Abbiamo già dato una definizione di scambio termico, così come abbiamo già definito il coefficiente di convezione, il quale non è proprio un coefficiente ma una grandezza dotata di dimensioni:

In particolare il coefficiente di convezione è definito dalla seguente relazione empirica:

dove è la temperatura della parete e è la temperatura del fluido.

Generalmente si ha a che fare con una parete solida che si trova alla temperatura e con un fluido (che può essere un gas come l’aria, o un liquido come l’acqua) alla temperatura indisturbata e lontano dalla parete, cioè:

In prossimità della parete (in particolare se è una parete piana) possiamo tracciare un diagramma della temperatura T in funzione della distanza x dalla parete; se supponiamo > si avrà una certa caduta di temperatura:

Definiamo strato limite termico lo strato di spessoreall’interno del quale avviene il 99% del salto di temperatura.

Ciò significa che, chiamata la temperatura per x =, si ha:

Chiamiamo questo rapporto [leggi: T star], dove è la temperatura adimensionale, ovvero un numero puro compreso tra 0 e 1 che varia con continuità fra la temperatura della parete (che a quel punto vale 0) e la temperatura all’ (che vale 1).

si può vedere in due modi: si può definire che valga 1 alla parete o che valga 1 all’; conviene però la seconda versione perché con quest’ultima è più facile rendere evidente la similitudine fra lo scambio termico e il moto dei fluidi.

In particolare osserviamo che, invece, in un corpo investito da un fluido in moto, ad es. una lastra piana lambita dal vento che arriva con velocità , si sviluppa uno strato limite ove il profilo di velocità raggiunge, in corrispondenza dello stesso, il 99% della :

Al di sotto della curva (a) il fluido comincia a venire frenato dalla parete, al di sopra del bordo il fluido continua a scorrere con la sua velocità non accorgendosi della vicinanza della parete.

Chiamiamo strato limite il luogo di punti all’interno del quale la velocità ha subito una variazione che è pari almeno al 99% della .

Possiamo allora indicare lo spessore di questo luogo di punti con e definire, in modo analogo a quanto fatto prima, la relazione

osservando che qui l’asse y è ortogonale alla parete, è la generica velocità del fluido in un punto qualsiasi sopra la parete e è la velocità del fluido lontano dalla parete.

La grandezza adimensionale [leggi: u star] assume valore 0 alla parete e valore 1 all’.

Avendo dato questa definizione tra lo strato limite termico e lo strato limite fluidodinamico e avendo scelto una grandezza adimensionale come congrua con la grandezza adimensionale , scopriremo che l’equazione di Fourier presenta una rilevante similitudine con l’equazione di Navier, cioè con l’equazione del moto dei fluidi.

Questa è la base della strategia di analisi del problema dello scambio termico per convezione basato sull’analogia, cioè sulla teoria della similitudine e sull’utilizzo di tecniche chiamate analisi dimensionale.

Essa è costituita da una serie di analisi di un problema fondate su operazioni coinvolgenti grandezze rappresentative del problema stesso, le quali vengono manipolate in modo da essere rese adimensionali (ossia dei numeri puri).

In tal modo un’equazione scritta con numeri puri diventa invariante rispetto alle dimensioni fisiche del problema; quindi un’equazione matematica scritta con grandezze adimensionali avrà sempre la stessa soluzione, indipendentemente da quale sia il problema fisico considerato.

Se un’equazione ha determinate condizioni al contorno relative a grandezze adimensionali ed è scritta in variabili adimensionali, la soluzione, ovviamente adimensionale, è invariante e pertanto la si risolve una volta per tutte e ad essa si fa riferimento per tutti i casi resi simili tramite operazioni di analisi dimensionale.

Lo scopo di tale analisi è rendere simili due problemi utilizzando opportuni

fattori di scala; esiste sempre un modo per risolvere un problema utilizzandone un altro che gode della proprietà della similitudine manipolando i valori numerici delle grandezze in gioco affinchè i parametri adimensionali abbiano gli stessi valori.

Esempio: analogia fra strato limite termico e fluidodinamico

Due punti che godono della similitudine sono ad esempio due punti situati in entrambi i casi sullo strato limite, poiché tali punti godono dello stesso valore della grandezza adimensionale che esprime l'incognita del problema.

Col senno di poi, se l’equazione in un punto ha la stessa soluzione (che vale 0.99) significa che i due problemi erano in condizione di similitudine.

Quando noi non conosciamo la soluzione in un problema quale quello dello scambio termodinamico, andiamo per similitudine a risolvere un problema noto come quello fluidodinamico e dall’omonimo calcolo otteniamo l’informazione termica desiderata.

Abbiamo già usato il principio di similitudine per trovare il cosiddetto circuito elettrico equivalente; in acustica è infatti frequente la ricerca dell’equivalente elettronico di un sistema.

E’ esattamente quello che facciamo qui: usiamo l’effetto dell’analisi dimensionale per ottenere la soluzione del problema estrapolandola da una soluzione che è già stata trovata per un problema simile a quello che ci interessa.

Nella pratica tuttavia quello che accade è che almeno un problema capostipite va risolto, cioè l’analisi dimensionale consente di estendere la validità del risultato di un problema risolto, ma è necessario risolvere un problema per ogni classe.

Per classe si intende ogni geometria (parete piana, tubo, sfera, cilindro,…), ogni moto (convezione naturale in aria ferma, convezione forzata dovuta ad esempio a un ventilatore che soffia aria contro una superficie,…). Si hanno inoltre classi diverse anche a seconda che il moto sia laminare o turbolento.

Quindi l’unione di diverse geometrie, diverse cause di moto e diversi regimi di moto produce un certo numero di casi (circa 30 ÷ 35) ciascuno dei quali va risolto una prima volta.

La questione ora è duplice: bisogna saper risolvere i casi già noti (che rappresentano il 90 – 95% dei casi pratici) e anche i casi nuovi; in quest’ultimo ambito in genere si conclude che l’unica soluzione possibile è tramite esperimento (ne sono un esempio le gallerie del vento viste per il moto dei fluidi).

Il trucco base è quello di scrivere una relazione matematica in forma adimensionale che leghi fra loro un numero sufficientemente ridotto di variabili adimensionali.

Il numero di variabili che rientrano nel caso è dato dal Teorema di Buckingham (detto anche Teorema ).

Tale teorema è molto simile alla regola delle fasi di Gibbs; esso dice che il numero di parametri adimensionali necessario a descrivere compiutamente un fenomeno fisico è dato dal numero di variabili fisiche del problema diminuito del numero di relazioni che le legano.

Quindi:

In base a questo teorema, nel nostro caso di scambio termico per convezione, il

numero di variabili indipendenti è 4, quindi il Teorema di Buckingham dice che in un problema di scambio termico, dove il numero di variabili è molto più alto, il numero di raggruppamenti adimensionali è:

OSS: il Teorema di Buckingham dice quanti sono i raggruppamenti, ma non quali

sono.

In una certa misura esiste una libertà di scelta dei raggruppamenti adimensionali (ad es. anche in termodinamica potevo scegliere due variabili indipendenti a piacere per descrivere uno stato del problema).

Se prendiamo un numero maggiore di variabili, ad esempio 5, la quinta è sempre esprimibile matematicamente in funzione delle prime quattro.

La scelta che si predilige tradizionalmente in questo settore è quella di prendere come 4 variabili indipendenti e adimensionali del problema i seguenti quattro numeri puri noti:

Il posizionatore è un parametro addizionale che dà la posizione di un punto nel campo, dove è la coordinata (in termini vettoriali) e L è la lunghezza caratteristica.

Nell’esempio della piastra piana investita dal vento il posizionatore è pari a , che dice dov’è lo strato limite.

In altri casi, ad esempio per un tubo dentro cui scorre del liquido,

se ad una certa x=0 inizio a scaldare e quindi ad imporre un flusso esterno alla parete, ciò che ottengo è una zona di ingresso termico, dove la temperatura del fluido, che prima era uniforme, comincia a salire, a subire variazioni.

In tale caso: posizionatore=x/D, dove x è l’ascissa del punto dove inizia il riscaldamento e D è il diametro del tubo, cioè la lunghezza caratteristica del problema.

La L che compare nella formula è importantissima e rappresenta la lunghezza caratteristica del problema; ad esempio per un fluido che scorre in un tubo

abbiamo visto che L=D.

La scelta di L ha un certo grado di convenzionalità.

Se useremo i risultati di una sperimentazione, ci dovremo conformare alla regola che lo sperimentatore stesso si è dato per definire la lunghezza caratteristica. Se faccio invece una scelta non congrua l’analisi dimensionale non può essere applicata, anche se formalmente il procedimento sarebbe corretto.

L’analisi dimensionale richiede una scalatura, chiamata teoria dei modelli, cioè il fattore che scala il modello finale di dimensioni diverse va scelto in modo opportuno e accurato.

Se la lunghezza caratteristica scelta non è davvero tale per il problema, la teoria dei modelli non funziona; quindi esiste un grado di convenzionalità, che però non è un grado di libertà.

Facciamo degli esempi:

1)camino verticale

vogliamo studiare lo scambio termico sulla sua superficie esterna e calcolare il coefficiente di convezione fuori il camino stesso:

Qui è sbagliato considerare come lunghezza caratteristica il diametro D, perché il coefficiente di convezione h cambia in funzione dell’altezza del camino, quindi la lunghezza caratteristica coincide con l’altezza del camino: L=H.

2)convezione forzata

supponiamo di voler raffreddare un oggetto cilindrico caldo; se soffio ortogonalmente all’oggetto la lunghezza caratteristica è il suo diametro D, se soffio longitudinalmente la lunghezza caratteristica non è più il diametro, ma è la lunghezza del cilindro.

3)mattone investito dal vento

Qui la scelta non è banale e si possono adottare diverse tecniche; ad esempio posso considerare come lunghezza caratteristica la diagonale completa del parallelepipedo o anche il libero cammino medio del volume: , dove V e S sono rispettivamente il volume e la superficie dell’oggetto.

In generale è vero che la scelta ha un certo grado di convenzionalità, ma deve sempre essere giustificata da motivi fisici; si deve scegliere la lunghezza caratteristica che rende la formula che si sta ricavando la più aderente possibile ai dati in uso.

Riprendiamo le variabili adimensionali d’ingresso e vediamone l’espressione analitica:

• numero di Reynolds

dove: è la velocità media con cui il fluido viene spinto contro la parete;

in convezione naturale =0, da cui Re=0

è la lunghezza caratteristica

è la viscosità cinematica

• numero di Grashof

dove: è l’accelerazione di gravità

è il coefficiente di dilatazione termica

e sono rispettivamente la temperatura della parete e del fluido

• numero di Prandtl

dove: è la diffusività termica del fluido in esame

In particolare il numero di Grashof assume rilevanza nei problemi di convezione naturale e ciò deriva dal fatto che contiene il coefficiente di dilatazione termica .

Tale coefficiente è dato da

dove (riferendoci a un gas): p è la pressione

v è il volume

T è la temperatura

Le sue dimensioni sono: ; esso dice di quanto varia il volume specifico aumentando la temperatura del gas.

Se il gas è perfetto è facile da calcolare, infatti per i gas perfetti vale che

da cui ricavo

derivando rispetto alla temperatura mantenendo p costante ottengo

cioè in un gas perfetto il coefficiente di dilatazione termica è uguale al reciproco della temperatura assoluta.

Non è però così per tutte le sostanze, ad esempio per l’acqua il valore di è tabellato in funzione della temperatura.

In conclusione ho le 4 grandezze di ingresso del problema, per calcolare il coefficiente di convezione h devo conoscere: , , , , , , , .

Attenzione!

In tutti i casi di scambio termico lo studio è sempre nel fluido, non sul materiale di cui è fatta la parete; lo scambio termico è un fenomeno che accade nel fluido, dentro la parete ho la conduzione.

Perciò tutte le grandezze che stiamo trattando sono relative al fluido.

Una volta note le 4 variabili indipendenti in ingresso a cui associamo dei valori, a noi interessa ricavarne un unico dato in uscita, che è il coefficiente di convezione, il quale non appartiene alle variabili elencate sopra.

A tal proposito il Teorema di Buckingham dice che se abbiamo un quinto valore da calcolare, questo è funzione dei 4 indipendenti; quindi esiste un coefficiente di convezione adimensionale funzione dei 4 valori adimensionali.

Un coefficiente di convezione adimensionale è definito nel modo seguente:

(1)

Abbiamo già visto tale grandezza quando abbiamo definito il numero di Biot rapportando il coefficiente di convezione dentro il fluido con la conducibilità in aria del materiale solido che costituisce la parete; il numero di Biot quindi non dipende solo dalla convezione, ma dipende dal rapporto fra resistenza termica convettiva e resistenza termica conduttiva.

Ora invece ho solo un problema di convezione (non mi interessa quello che accade dentro il materiale) quindi il che compare nel coefficiente di convezione adimensionale non è riferito alla parete ma al fluido.

Il rapporto (1) si chiama numero di Nusselt, cioè

dove: è il coefficiente di convezione

è la lunghezza caratteristica

è la conducibilità del fluido

Il rapporto suddetto è uguale solo formalmente al numero di Biot, infatti Nu dice cosa accade nel fluido, mentre Biot dice cosa accade nel corpo.

In base al Teorema di Buckingham, Nu sarà funzione dei quattro numeri puri precedentemente esposti; non può assumere valori arbitrari, ma fissati i valori dei 4 parametri d’ingresso ha un unico valore, cioè

dove rappresenta un legame funzionale.

Dire che esiste un legame funzionale equivale a dire che esiste un unico "formulino" algebrico con valori numerici fissati e invarianti che lega funzionalmente i 4 input all’unico output.

Il formulino è chiamato soluzione del problema.

Trovare il formulino significa aver risolto un problema fisico per una certa classe.

Ci sarà un range di validità per gli input, nel quale vale il formulino, ad es.

A<Re<B

C<Gr<D

E<Pr<F

e dato un certo campo di validità si ottiene una formula.

Alcune di queste formule sono note; ad esempio per l’acqua che scorre dentro un

tubo la formula si chiama di Dittus-Boelter e dice che

0.4 se il fluido sta venendo scaldato dalla parete

0.3 se il fluido sta cedendo calore alla parete

In tale caso non c’è dipendenza dal posizionatore perché si considera il regime sviluppato, cioè quando la regione d’ingresso è terminata, e non c’è dipendenza dal numero di Grashof perché siamo in convezione forzata.

Vediamo cosa si deve fare per scegliere il formulino più adatto alla risoluzione di un problema.

Un discreto numero di formulini gode di una struttura generalmente del tipo

(2)

che è un prodotto fra fattori adimensionali d’ingresso ciascuno elevato ad un opportuno esponente, con l’aggiunta di un eventuale termine costante.

Con tale formula si coprono tutti i casi di scambio termico.

Se torniamo un attimo alla formula di Dittus-Boelter infatti vediamo che essa ha proprio la struttura suddetta, ove C=0.023, a=0.8, b=0, c=0 .3 o 0.4 e D=0.

Ci sono casi dove alcuni termini della (2) possono essere eliminati.

Innanzitutto esistono due categorie di problemi dove non c’è dipendenza spaziale del coefficiente di convezione.

In generale tale coefficiente non è lo stesso in tutti i punti della superficie ed è proprio a questo che serve il posizionatore; dovrei calcolare il coefficiente di convezione punto per punto, ma sarebbe un procedimento troppo laborioso, quindi possiamo metterci in due situazioni particolari:

1. si aspetta che il regime si sia sviluppato (come accadeva nel caso di Dittus-Boelter).

Se ad esempio consideriamo un tubo dove comincio a fare avvenire lo scambio termico, accade che all’inizio la situazione cambia con la coordinata x, cioè c’è una certa zona d’ingresso, ma da un certo punto in poi c’è il regime sviluppato.

Se mi metto dopo che si è esaurita la regione d’ingresso, posso eliminare la dipendenza spaziale, quindi tolgo dalla (2).

2. L’altro metodo di risoluzione si usa quando sono in regime di ingresso o comunque nell’intorno di un corpo solido investito da un fluido.

Supponiamo ad esempio che il fluido investa una sfera:

Vi sono zone che scambiano calore maggiormente e zone che ne scambiano in misura minore; in particolare i punti a e b sono detti zone di massimo scambio,

mentre i punti c e d sono detti zone di ristagno.

In questo caso il coefficiente di convezione h presenta una forte variabilità spaziale lungo la superficie del corpo.

A noi però, in realtà, serve conoscere solo la quantità complessiva di calore scambiato, quindi posso scrivere

dove: è la quantità di calore scambiata nell’unità di tempo

è il coefficiente di convezione variabile

è la differenza di temperatura

S è la superficie attraverso cui avviene lo scambio termico

Essendo un valore costante posso portarlo fuori dall’integrale e ottenere

ricordando che = o a seconda di quale sia la temperatura maggiore.

A questo punto si può dedurre la definizione di coefficiente di convezione medio e possiamo scrivere

da cui

osserviamo che è indipendente dal punto preso in esame, poiché ho mediato su tutta la superficie.

La conclusione è che posso ancora una volta eliminare dalla (2) perché facendo una media spaziale nessuna grandezza dipende più dallo spazio stesso.

Se in alcuni problemi si dovesse presentare la dipendenza spaziale, o siamo in un regime sviluppato (e ciò semplifica la soluzione) o il risultato è ottenibile mediante la formula

dove è il numero di Nusselt medio, cioè dove compare il coefficiente di convezione medio.

Abbiamo già visto, in maniera empirica e qualitativa, che il numero di Grashof Gr è legato alla convezione naturale, così come il numero di Reynolds Re è legato alla convezione forzata.

Possiamo allora definire il rapporto

come il descrittore del rapporto fra convezione naturale e convezione forzata.

Se tale rapporto è >>1 la convezione è naturale, poiché gli effetti di galleggiamento, e quindi il moto causato dal fatto che il fluido caldo sale e quello freddo scende, sono preponderanti e sappiamo che Grashof è proporzionale alle forze di galleggiamento stesse.

Se viceversa il rapporto è <<1 siamo in convezione forzata, cioè le forze di galleggiamento esplicano effetti trascurabili sia nel caso che il coefficiente sia piccolo (la densità del fluido cambia poco in funzione della temperatura del fluido), sia che sia grande (comunque sovrappongo un campo di velocità forzata dall’esterno tale che le velocità che si svilupperebbero per moto naturale sono trascurabili rispetto a quella imposta dall’esterno).

Si può affermare che la convezione forzata è più facile da studiare di quella naturale, perché nella prima il problema fluidodinamico è disaccoppiato dal problema termico; si risolve una volta per tutte il moto dei fluidi trascurando le piccole variazioni di temperatura, e trovata la relazione in ogni punto si risolve il problema dello scambio termico e del coefficiente h.

In convezione naturale il moto è invece legato allo scambio termico, se non c’è scambio termico non c’è nemmeno il moto.

Esiste inoltre un caso intermedio tale che 1 dove la convezione è di tipo misto.

Dal punto di vista del formulino tutto ciò si traduce nei valori che assumono gli esponenti che compaiono nel formulino stesso.

In particolare quando la convezione è

- naturale: Re non conta, l’esponente a=0; qualunque sia Re, esso è ininfluente sul risultato

- forzata: l’esponente b=0; scompare il numero di Grashof

In convezione naturale il problema è ininfluente dal punto di vista del fattore di scala, cioè della lunghezza caratteristica (ogni quale sia il valore di L lo scambio termico rimane invariato).

Consideriamo ad esempio un pavimento: se questo è più caldo dell’aria dell’ambiente, allora scambia calore con lo stesso, ma lo scambio è indipendente dall’estensione della superficie, quindi la lunghezza caratteristica è irrilevante nel problema.

Ciò vale solo per un particolare valore dei coefficienti: innanzitutto Re=0 perché siamo in convezione naturale, e in generale l’equazione è della forma:

sostituendo ai numeri puri le loro espressioni analitiche si ottiene:

(3)

Problema: se vogliamo che L scompaia dall’equazione, quale valore deve assumere l’esponente b?

Diciamo che esiste un unico valore di b che rende vero ciò e tale valore è b=1/3.

Se b=1/3, nell’equazione (3), si semplifica con L a primo membro; fisicamente dico che lo scambio termico non dipende dalla dimensione della superficie.

Se invece prendiamo ad es. b=1 e aumentiamo la superficie (supponiamo di raddoppiare L) il coefficiente di convezione h aumenta; in generale se b>1/3 lo scambio termico è vivacizzato all’aumentare della dimensione della superficie dell’oggetto; è come dire che il coefficiente di scambio che si sviluppa in un tubo

grande è maggiore di quello che si sviluppa in un tubo più piccolo, a parità di tutte le altre grandezze.

OSS: non ci sono casi di convezione forzata per b<0.33.

In aria, in generale nei gas perfetti, accade che in convezione naturale b=c, quindi posso moltiplicare fra loro Gr e Pr ed elevare tale prodotto allo stesso esponente.

Così facendo si ottiene un nuovo numero, detto numero di Rayleigh, dato da

La convezione naturale in aria è quindi definita da una semplice formula:

dove e=b=c=0.33.

Ma quanto vale l’esponente c?

Esso dipende dal fatto che la superficie sia orizzontale o verticale e dal fatto che la stessa sia più calda o più fredda dell’aria; facciamo degli esempi:

1)pavimento più caldo dell’aria

qui c vale 0.14; è una condizione di scambio termico particolarmente agevole, vivace.

Ciò è vero in due casi: quando la superficie è sotto (pavimento) ed è più calda dell’aria o quando la superficie è sopra (soffitto) ed è più fredda dell’aria.

E’ comunque una situazione identica dal punto di vista dello scambio termico perché l’aria che scambia calore con la superficie ne ritrae una variazione di densità che tende ad allontanarla dalla superficie stessa.

2)pavimento più freddo dell’aria

in tal caso ho una sorta di stratificazione, ma l’aria non tende a muoversi perché quella fredda diventa più densa e rimane incollata al pavimento.

3)superficie calda posta in aria più fredda

anche qui ho una stratificazione dell’aria; a contatto con la parete si stabilizza uno strato di aria più calda che essendo tale rimane ivi incollata.

In tal caso c=0.07, cioè è una situazione dove la convezione naturale non si innesca perché non si verifica lo spostamento in alto dell’aria calda e quello in basso dell’aria fredda.

4)parete verticale

è irrilevante la temperatura dell’aria rispetto a quella della parete stessa e c vale 0.13.

Tutto quanto detto finora vale però solo per un determinato regime di moto, che è il regime turbolento.

Sorge un problema: come faccio a sapere se il moto è laminare o turbolento in convezione naturale, dove non ho il numero di Reynolds?

Mi manca un descrittore numerico semplice del regime del moto.

In generale il piano dei casi è diviso nel seguente modo:

dove: L indica regime laminare

F indica convezione forzata

N indica convezione naturale

T indica regime turbolento

Nella maggior parte dei casi, quando la convezione è naturale allora il regime è laminare e quando la convezione è forzata il regime è turbolento.

Quando la convezione è forzata non ci sono difficoltà a capire se il moto è laminare o turbolento perché il descrittore di turbolenza è il numero di Reynolds.

In convezione naturale, invece, il descrittore che permette di separare regime laminare e regime turbolento, cioè il numero che assolve le funzioni del numero di Reynolds, è il numero di Rayleigh.

Il valore critico del numero di Rayleigh è

se Ra < il moto è laminare

se Ra > il moto è turbolento.

Concludendo possiamo allora affermare:

che il moto sia laminare o turbolento fa cambiare i valori numerici nei formulini;

che la convezione sia naturale o forzata fa comparire o meno i numeri di Reynolds e di Grashof nella formula generale (2).