"Coefficiente" di convezione

Nel lavoro svolto in precedenza abbiamo già definito il coefficiente di convezione "h" tramite la relazione:

dove:

• rappresenta la potenza termica di natura convettiva, ovvero la quantità di calore  scambiata nell'unità di tempo.
• rappresenta la superficie attraverso cui avviene lo scambio termico
• 

In realtà h non è propriamente un coefficiente. Nella sua concezione più generale "coefficiente" è sinonimo di numero puro, mentre h come compare nella (1) non è affatto un numero puro, ma è piuttosto una grandezza dimensionata, vale a dire dotata di unità di misura.

Inoltre h non è una costante, dipendendo, come vedremo, da tutte le variabili dello scambio termico ed è dunque, a tutti gli effetti, una variabile, e non una costante numerica, come il termine "coefficiente" potrebbe indurci a credere.

Utilizzo della teoria dei modelli

Nell’analisi dei problemi di scambio termico per convezione viene utilizzata la teoria dei modelli. Di cosa si tratta?

Prendiamo in considerazione un corpo (fig 1) immerso in un fluido inizialmente a temperatura .

Quando il solido viena immerso nel fluido, nella vicinanza della parete notiamo il formarsi di una zona (fig 2) in cui la temperatura varia secondo un profilo che parte dalla temperatura  della parete e tende alla temperatura  del fluido lontano dal solido.

Si chiama strato limite termico il punto in cui la temperatura del fluido raggiunge il 99% della temperatura .

Ricordiamo allora come avevamo definito a suo tempo lo strato limite dinamico nel caso di un solido immerso in un fluido in moto a velocità . Si trattava del punto in cui la velocità del fluido perturbato dalla presenza del solido tornava al 99% di .

Esaminiamo il caso di una lastra piana (fig 3) a temperatura  immersa in un fluido a temperatura  e a velocità  che la investe longitudinalmente.

Definendo ora la velocità adimensionale

e la temperatura adimensionale

osserviamo che lo strato limite in entrambi i casi si può definire come il luogo dei punti in cui la grandezza adimensionale arriva al valore 0,99.

Così a distanza nulla dalla lastra la grandezza adimensionale varrà 0 e a distanza infinita varrà 1.

Sotto determinate condizioni, il profilo dei due strati limite può coincidere, ed in particolare, i due problemi (termico e dinamico) in forma adimensionale, sono risolubili tramite la stezza formula matematica.

Allo stesso modo è possibile ricondurre altri problemi di tipo termodinamo e fluidodinamico alla stessa formula risolutiva. Si tratta di esaminare i problemi di partenza in forma adimensionalizzata e riconoscere quali sono i cosidetti "simili".

Quindi la teoria dei modelli ci dice che problemi simili sono risolubili cono lo stesso modello matematico.

Analisi dimensionale

Si rende quindi necessario trovare il modo di scrivere equazioni matematiche senza grandezze dimensionali, in modo che la soluzione rimanga sempre la stessa indipendentemente dal problema fisico. Occorre mettere nella scala giusta il problema simile a quello da cui si è tratta l’equazione.

Generalmente si prende un problema di scambio termico e lo si mette in similitudine con quello fluidodinamico. Abbiamo già visto in acustica la similitudine tra i problemi che si presentavano e i circuiti elettrici.

Ovviamente per ogni classe di problema (forme diverse: cilindri ,coni ecc..; moti diversi: laminari, turbolenti) va risolto il problema di partenza.

I problemi base sono in genere sempre gli stessi. Si tratta di circa 35 casi diversi senza contare quelli un po’ più originali.

E’ importante imparare a maneggiare i casi più comuni e imparare a trattarli velocemente, come si fa in matematica con gli integrali notevoli.

Il 95% dei casi sono tabulati e vengono studiati spesso, al punto che sono ormai completamente risolti. Fuori da questi casi occorre fare prove di laboratorio nelle camere climatiche per lo scambio termico per convezione, cosi come si fa nelle gallerie del vento per le perdite di carico e in tutti i casi in cui non è possibile realizzare un modello matematico ragionevolmente semplice per analizzare un sistema.

Le aziende necessitano di molti dati precisi in questo campo, e questo impone molto lavoro di ricerca, studi sulla correlazione e l’analisi degli errori ecc.

In questo campo a differenza di irraggiamento e conduzione ormai già quasi completamente risolti, il lavoro da fare è ancora molto.

Si cerca quindi in generale di scrivere un problema matematico che correla un numero ridotto di variabili adimensionali.
 
 

Teorema di BUCKINGHAM:

il numero di variabili (raggruppamenti) adimensionali necessarie a descrivere un fenomeno fisico è il numero di variabili fisiche, meno il numero di equazioni.

Si tratta in pratica dell’equivalente della regola delle fasi di GIBBS:

N° di var. indipendenti = N° di var. – N° di legami.

Nella maggior parte dei casi con Buckingham il numero di relazioni che lega le grandezze fisiche è comunque grande, ma il numero di raggruppamenti adimensionali che contano nel problema è 4.

Così come succede in termodinamica, dove occorrono due variabili indipendenti per definire lo stato del problema.

In generale ci possono essere n condizioni di similitudine che producono  m risultati in forma adimensionale con n e m numeri grandi a piacere. Più complesso è il problema più grande sarà il numero delle condizioni di similitudine necessarie per definirlo e più grande sarà il numero delle variabili in uscita intese come risultato. Quindi, mentre nel moto dei fluidi abbiamo visto le cose da un punto di vista meno ampio, senza l’ausilio di una struttura formale, avendo ricavato alcuni risultati dal punto di vista intuitivo, ora che ci occupiamo del problema dello scambio termico in cui entrano in gioco molte più variabili, abbiamo bisogno di uno strumento potente che possa ampliare il nostro punto di vista per possedere in pieno il problema, e questo ci è permesso dall’introduzione di un potente strumento formale costituito dalla teoria dei modelli.

Quello che dobbiamo trovare per risolvere il problema di tipo termico, che è senz’altro uno dei più complessi, è un set di condizioni di similitudine che producono i risultati cercati. Le condizioni di similitudine, come accadeva per il numero di Reynolds nel caso del problema fluidodinamico, sono, anche nel caso del problema dello scambio termico, espresse da una serie di numeri puri, cioè raggruppamenti adimensionali, che assumono il nome degli scienziati che li hanno introdotti. Tutte le volte che due problemi diversi avranno lo stesso valore di questi numeri puri in ingresso, troveremo in uscita lo stesso valore dei numeri puri risultato.
 
 

Prendiamo allora quattro parametri adimensionali che caratterizzano i problemi di scambio termico per convezione. Essi sono:

Il Numero di Reynolds Re

Il Numero di Grashoff Gr

Il Numero di Prandtl Pr

Il posizionatore adimensionale X/L

Dove X rappresenta la coordinata del punto e L la lunghezza caratteristica.

All’interno della problematica dello scambio termico per convezione , le prime condizioni di similitudine che devono essere rispettate sono per la prima parte quelle stesse che devono essere rispettate per il problema fluidodinamico. Tra le condizioni di similitudine troviamo allora il numero di Reynolds e un valore geometrico che descrive la geometria del problema.

Il numero di Reynolds

Nel caso del moto dei fluidi avevamo un’unica condizione di similitudine rappresentata dal numero di Reynolds (simbolo ) al quale corrispondeva un unico risultato rappresentato da:

• Il fattore di attrito  se studiavamo il moto del fluido entro dei condotti
• Il coefficiente(o ,o 

Facendo riferimento al moto dei fluidi questo si traduce nel dire che se due problemi diversi hanno lo stesso numero di Reynolds avranno lo stesso valore del fattore di attrito . Allora l’applicazione della teoria dei modelli è molto semplice.

Notiamo, per inciso, che e pur essendo stati storicamente sviluppati nell’ambito di due discipline scientifiche completamente diverse (dal momento che xè derivato da studi di idraulica mentre il coefficiente è stato introdotto in aerodinamica) sono da considerarsi come grandezze adimensionali sostanzialmente simili.

A conferma di questo, tra le due grandezze esiste la seguente relazione che non vogliamo dimostrare:

Vogliamo piuttosto sottolineare che la (5) è stata introdotta 50 anni dopo che le due grandezze erano state definite nell’ambito di due settori disciplinari molto lontani. Idraulica e aerodinamica vi sono stati presentati come argomenti della fluidodinamica , ma storicamente sono rami della tecnica dei quali si occupavano e si occupano scienziati e professionisti diversi che adoperano linguaggi e stili di risoluzione dei problemi diversi. Se infatti si prende in mano un libro di idraulica e lo confronta con un libro di aerodinamica, aerotecnica o aeromodellismo sono in essi utilizzati linguaggi , notazioni, equazioni e simboli apparentemente diversi, poiché gli autori che li hanno scritti provengono da scuole scientifiche diverse. Tuttavia i libri in questione dicono le stesse cose poiché la fisica del moto dei fluidi che vi sta dietro è sempre la stessa.

Questa diversità di linguaggio ha comportato la definizione di due numeri puri che hanno lo stesso significato fisico, nei rispettivi campi e che differiscono fra loro di un fattore 4, il che nasconde l’idea dell’intrinseca descrizione dello stesso fenomeno.

La similitudine geometrica

L’altra condizione di similitudine che entra nella fluidodinamica è la similitudine geometrica. Consideriamo problemi diversi con la stessa geometria, come ad esempio due tubi entrambi tondi, o due automobili di dimensioni diverse, ma con la stessa forma o aerei con la stessa forma in scale diverse.

Nel caso di tubi tondi si definiva un fattore di forma geometrico espresso dal rapporto adimensionale  che avevamo indicato con il nome di scabrezza relativa.

Anche questo rapporto rientra a buon diritto tra le condizioni di similitudine . Se il tubo tondo originale è liscio , il modello riprodotto in scala deve essere liscio perché i risultati sperimentali ottenuti lavorando sul modello si accordino perfettamente con quelli che si otterrebbero utilizzando il tubo originale. Se il tubo tondo è scabro, il modello e il prototipo, devono avere la stessa scabrezza relativa per dar luogo allo stesso fattore di attrito.

Il problema in questo caso è la determinazione della lunghezza caratteristica, infatti se il problema di base è stato risolto usando come L.C. il diametro di un cilindro, per poter risolvere il nostro problema con la stessa formula matematica, dobbiamo usare lo stesso tipo di L.C.

Se scegliamo male la lunghezza caratteristica, la teoria dei modelli non funziona. Non solo nell’utilizzo di un modello già studiato, ma anche nella creazione di un nuovo modello. Se ad esempio (fig 4) prendiamo un camino verticale che scambia claore con l’ambiente attraverso le pareti, osserveremo che la lunghezza caratteristica non è il diametro, quanto piuttosto la lunghezza.

Nel caso del parallelepipedo di fig 5 la scelta non è banale e si può procedere in diversi modi; ad esempio posso considerare come lunghezza caratteristica la diagonale del parallelepipedo o anche il libero cammino medio del volume , con V volume e S superficie dell’oggetto.
 
 

Il numero di Grashof

Definiamo il numero di Grashof (simbolo Gr ) con la relazione :

dove:

• g è l’accelerazione di gravità
• D è la dimensione caratteristica del problema che va elevata al cubo
• è la differenza di temperatura tra la parete del tubo e il fluido all’infinito lontano dalla parete stessa.
• è il coefficiente di dilatazione termica di cui abbiamo già parlato
• v è la viscosità cinematica del fluido.

Il coefficiente di dilatazione termica  è dato da

dove (in un gas):

• p è la pressione
• v è il volume
• T è la temperatura

Se il gas è perfetto  è facile da calcolare, infatti per i gas perfetti vale che

segue che

derivando rispetto alla temperatura mantenendo p costante ottengo

Attenzione. Questo risultato è valido solo per i gas perfetti. Per l’aqua per esempio il valore del coefficiente  è tabellato.

Una delle interpretazioni del numero di Reynolds

Abbiamo appena accennato al fatto che il numero di Grashof è legato alla convezione naturale. Ci chiediamo a questo punto se è possibile dare un interpretazione simile per il numero di Reynolds. Ricordiamo l’espressione già nota del numero di Reynolds:

Dal momento che nella (11) compare esplicitamente l’espressione w della velocità del fluido, che è in generale una velocità imposta dall’esterno da una causa di moto, appare evidente che il numero di Reynolds è strettamente legato alla convezione forzata .

In generale il numero di Reynolds e il numero di Grashof esprimono le azioni forzanti del fenomeno: il primo esprime il legame con un’azione di tipo forzato dovuto alle forze esterne, che non ha nulla a che vedere con lo scambio termico; l’altro esprime il legame con un’azione di tipo naturale causata dallo scambio termico stesso.

Il numero di Prandtl
 
 

Infine l’ultimo raggruppamento adimensionale che fa parte delle condizioni di similitudine del problema dello scambio termico è il numero di Prandtl

Definiamo il numero di Prandtl (simbolo ) con la relazione :
 
 

dove:

• [ leggi : "ni" ] rappresenta la viscosità cinematica.
• 

Abbiamo già notato nelle precedenti lezioni che  e  hanno la stessa unità di misura espressa in  e dunque il loro rapporto è un numero puro.

Ricordiamo che quando avevamo studiato lo strato limite dinamico, il caso notevole della lastra piana orizzontale investita dal vento ci aveva permesso di fare alcune considerazioni sul significato fisico della viscosità cinematica . Analogamente, quando avevamo studiato lo strato limite termico, questo era stato lo spunto per fare delle considerazioni sul significato fisico della diffusività  .

Il rapporto  è sostanzialmente il rapporto tra la velocità di sviluppo dello strato limite dinamico e la velocità di sviluppo dello strato limite termico.

Quando un fluido investe un corpo come nell’esempio del vento che lambisce una lastra piana di taglio, si sviluppano contemporaneamente, da entrambi i lati della lastra piana uno strato limite dinamico e uno strato limite termico. In generale non è vero che lo strato limite dinamico coincida con lo strato limite termico, anzi quest'ultimo caso costituisce un caso limite molto particolare.

Il numero di Nusselt

Ora che abbiamo queste quattro variabili adimensionali il teorema di Buckingham ci dice che se ne prendiamo un’altra questa è sicuramente derivabile dalle prime quattro.

Una forma del coefficiente di convezione opportunamente adimensionalizzato è il numero di Nusselt. Esso è scritto nella stessa forma del numero di Biot, ma a differenza di quest’ultimo, la "lambda" che vi compare è la conducibilità nel fluido e non nella parete. Questo perché lo scambio termico per convezione avviene solo nel fluido. Nel solido se ho scambio termico lo ho per diffusione.

Il numero di Nusselt (simbolo Nu ) è espresso dalla relazione:

dove:

• h è il coefficiente di convezione
• D è la grandezza caratteristica del problema in cui operiamo
• 

Secondo il Teorema di Buckingham quindi:

dove  rappresenta un legame funzionale.

Dire che esiste un legame funzionale equivale a dire che esiste un unico "formulino" (soluzione del problema) algebrico con valori numerici fissati e invarianti che lega funzionalmente i 4 input all’unico output.

Trovare il formulino significa aver risolto un problema fisico per una certa classe.

Ci sarà un range di validità per gli input, nel quale vale il formulino (A<Re<B ,C<Gr<D ecc..).

Alcune di queste formule sono molto usate, come quella di Dittus-Boelter , valida per nel caso di un tubo cilindrico:

dove x prende il valore:

• 0.4 se il fluido sta ricevendo calore dalla parete
• 0.3 se il fluido sta cedendo calore alla parete

In questo caso non c’è dipendenza dal posizionatore perché si considera il regime sviluppato, cioè quando la regione d’ingresso è terminata, e non c’è dipendenza dal numero di Grashof perché siamo in convezione forzata.

Scelta del formulino

Si pone quindi il problema di scegliere il formulino giusto per la risoluzione del nostro problema.

La maggior parte dei formulini ha questa struttura:

dove D è un eventuale termine costante.

Ci sono casi particolari dove posso eliminare alcuni dei termini della (15). In particolare ci sono due tipi di problemi dove non c’è la dipendenza spaziale.

Nel primo caso mi metto in regime completamente sviluppato. Ad esempio in un tubo (come per Dittus-Boelter) sto lontano dalla regione di ingresso, dove posso considerare la temperatura indipendente da x e quindi pongo uguale a 1.

L’altra tipologia di problema è quella che si presenta quando sono in regime di ingresso o nell’intorno di un corpo solido investito da un fluido.

Supponiamo ad esempio che il fluido investa una sfera:

Vi sono zone che scambiano calore maggiormente e zone che ne scambiano in misura minore; in particolare i punti c e d sono detti zone di massimo scambio, mentre i punti a e b sono detti zone di ristagno.

In questo caso il coefficiente di convezione h presenta una forte variabilità spaziale lungo la superficie del corpo.

A noi però, in realtà, serve conoscere solo la quantità complessiva di calore scambiato, quindi posso scrivere

semplificando poi l’integrale

Dove abbiamo inserito il concetto di coefficiente di convezione medio:

Anche in questo caso il termine  viene posto uguale ad 1 nella (15) perché facendo una media spaziale nessuna grandezza dipende più dallo spazio stesso.

Se in alcuni problemi si dovesse presentare la dipendenza spaziale, o siamo in un regime sviluppato (e ciò semplifica la soluzione) o il risultato è ottenibile mediante la formula
 
 

Convezione naturale o forzata

Definiamo descrittore del rapporto fra convezione naturale e convezione forzata:

Si presentano tre casi:

>>1 la convezione è naturale, perché gli effetti di galleggiamento, sono preponderanti e sappiamo che Grashof è proporzionale alle forze di galleggiamento stesse.

1 dove la convezione è di tipo misto.

<<1 siamo in convezione forzata. Qui il moto del fluido risente minimamente delle forze di galleggiamento, per cui si possono risolvere i problemi separando l'aspetto fluidodinamico da quello dello scambio termico.

Nei tre casi otteniamo valori diversi degli esponenti da mettere nella formula per il calcolo del numero di Nusselt.

In convezione naturale a=0 (Re ininfluente)

In convezione forzata b=0 (Gr ininfluente)

Nel caso misto non posso dire nulla a priori se non che a e b sono diversi da zero.

Inoltre in convezione naturale il problema è ininfluente dal punto di vista del fattore di scala, cioè della lunghezza caratteristica.

Esempio

Consideriamo ad esempio un pavimento: in questa situazione la superficie del pavimento non è influente.

Ci poniamo in convezione naturale. Cosi Re diventa ininfluente

sostituendo ai numeri puri le loro espressioni analitiche si ottiene:

Se b=1/3, nell’equazione (*), lo scambio non dipende più dalla superficie in esame.

Se invece prendiamo valori di b>1/3 lo scambio termico è vivacizzato all’aumentare della dimensione della superficie dell’oggetto.

Osservazione: non ci sono casi di convezione forzata per b<0.33.

Nei gas perfetti in generale b=c per la convezione naturale, quindi, avendo lo stesso esponenteposso moltiplicare tra loro Gr e Pr.

Allora definiamo il Numero di Rayleigh

In un gas perfetto quindi:

Bisogna però distinguere alcuni casi particolari:

Superficie sotto più calda dell’aria (o sopra più fredda):

L’aria a contatto con il pavimento si scalda e sale. c=0.14.

Lo scambio termico è vivace.

Superficie sotto più fredda dell’aria (o sopra più calda):

L’aria tende a stratificarsi perché a contatto col pavimento si raffredda e rimane in basso.

Superficie verticale

è ininfluente la temperatura dell’aria rispetto a quella della parete stessa e c=0.13.

Tutto quanto detto finora vale però solo per un determinato regime di moto, che è il regime turbolento.

Ma il problema è che non siamo in grado di determinare il tipo di moto se non abbiamo il numero di Reynolds.

Esaminiamo allora i quattro casi che si possono presentare:
 
 
 
 

dove

• L regime laminare
• T indica regime turbolento
• F indica convezione forzata
• N indica convezione naturale

Nel caso di convezione forzata mi baso sul numero di Reynolds per determinare il tipo di moto.

In convezione naturale invece uso il numero di Rayleigh.
 
 

Il valore critico per Reynolds tra 2300 e 500.000 (a seconda dei casi)

Il valore critico del numero di Rayleigh è circa 1.000.000.000 ()

se Ra <  il moto è laminare

se Ra >  il moto è turbolento.