Autore : Callegari Matteo

Lo scambiatore di calore è un’apparecchiatura che serve a scambiare calore tra due fluidi, chiamati in genere A e B. Quindi è un oggetto con due sezioni di ingresso e due di uscita.

fig.1 - Lo scambiatore di calore

Lo scambiatore consente di trasferire una certa quantità di energia da un fluido più caldo ad uno più freddo senza avere contatto fra i due fluidi, ovvero mantenendo sempre una parete metallica che li separa chimicamente, e quindi ne evita un mescolamento. Questo può essere molto utile in tutti quei processi in cui abbiamo un fluido di servizio "sporco" (ad es. acqua, olio, ...) e un fluido di processo che vogliamo mantenere "pulito" (ad es. latte, ...).

Esistono anche scambiatori a contatto, di cui, però, non verrà fatta trattazione.

A livello topologico-costruttivo, lo scambiatore può essere fatto in vari modi diversi. Di questi, il più semplice e quello che studieremo estensivamente, è lo scambiatore tubo in tubo, costituito da un tubo esterno (carcassa esterna), in cui scorre il fluido di servizio, al cui interno, coassialmente, vi è un tubo, in cui scorre il fluido di processo.

fig. 2 - Scambiatore tubo in tubo in equicorrente fig. 3 - La sezione

La tubazione esterna non deve essere fortemente conduttrice di calore e quindi è solitamente costituita di un metallo a bassa conducibilità termica. Il tubo interno, invece, deve condurre con la massima facilità il calore per favorire lo scambio termico, ed è, pertanto, costituito di rame o alluminio, cioè di materiali ad altissima conducibilità termica. Di solito, nell’industria alimentare, il tubo interno è fatto di acciaio inox, per motivi igienici, dato che comporta una facile operazione di pulizia della parete interna. Questa operazione è favorita anche dalla particolare geometria dello scambiatore tubo in tubo, il quale, proprio per questo motivo, ha trovato così largo impiego nelle industrie alimentari e farmaceutiche, nelle quali è possibile ammortizzare in breve tempo il costo elevato dello scambiatore, dovuto alle sue notevoli dimensioni.

Lo scambiatore tubo in tubo è, quindi, igienico, costoso, ma semplice da essere studiato attraverso un modello matematico.

Dal punto di vista del calcolo, infatti, bisogna distinguere il calcolo termico, chiamato anche dimensionamento delle superfici di scambio, dal calcolo energetico, basato unicamente sulle relazioni di primo principio (bilancio dell’entalpia tra i due fluidi). Il calcolo energetico si basa su un concetto fondamentale: tanto calore cede un fluido, tanto ne assorbe l’altro. Il calcolo termico, invece, richiede uno studio più approfondito, poiché richiede il calcolo dei coefficienti di convezione, delle resistenze termiche e il dimensionamento delle superfici di scambio. Si vengono a distinguere, perciò, due tipi di dimensionamento di uno scambiatore: quello energetico, piuttosto semplice, e quello termico, più complesso.

Il problema, quindi, è duplice. Da un lato possiamo valutare la potenza termica in termini di scambio termico:

(1)

dove con ΔT viene indicata la differenza di temperatura tra i due fluidi e con R_TOT la resistenza termica complessiva dello scambiatore.

Da un punto di vista energetico, posso scrivere la potenza termica in due modi equivalenti, uno riferito al fluido di processo, che chiameremo fluido A e che si sta riscaldando, e uno riferito al fluido di servizio, che chiameremo fluido B e che si sta raffreddando:

(2)

dove con viene indicata la portata dei due fluidi e con 1 e 2 le sezioni, rispettivamente, di ingresso e di uscita dei due fluidi stessi.

Dal punto di vista termico, quindi, sono presenti due problemi da risolvere: determinare il ΔT e determinare la R_TOT.

Vediamo ora perché risulta difficile determinare la differenza di temperatura. Considerando lo scambiatore in equicorrente (entrambi i fluidi scorrono nella stessa direzione) in fig. 2, si può costruire un diagramma, in cui in ascissa si ha la distanza x, che arriva ad L (lunghezza dello scambiatore), mentre in ordinata si ha la temperatura.

fig. 4 - Diagramma temperatura-distanza per lo scambiatore in equicorrente

Dal diagramma risulta chiaro che il ΔT è altamente variabile: il flusso termico locale è, pertanto, fortemente variabile. All’inizio, dove c’è una differenza di temperatura esagerata, il flusso sarà estremamente vivace e lo scambio termico molto alto, dopo, quando la differenza di temperatura diminuisce sensibilmente, il flusso diventa piatto, le due curve tendono a divenire due rette parallele e i fluidi scambiano poco calore. Tutto ciò rende il calcolo di ΔT non banale.

Si dovrà, dunque, considerare un ΔT_MEDIO e la potenza termica considerata nell’equazione (1) sarà ugualmente una potenza media.

Le condizioni, che rendono difficoltosa la determinazione di ΔT_MEDIO, sono dovute alla dipendenza dall’ascissa x. Consideriamo, quindi, una generica distanza x e l’elemento di scambiatore infinitesimo lungo dx, che va da x a x+dx, e andremo a calcolare la quantità infinitesima di calore che si scambia in un tratto di scambiatore di lunghezza dx. In questo modo, lungo un segmento infinitesimo, possiamo considerare costanti le variazioni della temperatura.

Andiamo a scrivere il ΔT in tre modi diversi: attraverso le relazioni dello scambio termico e attraverso le relazioni derivanti dal primo principio della termodinamica.

Secondo lo scambio termico, la variazione di potenza termica dipende dal valore locale del ΔT_MEDIO, che indicheremo con T_A e T_B (entrambe funzioni di x), e dalla resistenza termica presente (praticamente identica in ogni punto):

(3)

Sembra una contraddizione: una quantità infinitesima è uguagliata ad una quantità finita. In realtà, è 1/R che, dipendendo dalla superficie (quantità infinitesima), può essere considerata un infinitesimo. Vediamo il perché, studiando il valore della resistenza.

Si tratta di scambio termico in un tubo: dal punto di vista del calcolo della resistenza, è una situazione già nota. Sono presenti tre resistenze in serie: convezione nel fluido di processo, conduzione attraverso il tubo interno e convezione nel fluido di servizio:

fig. 5 - Le resistenze termiche

La somma delle tre resistenze dà la resistenza termica complessiva. Quando si considera un segmento di lunghezza dx, al posto della lunghezza L si inserirà tale termine. In questo modo, tuttavia, il termine infinitesimo sarà a denominatore, rendendo la resistenza un termine "infinito". E’ quindi più conveniente considerare una resistenza termica per unità di superficie, raccogliendo quest’ultima fuori e scrivendo il tutto in questo modo:

(4)

dove K è il coefficiente globale di scambio e S₁ è la superficie del tubo interno. L’equazione (1) diventa, quindi:

(5)

dove K ha pedice , in quanto dipende dalla scelta della superficie di riferimento. Mentre esiste, dunque, un unico valore della resistenza termica, esistono infiniti valori di K: per questo, in realtà la coppia K₁S₁ è insolubile, poiché una dipende dall’altra. Procedendo nella sostituzione e utilizzando l’espressione di R_TOT dalla fig. 5, si ricava:

(6)

espressione del prodotto K₁S₁ per lo scambio termico della superficie cilindrica che stiamo considerando. Avendo scritto ciò, la variazione di potenza termica può essere espressa, rispettivamente dalle equazioni (5) e (2), come:

(7)

in cui si nota subito il carattere infinitesimo anche dei secondi membri. Si è, quindi, formulata tre dipendenze di dalle temperature T_A e T_B. E’ possibile scrivere un’unica equazione che descrive la dipendenza di dalla differenza tra le due temperature. Per far ciò, è necessario ricavare dT_A dalla seconda equazione di (7) e dT_B dalla terza, ottenendo:

(8)

Facendo differenza membro a membro, si ricava:

(9)

in quanto la differenza dei differenziali è il differenziale delle differenze. Questa è, dunque, un’equazione nell’unica incognita d(T_A–T_B). Al posto di si scrive il suo valore dalla prima equazione di (7):

(10)

Si ottiene pertanto un’equazione differenziale di primo grado a variabili separabili. Separando le variabili e integrando:

(11)

Da cui:

(12)

Ciò che si voleva ricavare era, tuttavia, un’espressione di ΔT_MEDIO semplice ed immediata. Per ottenere ciò, si osserva che a secondo membro si trova il prodotto K₁S₁, che diventa:

(13)

Per avere una dipendenza solo dalle temperature, dalle equazioni (2) si ricava:

(14)

Sostituendo le (14) nella (13):

(15)

da cui, sostituendo la (15) nella (5):

(16)

si ottiene immediatamente il valore di ΔT_MEDIO logaritmico cercato, che diventa:

(17)

dove con ΔT₁ e ΔT₂ si indicano, rispettivamente T_B1-T_A1 e T_B2-T_A2.

Osserviamo che se le differenze di temperatura sono piccole, usare la media aritmetica, invece della media logaritmica, comporta un errore accettabile. Viceversa, quando si hanno forti variazioni di temperatura, l’errore diventa troppo grande per essere trascurato.

Si consideri ora lo scambiatore tubo in tubo in figura qui sotto:

fig. 6 - Scambiatore tubo in tubo in controcorrente

Si tratta di uno scambiatore in controcorrente, in cui si fanno scorrere i due fluidi in direzioni opposte: il fluido di processo (A) entra normalmente a sinistra ed esce a destra, mentre il fluido di servizio (B) scorre da destra verso sinistra. Il diagramma della temperatura in funzione della distanza x cambia nella seguente maniera:

fig. 7 - Diagramma temperatura-distanza per lo scambiatore in controcorrente

Per il fluido A, la situazione non è cambiata, come è rispecchiato nel diagramma. La temperatura del fluido B, invece, assume un comportamento ben diverso: entra alla distanza L con una temperatura T_B1 ed esce all’ascissa 0 con temperatura T_B2. Si nota immediatamente un’importante differenza: mentre per lo scambiatore in equicorrente la differenza di temperatura variava notevolmente, per lo scambiatore in controcorrente questa differenza rimane pressoché costante in tutti i punti dello scambiatore stesso.

Dal punto di vista del secondo principio della termodinamica, eliminare grandi sbalzi di temperatura è un bene, perché questi producono entropia e, quindi, si perde del lavoro ogni volta che si lascia fluire del calore tra un fluido a temperatura molto alta a uno a temperatura molto bassa, senza alcuna contropartita in termini di trasformazione di calore in lavoro. Si introduce, pertanto, anergia distruggendo exergia. Questo aspetto, tuttavia, nello studio degli scambiatori di calore viene trascurato, in quanto le quantità di calore in questione non verranno mai riconvertiti in lavoro.

Ciò che è più rilevante, invece, è che lo scambiatore in controcorrente, a parità delle quattro temperature di ingresso e di uscita, ha un ΔT_MEDIO logaritmico è maggiore del corrispondente in equicorrente:

(18)

• ESEMPIO: EQUICORRENTE vs CONTROCORRENTE

Si supponga di avere un fluido che esce da una cella frigorifera a 4°C e che lo si scaldi sino a 40°C, facendogli scambiare calore con acqua bollente a 100°C, che si raffredda sino a 60°C. I valori delle temperature sono, quindi, i seguenti:

ΔT_A1 = 4°C, ΔT_A2 = 40°C,

ΔT_B1 = 100°C, ΔT_B2 = 60°C

I valori dei ΔT_MEDIO logaritmico in equicorrente e in controcorrente sono pertanto:

Cerchiamo di capire cosa vuol dire avere un ΔT_MEDIO più grande. Ci ricordiamo che l’equazione (5) dice:

(5)

La quantità di calore scambiata rimane costante nei due scambiatori (equicorrente e controcorrente), fatto che viene espresso dalle equazioni (2) basate sul primo principio della termodinamica. K₁ non può variare nei due scambiatori, data la sua espressione (ricavabile dall’equazione (6)), in cui non vi è alcun riferimento a equicorrente o controcorrente.

Dal momento, quindi, che il ΔT_MEDIO è divenuto maggiore nello scambiatore in controcorrente, inevitabilmente la superficie S₁ dovrà essere minore. Uno scambiatore in controcorrente di dimensioni compatte, dunque, scambia la stessa quantità di calore di uno in equicorrente di dimensioni maggiori. Per questa ragione, e dato che gli scambiatori fatti in acciaio inox hanno un costo proporzionale alle peso e, quindi, alle dimensioni, viene preferito il controcorrente all’equicorrente.

Esiste, tuttavia, una contropartita data dalla rapidità del fenomeno dello scambio termico. Se si deve scaldare rapidamente un fluido freddo, il grande ΔT iniziale dello scambiatore in equicorrente produce un elevato scambio di calore tra i due fluidi. In termini di tempo necessario, affinché il fluido freddo raggiunga la prefissata temperatura, lo scambiatore in equicorrente è inizialmente più rapido. In impianti grandi che richiedono più scambiatori, pertanto, in genere si mette in equicorrente il primo e in controcorrente tutti gli altri. Ciò diviene fondamentale in situazioni critiche, come la pastorizzazione del latte, in cui si deve fermare un processo chimico-fisico in esecuzione in breve tempo.

• ESEMPIO: LA PASTORIZZAZIONE DEL LATTE

fig. 8 - La pastorizzazione del latte

fig. 9 - Diagramma temperatura-distanza per la pastorizzazione del latte

Innanzitutto, attraverso una pompa si porta il latte ad una pressione, ad esempio, di 10 bar. A pressioni così elevate, il vapore condensa: la sua temperatura di passaggio di fase da liquido a vapore, quindi, a tale pressione è, magari, di 180°C. Quindi, da un ugello si inietta del vapore a temperatura più alta: per esempio, ad una pressione di 15 bar, la cui temperatura di saturazione sarebbe di circa 250°C. Il vapore viene fatto espandere in un ambiente a pressione di saturazione minore e a temperatura più bassa e, pertanto, condensa cedendo al latte, che era fresco (5°C), una quantità di calore latente di vaporizzazione elevatissimo. In un periodo di tempo dell’ordine dei millisecondi, la temperatura del latte passa da 5°C a 180°C. Dopo un breve tratto di tubo, dell’ordine del metro, si trova un ugello e una camera di espansione tenuta ad una pressione minore di 1 bar, pressione a cui corrisponde una temperatura di saturazione di circa 60°C. Il vapore, pertanto, si riforma rapidamente, riportando il latte ad una temperatura molto bassa. Quindi, il latte, che si era velocemente riscaldato a 180°C, è rimasto a tale temperatura per un tempo pari a percorrere il breve tratto di tubo e, giunto nella camera di espansione, ha subito un crollo di temperatura. Il vapore che era stato aggiunto al processo, come annacquamento del latte, viene poi recuperato per mezzo di un pozzetto di raccolta del vapore posto in alto alla camera di espansione. Il latte pastorizzato, invece, viene raccolto per mezzo di un condensatore e viene fatto sgocciolare fuori dalla camera lungo un tubo.

Tutto il processo può essere descritto da un diagramma della temperatura in funzione della distanza x ( vedi fig. 9). Il profilo che si ottiene si avvicina molto a quello ideale in fig. 10.

fig. 10 - Il profilo ideale

La soluzione tecnologicamente migliore è, tuttavia, quella di non fare il processo di pastorizzazione, ma di produrre direttamente un latte biologicamente puro.

Si deve raffreddare a 50°C dell’azoto, che ha una portata in massa pari a 1200 kg/h e parte da una temperatura di 200°C, usando uno scambiatore di calore. Si usa come fluido di servizio dell’acqua ad una temperatura iniziale di 20°C e che ha una portata pari a 5000 kg/h.

1) Determinare la temperatura in uscita dell’acqua.

Si supponga che la pressione dell’azoto sia 2 bar, costantemente uguale per tutto lo scambiatore. Il tubo interno abbia diametro interno pari a 101 mm, diametro esterno pari a 108 mm ed il tubo esterno abbia diametro interno pari a 125 mm. Si supponga, infine che i tubi siano in acciaio.

2) Calcolare la lunghezza dello scambiatore nei casi equicorrente e controcorrente.

fig. 11 - Lo scambiatore in equicorrente fig. 12 - La sezione

La temperatura in uscita dell’acqua non dipende dal tipo di scambiatore, ma solo dai fluidi che entrano in gioco. In particolare, la potenza termica scambiata può essere determinata subito ponendosi dal punto di vista dell’azoto (dalle tabelle c_P,N2=1,04 J/(kg*K)):

Essendo poi:

abbiamo (c_P,H2O=4,187 J/(kg*K)):

Questa è la risposta cercata al primo quesito del problema, ottenuta per mezzo di sole considerazioni energetiche.

Per rispondere alla seconda domanda del problema, si deve calcolare prima di tutto il ΔT_MEDIO logaritmico in equicorrente e in controcorrente:

A questo punto, si iniziano ad effettuare calcoli relativamente allo scambio termico: si dovrà calcolare, pertanto, i coefficienti di convezione dell’azoto e dell’acqua.

Iniziamo dal lato azoto: si deve trovare la densità dell’ azoto da semplici considerazioni termodinamiche. Prendendo un ragionevole valore di temperatura per l’azoto, per esempio facendo una media aritmetica: T_m=125°C=398K, dall’equazione di stato dei gas perfetti:

(19)

da cui il valore della densità dell’azoto è:

Si può quindi calcolare il valore della velocità media (con A sezione del tubo):

Il valore del numero di Reynolds, dunque, è (dalle tabelle μ=21,75*10^-6 Pa/s):

Ci si trova in regime turbolento e, quindi, si può applicare la formula di Dittus-Boelter (C=0,023 a=0,8 c=0,3), da cui si ricava il numero di Nusselt (Pr=0,71):

E’ possibile, infine, calcolare il coefficiente di convezione interno (dalle tabelle λ_N2=3,18*10^-2):

Ci si deve porre ora lato acqua. La velocità media (ρ=1000 kg/m³), con A pari all’area netta della corona circolare:

Analogamente, si deve calcolare il numero di Reynolds. Sia D_EQ il diametro idraulico equivalente, così definito:

dove p è pari al perimetro bagnato dall’acqua.

Allora si ha (dalle tabelle ν=0,9*10^-6):

Siamo in presenza, pertanto, di un moto laminare. Si può applicare la formula di Böhm (C=0,0033 a=1 c=0,37). Essendo poi per l’acqua Pr=6,1, si ha il numero di Nusselt:

Da cui si calcola il coefficiente di convezione esterno (dalle tabelle λ_H2O=0,607):

A questo punto è possibile calcolare il coefficiente globale di scambio (dalle tabelle λ_ACCIAIO=67,4 W/(m*K)):

Notiamo che sono trascurabili i contributi della conduzione attraverso il tubo interno e della convezione nell’acqua.

A questo punto, si è in grado di calcolare la lunghezza dello scambiatore cercata. Si ricorda, infatti, che:

Da cui ricaviamo L in equicorrente e in controcorrente:

cioè:

e

Si è così risposto anche alla seconda domanda del problema.