Il fluido di servizio può essere di verso concorde o discorde al fluido di processo;
Bilancio energetico
Il calcolo energetico del problema, date le ipotesi precedenti, è dato dal bilancio entalpico tra i due fluidi: non essendoci perdite il calore ceduto da uno dei due liquidi è pari a quello assorbito dall’altro. Supposto che il liquido B si stia raffreddando si ha che:
(1)
Dove 
rappresenta la potenza termica cioè l’energia per unità di tempo [W] così come 
ed 
sono le portate in massa dei due liquidi [kg / s].
Le due sezioni 1 e 2, riportate in figura 3, fanno riferimento alla coordinata 0 e alla coordinata L dello scambiatore di calore.
Calcolo termico
Il liquido A è ad una temperatura TA1 alla quota 0 e viene riscaldato, alla quota L, alla temperatura TA2.
Il liquido B, inizialmente alla temperatura TB1, subisce invece un raffreddamento fino alla temperatura TB2.
La differenza di temperature tra i due liquidi, DT, varia in funzione della quota x. La potenza termica scambiata, da un’analisi termica del problema risulta essere:
(2)
Dove RTOT è la resistenza termica del sistema tubo in tubo e DTm la differenza di temperatura tra i due fluidi. La potenza Q deve essere quindi un opportuno valore medio che corrispponde ad un opportuno valore medio di DT che va ricercato.
Calcolo della temperatura media
DTm
Al fine di risolvere il problema occore quindi una analisi infinitesimale estesa ad un tratto dx dello scambiatore:
(3)
In un tratto infinitesimo dx le temperature dei due liquidi possono essere considerate costanti. L’infinitesimo a secondo membro, che non compare esplicitamente in (3), è implicito nel calcolo della resisstenza termica RT del sistema; osservando la figura 5 possiamo dire che:
(4)
Dove Ri è la resistenza termica di convezione interna dovuta al fluido di processo, R1 è la resistenza di conduzione dello strato cilindrico e R2 è la resistenza di convezione esterna dovuta al fluido di servizio. Non è stata inserita una ulteriore resistenza convettiva con l’ambiente esterno perché il sistema, per ipotesi, è isolato.
(5)
Voglio ora esprimere la resistenza termica RT dello scambiatore nel seguente modo:
(6)
Dove K è il coefficiente globale di scambio e S una opportuna superficie di riferimento.
Consideriamo come superficie di riferimento quella del tubo interno, Si;
(7)
In (7) ho semplicemente ribaltato e moltiplicato, sopra e sotto, la (5) per la superficie interna Si = 2p riL. Ora, considerando un tratto dx (L = dx), posso scrivere:
(8)
Ora riprendo l’equazione (3) e scrivo:
(9)
Si osserva che il termine infinitesimale compare ora anche a secondo membro; è bene ricordare che il termine Ki, noto, dipende dalla superficie scelta come riferimento.
Ricordando le equazioni di bilancio energetico, (1), posso scrivere che:
(10)
dalla (10) ricavo ora che:
(11)
Ma dall’analisi matematica sappiamo che:
(12)
Posso ora ricavare dQ dalla (11) e sostituirlo nella (9) ricavando così un’equazione differenziale a variabile separabili:
(13)
I limiti di integrazione sono indicati chiaramente in figura 6; x varia su [0, L] e T tra le temperature iniziali e finali dei due liquidi.
(14)
Ma 2priL = Si ; identifico così un’espressione per KiSi; ricordando (dalla 1) anche che:
(15)
Otteniamo ora per KiSi un’espressione che dipende dalle sole temperature e dalla potenza:
(16)
Dalla (1) e dalla (7) ricavo ora DTm cioè quel valore medio di temperatura che permette di calcolare il valore esatto di potenza
(17)
Posso ora ricavare DTm la media logaritmica:
(18)
Scambiatore equicorrente e controcorrente
Si osservino immediatamente i grafici delle temperature dei due fluidi in figura 7 ed in figura 8: emerge immediatamente il fatto che il DT, nel caso controcorrente, ha variazioni meno brusche, e si mantiene circa costante lungo il profilo geometrico [0, L]; vediamo ora come varia il DTm nei due casi; consideriamo un generico esempio:
TB1 = 100 °C
TB2 = 60 °C
TA1 = 4 °C
TA2 = 40 °C
Dalla 18 ricavo ora:
Risulta evidente, e questo è sempre vero che:
D
Tm,cc > DTm,ec
Ricordiamo che:
L’energia scambiata è evidentemente sempre quella (nel bilancio dell’entalpia non compare il verso); così come la costante Ki (vedi 8). Deve quidi variare la superficie Si; uno scambiatore in controcorrente a parità di potenza, avrà dimensioni minori è quindi costi minori.
Il rovesio della medaglia stà però nel fatto che nello scambiatore equicorrente ho DT istantanei, all’inizio dello scambiatore, più elevati e un conseguente scambio termico più veloce. Se necessito quindi di variazioni brusche di temperatura posso costruire una cascata dove il primo stadio è un equicorrente e gli altri dei controcorrente.
Esercizio
Si vuole raffreddare una portata MN2 di azoto con una portata MH20 di acqua; dati i seguenti dati:
MN2 = 1200 [kg / h]
MH20= 5000 [kg / h]
Di = 101 [mm]
De = 108 [mm]
D2 = 125 [mm]
Le temperature dei liquidi sono riportate in figura 9.
Il principio di funzionamento di questo dispositivo è illustrato in figura 1; i due liquidi A e B sono ovviamente a differenti temperature e possono generamente essere identificati come:
E’ inoltre costosa a causa dell’utilizzo di materiale pregiati quali acciaio inox. Ha però diversi vantaggi che ne consentono il suo massiccio utilizzo nella grande industria: permette una notevole garanzia di igiene, richiesta ad esempio nell’industria alimentare quale quella lattiero casearia. Il suo valore aggiunto è dato inoltre dalla sicurezza e dall’affidabilità degli impianti.
