Universita` degli studi di Parma

 

 

 

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica,  Informatica delle Telecomunicazioni

 

 

Anno Accademico 1999/2000

 

 

Corso di Fisica Tecnica

 

     

 

Docente: Prof. Angelo Farina

 

 

 

Autori: Bertoli Samuele                     Mtr.  110549

                              

            Ciuffardi Gianni                    Mtr.  113831

     

 

      Lezione del  30/11/99

 

      Ore: 14.30-16.30

 

Argomenti Trattati:    Onde sferiche

                                                    Potenziale di  Velocita`

                                                    Velocita`

                                                    Pressione

                                                    Impedenza

                                                    Intensita`del Campo

 

                                     Appendice a) Coordinate Sferiche

                                     Appendice b) Coordinate Cilindriche

                                     Appendice c) Gradiente e Laplaciano in funz. Coordinate

 

 

 

 

 
Onde Sferiche

 

 

Sia S una Sorgente sonora costituita da una piccola sfera di centro O e di raggio R pulsante radialmente con moto periodico: dalla superficie della sfera partono delle onde longitudinali che si propagano nel mezzo circostante. Per ragioni di simmetria la velocità di propagazione è la stessa in tutte le direzioni uscenti da O, così che ogni  punto equidistante da O è nello stesso stato di vibrazione: ovvero si hanno delle onde sferiche longitudinali.

 

Consideriamo quindi l’equazione di D’Alambert espressa in coordinate sferiche: ci poniamo in condizioni di simmetria sferica perché il campo sonoro da noi considerato presenta tale simmetria.

 

Equazione di D’Alambert

 

           

 

    Dove

       j      potenziale di velocità 

       c      velocità del suono

       r      distanza dal centro O della sorgente sonora

 

Definiamo quindi una nuova variabile y tale che

 

           

 

 

Sostituendo (2) nell’equazione (1) si ottiene

 

            

 

 

La soluzione di questa equazione differenziale è data da

 

                             

   

        Dove         

           w      velocità angolare

        K      numero d’onda   definito come  k =  w/c   


    Operando la sostituzione la sostituzione inversa j = y/r si ottiene

 


           

 

Per determinare il valore di   ymax   è necessario imporre delle condizioni al contorno  valide sulla pelle della sfera. Imponiamo quindi:

 

           

 

               r = R

 a)

               u = umax eiwt

 

 

 

Sapendo che la velocità u è il gradiente del potenziale j, che nelle nostre condizioni di simmetria vuol dire:

 

           

 

Abbiamo

 

           

 

Da cui

 

           

 

            

Imponiamo  a)  in  (8)  risulta:

 

           

   

E quindi

 

           

   

 

   Sostituendo  (9) in (7) otteniamo l’espressione della velocità acustica nel nostro campo   sonoro:


 

 

 


                                                                            

                           

     

Sostituendo ancora l’espressione precedentemente ricavata per ymax   in (7) ricaviamo l’espressione del potenziale:

 

           

 

 

Utilizziamo l’equazione di Eulero per ricavare l’espressione della pressione acustica, equazione che ricordiamo di seguito:

                     

                                                                               

 

Utilizzando (11) l’equazione di Eulero si riduce a:

 

 


 

 


                                                                    

                                                                      

                                          

Osserviamo che sia il modulo della velocità, sia il modulo della pressione sono termini non costanti (dipendendo dal raggio r) e sono grandezze complesse costituite da una parte reale e da una parte immaginaria.  Ricordiamo tuttavia che pressione e velocità essendo grandezze fisiche devono aver anche significato fisico, cioè devono assumere valori reali: percui, a noi,  interessano prevalentemente le loro parti reali.                                              

 

Abbiamo notato la dipendenza dal raggio della pressione e della velocità, ma mentre la prima cala secondo il raggio, la seconda cala proporzionatamente al quadrato del raggio. Quindi l’IMPEDENZA defita come il rapporto fra i moduli di pressione e velocità varia anch’essa con il raggio (oltreche naturalmente essere complessa). Vi è quindi uno  sfasamento variabile fra pressione e velocità: coiò implica che il trasporto dell’energia non può che essere imperfetto dato che il miglior trasporto possibile si ha allorché pressione e velocità sono in fase!  Tale fenomeno è tanto più evidente tanto più piccolo è il raggio R della sorgente sonora poiché tale sorgente è caratterizzata da un potenza d’irradiazione limitata. Ricordiamo, infine, un’interessante proprietà di cui godono le trombe: questi strumenti fungono da rifasatori fra pressione e velocità riuscendo quindi ad avere un ottimo trasferimento d’energia.  

 

 

 

IMPEDENZA

 

   Determiniamo quindi il valore dell’Impedenza Z

 

                  

 

 Per cui utilizzando i valori precedentemente ricavati otteniamo:

 

           

 

 

(Consideriamo il caso in cui r > R poiché per i nostri scopi è l’unico che ci interessa: a titolo di cronaca ricordiamo, infatti, che l’unica applicazione pratica che sfrutta onde sferiche che collassato in un unico centro è la bomba atomica che utilizza un innesco acustico.) 

 


Limitiamoci a osservare il comportamento dell’impedenza Z in prossimità della superficie sferica della sorgente e a distanza molto grande dalla stessa sorgente sonora.

 

 


        

        

 

 

Ricordiamo che il concetto di distanza è un concetto relativo, quindi quando noi diciamo a grande distanza o a piccola distanza bisogna sempre specificare ripetto a che cosa. In questo contesto la distanza è espressa in funzione della lunghezza d’onda l (grande distanza significa r >> l).

 

Iniziamo con lo studiare il caso b) 

 

 


           

 

 


Osserviamo che l’impedenza Z  in questo caso è  tutta reale: difatti Pressione e Velocità a grande distanza sono in fase (calano entrambe secondo la stessa legge in funzione del raggio r).

Infatti osservando le espressioni di queste due grandezze si evince che:

 

                                                        

 

 

Osserviamo che l’espressione rela tiva all’impedenza Z è la stessa che si ricava per un treno d’onda piano: ciò è evidente se si tiene conto che  in prossimità della sorgente S la curvatura del fronte d’onda è molto pronunciata mentre a grande distanza  il fronte d’onda è diventato praticamente piano.

 

 

Si ricava facilmente anche l’espressione della’Intensità sonora I; definita come l’energia che fluisce attraverso un determinata superficie nell’unità di tempo.

Dimensionalmente è percui: I=[w/m2]

 

           

 

 

Dove PAC  rappresenta la Potenza Acustica definita come l’energia emessa dalla sorgente sonora nell’unità di tempo.

 

 

Consideriamo ora il caso a)  (ossia in prossimità della sorgente sonora)

Nel caso limite, allorchè r = R, si ha :

 

 

 

Essendo il termine  ikr  trascurabile rispetto a 1.  Infatti esplicitiamo il denominatore dell’
impedenza:

 



 

 

 


 


   Per cui

 


 

 

 

 


E nel caso r = R si ha:

 

 

              

 

 

Come detto precedentemente.

 

Siamo però giunti a un paradosso perché l’impedenza Z è un immaginario puro percui l’angolo di sfasamento fra pressione e velocita è pari  a 90° il che ci porta a dire che non vi è irradiazione di energia: ma non è possibile che la sferetta pulsi e non irradi energia ! Questa situazione deriva dall’aver trascurato al denominatore il termine ikr: termine estremamente piccolo ma non del tutto trascurabile dato che ora ci troviamo di fronte a un paradosso. In prossimità della superficie della sfera pulsante quindi ha un valore estremamente piccolo ma non nullo, così come lo sfasamento tende a 90° ma non è pari a 90°.

 

 

 

 


 


                                                                                                                       

 

Figura 1.  Andamento qualitativo di pressione e velocità in funzione di r                            

                                                                                                                               

 

 

 

Il grafico ci dice sostanzialmente ciò che avevamo osservato in precedenza: per valori grandi del raggio r (r >> l) i moduli di pressione e velocità variano secondo la medesima legge,

mentre per valori di r abbastanza piccoli (r << l)  la velocità varia secondo una legge non lineare con ripercussioni sull’impedenza viste precedentemente.

 

 

Abbiamo fin qui detto che l`impedenza e` una grandezza complessa: in quanto tale essa  e` costituita da una parte reale e da una parte complessa. Osserviamo quindi graficamente l`andamento di queste due parti distinte in funzione della distanza r dal centro della sorgente sonora.


 

 


 

 

 


E ora, dopo le considerazioni fatte, osserviamo graficamente l` andamento generale dell` Impedenza  in funzione del solito raggio r. (come nel grafico precedente in ordinata e` presentata l` Impedenza Relativa, Impedenza divisa per l` Impedenza caratteristica dell` aria)

 

 

 


 

 

 

 

 

 


INTENSITA`

Determiniamo ora l’espressione generale dell’Intensità sonora I:                   

 

Sapendo che

 

                                                                                                                                               

                                                                                                              

Si ha

 

          

 

Da cui

 

        

 

Sostituiamo in (16) le espressioni generali della pressione e della velocita` (in funzione di PMAX). Ricordiamo infatti che:

 

                                                                               

 

 

      

 

 

Sostituendo (17) e (18) in (16) si ottiene:

 

 

      

 

 

 Considerando solo la parte reale si ha:

 

          

 

     

Espressione valida sia per un campo sonoro vicino alla sorgente che per uno lontano

 

 

Analogamente si puo` fare per l`intensita` in funzione di uMAX  , si ricava:

 

       

 

 

Rapportiamo quindi l`intensita` dell`onda sferica con quello dell`onda piana, che ricordiamo essere:

 

       

 

                                                                      

                                                                         

                                                                                                       

Definiamo h Efficienza di Radiazione e osserviamo che:

 

 

                   

                                

         

 

 

Quindi l`efficienza di radiazione diventa pari a quella di un pistone infinito allorche` il raggio R della nostra sorgente sonora S e` molto grande, ossia R >> l .  

 

Il campo sonoro prodotto da un autoparlante e` proporzionale alla velocita` con cui il diaframma dello stesso si sta muovendo. Definiamo percui una nuova grandezza: la Velocita` di Volume:

 

 

 

        .

 

 

 

 

        

 

Appendice a)

 

Coordinate Sferiche rispetto al polo(0,0,0)


 

 

 


-r         distanza radiale

-J         colatitudine

-j         azimut o longitudine

 

 


 


 

 

 

 



Appendice b)

Coordinate Cilindriche


 

 

 


Appendice c)

 

Vogliamo osservare come varino l`operatore gradiente e l`operatore Laplaciano in funzione del tipo di coordinate.

 

Sia:

 

        

 

Coordinate Cartesiane:

 

    

 

 

Coordinate Sferiche:

 

 

  

 

 

Coordinate Cilindriche: