Federica Poli - matricola 110637
Lezione del 30/11/1998 ore 16:30 - 18:30

Esercizi sullo scambio termico per conduzione e per convezione.
 

Esercizio 1.
 

Si considera una lastra piana con doppia parete: vi sono due strati di materiale diverso con due spessori diversi. La prima lastra, di spessore s₁, è di laterizio forato, che ha conducibilità termica l ₁; la seconda lastra, di spessore s₂, è di cemento armato, che ha conducibilità termica l ₂.La temperatura della parete sinistra della prima lastra è T_P0, mentre la temperatura della parete destra della seconda lastra è T_P2.

Si deve calcolare la temperatura T_P1 della superficie che separa il laterizio forato dal cemento armato e la quantità di calore scambiata per unità di superficie e per unità di tempo.   Figura 1 - lastra piana doppia

I dati del problema sono:

 Si possono seguire due procedimenti per risolvere l’esercizio: si può integrare l’equazione di Fourier, ottenendo la variazione della temperatura della lastra doppia con l’ascissa, oppure si può usare la legge di Fourier, considerando il caso di regime stazionario. Si opta per questo secondo metodo.

Si scrive la legge di Fourier per ciascuna delle due lastre piane in regime stazionario e si mettono a sistema le due equazioni così ottenute.

(1) 

Questo è un sistema di due equazioni in due incognite, che può essere risolto, ad esempio, uguagliando le espressioni a secondo membro delle due equazioni.

(2) 

(3) 

(4) 
 
(5) 

T_P1 è la media pesata tra le due temperature estreme, T_P0 e T_P2.
l /s è la conduttanza: le conduttanze sono i fattori di peso nella media pesata.
Sostituendo i valori numerici nella (5), si ha

 
La temperatura della parete che separa il cemento armato dal laterizio forato non è la media aritmetica tra le due temperature estreme: questo lo si può vedere anche dalla Figura 2, che riporta l’andamento della temperatura della lastra piana doppia in funzione dell’ascissa.

  Figura 2 - andamento della temperatura della lastra piana doppia in funzione dell'ascissa

Le rette che indicano l’andamento della temperatura in funzione dell’ascissa hanno una diversa pendenza nelle due lastre piane, a causa della diversità della conducibilità dei due materiali: la pendenza della retta è minore in corrispondenza della sostanza con la conducibilità maggiore (in questo caso, la seconda lastra). Questa è un’ulteriore dimostrazione che la temperatura si ottiene da una media pesata, in cui contano le conduttanze.

Alla seconda domanda si risponde utilizzando indifferentemente la prima o la seconda equazione, in cui vengono sostituiti i valori numerici.
 

 

E’ buona regola esprimere il risultato in termini della resistenza termica equivalente, che è legata alla quantità di calore scambiata nell’unità di tempo: si considera una superficie S unitaria.
 

(6) 

(7.1-7.2) 

(8.1-8.2) 

 Si hanno quindi due resistenze termiche equivalenti in serie: si calcola allora la resistenza totale, con cui si poteva trovare subito la potenza scambiata, senza determinare la temperatura di interfaccia.
 

(9) 

 
(10) 
 

  Figura 3 - serie di due resistenze termiche equivalenti  

Utilizzando le resistenze termiche, si è trasformato il problema termico in un circuito elettrico equivalente: si è quindi applicata l’analogia. Questo metodo ha una validità generale, anche nel caso di scambi termici per convezione: un problema complesso si divide in tanti sottoproblemi semplici, con una geometria nota (ad esempio, la lastra piana o il cilindro), di cui si è in grado di trovare la resistenza termica equivalente; la resistenza termica totale si trova poi applicando tutti i metodi risolutivi dei circuiti elettrici.

Poichè lo scambio termico può avvenire in tre forme diverse, è utile gestire in un unico modello di calcolo non solo la conduzione, ma anche la convezione e l’irraggiamento.

Per quanto riguarda la convezione, si considera lo scambio di calore tra l’aria (fluido) contenuta in una stanza e le pareti della stanza stessa: la temperatura dell’aria ha una caduta vicino alla parete (Figura 4). Come, nel caso del moto dei fluidi, si è definito uno strato limite dinamico (luogo dei punti in cui la velocità del fluido, influenzata dalla presenza di un ostacolo, è pari al 99% della velocità del fluido a grande distanza dall’ostacolo), si può definire, in prossimità della parete, uno strato limite termico, la cui temperatura T_L è il 99% della temeperatura del fluido a grande distanza dalla parete.

  Figura 4 - andamento della temperatura dell'aria nei pressi di una parete

 Analogamente al caso del moto del fluidi, si definisce una temperatura adimensionale

(11) 

T* vale 1 sulla parete e 0 all’infinito.

Nello strato limite di fluido, vicino alla parete, vale l’ipotesi dell’aderenza (lo strato di fluido più vicino alla parete è ad essa aderente, cioè è fermo): poichè il primo straterello di fluido è fermo, avviene uno scambio termico per pura conduzione, quindi vale la legge di Fourier, considerando una condizione al contorno di tipo convettivo, alla parete.

(12) 

dove  è la derivata della temperatura fatta rispetto alla direzione normale alla parete e calcolata sulla parete stessa: essa è anche la pendenza della curva che descrive l’andamento della temperatura in prossimità della lastra; poichè questo andamento è complicato e sconosciuto, si sceglie un altro modo per esprimere la legge di Fourier.

(13) 

h è il coefficiente di convezione: a differenza della legge di Fourier, in cui la conducibilità l è costante, questa non può essere considerata una legge fisica perchè non si ha la pretesa che h sia costante; h non è una costante di proporzionalità, ma varia da caso a caso. In molti problemi, h è comunque dato: ad esempio, la legge dell’Ottobre 1991 fissa il valore convenzionale di h per gli scambi di calore per convezione che coinvolgono la parte interna e la parte esterna delle pareti della casa; si sono standardizzati anche i valori medi convenzionali per la dispersione degli edifici.
h si misura in  .

 
Esercizio 2.

Si considera il caso di una parete di spessore s e conducibilità l : sono assegnati i coefficienti di convezione h_A e h_B per le due facce della parete ed è fornita la temperatura ambiente a una certa distanza dalla parete, sia dell’interno (T_A), che dell’esterno (T_B). Si deve trovare la quantità di calore scambiata per unità di superficie e per unità di tempo.

Questo è il tipico problema dell’isolamento di un edificio (ad esempio, nel caso del riscaldamento invernale).

  Figura 5 - parete in muratura di un edificio  

I dati del problema sono:

Si scrive la relazione per la convezione che coinvolge la faccia interna della parete, poi la legge di Fourier per la conduzione che avviene all’interno della parete stessa, ed infine la relazione per la convezione che si svolge tra la faccia esterna della parete e l’aria.

(14) 
 

T_P1 è la temperatura della faccia interna della parete, mentre T_P2 è la temperatura della faccia esterna della parete. Si è ottenuto un sistema di tre equazioni, ma si desidera lavorare con un’unica equazione: questa si ottiene sommando le tre equazioni del sistema.
 

(15) 

 (16) 
 

(17) 
 

(18) 
 

S è la superficie della parete attraverso cui avviene lo scambio di calore. R₁ è la resistenza termica equivalente di convezione interna, R₂ è la resistenza termica equivalente di conduzione, R₃ è la resistenza termica equivalente di convezione esterna: si può quindi considerare la serie delle tre resistenze. Dal concetto termico, si passa all’equivalente elettrico, in cui la corrente fluisce nelle resistenze: la soluzione del problema si semplifica se si utilizzano subito le resistenze termiche equivalenti.

  Figura 6 - serie di tre resistenze termiche equivalenti

Si sostituiscono i valori numerici nella (17) e si trova così il risultato.

Osservando i tre valori delle resistenze termiche equivalenti, si nota che la resistenza di convezione interna R₁ è pari alla metà della resistenza di conduzione R₂ del muro, quindi l’effetto isolante è discreto (l’aria ferma è un ottimo isolante). Il coefficiente di convezione è più alto all’esterno, dove l’aria si muove, perciò la resistenza di convezione esterna R₃ è bassa, ma non ancora trascurabile: se lo strato isolante avesse una resistenza termica molto alta, le altre resistenze sarebbero trascurabili.

Si considera, ad esempio, la superficie complessiva di un appartamento: 100 m² può essere la superficie in pianta e 50 m² quella del perimetro verso l’esterno; si vuole calcolare la quantità di calore scambiata da questa superficie nell’unità di tempo, sfruttando il valore della potenza per unità di superficie ottenuta con i dati del problema.

Si deve però tenere conto del fatto che le porte, le finestre, le aperture in generale portano via calore, e che in una casa di comune abitazione si deve dare un certo ricambio di aria all’ora: è necessario calcolare la potenza necessaria a scaldare da 0 a 20 °C la quantità d’aria di ricambio, prelevata periodicamente dall’esterno (in una casa di civile abitazione ogni ora si deve cambiare una quantità di aria pari a 1/4 del volume totale).

Attraverso le finestre si ha la dispersione maggiore, perchè il vetro ha un piccolo spessore e il calore è scambiato anche per irraggiamento.

 
Esercizio 3.
 
 

Si considera una parete con tre diversi materiali: si conoscono gli spessori, le superfici e le conducibilità dei tre materiali; inoltre, sono note le temperature a una certa distanza dalla parete (T_A all’interno e T_B all’esterno) e i coefficienti di convezione della faccia interna (h_A) e della faccia esterna della parete (h_B). Si vuole trovare la quantità di calore scambiata nell’unità di tempo.

  Figura 7 - parete formata da tre materiali diversi

I dati del problema sono:

Questa può essere la parete di un recipiente che contiene acqua calda (h_A è elevato), all’esterno del quale c’è aria ferma: questa può essere una caldaia, ricoperta da una struttura relativamente assorbente. Si vuole trovare quale potenza si disperde attraverso la parete.

Non esiste un’unica risposta esatta alla domanda posta dal problema, ma vi sono vari modi di formulare la rete elettrica equivalente: tutti, comunque, sono in parte sbagliati, perchè si fa l’ipotesi che il calore fluisca solo lungo la direzione x, e non ortogonalmente ad essa; tutte le soluzioni sovrastimano la resistenza termica equivalente totale e sottostimano lo scambio di calore.

Si sceglie di separare ciò che accade sulla superficie S₁ da ciò che accade sulla superficie S₂, quindi si hanno due problemi separati: la potenza scambiata totale è la somma delle due potenze scambiate.

(19)         

La somma delle due potenze corrisponde al parallelo di due reti elettriche, ciascuna delle quali formata da quattro resistenze in serie, che si sommano tra loro: vi sono due resistenze di conduzione (R_C) e due resistenze di convezione (R) per ciascuna delle due sottoreti.

  Figura 8 - circuito elettrico equivalente: parallelo della serie di quattro resistenze termiche equivalenti

 (20)        
 

(21)        

 
(22)        
 

(23)        

 
Sostituendo i valori numerici nella (19), si ha
 

L’isolamento si fa, ad esempio, per ragioni di sicurezza, cioè per fare in modo che, venendo a contatto con la caldaia, non ci si scotti: si calcola la temperatura della parete esterna in corrispondenza dei due materiali isolanti per verficare se possono essere toccati senza correre alcun rischio. Si scrive la legge di Ohm termica per l’ultima resistenza termica equivalente, cioè la resistenza di convezione esterna.

 
(24)        
 

(25)       
 

(26)       
 

(27)        
 

La temperatura T_PE1 non è proprio accettabile, essendo troppo elevata.

Come si vede, sulla parete esterna c’è una differenza di temperatura tra la superficie S₁ e la supreficie S₂, per cui il calore fluisce anche trasversalmente alla parete, dall’alto verso il basso: questo flusso di calore, di cui non si è tenuto conto nella soluzione dell’esercizio con il circuito elettrico equivalente, tende a livellare la differenza di temperatura. Il calore tende a incanalarsi nella zona con la resistenza termica minore, quindi il flusso di potenza effettivo è maggiore di quello valutato. Il modo migliore per risolvere l’esercizio è quello di considerare la bidimensionalità, utilizzando il calcolo numerico.

Strumenti di misura della conducibilità termica di un materiale.

Dato il campione di un prodotto, lo si deve sottoporre a una delle due prove normalizzate per la misura della conducibilità termica.

Il primo metodo è quello con la maggiore precisione. Per misurare la conducibilità termica di una lastra piana doppia è necessario un ambiente a grande termostatazione: vi sono due camere a termostatazione, una dentro l’altra; nella prima c’è un condizionatore che mantiene la temperatura bloccata a 1 °C, mentre nella seconda la temperatura rimane fissa al valore di 0.1 °C.

In questa seconda camera, più interna, c’è una pila formata da diversi oggetti: al centro c’è un sistema con una lastrina che ha al suo interno un riscaldatore elettrico; la lastrina centrale è circondata da un anello di guardia, dotato di riscaldatori elettrici che producono una dissipazione di calore. Sopra e sotto la lastrina centrale c’è una lastra del materiale di prova, chiamata provino: sopra il provino superiore e sotto quello inferiore c’è un raffreddatore, cioè un contenitore in cui circola un liquido a temperatura più bassa di quella dell’ambiente. Il calore fluisce, attraverso i provini, fino a queste vasche, in cui vi sono dei tubi per far girare l’acqua e l’aria, in modo da mantenere costante la temperatura.

  Figura 9 - schema della pila realizzata per misurare la conducibilità termica di un materiale

Si minimizza lo scambio termico con l’ambiente circostante: T₀ è la temperatura dell’ambiente, T_A è la temperatura del riscaldatore elettrico centrale e T_B è la temperatura dei raffreddatori.

(28)       
 

Si posizionano una serie di termocoppie intorno all’anello di guardia, in modo da controllare che la differenza di temperatura tra l’anello di guardia e il riscaldatore sia nulla (in questo modo si ha un flusso di calore solo verticale): inoltre, si dà una maggiore potenza all’anello esterno, così da non avere un flusso di calore periferico, verso l’esterno.

  Figura 10 - schema della parte centrale della pila e circuito elettrico ad essa equivalente

A regime, si misura la potenza fornita dal riscaldatore elettrico primario e, siccome T_A e T_B sono note, si può ricavare la conducibilità (si deve considerare che metà del flusso di calore va verso il basso e metà verso l’alto, per cui si deve dividere la potenza complessiva per 2).

(29)        

(30)        

dove S è 0.09 m².

Il secondo metodo, meno preciso, è quello che sfrutta il termoflussimetro, poco costoso e portatile. Si usa una mattonella di gomma quadrata di spessore s e di lunghezza l pari a 0.5 m: la gomma deve mantenere inalterata la sua conducibilità termica. Sulla mattonella di gomma sono avvolte delle termocoppie differenziali: la termocoppia consiste nella giunzione tra due metalli diversi, ai capi dei quali si produce una differenza di potenziale proporzionale alla temperatura del giunto.

  Figura 11 - schema di una termocoppia con giunto freddo

In questo caso, non c’è bisogno del giunto freddo: si mette prima il filo di rame, sulla parte superiore della lastra, poi il filo di costantana, sulla parte inferiore della lastra; tutti i giunti tra rame e costantana sono sulla faccia superiore della mattonella, mentre tutti i giunti tra costantana e rame sono sulla faccia inferiore della mattonella.

  Figura 12 - schema di un termoflussimetro

Le termocoppie sono in serie, quindi le diverse differenze di potenziale si sommano: la forza elettromotrice totale è proporzionale alla differenza di temperatura D T tra le due facce del termoflussimetro. Si misura D T, mentre la conducibilità della gomma di cui è fatta la mattonella è già nota (si conosce quindi la sua resistenza termica). Si applica il termoflussimetro alla superficie del corpo di cui si vuole determinare la conducibilità termica, poi si misura la differenza di temperatura D T, determinando così il flusso di calore nell’unità di tempo.

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(32)       

In alternativa, si prendono due vaschette, che funzionano da bagno termostatico, uno, caldo, a temperatura T_A e uno, freddo, a temperatura T_B: si mette sopra e sotto al provino del materiale da studiare un termoflussimetro, a sua volta a contatto con una delle due vaschette.

  Figura 13 - uso del termoflussimetro e dei bagni termostatici per determinare la conducibilità termica di un materiale

I due termoflussimetri misurano due flussi leggermente diversi: si fa allora una media tra i due flussi misurati, ottenendo così un flusso medio di calore.

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Dall’espressione della potenza termica scambiata e dal suo valore, misurato sperimentalemente, si ricava, conoscendo T_A e T_B, la conducibilità termica del provino.

Questo metodo può funzionare anche nel caso della parete di una casa, che scambia una certa quantità di calore: bisogna però considerare che la parete nuda scambierebbe di più, poichè c’è la resistenza termica addizionale del termoflussimetro. La resistenza termica del termoflussimetro deve essere piccola, per cui lo spessore della mattonella di gomma deve essere piccolo: la resistenza termica del muro considerato deve essere almeno 10 volte maggiore della resistenza del termoflussimetro; se ciò non si verifica, si può sempre comunque calcolare l’effetto prodotto con una resistenza addizionale nota.

  Figura 14 - circuito elettrico equivalente per determinare una resistenza termica equivalente incognita

Conoscendo il flusso di calore e R_TF, cioè la resistenza termica equivalente del termoflussimetro, è possibile ricavare R_?: non è detto che R_? resti uguale, una volta tolto il termoflussimetro, soprattutto a causa della convezione, visto che non si ha linearità.

Conduzione in uno strato sferico.

Si considera una sfera cava di raggio interno R₁ e di raggio esterno R₂: si pongono due condizioni, cioè che la temperatura della superficie sferica interna sia T₁ e che quella della superficie sferica esterna sia T₂.

  Figura 15 - strato sferico

In regime stazionario, si può scrivere la legge di Fourier: la potenza scambiata è costante, cioè non dipende dal raggio r.

(34)       

In corrispondenza del raggio r si deve trovare la stessa potenza che sta fluendo attraverso la superficie sferica.

(35)       

 Si ottiene un’equazione differenziale del prim’ordine a variabili separabili.

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(37)       
 

(38)       

R_SC è la resistenza termica equivalente della sfera cava.

Si calcola poi la potenza termica scambiata, considerando anche lo scambio termico per convezione, sia all’esterno che all’interno dello strato sferico. h_A è il coefficiente di convezione interna, h_B è il coefficiente di convezione esterna, mentre l è la conducibilità dello strato sferico: la temperatura interna è T_A, mentre quella esterna è T_B.

  Figura 16 - conduzione e convezione in uno strato sferico

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R_A è la resistenza di convezione interna, R_C è la resistenza di conduzione dello strato sferico, R_B è la resistenza di convezione esterna.