Anno accademico 1999-2000
Corso di laurea : ingegneria elettronica
Corso di fisica tecnica
Docente del corso : prof. Angelo
Farina
Giovanna Chizzoni – matricola 88385
Lezione del 10/01/2000 16:30 – 18:30
TRANSITORIO TERMICO
1. INTRODUZIONE
In campo ingegneristico, lo studio e la risoluzione di quesiti viene affrontato attraverso un’analisi matematica che purtroppo si discosta dalla richiesta delle soluzioni dei problemi affrontati quotidianamente.
Un’analisi reale di tutte le proprietà che descrivono il sistema , generalmente, si presenta in maniera troppo complicata e per la maggior parte dei casi irresolubile.
Anche lo Scambio Termico in regime
stazionario, a causa delle complessità delle condizioni di contorno
(non uniformità della temperatura, superfici irregolari, trattazioni
bi-tridimensionali), non consente di utilizzare una soluzione analitica,
ma richiede l’uso dell’equazione di Fourier alle differenze finite.
2. TRATTAZIONE NUMERICA
FINITA
Il transitorio termico, cioè
l’evoluzione nel tempo del sistema, è analizzabile con rigore dall’equazione
di Fourier :
In regime stazionario, la forma dell’equazione di Fourier applicata ad una lastra monodimensionale si riduce a
Per via analitica questa relazione
non é esplicabile .Per far fronte a queste difficoltà ci
si limita a studiare le soluzioni numeriche attraverso due metodologie
differenti :
A-ELEMENTI FINITI
B-DIFFERENZE FINITE
Questo metodo non viene analizzato
per la sua complessità, infatti solo una variabile é discretizzata,
l’altra rimane in forma continua .
2.B DIFFERENZE FINITE
Questo metodo é facilmente eseguibile su un foglio di calcolo di tipo excel. Si basa su una discretizzazione dello spazio geometrico utilizzando celle regolari.
Fig. 1- esempio di suddivisione
di uno spazio in celle regolari.
Risulta facilmente spiegabile l’associazione di una matrice con i suoi elementi ad una lastra piana suddivisa in modo regolare da celle ,chiamate nodi, che contengono informazioni riguardanti la massa o la temperatura .
Il metodo delle differenze finite
fa ricorso alla discretizzazione di tutte e due le variabili; viene di
seguito riportata la trattazione di un transitorio termico, che non essendo
risolvibile analiticamente, utilizza questo metodo.
3.TRANSITORIO TERMICO DI UNA LASTRA INDEFINITA
Una lastra piana indefinita di materiale
omogeneo, inizialmente si trova in una situazione indisturbata, cioè:
La lastra viene poi immersa in un liquido a temperatura diversa, T diversa da T0 ,di conseguenza , si ha un rapido assestarsi della temperatura di pelle interna T1(x = 0) e della temperatura di pelle esterna T2(x = S).
In figura due é rappresentata la propagazione istantanea della temperatura sulle pareti della lastra.
In figura tre é rappresentato
l’andamento di T (x ) per diversi istanti di tempo.
- h = coefficiente di convezione.
- L = lunghezza caratteristica del problema( s/2 : semispessore ).
- =
conducibilità
termica del materiale della lastra.
Per valori di Bi < 0,1, il transitorio é di tipo convettivo . La conducibilità é così elevata che l’intera lastra raggiunge istantaneamente la temperatura del fluido di immersione ( é trascurabile la dipendenza da x ).
Per valori di Bi > 40, l’ipotesi
di rapidità della temperatura é accettabile, spariscono i
coefficienti di convezione, il transitorio é di tipo conduttivo
e si analizza con l’equazione di Fourier nella forma monodimensionale :
- =
tempo
L’equazione di Fourier scritta in questi termini rappresenta il primo principio della termodinamica : la quantità di calore scambiata in un tempo infinitesimo uguaglia la variazione di energia interna.
Questa espressione é risolvibile
discretizzando x e .
4. DISCRETIZZAZIONE SPAZIALE
Si suddivide la lastra in una serie di fette, tutte a temperatura uniforme. Ciascuna di queste fette, conduttrici di calore, é collegata ad un altra tramite un nodo.
Il primo nodo é situato sulla
pelle interna della lastra, di seguito gli altri fino all’ultimo, situato
sulla pelle esterna.
Tutti i nodi sono distanziati di
un valore .
La variabile x risulta così
discretizzata :
- x = variabile discreta
- = passo spaziale
- N = indice di nodo [o¸ n]
In realtà il numero di nodi
é n+1 invece il numero di divisioni é n.
5.DISCRETIZZAZIONE TEMPORALE
Similmente a quanto detto sopra, si deve discretizzare anche il tempo , considerando un opportuno intervallo
- = passo temporale
- t = indice temporale
6. EQUAZIONE DI
FOURIER ALLE DIFFERENZE FINITE
Mediante l’equazione di Fourier alle differenze finite, applicata ad un generico strato della lastra, si vuole trovare a partire dal tempo attuale la temperatura al tempo successivo: siamo di fronte ad un transitorio termico.
Per semplicità, la resistenza termica tra due nodi consecutivi, n-1 e n, si può rappresentare con una resistenza elettrica R di valore
Fig. 4 - Lastra suddivisa in generici strati collegati da nodi
La quantità di calore scambiata tra il generico nodo n e il suo nodo precedente n-1 al tempo attuale t è :
- T n-1 t = temperatura attuale del generico nodo n-1
- T n t = temperatura attuale del generico nodo n
- R n-1,n =
resistenza
tra il nodo n ed il nodo n-1
Lo stesso calcolo si può fare
per il generico nodo n+1, quindi
Avendo già evidenziato l’analogia
dell’equazione di Fourier con il 1° principio della termodinamica risulta
facile capire che la variazione di energia interna si può esprimere
nel seguente modo :
- M n= massa del nodo
n
- Tn t+1
=temperatura del nodo n al tempo t+1
La nuova temperatura del nodo ennesimo
è una combinazione lineare della temperatura dei nodi limitrofi
all’istante attuale, cioè
A,B,C = costanti reali
Questo metodo di evoluzione temporale, detto Time Marcing, presenta delle limitazioni, infatti non è possibile prevedere i valori futuri delle temperature al di sopra di un certo limite.
Per ricercare questo valore limite si consideri
-= costante
si ottiene la nuova formula
Se il termine che moltiplica Tntdiventasse negativo si sarebbe di fronte ad una contraddizione del primo principio della termodinamica ; il nodo n avrebbe temperature inferiori ai nodi adiacenti e ciò renderebbe instabile la soluzione e inaccettabile il fenomeno dal punto di vista energetico. Il valore che annulla tale termine è definito passo temporale limite.
Ma avendo definito la diffusività
termica come
si ottiene
Dall’ultima formula si vede che il passo temporale è legato al passo spaziale e alle caratteristiche del materiale.
Utilizzando ,
la formula risolutiva diventa una media matematica
Si può ottenere una soluzione
migliore, ma più lenta, utilizzando il passo temporale ottimale
In questo ultimo caso la formula
risolutiva diventa
7. ESEMPIO
Una lastra piana indefinita ha spessore
s
=
120 mm, diffusività
m2/h e temperatura iniziale T0 = 38° C.
La lastra viene poi immersa nell’olio
alla temperatura T1 = 260° C.
Si vuole calcolare
nei primi tre minuti.
Fig.5-lastra divisa in celle
Si considerino, ad esempio, 8 nodi
Ci sono dunque 11 intervalli di tempo dove calcolare le temperature dei nodi.
Costruiamo una tabella con le temperature
dei primi cinque nodi. La temperatura del nodo n al tempo t +1 è
la media aritmetica delle temperature dei nodi adiacenti al tempo precedente
t
.
Al tempo iniziale tutti i nodi sono alla temperatura T0,
dopo l’immersione il calore si diffonde lungo tutta la lastra .
Min | t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 0 | 38 | 38 | 38 | 38 | 38 | 38 |
0,3 | 1 | 260 | 38 | 38 | 38 | 38 | 38 |
0,6 | 2 | 260 | 149 | 38 | 38 | 38 | 38 |
0,9 | 3 | 260 | 149 | 94 | 38 | 38 | 38 |
1,2 | 4 | 260 | 177 | 94 | 66 | 38 | 66 |
1,5 | 5 | 260 | 177 | 122 | 66 | 66 | 66 |
1,8 | 6 | 260 | 191 | 122 | 94 | 66 | 94 |
2,1 | 7 | 260 | 191 | 143 | 94 | 94 | 94 |
2,4 | 8 | 260 | 202 | 143 | 119 | 94 | 119 |
2,7 | 9 | 260 | 202 | 161 | 119 | 119 | 119 |
3 | 10 | 260 | 211 | 161 | 140 | 119 | 140 |
In figura cinque sono stati riportati solo cinque nodi , infatti per ovvie ragioni di simmetria , la prima metà della lastra (quattro nodi ) si comporta come la seconda .
La presenza del quinto nodo evidenzia
questa situazione , infatti i suoi valori sono uguali a quelli del terzo
nodo .
In figura 6 è stato riportato l’evolversi della temperatura lungo i nodi.
I gradini presenti nel grafico sono
un artefatto, in realtà il processo è continuo. Si sarebbero
evitate queste imprecisioni utilizzando il passo temporale ottimale
Con il passo temporale ottimale è
possibile costruire una tabella simile a quella precedente ma con 15 intervalli
di tempo .
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Fig.8
Con le basi di teoria finora presentate
è possibile realizzare un programma, per esempio in qbasic, capace
di risolvere il problema del transitorio termico precedentemente citato.