e 50°C, escursione più che sufficiente per misure a temperature ambiente), mentre sulle ordinate c’è il titolo x (misurato in questo caso in ). Le curve oblique decrescenti, come si può facilmente dedurre dal diagramma, sono le isoentalpiche, con l’entalpia specifica J misurata in mentre le curve crescenti, ciascuna identificata da un numero compreso tra 10 e 100, posto all’interno del diagramma, sono le curve a grado igrometrico costante. Chiaramente quella indicata dal numero 10 rappresenta un’umidità relativa del 10%, e così via per le altre. L’ultima curva in alto è quella con j = 1 (U.R. del 100%). Oltre questa curva si entra in una situazione impossibile, perchè come già detto il grado igrometrico non può superare il valore 1 (saturazione).

Uno degli usi di questo di questo diagramma è la conversione da grado igrometrico a titolo, o viceversa, nota la temperatura dell’aria. Per esempio, supponiamo di conoscere il grado igrometrico di una certa massa d’aria, nota anche la sua temperatura. In questo modo identifichiamo in modo univoco un punto sul diagramma, come intersezione tra la curva con il j specificato e la retta verticale corrispondente alla temperatura considerata. Proiettando il punto appena trovato sull’asse verticale, e misurandone l’altezza, si ottiene immediatamente il titolo della massa d’aria. Per esempio, sapendo che a una temperatura di 25°C l’umidità relativa dell’aria è dell’80%, si ottiene immediatamente un valore del titolo pari a x = 16, ovvero per ogni di aria secca sono presenti 16 di vapore acqueo.

Un’operazione utile da effettuare sul diagramma psicrometrico è calcolare la pendenza delle curve a J=costante. Indicando con t la temperatura in gradi centigradi si ha:

(6)

e di conseguenza il differenziale di J vale

(7)

ma siccome stiamo analizzando curve a J = costante, necessariamente dJ = 0, cioè

(8)

A temperatura ambiente (-10°C ¸ 40°C) ovviamente 2500 >> 1,9^.t e quindi la pendenza si riduce a

(9)

La dipendenza della pressione del vapore saturo dalla temperatura è data dalla relazione di Clausius-Clapeyron, che esprime la pressione del vapore saturo sopra una superficie piana di acqua pura. La pressione del vapore saturo aumenta molto rapidamente con la temperatura: il valore a 32°C è già circa raddoppiato rispetto al valore a 21°C.

Nella tabella sono dati alcuni valori sperimentali della pressione del vapor saturo in funzione della temperatura. Questi dati possono essere rappresentati graficamente. Inoltre un'equazione che approssima i dati sperimentali si può ottenere fissando i parametri che compaiono nell'equazione di Clausius-Clapeyron: .
Questa è l'equazione della curva rappresentata, che può essere usata nei calcoli che utilizzano la pressione del vapore saturo (per esempio per l'umidità relativa o il punto di rugiada).

Il valore della pressione di saturazione rappresenta una quantità di vapore potenziale, perché l’aria potrebbe essere (come nella maggior parte dei casi) subsatura (la pressione effettiva del vapore è minore della pressione del vapore saturo) o anche sovrasatura (pressione maggiore della pressione del vapore saturo).

Se un liquido evapora all'aperto (e non in un ambiente chiuso), la pressione del vapore saturo indica la pressione parziale del vapore d'acqua nell'aria e rappresenta solo una parte della pressione totale, cui contribuisce secondo la legge di Dalton.

La pressione del vapore sopra una superficie curva, come una gocciolina, è maggiore che sopra una superficie piana; e la pressione di vapore sopra l'acqua pura a sua volta è maggiore che sopra l'acqua contenente un soluto.
L'affermazione che la pressione di vapore di un liquido è costante a temperatura costante è dunque valida soltanto se la superficie del liquido può considerarsi piana. La pressione di vapore di un liquido diminuisce all'aumentare del raggio di curvatura della superficie, anche se la variazione è piccolissima. Il fatto che la pressione di vapore di goccioline minuscole sia, a parità di temperatura, maggiore della pressione di vapore dovuta ad una superficie liquida piana, ostacola la condensazione del vapore che inizialmente avviene appunto mediante formazione di minuscole goccioline. La condensazione di un vapore saturo è quindi favorita dalla presenza di particelle estranee (pulviscolo atmosferico) che fissano alla loro superficie molecole d'acqua creando centri di condensazione su cui si depositano poi altre molecole d'acqua, dando luogo a gocce di dimensioni sempre maggiori, che poi si separano per gravità. Questo tipo di condensazione prende il nome di nucleazione e consente di provocare artificialmente la pioggia seminando nelle nubi opportuni microcristalli che fungono da centri di condensazione.

La pressione del vapore saturo spiega anche il fenomeno dell'ebollizione. Nell'acqua sono sempre presenti minuscole bollicine piene di vapore, che in condizioni di equilibrio presentano all'interno una pressione uguale a quella del vapore saturo che contengono. Finché la pressione esercitata dall'esterno (pressione atmosferica, in genere) è maggiore, le bollicine restano invisibili. Aumentando la temperatura però aumenta la pressione del vapore dentro la bollicina. Quando la pressione interna eguaglia quella esterna (se la pressione esterna è di 1 atm ciò avviene a 100°C), le bollicine crescono di diametro e sono portate in superficie dalla spinta di Archimede: l'acqua bolle! Quindi la temperatura di ebollizione è quella temperatura alla quale la pressione del vapore saturo è uguale alla pressione esterna.

Evidentemente un modo alternativo di portare l'acqua all'ebollizione è quello di diminuire la pressione esterna: ciò spiega perchè in montagna l'acqua bolla ad una temperatura inferiore. La curva di Clausius-Clapeyron permette di prevedere a quale temperatura avvenga l'ebollizione, nota la pressione esterna.

• Problema 1: raffreddamento dell’aria umida 

Sia data, in un sistema chiuso, una massa di 10 kg di aria umida, a temperatura T₁ e grado igrometrico j. Tale massa, a pressione atmosferica costante, venga poi raffreddata fino ad una temperatura T₃. Si richiede il valore del calore Q da sottrarre al sistema per raggiungere la temperatura T₃, e la massa di acqua che eventualmente condensa.

Fig.1 – Diagramma psicrometrico relativo al problema.

Massa totale della miscela: M_tot = 10kg
Temperatura iniziale della miscela: T₁ = 30°C
Grado igrometrico iniziale dell’aria: j =0,7
Pressione: P = P₀ = 1bar

Dal diagramma psicrometrico rileviamo facilmente che non esistono situazioni a pari titolo, a temperatura inferiore: parte del vapore, infatti, condensa per portarsi alla temperatura di 10ºC e sarà separata dalla miscela. E’ necessario capire che, in questo caso, ci si sposta fuori dalla "campana" del grafico.

Ad esempio quando facciamo la doccia l’ambiente diventa saturo di vapore; quando poi cala la temperatura, quest’ultimo non può sussistere e quindi si condensa su pareti e oggetti.

Per ricavare la quantità di calore necessaria basta il principio della termodinamica per un sistema chiuso:

Dalla invarianza della pressione si ottengono poi le seguenti due espressioni, la prima relativa all’entalpia H, la seconda all’entalpia specifica J.

(1)

Quindi calcoliamo l’entalpia specifica (2) e il titolo (3):

(2)

(3)

P_tot indica il valore della pressione globale della miscela, ipotizzato pari alla pressione atmosferica, cioè 1 bar, mentre la pressione parziale del vapore di saturazione P_S (espressa in bar) viene ricavata dalla Tabella precedentemente riportata. Per prima cosa si procede al calcolo del titolo x₁ (che, osservando il diagramma psicrometrico relativo all’esercizio, risulta uguale a x₂) e del titolo x₃, sostituendo i valori numerici nella (3)

Sostituendo nella (2) i titoli in 1 e in 2 si ricava l’entalpia specifica:

considerando che la massa totale della miscela è la somma delle masse di aria e di gas

si ricava facilmente il valore della massa della sola aria, sostituendo al posto del generico titolo x il valore x₁ ricavato dalla prima parte della risoluzione:

Il condizionatore in figura preleva aria a temperatura T₁ dall’esterno attraverso la bocchetta 1, grazie all’azione della ventola alimentata esternamente. All’aria così aspirata viene sottratto del calore tramite una batteria alettata (una serie di lamierini di alluminio attraverso i quali passa l’aria), contrassegnata in figura con il numero 2. In seguito al raffreddamento, l’aria raggiunge la temperatura incognita T₂, e una parte di vapore contenuto in essa condensa. L’acqua che precipita viene raccolta da una seconda serie di lamierini zigrinati , i quali hanno la funzione di far defluire il liquido attraverso il canale di scolo. L’aria trattata, prima di essere espulsa nell’ambiente, viene postriscaldata da una seconda batteria alettata , al fine di evitare l’emissione di aria satura fredda (3).

Fig.1 – Condizionatore d’aria

Il condizionatore viene montato in un’aula di 470 m³, e si richiede che l’ambiente sia sottoposto ad un ricambio orario, cioè che ogni ora venga ricambiato un volume d’aria pari al volume dell’ambiente stesso. Il tutto avviene a pressione atmosferica costante.

Pressione: P = 1 bar
Temperatura dell’aria esterna: T₁ = 32°C
Grado igrometrico dell’aria esterna: j₁ = 0,8
Temperatura dell’aria trattata: T₃ = 20°C
Grado igrometrico dell’aria tratta: j₃ = 0,5
Potenza fornita dalla ventola B:
Volume dell’ambiente: V = 470m³

Temperatura dell’aria dopo il raffreddamento: T₂ = ?
Portata del tubo di scolo F:
Potenza assorbita dalla batteria C:
Potenza ceduta dalla batteria E:

È possibile schematizzare il processo proposto dal problema osservando il percorso sul diagramma psicrometrico

Fig.2 – Diagramma psicrometrico relativo all’esercizio

1® 1’: l’aria entra ad una temperatura di 32°C e viene raffreddata a titolo costante (batteria C) fino a quando compare la prima goccia d’acqua liquida, cioè fino a quando non comincia a condensare il vapore;

1’® 2: l’aria continua a raffreddarsi mentre una quantità sempre maggiore di vapore si condensa: il titolo della miscela di conseguenza si abbassa, e il percorso segue la linea di saturazione sul diagramma fino a quando viene raggiunta la temperatura incognita T₂;

2® 3: l’aria viene in fine postriscaldata dalla batteria E, mantenendo ovviamente il titolo costante, fino a raggiungere la temperatura T₃ di 20°C.

Tenendo presente che nel punto 1 e nel punto 3 la temperatura vale rispettivamente 32°C e 20°C, ricaviamo i titoli x₁ e x₃ dell’aria in ingresso e in uscita dal condizionatore:

Per ricavare il valore della massa di condensato da espellere è sufficiente moltiplicare il valore della massa d’aria secca che viene trattata per la differenza dei titoli appena ricavati. Quello che interessa, tuttavia, è la portata in massa di condensato: analogamente per ricavare questo valore la moltiplicazione da eseguire è tra la portata in massa dell’aria trattata e la differenza di titoli.

  (1)

Per ricavare una portata dall’altra è necessario considerare l’aria secca come un gas perfetto ed applicare la relativa equazione di stato:

  (2)

Grazie a questa equazione è facilmente ricavabile la portata di aria cercata, assumendo come temperatura T il valore T₃ di 20°C, poiché la portata volumetrica che il condizionatore deve sopportare è relativa all’aria che esce a 20°C, e non a quella che entra dall’esterno a 32°C. È inoltre da notare il fatto che è ancora ignota la pressione parziale dell’aria secca p_A . Per ricavarla basta considerare che:

  (3)

da cui, considerando p_tot pari alla pressione atmosferica di 1 bar, e sfruttando la definizione di grado igrometrico j, si ricava

Sostituendo:

Da cui:

  (4)

Si notino alcune cose: il valore T₃ è espresso in gradi kelvin, come richiede l’equazione di stato dei gas perfetti, in oltre, per ottenere una portata in chilogrammi orari, (essendo 470 il valore di metri cubi orari), il valore di p_A è stato espresso in chilopascal. In fine la costante R_A è stata ricavata dalla costante dei gas perfetti R₀ secondo la seguente formula:

  (5)

in cui m_A rappresenta la massa molare dell’aria secca, considerata pari a 29kg/mol, mentre R₀ è espressa in unità del S.I.

A questo punto è possibile sostituire i valori numerici nella (1)

Proseguendo, per calcolare la temperatura T₂ dell’aria all’uscita dalla batteria alettata C, è opportuno notare dal diagramma psicrometrico l’uguaglianza dei titoli x₂ e x₃. Di conseguenza è possibile calcolare la p_S2, pressione parziale del vapore di saturazione nel punto 2:

 in cui il valore di j è considerato unitario dal momento che il punto 2 si trova sulla curva limite del diagramma psicrometrico. Proseguendo coi calcoli si ottiene

Passando a calcoli di tipo energetico, per ricavare le potenze assorbite e cedute dalle batterie alettate, è opportuno procedere con dei bilanci energetici, considerando, come convenzione, positive le entalpie uscenti dal sistema e negative quelle entranti.Eseguiamo il bilancio dell’energia tra la sezione (1) e la sezione (2)

(6)

Si devono calcolare ancora:

J ₁ = entalpia specifica nella sezione d’ingresso

J ₂ = entalpia specifica nella sezione d’uscita

J₁ = T₁ + X₁ (2500 + 1,9 × T₁) = 32 + 0,0246 (2500 + 1,9 × 32) =

= 95 kJ / kg _A

J₂ = T₂ + X₂ (2500 + 1,9 × T₂) = 9,5 + 0,0074 (2500 + 1,9 × 9,5) =

=28 kJ / kg _A

L’entalpia h_liq che appare nella (6) è relativa alla massa di acqua che condensa contro i lamierini zigrinati , la quale si calcola con la seguente formula: 

  (7) 

in cui il calore specifico C_L ha il valore di 4,187 kJ/kg°K, mentre T_cond rappresenta la temperatura dei lamierini zigrinati. Questa temperatura, tuttavia non è uguale a quella dell’aria in questa sezione, cioè 9,5°C, poiché la batteria di lamierini, essendo bagnata (l’acqua vi condensa contro), sicuramente si troverà ad una temperatura leggermente inferiore a quella dell’aria da cui è attraversata. Approssimativamente si può considerare la temperatura T_cond pari a 8°C. Sostituendo nella (7) i valori numerici indicati, si ottiene

Una volta ricavati tutti i dati necessari possiamo risolvere la (6) in funzione di:

 Infine, sapendo che:

  (8)

In questo caso non entra energia dall’esterno, né si hanno perdite di massa per condensazione. L’unico termine ancora ignoto è J₃, il quale viene calcolato tramite la (2), considerando una temperatura di 20°C, cioè quella dell’aria in uscita.

Sostituendo i relativi valori nella (8) si ottiene il valore cercato

Dato il seguente impianto di condizionamento(schematizzato in figura):

La quantità di calore necessaria: Q = ?

Opero il bilancio per il sistema aperto della massa, spendo che tanta massa entra, tanta ne esce:

1° sistema:

2° sistema: →

Sapendo che:

Dall’uguaglianza ricavo facilmente:

Metto a sistema le due equazioni seguenti:

Da cui si ricava:

Dalla conservazione della massa:

Poiché

(1)

Ricavo i membri dell’equazione:

Quindi svolgendo la (1) sapendo che ricavo subito