Michele Amoretti, n.matricola 95645
lezione del 26/10/99, ore 16:30-18:30



LA MACCHINA DI RANKINE

Il problema di realizzare un ciclo termodinamico che produca la massima quantità di lavoro a parità di calore entrante, ha come soluzione ottimale la macchina di Carnot. Si tratta però di una macchina ideale, perché opera su un ciclo reversibile.

Nella pratica, la soluzione che in maniera più brillante approssima quella ottimale è la macchina di Rankine:

 

Fig.1 - schema della macchina di Rankine

 

La macchina di Rankine ha avuto e ha tuttora innumerevoli applicazioni: dalla locomotiva a vapore, alle centrali termoelettriche a combustibile chimico o nucleare. Normalmente, il fluido che descrive il ciclo è l’acqua.

 

Per studiarne il funzionamento, possiamo ricorrere a tre tipi di diagramma:

Fig.2 - diagrammi pressione-volume, temperatura-entropia, entalpia-entropia

 

Il primo è il più intuitivo, ma il secondo è il più importante (il terzo è per uso specialistico).

Facciamo dunque riferimento al diagramma T-s e spieghiamo il ciclo passo-passo:

1® 2: il fluido, che è nella fase liquida, subisce una compressione isoentropica (s è costante); ciò viene realizzato mediante una pompa, sistema aperto che non scambia calore:

(1)

2® 2’, 2’® 3: il fluido viene prima riscaldato e poi vaporizzato, sempre a pressione costante; si utilizza una caldaia, sistema aperto che non scambia lavoro:

(2)

la quantità di calore q1 viene prelevata dai fumi caldi prodotti dalla combustione di un combustibile e dell’aria comburente

3® 4: il fluido, che ora è nella fase di vapore saturo secco, passa attraverso a una turbina, sistema aperto che non scambia calore, e, espandendosi isoentropicamente, compie lavoro:

(3)

4® 1: il fluido, nello fase di vapore saturo a bassa pressione, viene portato completamente nella fase liquida, a pressione e temperatura costanti; per fare ciò, si utilizza un condensatore, che cede la quantità di calore

(4)

a una serpentina (serbatoio freddo)

 

Calcoliamo il coefficiente economico e , rapporto tra lavoro prodotto e calore assorbito netti:

(5)

ossia, da (1),(2) e (3):

(6)

 

Ora, poiché in 1® 2 il fluido è nella fase liquida:

(7)

dove v (= v1 = v2 , i liquidi sono incomprimibili; il valore per l’acqua è 1 dm3/kg) e p1,p2 sono tabulate in funzione di T.

Per gli stati 3 e 4, in cui il fluido è nella fase di vapore saturo, vale la formula:

(8)

dove hl(p,T) è l’entalpia sulla curva limite inferiore (tabulata), r(p,T) è il calore latente di vaporizzazione (tabulato) e x il titolo. Quest’ultimo vale 1 per lo stato 3 (la massa di vapore coincide con la massa totale del fluido); va invece calcolato per lo stato 4, sfruttando il fatto che la trasformazione 3® 4 è isoentropica:

(9)

(10)

(11)

da cui:

(12)

dove sl(p,T) è l’entropia sulla curva limite inferiore (tabulata).

Notiamo poi che la (6) può essere così riscritta:

(13)

e che quindi:

(14)

 

Confrontiamo il ciclo di Rankine e il ciclo di Carnot (perché ciò abbia senso, devono operare tra le stesse temperature):

Fig.3 - ciclo di Rankine e ciclo di Carnot, diagramma T-s

 

il ciclo di Rankine presenta delle irreversibilità; ad esempio, il fatto che man mano che si prende calore dai fumi di combustione la loro temperatura diminuisca, è una causa di irreversibilità esterna; il fluido è comunque sempre in equilibrio termodinamico, per cui l’area del ciclo nel diagramma rappresenta la differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto, cioè il lavoro prodotto, come per il ciclo di Carnot. Guardando le figure, è lecito aspettarsi che il rendimento termodinamico

(15)

(rapporto tra il coefficiente economico della macchina di Rankine e quello della macchina di Carnot) assuma un valore prossimo all’unità.

 

Esercizio numerico

Determinare il coefficiente economico e per un ciclo di Rankine con

T1 = T4 = 40 ° C

T2 = T3 = 250,3 ° C

 

Da (7):

Da (8):

Da (12):

Da (8):

Quindi, da (6):

 

Facciamo un confronto con il ciclo di Carnot:

Quindi:

(grande!)

 

 

 

 

MACCHINA DI RANKINE CON SURRISCALDATORE

Abbiamo visto che il vapore saturo secco in uscita dalla caldaia viene fatto espandere utilizzando una turbina; ma poiché nello stato 4 il titolo è abbastanza minore di 1, ci sono gocce di liquido che entrano in violento contatto con le parti meccaniche della turbina e le erodono.

In genere si adotta la seguente soluzione:

 

Fig.4 - schema della macchina di Rankine con surriscaldatore

 

Il serpentino riscaldatore fa sì che il fluido in uscita dalla caldaia passi dalla fase di vapore saturo secco in quella di vapore surriscaldato.

Fig.5 – diagrammi pressione-volume, temperatura entropia

 

E’ evidente che il valore del titolo nello stato 4’ è molto più vicino a 1.

La nuova formula per il coefficiente economico è:

(16)

Per lo stato 3’ vale la formula:

(17)

da cui ricaviamo il calore specifico medio a pressione costante cp, leggendo h3’ dalla tabella del vapore surriscaldato (o viceversa ricaviamo h3’ leggendo cp dalla relativa tabella).

Per h4’ usiamo la (8), con x4’ ricavato da:

(18)

dove s3 è data dalla (10).

 

Esercizio numerico

Determinare il cefficiente economico per un ciclo di Rankine con surriscaldamento, date:

T1 = T4 = 40 ° C

T2 = T3 = 250,3 ° C

T3’= 500 ° C

 

Da (17):

Da (18):

Da (8):

Quindi, da (16):

 

NOTA:

Per confrontare la macchina di Rankine con surriscaldatore e la macchina di Carnot, è sbagliato calcolare h t come rapporto tra i coefficienti economici con

Si otterrebbe 0,635: apparentemente peggio rispetto al caso della macchina di Rankine senza surriscaldatore!

L’errore sta nel fatto che si sta fornendo alla macchina di Carnot più calore di quello dato alla macchina di Rankine con surriscaldatore:

Fig.6 – confronto tra le quantità di calore

 

Bisogna guardare il diagramma che descrive l’andamento della temperatura del serbatoio caldo (fumi prodotti bruciando combustibile e aria) in funzione della quantità di calore da esso sottratta, e confrontare le due macchine in base alla quantità di calore che effettivamente riescono a sfruttare (exergia):

Fig.7 – in rosso: diagramma T-q del serbatoio caldo, in nero: trasformazione 2® 3 nel ciclo di Rankine con surriscaldamento, in blu e celeste: due esempi di passaggi analoghi nel ciclo di Carnot

Concludendo, solo con un’infinita successione di cicli di Carnot si riesce ad estrarre tutto il calore dai fumi:

Fig.8 – estrazione totale del calore per mezzo di infiniti cicli di carnot

La macchina di carnot sarebbe ottima se il serbatoio caldo fosse a temperatura costante.

 

Esercizio numerico conclusivo

Calcolare il CUC (coefficiente di utilizzazione del combustibile = rapporto tra l’energia utilizzata e quella disponibile in partenza) di una centrale di cogenerazione, che funzione secondo il principio della macchina di Rankine con surriscaldatore (e sfrutta Q2 per il riscaldamento cittadino), noti i seguenti dati:

T1 = T4 = 80 ° C

P3 = 40 BAR

T3’ = 700 ° C

h distr = 95% (percentuale di Q2 effettivamente sfruttata)

h comb = 90% (Q1 non è tutto il calore generato nel serbatoio caldo)

 

E’ facile vedere che, nel caso in esame:

Dalle tabelle, poi, leggo:

T1 = 80 ° C Û p1= 0,4736 BAR

p3 = 40 BAR Û T3 = T2 = 250,3 ° C

h1 = hl1 = 340,5 kJ/kg

r4 = 2305,4 kJ/kg

Dagli esercizi precedenti, prendo pari pari v, h3 e s3.

Quindi, da (17):

Da (18):

(4’ è sulla curva limite!)

Allora, da (8):

Poi, da (3), (2), (4) e (7):

E infine:

Molto bene! Una centrale Enel tradizionale ha un CUC @ 0,4.

 

 

T

(° C)

p

(BAR)

hl

(kJ/kg)

r

(kJ/kg)

sl

(kJ/kgK)

0,01

0,006112

0

2501,6

0

4

0,008129

16,8

2492,1

0,0611

8

0,010720

33,6

2482,6

0,1213

12

0,014014

50,4

2473,2

0,1805

16

0,018168

67,1

2463,8

0,2388

20

0,023366

83,9

2454,3

0,2963

24

0,029821

100,6

2444,9

0,3530

28

0,037782

117,3

2435,4

0,4088

32

0,047534

134,0

2425,9

0,4640

36

0,059400

150,7

2416,4

0,5184

40

0,073750

167,5

2406,9

0,5721

44

0,091001

184,2

2397,3

0,6252

48

0,11162

200,9

2387,7

0,6776

52

0,13613

217,6

2378,1

0,7293

56

0,16511

234,4

2368,4

0,7804

60

0,19920

251,1

2358,6

0,8310

64

0,23912

267,8

2348,8

0,8809

68

0,28563

284,6

2338,9

0,9303

72

0,33958

301,4

2329,0

0,9792

76

0,40191

318,1

2318,9

1,0275

80

0,47360

334,9

2308,8

1,0753

84

0,55573

351,7

2298,6

1,1225

88

0,64948

368,5

2288,4

1,1693

92

0,75608

385,4

2278,0

1,2156

96

0,87686

402,2

2267,5

1,2615

100

1,01325

419,1

2256,9

1,3069

104

1,1668

435,9

2246,3

1,3518

108

1,3390

452,9

2235,4

1,3964

112

1,5316

469,8

2224,5

1,4405

116

1,7465

486,7

2213,4

1,4842

120

1,9854

503,7

2202,2

1,5276

TAB.1 – Vapore Saturo

 

 

T

(° C)

h

(kJ/kg)

s

(kJ/kgK)

250

2800,3

6,0685

300

2962,0

6,3642

350

3095,1

6,5870

400

3215,7

6,7733

450

3331,2

6,9388

500

3445,0

7,0909

550

3558,6

7,2333

600

3672,8

7,3680

650

3787,9

7,4961

700

3906,6

7,5947

TAB.2 – Vapore surriscaldato

(p = 40 BAR, hl = 1087,4 kJ/kg)

 

 

Tabelle più complete si trovano su: Zemanski "Termodinamica per ingegneri"

 

 

T

(° C)

cp

(kJ/kgK)

300

3,136

350

2,891

400

2,742

450

2,648

500

2,579

550

2,533

600

2,500

650

2,475

700

2,458

TAB.3 – Calore specifico medio del vapore surriscaldato

(p = 40 BAR, hl = 1087,4 kJ/kg)