Le superfici alettate sono utilizzate per aumentare lo scambio termico in modo poco costoso quando in un sistema complesso c’è un anello debole come la convezione naturale in aria. In particolare vengono impiegate per raffreddare dispositivi elettronici quali transistori di potenza, microprocessori, televisori.

Fig.1 – Vista di Superfici Alettate nello Spazio.

Fig.2 – Singola Aletta in Sezione.

Nella trattazione seguente considereremo solo alette con sezione rettangolare poiché risultano più facili da studiare, ma ricordiamo che ne esistono anche altre di forma diversa ed a volte più efficaci che presentano però un’analisi difficile (vengono studiate per via numerica).

Nel nostro studio facciamo le seguenti ipotesi semplificative:

• Trascuriamo la quantità di calore scambiata dalla punta . Tale ipotesi è dettata dal fatto che lo spessore dell’aletta è di solito molto più piccolo rispetto alla sua lunghezza.
• Teniamo conto di una certa resistenza di contatto R_c tra la superficie su cui poggia l’aletta e la base dell’aletta stessa. Tale resistenza nasce dal fatto che le alette non fanno parte della struttura iniziale del dispositivo ma vengono aggiunte in un secondo tempo sulla sua superficie (per esempio tramite saldatura).
• Trascuriamo l’effetto frenante delle alette sul moto dell’aria.

Vediamo allora di studiare la variazione di temperatura e la variazione di flusso scambiato al variare della distanza dalla superficie di contatto di una singola aletta. Nella seguente figura, fig. 3, riportiamo in ordinata la temperatura T(x) dell’aletta ed in ascissa la distanza x dalla superficie da raffreddare. Ovviamente si ha un abbassamento della temperatura a partire da T_P (temperatura di parete) fino ad arrivare progressivamente a T (temperatura dell’ambiente circostante).

Fig.3 – Andamento della Temperatura in funzione della Distanza.

La distanza x in corrispondenza della quale la temperatura raggiunge un valore pari a T è la lunghezza ottimale L. Non è conveniente usare alette più lunghe di L poiché fanno da freno al moto dell’aria.

In realtà il grafico della temperatura non parte da T_P ma da un valore inferiore a causa della presenza della resistenza di contatto R_c.

Anche la densità di flusso termico scambiato è più grande vicino alla superficie di contatto e diminuisce allontanandoci da questa.

Per studiare il fenomeno, visto che non conosciamo a priori come varia la temperatura in funzione della distanza, consideriamo un tratto infinitesimale lungo dx. La situazione si presenta in questo modo:

Fig.4 – Scambio Termico su un Tratto Infinitesimo.

: potenza termica che entra per conduzione.

: potenze termica che esce per conduzione.

s: spessore

dx : lunghezza del tratto infinitesimo

A regime il calore in entrata deve essere uguale a quello in uscita :

(1)

Utilizziamo ora la legge di Fourier per esprimere il calore in corrispondenza delle distanze x e x+dx :

e (2)

l è la conducibilità del materiale di cui è fatta l’aletta.

La seconda delle (2) è stata ottenuta attraverso lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al I ordine della funzione q(x). I flussi di calore si trovano moltiplicando q(x) per la superficie . Per semplificare i calcoli abbiamo preso B=1m, quindi nelle formule successive non faremo comparire la dimensione B ricordando di inserire le unità di misura corrette di volta in volta.

(3)

Ora andiamo a riscrivere il bilancio (1) inserendo i valori trovati attraverso le relazioni (2) e (3) di e :

(4)

Il calore deriva da un puro scambio termico convettivo:

(5)

h è il coefficiente di convezione.

Sostituendo ora il valore dell’espressione (5) nell’equazione (4) otteniamo :

(6)

Il termine dx compare in entrambi i membri quindi possiamo toglierlo e riscrivere la (6) nel seguente modo :

(7)

La (7) è un’equazione differenziale a variabili separabili di II grado.

Facciamo ora le seguenti posizioni :

e riscriviamo la (7) nella nuova funzione variabile q :

(8)

L’equazione (8) ha la stessa forma dell’equazione di Helmots trovata per le onde acustiche quindi presenta la stessa soluzione generale :

In questo caso, m² è un coefficiente per costruzione sempre maggiore di 0 , quindi la sua radice quadrata è ancora positiva e di conseguenza la soluzione è la somma di due funzioni esponenziali non oscillanti.

(Ricordiamo che nel caso delle onde acustiche il coefficiente m² è negativo ed m è un numero immaginario quindi la soluzione è pari alla somma di due funzioni esponenziali smorzate oscillanti).

Per trovare le soluzioni particolari imponiamo le due condizioni al contorno in x=0 ed in x=L.

1. x=0

se non considerassimo la resistenza di contatto R_c avremmo :

 



 

ma tenendo conto anche della R_c otteniamo :

 

(10)



 

2. x=L

Dalle condizioni (10) e (11) otteniamo un sistema di due equazioni e due incognite che ci permette di trovare le costanti A e B indicate nella soluzione generale (9). Omettendo i passaggi intermedi scriviamo direttamente le espressioni di A e B :

(12)

Inserendo la soluzione trovata di q e la sua derivata seconda nell’espressione di partenza (8), si arriva alla seguente formula finale :

(13)

la quale ci permette di trovare la temperatura in funzione della distanza dalla superficie di contatto.

Tale formula si trova sui libri ma nella pratica non la si usa poiché più che analizzare la temperatura su tutta la superficie, serve sapere la variazione di scambio termico che si ottiene inserendo l’aletta rispetto alla situazione iniziale quando l’aletta non è ancora stata aggiunta.

Definiamo il seguente rapporto :

: flusso termico ottenuto con l’aletta

e svolgendo l’integrale si arriva a :

(14)

: flusso termico ottenuto senza aletta

Svolgendo il rapporto tra la (14) e la (15) e semplificando l’espressione trovata si arriva alla seguente relazione :

sempre (16)

G è dunque l’incremento di scambio termico sulla porzione di spazio occupata dall’aletta.

Definiamo un altro rapporto :

: Efficienza dell’aletta

è lo stesso flusso termico definito sopra e la potenza termica che si otterrebbe se tutta l’aletta fosse alla stessa temperatura di parete T_P (aletta che non perde temperatura).

(17)

Tale valore è anche quel valore di che fornisce il massimo valore del guadagno G_MAX.

Facendo allora il rapporto tra la (14) e la (17) si ottiene :

(18)

Si può anche esprimere il guadagno in funzione dell’efficienza :

(19)

Leggendo l’espressione (19) si vede che conviene utilizzare alette lunghe e sottili, ma diminuendo troppo il loro spessore, l’efficienza e_A assume valori molto piccoli e di conseguenza si abbassa anche il guadagno G (l’efficienza è al numeratore, mentre lo spessore è al denominatore).

Prendiamo il caso particolare di un’aletta avente lunghezza L pari al suo spessore s (figura 5).

Fig.5 – Aletta Tozza avente L=s.

Dalla formula (19), essendo L=s, e supponendo di avere un’aletta senza perdite di temperatura con efficienza e_A=1, si ottiene un guadagno G pari a 2. Analizzando però la figura 5 e sommando i contributi delle tre superfici dell’aletta a contatto con l’aria si dovrebbe ottenere un guadagno G pari a 3. Tale differenza di risultati è dovuta al fatto che utilizzando la formula (19), abbiamo implicitamente trascurato il calore scambiato dalla punta .

Per far comparire il contributo del calore sostituiamo ad L la nuova lunghezza in tutte le relazioni precedentemente trovate. In particolare il guadagno G diventa:

(20)

Fig.6 – Metodo Grafico per ottenere L’.

Fino ad ora abbiamo analizzato il contributo dovuto ad una sola aletta, ora invece cerchiamo delle relazioni (in particolare del guadagno G_TOT e dell’efficienza e_TOT) che tengano conto del contributo totale di un certo numero di alette montate su una superficie (figura 7).

Fig.7 – Superficie con N alette

N : numero di alette applicate

S_TOT : superficie totale senza alette

S₁, S₂, …, S_N : superficie di ogni aletta

La potenza scambiata totale si può esprimere come somma di due contributi (quello dovuto alla superficie libera e quello dovuto alla superficie occupata dalle alette):

(21)

Per trovare q_al ricorriamo alla definizione del guadagno G data precedentemente

quindi

Sostituendo a G l’espressione (20) si trova :

(22)

e tornando all’espressione (21) della potenza scambiata totale :

Da qui posso trovare il guadagno G_TOT e l’efficienza e_TOT :

(24)

(25)

Nelle seguenti figure sono illustrati i grafici che ci forniscono l’efficienza e_A di alette di forma diversa.

Fig.8 – Efficienza di Alette rettangolari e Triangolari

Fig.9 – Efficienza di Alette Circonferenziali a Sezione Trasversale Rettangolare

Sui grafici compare un simbolismo diverso ed in particolare :

Esercizio: Raffreddamento della CPU di un Calcolatore

Una CPU di superficie quadrata (L=50mm) dissipa una potenza di 20W nell’ambiente (avente temperatura pari 20°C).

• trovare a che temperatura si porta.
• progettare un’opportuna alettatura per abbassarne la temperatura.

Rispondiamo alla I domanda :

Fig.10 – CPU libera (senza alette)

Si tratta di un caso di convezione naturale in aria e di irraggiamento termico :

Innanzitutto troviamo il coefficiente di convezione h :

g=9.81m/s² è l’accelerazione di gravità

L=0.05m è il lato della superficie quadrata

DT è la variazione di temperatura

n= 16^.10^-6m²/s è la viscosità cinematica dell’aria

Gr è il numero di Grashof

Prendendo una temperatura di tentativo T_P=100°C otteniamo una temperatura media ed un valore :

Inoltre il numero di Prandtl è pari a circa Pr=0.71, quindi :

Tale valore è molto minore di 10⁹ quindi ci troviamo in una situazione di moto laminare e guardando sulle tabelle ricaviamo la seguente formula che ci fornisce il valore del numero di Nusselt, Nu :

Dal numero di Nusselt ricaviamo allora il coefficiente di convezione h :

l=0,03 W/mK è la conducibilità termica dell’aria

Resta da determinare ora il coefficiente di irraggiamento h_irr :

è la costante di Stefan-Boltzmann

Quindi

La potenza termica scambiata è data da :

quindi si ricava la temperatura a cui si porta la superficie della CPU :

Tale temperatura è troppo alta e causerebbe il bruciamento dei componenti.

Rispondiamo alla II domanda :

Applichiamo sulla superficie della CPU delle alette di alluminio lunghe 20mm, con uno spessore di 3mm e spaziate 3mm l’una dall’altra.

Fig.11 – Applicazione di Alette di Alluminio sulla CPU

Per trovare l’efficienza dell’aletta andiamo a leggere sul grafico della figura 8 l’ordinata corrispondente al seguente valore in ascissa :

A tale valore corrisponde un’efficienza e_A=0.93.

Il numero totale di alette applicabili su un quadrato di lato 5mm è :

Adoperiamo la formula (23), che riscriviamo qui sotto portando a I membro la temperatura incognita T_P, per trovare la nuova temperatura a cui si porta la superficie :

e ricaviamo i valori che ci servono :

A questo punto andiamo a sostituire ed otteniamo :

Temperatura molto più bassa rispetto a quella in aria libera.

Nota : Occorre ricordare che tutti i calcoli sono stati svolti trascurando l’effetto frenante delle alette sul moto dell’aria quindi in realtà la temperatura reale sarà più alta di quella trovata sopra.