Premessa:

Per rendere chiara e comprensibile questa relazione occorre, dal mio punto di vista, cercare di completare il discorso con quelle nozioni, forse scontate o "palesi" ma essenziali al fine della comprensione, che distinguono una sequenza meccanica di formule da una lettura semplice , senza che siano però trascurate le difficoltà reali.

Definizione:

Sistema: si definisce sistema S una regione dello spazio delimitata da una linea di confine che può essere chiusa (e in tal caso si parlerà di sistema chiuso), oppure aperta (e quindi si chiamerà sistema aperto).

Fino ad ora abbiamo affrontato lo studio delle leggi della termodinamica limitandoci a considerare i sistemi chiusi.

Ricordiamo:

Definizione: Sistema chiuso

Una determinata regione di spazio delimitata da una superficie, reale o apparente, rigida o deformabile, che ne costituisce il confine e ha la proprietà di essere chiusa, ovvero di impedire qualsiasi scambio di materia con l’esterno. La massa di un sistema chiuso è quindi costante e non cambia nel tempo: se potessimo marcare le molecole presenti nel sistema ad un dato istante, queste rimarrebbero sempre le stesse anche dopo un tempo t arbitrario e indipendentemente dalle trasformazioni subite dal sistema stesso.

N.B.: In un sistema chiuso abbiamo scambi di lavoro e calore ma la massa rimane costante

 

In realtà, come già sappiamo dallo studio del primo Principio della termodinamica, la Teoria della relatività di Einstein lega la variazione di massa alla variazione di energia.

 

Ricordiamo:

Definizione: Il primo principio della termodinamica

Il primo principio è dunque un principio di conservazione dell'energia. Esso afferma che, poiché l'energia non può essere né creata né distrutta, la somma della quantità di calore ceduta a un sistema e del lavoro compiuto sul medesimo deve essere uguale all'aumento dell'energia interna del sistema stesso. Calore e lavoro sono i mezzi attraverso i quali i sistemi si scambiano energia.

In ogni macchina termica una certa quantità di energia viene trasformata in lavoro; non può esistere nessuna macchina che produca lavoro senza consumare energia. Una simile macchina, se esistesse, produrrebbe infatti il cosiddetto "moto perpetuo di prima specie".

Il primo principio è valido anche in caso di interazioni nucleari, infatti, in questi casi, solo in apparenza si osserva la creazione di energia dal nulla; in realtà la teoria della relatività formulata da A. Einstain (Ulma 1879 - Princeton, New Jersey 1955) ha esteso il principio della conservazione dell’energia in un principio di conservazione dell’energia e della massa esprimibile secondo la celebre relazione:

dove:

è la velocità della luce.

N.B.: Nello studio da noi condotto trascuriamo quanto sostenuto dalla Teoria della relatività di Einstein in quanto, avendo un elevato coefficiente di proporzionalità, ad una sensibile variazione di energia corrisponde un’irrilevante variazione di massa.

Considereremo dei sistemi aperti semplici che presentano una sola sezione d’ingresso e una sola sezione d’uscita a massa costante, cioè la stessa quantità di massa che entra deve anche uscire.

 

 

Ciò che consideriamo è allora un sistema aperto stazionario in cui anche la temperatura, la pressione, il volume e i flussi del sistema devono essere gli stessi in ogni istante di tempo.

 

La stazionarietà del sistema non è una caratteristica di tutti i sistemi aperti, può però essere realizzata, in casi particolari attraverso opportuni sistemi di controllo. Un esempio di sistema aperto stazionario è un impianto termoelettrico.

Sara’ possibile poi estendere le relazioni che troveremo anche al caso di sistemi aperti con più sezioni di ingresso e più sezioni di uscita.

 

 

 

Sistemi Aperti:

 

Vogliamo ora approfondire , dopo una breve ma essenziale introduzione, il nostro discorso dando la definizione ufficiale per i sistemi aperti e ricavando per essi le equazioni di bilancio della massa e dell’energia. La maggior parte dei problemi termotecnici richiede infatti l’applicazione dei principi della termodinamica a sistemi che scambiano in continuazione materia con l’esterno: tutte le apparecchiature che sono interessate da un flusso di materia rientrano nella categoria dei sistemi aperti.

Definizione: Sistema aperto

Un determinato volume dello spazio racchiuso da una superficie, detta confine del sistema, attraverso la quale può’ entrare o uscire una certa quantità di materia. Il confine e il volume in esso racchiusi non variano nel tempo.

Si considerano trasformazioni del sistema aperto tutti i fenomeni che avvengono in questo volume anche se questi comportano un flusso di massa attraverso di esso.

Generalmente si definisce il volume che costituisce un sistema aperto facendo riferimento a superficie di confine fisiche: in tal modo la materia non può indistintamente entrare o uscire da ogni punto di esse.

La maggior parte della superficie di confine di questo sistema è impermeabile al flusso di materia, presenta però alcune zone, dette sezioni d’ingresso, attraverso le quali la materia può entrare e alcune zone, dette sezioni d’uscita, attraverso le quali la materia può uscire, queste vengono quindi realizzate attraverso una superficie permeabile.

 

Fig. 1: schematizzazione di un sistema aperto con una sezione di ingresso ed una sezione di uscita..

E’ possibile utilizzare i metodi di indagine termodinamica, già elaborati per il sistema chiuso, anche per l’analisi del sistema aperto. Per fare ciò è sufficiente considerare un sistema chiuso, che chiameremo ausiliario, che si sposta nello spazio per un certo intervallo di tempo, e contemporaneamente una regione, fissa nello spazio, che nel tempo viene attraversata dallo stesso sistema chiuso: questa regione costituisce appunto il sistema aperto. Le variabili che servono per descrivere un sistema aperto sono esprimibili in funzione della posizione e del tempo.

 

Equazione di bilancio di massa:

 

Valutiamo la massa del sistema aperto al tempo , troviamo:

(2)

Successivamente, trascorso il tempo Dt , misureremo al tempo t+Dt una massa pari a :

(3)

Per affrontare lo studio di un sistema aperto ci serviremo anche di un sistema chiuso ausiliario a massa costante definito in maniera tale da comprendere (all’istante iniziale ) tutta la massa contenuta nel sistema aperto ed in più una porzione di massa collocata immediatamente a monte della sezione 1 d’ingresso del fluido.

Fig.2: Sistema aperto all’istante iniziale

 

Fig. 3: Sistema aperto all’istante finale

Nel sistema chiuso ausiliario troviamo al tempo una massa di:

(4)

a al tempo una massa di:

(5)

Solitamente si ha che:

(6)

questa disuguaglianza diviene però un’uguaglianza se ci troviamo a studiare un sistema in regime permanente, cioè un sistema in cui entra una quantità di massa pari a quella che esce.

Considerando il sistema chiuso, che è a massa costante per definizione, possiamo uguagliare la (4) e la (5):

(7)

Dividendo termine a termine per :

(8)

Dalla definizione di derivata al tendere di Dt a zero abbiamo:

(9)

Avendo definito: la massa del sistema aperto e le portate in massa

, ,

ed avendo considerato positive le portate in massa entranti nel sistema e negative quelle

uscenti. In generale, se la massa entra ed esce da più sezioni abbiamo:

(10)

Se oltre a poter trascurare gli effetti relativistici, siamo anche in presenza di m componenti che non reagiscono fra loro, l’equazione (10) degenera in m equazioni; in questo caso bisogna specificare che abbiamo m equazioni indipendenti e non m+1, perché una è esprimibile tramite le rimanenti m.

 

Equazione di bilancio dell’energia:

Per arrivare a scrivere un’equazione di bilancio dell’energia indichiamo convenzionalmente positivo il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente, e positivo il calore fornito dall’ambiente al sistema. Solitamente il lavoro scambiato fra sistema aperto ed ambiente è dato dalla rotazione di un albero dovuta al passaggio del fluido, se è il sistema a compiere lavoro, o ad un motore se è l’ambiente a compiere lavoro.

Fig. 4: schematizzazione del lavoro scambiato fra sistema ed ambiente.

Valutiamo l’energia all’istante iniziale e all’istante finale, considerando anche forme d’energia come quella potenziale e cinetica che erano state supposte trascurabili per i sistemi chiusi.

Indicando con , , , rispettivamente le energie specifiche cinetica, potenziale ed interna abbiamo che all’istante la massa contiene un’energia pari a :

(11)

la massa un’energia: .

All’istante la massa ha un’energia:

(12)

la massa un’energia: .

Solitamente non sono specificate le energie contenute in ed in perché non ci interessa sapere che tipo di energie siano.

Dobbiamo relazionare in funzione della variabile temporale anche i flussi di lavoro e di calore, per cui abbiamo che il lavoro ed il calore scambiati in Dt saranno rispettivamente:

(13)

(14)

ove si è indicato con la potenza meccanica e con la potenza termica.

Ora ci manca da calcolare il lavoro di "pompaggio" del fluido in entrata ed in uscita, perché in effetti il sistema chiuso si è deformato nel lasso di tempo trascorso fra l’istante iniziale e l’istante finale della nostra osservazione.

Allora poiché:

(15)

(16)

e poiché l’equazione di bilancio di energia per un sistema chiuso afferma:

(17)

si ha:

(18)

Nella sovrastante equazione si è tenuto conto che è data dalla somma dell’energia contenuta nella massa e più il lavoro di "pompaggio" del fluido verso l’interno del sistema aperto ed è la somma dell’energia contenuta in e più il lavoro di "pompaggio" verso l’esterno; inoltre si è sostituito ad e rispettivamente l’equazione (13) e (14).

Ora ricordando che:

(19)

(20)

sostituendo la (19) e la (20) nell’equazione (18) e dividendo termine a termine per otteniamo:

(21)

facendo tendere a zero:

(22)

ove indica l’energia del sistema aperto.

Se ci troviamo nella situazione di regime permanente:

(23)

quindi l’energia del sistema aperto è costante; inoltre in questa particolare condizione:

(24)

Cioè vale:

(25)

l’equazione di bilancio dell’energia in regime permanente risulta quindi essere:

(26)

ove: ;

Si noti che tutti i termini dell’equazione (26) sono energie specifiche pertanto misurabili in J/kg.

Generalmente si incontrano delle difficoltà nel calcolare l’energia potenziale e quella cinetica perché di solito non sono costanti lungo la sezione del sistema salvo che in casi particolarmente semplici, mentre per l’entalpia resta valido il metodo usato per calcolarla attraverso le tabelle.

Per un corpo rigido vale:

(27)

ma un fluido non è un corpo rigido in movimento, per cui si definisce la velocità media W come quel valore ipotetico della velocità parallelo all’asse del condotto che, uniforme su tutta la sezione normale S sarebbe in grado di dare la stessa portata in volume che si ha nella realtà.

(28)

Se la densità r è costante:

(29)

Inoltre abbiamo che:

(30)

Con r costante:

(31)

ove è la portata in volume.

Quindi:

(32)

La velocità media è però un cattivo indicatore per l’energia cinetica poiché scrivendo

(33)

non teniamo conto dei contributi dovuti alle componenti della velocità fuori asse che si presentano nei liquidi con moti vorticosi e del fatto che il quadrato del valore medio è minore del valore medio dei quadrati.

Per questo motivo si introduce un coefficiente correttivo a>1 per cui:

(34)

Il coefficiente a è di difficile determinazione, fatta eccezione per alcune particolari situazioni:

    1. b)

Fig. 5: profili di velocità per fluido in moto : a) laminare; b) turbolento

 

Possiamo quindi esprimere l’energia cinetica specifica come:

(35)

L’energia potenziale di un corpo si esprime:

(36)

Poiché si pone per semplicità nell’equazione (35) , possiamo scrivere l’equazione di bilancio dell’energia nella seguente forma:

(37)

Se l’energia cinetica e quella potenziale sono trascurabili, allora la (37) diviene:

(38)

 

Esercizi:

Esercizio 1: la caldaia

Una caldaia produce vapore alla pressione di 40 bar e alla temperatura di 300 oC.

Supponendo che il sistema parta da una temperatura iniziale di 60 oC, calcolare la quantità di calore necessaria per vaporizzare una massa M pari ad 1 kg di acqua.

 

Fig.1-schematizzazione di una caldaia

La caldaia è una macchina che funziona prendendo in ingresso dell’acqua allo stato liquido e producendo in uscita del vapore surriscaldato.

In base ai dati che vengono forniti e sapendo che il processo compiuto dalla caldaia è a pressione costante, si ha che le condizioni iniziali e finali sono rispettivamente: T1 = 60 oC, P1 = 40 bar e T4 = 300 oC, P4 = 40 bar.

Disegniamo sul piano pv la trasformazione operata dalla caldaia.

 

Fig.2: - rappresentazione della trasformazione sul diagramma pv

Indichiamo con q la quantità di calore da determinare: dato che M = 1kg è una quantità di calore per unità di massa.

Applichiamo al sistema il I principio della termodinamica in forma entalpica.

(1)

Poiché la trasformazione avviene a pressione costante si ha che e quindi, integrando, il valore richiesto risulta essere uguale al salto di entalpia.

(2)

Il salto di entalpia può essere espresso come la somma di tre contributi

(3)

: è la variazione di entalpia relativa al riscaldamento dell’acqua nella regione del liquido. Dalle proprietà dei liquidi si ha che è uguale al prodotto del calore specifico cL (ricordiamo che per un liquido cp = cv = cL ) per il salto di temperatura

(4)

Il calore specifico è una grandezza tabulata: nel nostro caso cL = 4,187.

: è la variazione di entalpia relativa al passaggio dalla fase liquida alla fase di vapore saturo secco ed è uguale per definizione al calore latente di vaporizzazione. Esso viene indicato con r e i suoi valori sono tabulati . Quindi

(5)

Nel caso in esame r =1713.

 

p (bar)

t (oC)

hL(kJ/kg)

r (kJ/kg)

hv(kJ/kg)

34

240,88

1041,3

1760,3

2802,1

36

244,16

1057,5

1744,2

2801,7

38

247,31

1072,7

1728,4

2801,1

40

250,33

1087,4

1712,9

2800,3

42

253,24

1101,5

1697,8

2799,4

44

256,05

1115,4

1682,9

2798,3

46

258,75

1128,8

1668,3

2797,0

48

261,37

1141,8

1653,9

2795,7

: è la variazione di entalpia che avviene nel campo dei vapori surriscaldati. Essa è uguale al prodotto del salto di temperatura per il calore specifico medio a pressione costante del vapore.

(6)

Sulle tabelle si trova che tra le temperature di 250 oC e 300 oC cpv vale circa 3,1.

Tabella del calore specifico medio del vapore d’acqua surriscaldato misurato dalla temperatura di saturazione alla temperatura assegnata

P=40atm

 

t (oC)

cpv(kJ/kgK)

240

-

260

3,483

280

3,262

300

3,136

320

3,027

340

2,931

360

2,851

In generale nel campo dei valori surriscaldati la variazione di entalpia non dipende solo dalla temperatura ma anche dalla pressione: quello in esame è un caso particolare in quanto avviene una trasformazione a pressione costante.

Sostituendo (4),(5) e (6) in (3) si ottiene la quantità di calore cercata

Osservazione: Nel campo del vapore d’acqua, relativamente alle trasformazioni dello stesso tipo di quella operata dalla caldaia, si verifica sempre una sorta di fenomeno di "compensazione". Supponendo di aumentare la pressione e la temperatura si ha che diminuisce il calore latente di vaporizzazione, ma crescono in proporzione i termini di calore relativi alle trasformazioni nel campo del liquido e del vapore surriscaldato. Quindi la quantità di calore necessaria a vaporizzare una massa

di 1kg di acqua è sempre dell’ordine dei 2500-2700 .

Esercizio 2: la pentola a pressione

Si consideri una pentola a pressione, ovvero un recipiente rigido indeformabile dotato di una valvola. La si riempia in parte di acqua e la si metta sul fuoco con la valvola aperta. Fornendo calore al sistema la temperatura dell’acqua cresce fino a raggiungere quella di ebollizione. Supponendo di essere alla pressione P1 = 1 bar, la temperatura di ebollizione risulta essere T1 = 100 oC. Se si continua a fornire calore comincia a prodursi del vapore: questo spinge fuori, attraverso la valvola, l’aria presente nella pentola . Quando tutta l’aria è stata espulsa, la valvola viene chiusa. In questa condizione la pentola contiene del vapore saturo ovvero acqua liquida in equilibrio con il suo vapore. Si supponga che vi siano 10kg di acqua liquida e 1kg di vapore. Determinare l’ulteriore quantità di calore che è necessario fornire la sistema per portare la sua pressione dal valore iniziale P1 al valore P2 = 5 bar e il titolo x2 della nuova situazione di equilibrio.

Fig.1-schematizzazione della pentola a pressione

La trasformazione effettuata dalla pentola consiste in un aumento di pressione a volume costante: il volume non può aumentare in quanto si è supposto il recipiente rigido e indeformabile.

Fig.2- rappresentazione della trasformazione sul diagramma pv

Indichiamo con Q il calore cercato. Applichiamo al sistema chiuso "pentola" il I principio della termodinamica.

(1)

Dato che la trasformazione non comporta un cambiamento di volume non vi è nessuno scambio di lavoro con l’esterno quindi e il calore Q risulta essere uguale alla variazione di energia interna

(2)

Per calcolare le energie interne specifiche del vapore saturo alle pressioni P1 e P2 prendiamo come riferimento gli stati liquidi corrispondenti.

(3)

(4)

con e energie specifiche differenziali.

Il titolo x1 lo si può calcolare facilmente

(5)

Per calcolare il titolo x2 è sufficiente considerare che la trasformazione tra il punto 1 e il punto 2 avviene a volume costante quindi

(6)

ovvero

(7)

in cui sono stati usati i volumi specifici degli stati liquidi e i volumi specifici differenziali.

Risolvendo rispetto a x2 si ha

(8)

(9)

Possiamo ora sostituire i valori trovati nelle (3) e (4)

(10)

(11)

sostituendo (10) e (11) in (2)

I valori numerici sono stati ricavati facendo riferimento alla seguente tabella del vapore d’acqua.

p (bar)

t (oC)

vL (dm3/kg)

vG

(dm3/kg)

hL(kJ/kg)

r (kJ/kg)

hv(kJ/kg)

0,87686

96

1,0406

1915,3

402,2

2267,5

2669,7

0,94301

98

1,0421

1789,3

410,6

2262,2

2672,9

1,01325

100

1,0437

1673,0

419,1

2256,9

2676,0

1,0878

102

1,0453

1565,5

427,5

2251,6

2679,1

1,1668

104

1,0469

1466,2

435,9

2246,3

2682,2

1,2504

106

1,0485

1374,3

444,4

2240,9

2685,3

1,3390

108

1,0502

1288,9

452,9

2235,4

2688,3

             

p (bar)

t (oC)

vL

(dm3/kg)

vG

(dm3/kg)

hL(kJ/kg)

r (kJ/kg)

hv(kJ/kg)

4,5101

148

1,0886

412,88

623,5

2119,5

2743,0

4,7600

150

1,0908

392,45

632,1

2113,2

2745,4

5,0208

152

1,0930

373,22

640,8

2106.9

2747,7

5,2929

154

1,0953

355,10

649,4

2100,6

2750,0

5,5767

156

1,0976

338,03

658,1

2094,2

2752,3

5,8725

158

1,0999

321,94

666,8

2087,7

2754,5

6,1806

160

1,1022

306,76

675,5

2081,3

2756,7

Esercizio 3: misura del titolo

Si consideri un tubo dentro al quale sta scorrendo del vapore saturo. Tramite un manometro si calcola che la pressione dentro al tubo è P = 40 bar.

Fig.1

 

Determinare il titolo x1 del vapore.

E’ possibile determinare sperimentalmente il titolo di un vapore saturo che scorre entro un condotto operando secondo lo schema seguente. Sulla parete laterale del condotto viene praticato un foro, di opportune dimensioni, al quale viene collegata una conduttura comunicante con l’esterno. Lungo questa conduttura viene inserita una valvola con l’apertura regolabile a piacere. A valle della valvola è predisposto un punto di misura per la temperatura del vapore fuoriuscente: allo scopo è sufficiente usare un termometro a mercurio. La temperatura letta nel caso in esame è T2 = 115 oC .

Fig.2

Il condotto entro cui scorre il vapore e la valvola costituiscono un sistema aperto: per determinare il titolo è sufficiente studiare questo sistema supponendo che la fuoriuscita del vapore attraverso la valvola avvenga sotto opportune condizioni.

Nell’ipotesi di poter trascurare i contributi di energia cinetica ed energia potenziale l’equazione di bilancio dell’energia per un sistema aperto può essere scritta come

(1)

Supponiamo ora che il vapore venga fatto fuoriuscire dalla valvola tramite un processo di laminazione. Supponiamo cioè che l’apertura della valvola sia tale (in generale molto piccola) per cui il vapore esca senza scambiare calore con l’esterno, sia già in equilibrio di pressione con l’ambiente ovvero sia alla pressione atmosferica, e abbia una velocità talmente bassa da poter trascurare qualsiasi termine di energia cinetica. Questa è una trasformazione adiabatica a lavoro nullo: non vi è nessuno scambio di lavoro perché il fatto che il vapore esca in equilibrio di pressione con l’ambiente fa si che non vi sia nessuna espansione . La (1) diventa quindi

(2)

Rappresentiamo la trasformazione sul diagramma pv. Il percorso tra 1 e 2 è stato tratteggiato in quanto la trasformazione è irreversibile e gli unici stati di equilibrio, e quindi effettivamente rappresentabili, sono quello iniziale e quello finale.

Fig.3

Considerando i valori specifici delle entalpie si ha

(3)

dove r1 è il calore latente di vaporizzazione alla pressione di 40 bar e hL1 è l’entalpia specifica dello stato liquido corrispondente.

E

(4)

dove h2 è l’entalpia specifica del vapore surriscaldato, cpv è il calore specifico medio a pressione costante del vapore e 2’ è il punto che si trova sulla curva limite superiore in corrispondenza di una pressione di 1 bar quindi T2’ = 100 oC.

Uguagliando (3) e (4), risolvendo rispetto ad x1 e sostituendo i valori numerici che si possono ricavare dalle tabelle degli esercizi precedenti si ottiene il risultato voluto

(5)

 

 

 

In allegato alla tesina ho voluto aggiungere un formulario generale di FISICA TECNICA , per una consultazione rapida ed essenziale da parte di quei prossimi alunni ,che come me, dovranno affrontare la materia.

FORMULARIO

1ml=1cm3; 1l=1dm3=103ml;1m3=103l

760toor=760mmHg=1atm=105Pa

1watt=1joule/1sec

1bar=105Pa=1atm=7,57*102toor

joule=Newton*m; Newton=(Kg*m)/s2

Pa=N/m2

Bar=m3/Kg

T(°K)=T(°C)+273,16

Interpolazione Y=((XV-XS)/(XI-XS))*(YI-YS)+YS

Tempo di rilassamento µ V1/3/c dove c=3E8m/s e V è il volume

I Principio Termodinamica: U+1/2 m v2+mgz=Q-L considerando trascurabili i termini dovuti all’energia cinetica e potenziale si ha D U=Q-L il lavoro Lrev=ò p dv

Come bilancio: q.entrante + q.prodotta = q.uscente + q.distrutta + D q

Legge 0 : due sistemi in equilibrio termico con un terzo sono in equilibrio termico fra di loro.

Entalpia: H=U+PV a volte si usa per il calcolo di u=h-pv ma dalle tabelle si deve fare attenzione alle unità di misura perché 1atm=1.013e5 Pa, se tutto si prende dalle tabelle dovendo convertire in Kj si dovrebbe moltiplicare per 10-3 si moltiplica il pv per 102

Entropia si postula la sua esistenza come una grandezza estensiva, monotonicamente crescente cioè ( S/ U)>0 e nulla solo se la temperatura è nulla ( U/ S)V

Reversibilità per un sistema isolato D S=0 reversibile (ideale) D S>0 irreversibile (reale) D S<0 impossibile

I eq. di Gibbs dS=dU/T+(p/T)dV Þ (isocora) dS=dU/T Þ dS=cvdT/T

II eq. di Gibbs dS= dH/T-(V/T) dp Þ (isobara) dS=dh/T Þ dS=cpdT/T

Bilancio di entropia Qe/Tsete+P=D S+Qu/Tsetu dove P è la produzione entropica

Definizione di calore: è quella iterazione energetica che porta associato un flusso di entropia

Rendimento Carnout h =1-Tb/Ta Reale h =1-Qb/Qa di II legge h II=h /h MC

COPF=Qb/L=1/((Ta/Tb)+(PTa/Qb)-1) Reversible COPF,REV=Tb/(Ta-Tb)

Pompa COPP,REV=Ta/(Ta-Tb)

 

 

II specie COPF,II= COPF/ COPF,REV

 

 

TERMODINAMICA DEGLI STATI

Gas Ideale D u=CvD T; D h=CpD T specifiche quelle estensive devo moltiplicare per la massa; la T a cui prendo Cv e Cp è quella media T=(T1+T2)/2

Regola fasi o di Gibbs il numero delle grandezze indipendenti sono V=3-F dove F sono il numero delle fasi

D s=Cv*ln(T2/T1)+R*ln(V2/V1); D s=Cp*ln(T2/T1)-R*ln(P2/P1) i Cv e Cp li prendo a T=(T2-T1)/ln(T2/T1)

T-P permette di vedere la fase

Titolo X=mVS/(ml+mVS) dove le m sono le masse del liquido e del vapore saturo rappresenta la quantità di vapore rispetto a quella totale. Si hanno le seguenti v=vl+x(vVS-vl); h=hl+x(hVS-hl); u=ul+x(uVS-ul); s=sl+x(sVS-sl);

Liquido saturoÞ x=0 ;Vapore saturoÞ x=1

Calori specifici cv=( u/ T)v; cp=( h/ P)p; cp(T)=a+bT+cT2+dT3 ; cv(T)=(a-R)+bT+cT2+dT3

Relazione di Mayer ; cp- cv=R 0

Condizioni gas ideali: D u=CvD T; D h=CpD T si considerano pressione e temperatura ridotta e devono sussistere le seguenti p =P/Pc<0,15 e J =T/Tc>1 in queste ipotesi vale PV=nRT oppure PV=RT dove P=KPa, V=m3;T=K;m=Kg R dipende dal gas pag 271con R=R/m e R=8,314 Kjoule/KmoliK.Ñ U=ò T1T2 cv(t)dt=cv(T2-T1); .Ñ H=ò T1T2cp(t)dt=cp(T2-T1); D s=Cv ln (T2/T1)+R ln(V2/V1) oppure D s=Cp ln (T2/T1)-R ln(P2/P1)

Trasformazione adiabatica endoreversibile (valida per le espansioni in turbine) se i calori specifici sono cost T2/T1=(P2/P1)e e T2/T1=(V1/V2)k-1 oppure P2/P1=(V1/V2)K scrivibili nelle forme T/Pe =cost; T*Vk-1=cost; P*Vk=cost. con e =k-1/k=R/cp=Cp/Cv

Se i calori specifici non sono costanti:(s(T2)/R)-(S(T1)/R)=ln(P2/P1)Þ P2/P1=(exp(s(T2)/R)/exp(S(T1)/R))

INDIVIDUAZIONE STATO: Uso o il diagramma P-T o le tabelle. Rispettivamente ho entrando con la pressione o con la temperatura

Tsat(P*)>T*Þ liquido Psat(T*)>P*Þ vapore

P* Tsat(P*)=T*Þ bifase equilibrio liq. vap. T* Psat(T*)=P*Þ bifase equilibrio liq. Vap.

Tsat(P*)<T*Þ vapore surriscaldato Psat(T*)<P*Þ liquido

Nel caso di equilibrio liquido vapore si ha

Se a è o la pressione o la temperatura e b è una proprietà specifica ho entrando nella tabella o nel grafico con a *

b l(a *)>b * Þ liquido sottoraffreddato Þ modello liquido

b l(a *)=b * Þ liquido saturo curva limite inferiore uso il titolo x=0

a * b l(a *)<b * <b s(a *) Þ bifase "Per la risoluzione ricavo il titolo dalle tabelle e poi le proprietà"

b vs(a *)=b *Þ vapore saturo x=1

b vs(a *)<b *Þ surriscaldato

 

LIQUIDO INCOMPRIMIBILE vH2O=1*e-3 Kg/m3 e c=4.19 Kj/KgK

Per i liquidi risulta cp=cv=c; come stato noto si può prendere quello di saturazione partendo da uno dalle tabelle.

Energia interna:D U=c D T se interessa la variazione oppure u(T)=uo+c(T-To)

Entropia: D S12=c ln(T2/T1) se interessa la variazione oppure s(T)=so+c ln(T/To)

Entalpia: D h=v D P si considera una isoterma oppure h=ho+c (T-To)

Liquido sottoraffreddato h=hsat+v(p-psat); le p in KPa, H in Kj

CONDIZIONI DI SATURAZIONE: uso le tabelle con il titolo

AL DI SOPRA DELLA CURVA A CAMPANA: vapori surriscaldati uso i diagrammi

Condizioni acqua:c=4,19 kJ/KgK; v=1e-3 Kg/m3

 

 

 

 

SISTEMI APERTI

Densita: inverso volume specifico; r =1/portata; m=r wA=V/v (portata (wA= V su volume specifico)

Continuità della massa: mi=mu+ mVC/ J

I Principio: mi(h+gz+w2/2)i+Q1i+Le2= mu(h+gz+w2/2)u+Q2u+Le1+ EVC/ J

II Principio: miSi+Q/Ta+P= muSu + SVC/ J

Equazione energia meccanica: l=-[ò 12vdp+gD z+D w2/2+r]

CONDOTTI:

1) 1 in, 1 out

2) 1-D

3) / J =0

4) liquido ideale v=cost

5) condotta a sezione circolare f =cost

Se Ai=Au Þ Wi=Wu; v(Pu-Pi)=g(Zi-Zu)-r; Pu=Pi+r g(Zi-Zu)-r r

6’)condotta rettilinea Þ Zi=Zu Þ Pu=Pi-r r

6’’)condotta inclinataÞ Pu= Pi+r g(Zi-Zu)-r r

Sgen/m=c*ln(T2/T1)

Perdite r: concentrate=x w2/2; distribuite=f*L/D*w2/2; quelle concentrate si riconducono a quelle distribuite con Leq=Dx /f

TURBINA A VAPORE: macchina motrice dinamica con fluido di lavoro vapore surriscaldato o vapore saturo o entrambi. 1 in, 1out; 1-D; / J =0; Q<<L; gD z» 0 e D w2/2» 0

mi=mu=m

mihi= muhu+L Þ L= m(hi-hu)

miSi+P= muSu Þ P=m(Su-Si)

Caso ideale P=0 Þ Su=Si isoentropica (adiab+ int. rev) nella realtà P>0 Þ Su>Si

Lrev=( hi-hus); Lreale=(hi-hu) Rendimento h is,TV=l/lrev= hi-hu/ hi-hus

Individuo la condizione di ingresso e nota la Pu ricavo nel grafico H-S la trasformazione, individuo cosi il lavoro reversibile.

TURBINA A GAS: macchina motrice (da lavoro) dinamica. Le ipotesi sono (1in, 1out), (1-D), ( / J =0), (ingegneristicamente adiab Q=0), (D g z=0, D w 2/2=0), (gas ideale cp=cv=cost). Si possono usare indifferentemente i piani T-S e H-S sono gli stessi a meno di una costante.

mh1=L+mh2Þ L=m(h1-h2)= m cp(T1-T2) per i gas ideali D h=cpD T

ms1+Pgen=ms2Þ Pgen=m(s2-s1)=m(cp ln(T2/T1)-Rln(P2/P1))

h is,TG=l/lid= T1-T2/ T1-T2s= h1-h2/ h1-h2s

Nelle ipotesi di idealità politropica pvk=cost; k=cp/cv; e =(k-1)/k; T/pe =cost; lrev=RT*e *[1-(p2/p1)e ]; essendo h solo f(T) allora lrev= h1-h2s=cp*(T1-T2s) e T2s=T1*(P2/P1)e

 

 

 

VALVOLA DI LAMINAZIONE

mi=mu=m

mh1= mh2 Þ h1=h2

mS1+Sgen= mS2 Þ Sgen=m(S2-S1)

liquidoÞ v=cost Þ D S=cln(T2/T1)Þ Tu>Ti (se nel liquido restringo la sezione diminuisce P ed aumenta T)

aeriformeÞ u=u(T) e h=h(T) essendo (h1=h2)Þ T2=T1

Se non posso usare PV=nRT uso l’indice di Joule Tomson m = T/ p| h

Grafico P-T ottenuto unendo i punti in cui si annulla la derivata

m <0 diminuisce p Þ aumenta T se m >0 diminuisce pÞ aumenta T

 

 

POMPA

m1=m2=m

m h1+L= m h2 Þ L= m( h2-h1)= m D h

mS1+P= mS2 Þ P=m(S2-S1)= m D S

fluido incomprimibile v=cost Þ L= m (cD T+vD P)

P=m c ln(T2/T1) se (P>0Þ T2>T1; P=0 Þ T2=T1=costÞ L= Lrev= mD P

Adiab+int.rev Þ D S=0 uso il piano P-v per il lavoro lrev=D h

Dal piano T-S traccio le due isobare SB-SA=c ln(TB /TA) Þ SB=SA se TB =TA

Uso il piano h-.s h IS,P=lrev/l=(h2S-h1)/(h2-h1)=v(p2-p1)/(c(T2 -T1)+v(p2-p1))

 

 

COMPRESSORI

Le ipotesi sono (1in, 1out), (1-D), ( / J =0), (ingegneristicamente adiab Q=0), (D g z=0, D w 2/2=0), (gas ideale cp=cv=cost).

m1=m2=m

m h1+L= m h2 Þ L= m( h2-h1)= m D h essendo gas ideale Þ L= m cp(T2-T1)

mS1+P= mS2 Þ P=m(S2-S1)= m D S essendo gas ideale Þ P=m[cp ln(T2/T1)-R ln((P2/P1)]

Se è int. Rev. + adiabÞ P=0Þ L= Lrev= m cp(T2S-T1) e Þ 0=m[cp ln(T2S/T1)-R ln((P2/P1)] con P2=P2S

Nella realtà P>0Þ D S>0

h IS,P=lrev/l=(h2S-h1)/(h2-h1)= essendo gas ideale=(T2S-T1)/( T2-T1)

La int.Rev. + adiab è una politropica di esponente k P2V1k= P2V2Sk equivale a T2S/ P2e = T1/ P1e Þ T2S= T1(P2/ P1) e =T1b e con b = P2/ P1 rapporto di compressione allora lrev=cp(T2S-T1)=cpT1(b e -1)

Nelle stesse ipotesi risulta anche lrev=-R T1(K/(K-1))[b e -1]

 

 

SCAMBIATORE CALORE:

Mescolatore:

m1+m2=m3; m1h1+m2h2= m3h3; m1s1+m2s2+Sgen= m3s3

Caldaia: mh1+Q= mh2; ms1+Q/Tset+Sgen= ms2

Fluidi a ¹ temp. Separati:mchic+mfhif=mchuc+mfhuf; mcsic+mfsif+Sgen=mcsuc+mfsuf

Efficienza=e =Qscambiato/Qmax=Cc(Tic-Tuc)/Cmin(Tic-Tif)=Cf(Tuf-Tif)/Cmin(Tic-Tif) Cmin=m c dove c è quello più piccolo tra i due

Se usiamo due SC: mchic= mchuc+÷ Q÷ ; mfhif+÷ Q÷ = mfhuf

Gas id. e cp,cv costÞ D h=cpD T

 

 

 

 

CICLI

Rankine:

1Þ x=0 tabelle; 2Þ h2s=h1+vÑ P con p in kPa;3=molier;4=tabella;5=molier

Qa+Lp=Qb+Lt; Qa/Ta+Sgen=Qb/Tb

h =(lt-lp)/qa=((h3-h4)-(h2-h1))/(h3-h2)=1-(qb/qa)=1-((h4-h1)/(h3-h2))

rendimento con rigenerazione: h =lnetto/qa=(lTA+lTB-lP)/(q23+q4’3’)

Portata massica unitaria PMU=m/(Lt-Lp)=l/(lt-lp)=l/(((h3-h4)-(h2-h1))

Pompa isoentropica 1-2

m h1+Lp= m h2 Þ Lp= m( h2-h1)= m D h; ms1+Sgen= mS2 Þ Sgen=m(S2-S1)= m D S

Caldaia isobara 2-3: mh2+Qa= mh3; ms2+Qa/Ta+Sgen= ms3

Turbina isoentropica 3-4

Mh3=Lt+mh4Þ Lt=m(h3-h4)= m cp(T3-T4); ms3+Sgen=ms4Þ Sgen=m(s4-s3)=m(cp ln(T4/T3)-Rln(P4/P3))

Condensatore isobara 4-1: mh4=Qb+mh1; ms4+Sgen= ms1+Qb/Tb

h p=vD P/(vD P+cD T)

Joule:con rendimenti unitari(ideale),gas ideale cp,cu=cost:T2/T1=T3/T4=b e ; b =Psup/Pinf=P2/P1=P3/P4; e =(K-1)/K=R/cp; t =Tmax/Tmin=T3/T;.

h =(Lt-Lc)/Qa=m[(h3-h4)-(h2-h1)]/ m(h3-h2)=cp[(T3-T4)-(T2-T1)]/ cp(T3-T2)=1-(Qa/Qb)=1-(( T4-T1)/( T3-T2))

b ot=(t h ch tg)1/2e t =T3/T1

D S=Cp ln(T2/T1)-Rln(P2/P1) ; D h=Cp D T

Reale con irreversibilità :T2=T1+((T2s-T1)/h c); T4=T3- h t(T3-T4s); h = 1- ((mcp(T4-T1))/(mcp(T3-T2)))= 1-(( T3- h t(T3-T4s)-T1)/(T3-T1-((T2s-T1)/h c)));

Lnetta=mcp[h t(T3-T4s)- T2s-T1)/h c] ;

Frigorifero:ideale COPf,rev= QEV/(LC-LT)

Reale fatto con valvola: QB+LC=QA; QB/TB+Sgen=QA/TA;per le altre relazioni si fanno i bilanci sui componenti;

COPf= QB/LC=(h1-h4)/(h2-h1)==((h1-h4)/(h2s-h1))h C; PMU=m/QB=l/qB=l/ h1-h4; (por vol unit)PVU=V1/ QB=v1/( h1-h4)

POMPA:COPp,rev=Ta/(Ta-Tb); COPp=Qa/Lc==(h2-h3)/(h2-h1)==((h2-h3)/(h2s-h1))h C;

PMU=m/Qa=1/qa=1/ h2-h3; PVU=V1/Qa=v1/ h2-h3

 

 

TRASMISSIONE DEL CALORE

CONDUZIONE legge di Fourier q=-K D T: si ha quando i due corpi sono a contatto e non vi sono moti macroscopici

Analogia con circuiti elettrici q=D T/((L/(kA)); Ri=Li/(KiAi); Re=1/(heAi)

Eq. della conduzione: Ñ 2T+u’’’/K=1/a( T/ q ) dove a=k/r c diffusività termica

Eq Laplace Ñ 2T=0 ipotesi u’’’=0 e / q =0

Eq. Poisson Ñ 2T=-u’’’/K ipotesi u’’’¹ >0 e / q =0

Eq. Fourier Ñ 2T=1/a( T/ q ) ipotesi u’’’=0 e / q ¹ 0

Monodimensionalità rettangolare: Ñ 2T/ x2+u’’’/K=a-1*( T/ q )

Monodimensionalità Cilindrica: r-1*( / r)*(r T/ r)+u’’’/k=a-1 * ( T/ q )

Monodimensionalità sferica: r-2*( / r)*(r2 T/ r)+u’’’/k=a-1 * ( T/ q )

Nel caso di monodimensionalità Ñ 2T/ x2+u’’’/K=1/a( T/ q ) con 3 condizioni ai limiti 2 geometriche per il laplaciano e una temporale per T/ q

Simmetria piana senz. gener: T(x)=(T2-T1/L)*X+T1 e Q=(AK/L)*( T1-T2) analogia corrente Q=D T/R con R=L/AK (vedere eventuali inclinazioni + k è grande + è inclinata)

Simmetria cilind. senz. gener: T(r)= T1- (((T1-T2)/(ln(r2/r1))*ln(r/r1) e Q=2p lk((T1-T2)/ln(r2/r1));R= ln(r2/r1)/2p KL; Rest=1/(2p r2Lhe)

Simmetria sferica senz. Gerner: T(r)=T1-(((T1-T2)/(1/r1-1/r2))* (1/r1-1/r)) e Q=(T1-T2)/((4p k)-1((1/r1-1/r2))

Lastra piana con generazione: (1-D; u’’’¹ >0; T/ q =0) d2T/dx2=-u’’’/K diventa T(x)= (-u’’’/2K)*x2+(-u’’’/2K)*L2+(-u’’’*L/h)+T¥ essendo la piastra simmetrica rispetto all’asse risulta anche T(L)= u’’’*L/h)+T¥ ; D Tmax=u’’’*L2/2K; D Te= u’’’*L/h

Cilindro con generazione: (L>>reÞ 1-D; u’’’>0; T/ q =0): T(r)=(-u’’’/4k)*r2+(u’’’/4k)*re2+ (u’’’/2h)re+ T¥ e Q(r)=4p u’’’ r 3/3

Raggio critico di isolamento:Q=(Ti-T¥ )/Riso+Rest; Risol= ln(r2/r1)/2p KL; Rest=1/(2p r2Lhe)

Bi=hL/k=hA/(KA/L)=cond. Super/cond.condut=res cond/res. Super Bi piccoloÞ res. Cond trascurabileÞ T=T(q )

Fo=aq /L2=Kq /(r cpL2)=((K/L)L2)/(r cpL3/q )=pot. Cond. Att. L nel Volume L3/pot. Accumulata + Fo è grande + vi è flusso di Q e non vi è accumulo

Po=(u’’’L2)/(K(Ti-T¥ ))

IRRAGGIAMENTO:

E=potere emissivo; J=radiosità (emessa+riflessa); G=irradiazione (quella che incide);

a =coeff. di assorbimento a med.=å a l Gl /å Gl ;r =coeff. di riflessione;t =coeff. di trasmissione e a +r +t =1 G=a G+r G+t G

Legge di Plunk: Enl (T)=C1/(l 5(eC2/l T-1) l’energia totale emessa da un corpo nero (emettitore perfetto) è pari a En=ò 0¥ Enl dl =s T4 con s costante di stefan-boltzman Nel vuoto C1=3,74e8[m m4K/m2];C2=1,44*104m mK; l [m m]; En [W/m2]

Legge di Wien l MAXT=C3 con C3=2898 m m K

Velocità di propagazione c=1/Ö m l

Emittenza e =El /Enl Þ El =e *Enl Þ E=e s Ts4

Irraggiamento per corpo nero: En(T)=n2s T4 dove n=indice rif» 1 per aria e gas e s =5,67e-8 [W/m2K4]Fattore di configurazione geometrica:Fi-j=Jche lascia Ai ed incide su Aj/ J totale che lascia Ai; AiFi-j=AjFj-i; Fi-j+Fj-i=1; F1-2 =F1-3+F1-4 ho diviso 2 in 3e4;

Piastre nere:q1-2=En1-En2=s (T14-T24)

Piastre grige:e =cost per una certa T in un intervallo di l  ; per esso e =e l ; a =a l ; a =e ;per due piastre risultano vere le seguenti:J1=E1+(1-e 1)G1; J2=E2+(1-e 2)G2;essendo parallele risulta J1=G2 e J2=G1 da queste si ha J1=( E1+(1-e 1)E2)/(e 1+e 2-e 1*e 2) e G1=( E2+(1-e 2)E1)/(e 1+e 2-e 1*e 2) da qi=Ji-Gi si ha q1-2=(e 2E1-e 1E2)/(e 1+e 2-e 1*e 2) da E(Ts,sup)=e (Ts,sup)s T4 si ha: q1-2=(e 2e 1s T14-e 2e 1s T24)/( e 1+e 2-e 1*e 2) cioè q1-2=s (T14-T24)/(1/e 1+1/e 2-1)

Schermo radiativo:la q diventa metà con 1, 1/3 con 2; 1/4 con 3 si dimostra facendo il circuito totale con le resistenze

Analogia elettrica;Re =(1-e )/(e A); Rvuoto=1/F1-2A1; Q=s (T14-T24)/Req

CONVETTIVO Q=hc A(Ts-T¥ )

avviene in due modi forzato per ventilazione e libero causato dalla forza di Archimede.

FORZATA: Trif=T¥

Numero di Reynolds Re=(r u¥ L)m = u¥ L/n

Numero di Prandtl Pr=m c/k=n /a con n =m /r viscosità cinematica

Numero di Eckert Ec= u¥ 2/cD T

Numero di Nusselt Nu= (hc L)/Kf

Numero di Grashof GR=(g b D T L3)/n 2=r 2 g b D T L3/ m 2

Numero di rayleigh RA=GR*PR=Fg/Fv= (g b D T L3)/n a=r g b D T L3/ m a

Per piastra Recrit=3,5*105 se Rex>RecritÞ regime turbolento dove Rex= u¥ x/n

Per condotto: Diametro eq=De=4A/Perimetro bagnato; Re=(uDe)/n ; velocita media u=V/A

Lunghezza d’imbocco per flusso laminare è Li=0,03 De*Re

Lastra piana: devo calcolare Q=hc A(Ts-T¥ ); hc lo ricavo da Nu= (hc L)/Kf; Calcolo Pr e poi considero i vari casi per il calcolo di Nu

Nu=0,064 (Pr)1/3 (Re)1/2 per 0,6£ Pr£ 10 L=lunghezza caratteristica=lunghezza nella direzione del flusso

Nu=0,0678 (Pr)1/3 (Re)1/2 per Pr® ¥

Nu=1,13 (Pr)1/2 (Re)1/2 =1,13 (Pe)1/2 per Pr® 0

I valori di k, Pr, a, n li prendo a pag 287 ed entro con la Trif=T¥

Sfera Nu=(heDe)/k=2 per Re® 0; Q(Rag.est)=4p re k(Ts-T¥ )=4p re2 hc(Ts-T¥ ) xchè k= re hc; L=diametro esterno

Flusso normale a cilindro: Nu=(0,4(Re)1/2+0,06(Re)2/3)(Pr)2/5(m ¥ /m s)1/4 per 1<Re<105; 0,67<Pr<300; L=diametro esterno

Flusso interno ad un condotto pag 206

LIBERA Trif=Tfilm=(Ts+T¥ )/2:

Numero di Grashof GR=(g b D T L3)/n 2=r 2 g b D T L3/ m 2

Numero di rayleigh RA=GR*PR=Fg/Fv= (g b D T L3)/n a=r g b D T L3/ m a

Grx= (g b D T x3)/n 2

Rax=Grx*Pr per avere un regime turbolento si deve verificare una delle seguenti : Grx>Grcrit o Rax>Racrit solitamente Racrit=109

Piastra verticale: Nu=0,59 (Ra)1/4 per 104<Ra<109 laminare; Nu=0,13(Ra)1/3 per 109<Ra<103 turbolento; L=altezza

Cilindro orizzontale: Nu=0,53 (Ra)1/4 se 104<Ra<109 laminare; Nu=0,13(Ra)1/3 per 109<Ra<1012 turbolento L=diametro esterno

Cilindro verticale: D/L(Gr)1/4³ 3,5 dove D=diametro e L=Lunghezza e 0,7£ Pr£ 1 uso la piastra verticale con errore del 5%; L=altezza

Piastra orizzontale:super. Sup. Ts>T¥ e super. Inf Ts<T¥ Þ Nu=0,14 (Ra)1/3 se Ra>2 108 turbol.

Super. Sup. Ts<T¥ e super. Inf. Ts>T¥ Þ Nu=0,58 (Ra)1/5 se 106<Ra<1011 laminare Lp.rett=media aritm due lati; Lp.circ=diametr; Lpqualsiasi=rapporto area perimetro.

Sfera : Nu=2+0,43 (Ra)1/4 se 1<Gr<105 laminare L=diam.ester

Per H2O Nu=2+0,5 (Ra)1/4 se 3*105<Ra<8*108 laminare

Circ cerchio=2*p *r=D*p ; Sup. sfera=4*p *r2