L’equazione di Bernoulli è uno strumento fondamentale nella risoluzione dei problemi di fluidodinamica e si ottiene mediante l’integrazione dell’equazione di Navier eseguita nelle seguenti ipotesi semplificative:

1. REGIME STAZIONARIO. Ovvero Ñ (div u) = 0
2. FLUIDO INCOMPRIMIBILE. r = 0
3. TUBO DI FLUSSO. Scelgo un tubo di flusso ed eseguo l’integrazione fra due sezioni.

Osservazione: Un buon sistema per identificare un tubo di flusso in un fluido in movimento può essere quello di ricorrere ad un tracciante, nonché utilizzare la tubatura stessa, dato che per definizione la superficie che delimita un tubo di flusso non può essere attraversata da alcuna quantità di massa sia in ingresso che in uscita.

Scriviamo dunque l’equazione di Navier direttamente con le derivate spaziali relative all’ascissa curvilinea dell’asse del tubo di flusso.

Passiamo quindi all’integrazione fra le due superfici 1 e 2 e valutiamo qualitativamente gli integrali dei singoli termini:

Possiamo dire che l’integrale è in qualche misura l’inverso del gradiente e perciò anche per il successivo termine vale la stessa cosa:

Il successivo risulta essere un integrale immediato:

L’ultimo dei quattro termini per il momento lasciamolo indicato e riscriviamo l’equazione dividendo per la densità:

Siamo così arrivati all’equazione di Bernoulli, ma è possibile fare un ulteriore passo avanti verso una forma più operativa di questa espressione. A tale scopo richiamiamo l’equazione di bilancio dell’energia per un sistema aperto (non dimentichiamo che un tubo di flusso è proprio un sistema aperto).

Si possono subito notare alcune somiglianze fra le due espressioni anche se quest’ultima è più generale; infatti il primo termine di entrambe rappresenta un’energia cinetica anche se in Bernoulli è presente una velocità istantanea invece che media, il secondo termine è una energia potenziale ed è identico in entrambe. Possiamo inoltre elaborare l’equazione di continuità per portarla ad una forma che ci permetta di proseguire nella trattazione. Cominciamo con l’esplicitare il calore ed il salto di entalpia nel modo seguente:

cioè come somma del calore scambiato reversibilmente del sistema con l’esterno e il calore dissipato dell’attrito del fluido con le pareti del condotto in cui scorre che a sua volta è espresso in funzione della produzione entropica. Chiaramente il calore scambiato irreversibilmente è nulla per i fluidi ideali che ricordiamo avere viscosità nulla (m = 0).

Dal I° principio in forma entalpica ottengo un’espressione del salto di entalpia:

L’integrazione è fatta lungo una trasformazione reversibile.

L’equazione di bilancio dell’energia può dunque essere riscritta nel modo seguente:

Se ci portiamo nell’ipotesi di fluido incomprimibile (v = 1/r = cost.) ed assenza di macchine che svolgano lavoro nel sistema (termine –l = 0) che avevamo formulato inizialmente, possiamo scrivere l’equazione definitiva che stavamo cercando :

Dove R è chiamata perdita di carico ed è un’energia come si può vedere dal raffronto delle (5), (9) e (10). Di questo particolare termine se ne parlerà con maggiore dettaglio fra non molto, per ora proseguiamo nella discussione dell’importante equazione che abbiamo ricavato. Si faccia innanzitutto l’osservazione che la quantità di calore q non compare nell’espressione (ma non è nulla! È solamente implicita). Proprio per questo motivo che la (10) è anche chiamata forma meccanica del primo principio della termodinamica e si utilizza ogni qualvolta debbo risolvere problemi nei quali pur essendoci scambi termici, la quantificazione degli stessi non rientra negli obbiettivi della risoluzione, une esempio può essere il dimensionamento di una impianto idraulico di un’abitazione.

All’equazione di Bernoulli possiamo aggiungere l’equazione di conservazione della massa ed ottenere un modello matematico pratico ed efficace per la risoluzione di una gamma piuttosto ampia di problemi di fluidodinamica:

ovvero, sostituendo alla portata in massa la sua espressione:

dove nell’ipotesi di fluido incomprimibile si ottiene infine:

Passiamo ad alcuni esempi applicativi ed utili alla comprensione di queste due equazioni:

LA POMPA:

Per la legge di conservazione della massa si ha che se S1=S2 allora dovrà anche essere w1=w2. Contrariamente a quella che molti intuitivamente sono portati a pensare, la pompa accelera il fluido lungo tutto il condotto e non solo nelle tubature a valle della stessa.

EFFETTO VENTURI:

Consideriamo un tubo come quello di figura: convergente dolcemente dalla sezione S1 alla sezione S2, avente una scabrezza trascurabile, disposto orizzontalmente e privo di ogni tipo di macchina al suo interno (in queste ipotesi R = 0, z1=z2 e l = 0).

Dall’equazione di Bernoulli si osserva come w2>w1 e come P2<P1, fenomeno questo che a prima vista può destare qualche perplessità.

Passiamo a qualche applicazione pratica dell’effetto venturi.

Quando si preme il pistone metto in movimento l’aria che è costretta ad uscire dall’ugello che, se di sezione sufficientemente piccola, per effetto venturi permette alla pressione P di decrescere fino ad essere minore di p0 (pressione atmosferica). In questo modo il liquido sale lungo il tubo si nebulizza e fuoriesce dall’ugello miscelato con l’aria.

Figura 4

Il funzionamento è praticamente identico a quello dello spruzzatore, con la differenza che l’aria è messa in moto dal movimento del pistone coadiuvato da un opportuno sistema di valvole. In questo caso è la benzina nebulizzare per poi raggiungere la camera di combustione per permettere al pistone di proseguire nel suo movimento ciclico.

Vediamo ora alcuni strumenti utilizzati per misurare la velocità del fluido e quindi la portata in massa, di una tubatura.

TUBO DI VENTURI:

Si inserisce lungo una tubatura e si misura la differenza di pressione tra la sezione S1 e la sezione S2.

Nota: la sezione S3 e solitamente utilizzata per verificare le perdita di carico lungo il tubo di venturi che sono solitamente trascurabili se questo è ben costruito.

Quindi una volta misurata D P, supposto il tubo orizzontale ed il fluido incomprimibile posso applicare le due solite equazioni:

Non è stato restrittivo supporre a 1=a 2=1 dato che sono costanti.

Ricavo infine:

Passiamo ad un altro strumento di misura della velocità di un fluido;

Come si può vedere dalla figura, è costituito da due tubi di diverso diametro e disposti lungo lo stesso assedi simmetria. D è solitamente dell’ordine delle decine di millimetri ed i tubi sono di acciaio inossidabile.

Per effettuare la misura con questo strumento bisogna immergerlo nel fluido con il naso controcorrente rispetto al moto del fluido; a questo punto con un manometro differenziale, e possibile leggere la differenza di pressione fra le sezioni S1 ed S2. Il manometro va collegato come indicato in figura.

La pressione P1 è quella presente nel tubo più interno ed chiamata pressione di ristagno che è tanto maggiore quanto maggiore è la velocità del fluido; e bene osservare che il fluido non è in movimento perché il condotto è privato di uno sbocco della presenza del manometro. La P2 è invece prelevata sul tubo a diametro maggiore ed approssima la pressione statica del fluido (P¥ ) di una quantità solitamente trascurabile, dato che lo stesso tende ad accelerare nelle zone limitrofe del tubo di Pitot e perciò la P2 risulta minore della P¥ .

A questo punto, nota la pressione differenziale, è sufficiente applicare la solita equazione di Bernoulli per ottenere la velocità del fluido:

Per conclude, vale la pena osservare un esempio di manometro differenziale: vedi figura seguente.

QQQ Qquesto manometro si basa sul livello del pelo di un liquido e pertanto, viene utilizzato per effettuare misure su fluidi aeriformi.

In A bisogna collegare il tubo a pressione maggiore, in riferimento al Tubo di Pitot, solitamente si collega quello più interno, cioè quello in cui c’è la pressione stagnante.

Il liquido all’interno della vaschetta è solitamente acqua colorata e dall’entità del suo spostamento verticale (D h) lungo il sottile tubo graduato si può risalire alla differenza di pressione fra A e B:

Un manometro come questo è piuttosto preciso, però raramente il range di misura oltrepassa un fattore dieci.

Osservazione: un’applicazione del Tubo di Pitot è la misura della velocità di un aereo sul ne viene installato uno per ala.

La perdita di carico è indicata con la lettera R nell’equazione di Bernoulli. Per poterle calcolare si ricorre all’analogia con problemi già studiati ed a furmule empiriche ottenute con la sperimentazione.

Si distinguono due tipi di perdite di carico: quelle distribuite e quelle concentrate.

Sono le perdite di pressione che si hanno lungo una tubatura e sono proporzionali alla sua lunghezza. Per calcolarle si fa riferimento all'equazione di Poiseville che richiamiamo:

Abbiamo perciò:

Dove con L e D si indicano rispettivamente la lunghezza e il diametro del tubo, x prende il nome di fattore d'attrito.

Si assume che ogni caso diverso da quello appena citato abbia la stessa sua soluzione a meno del coefficiente x ; pertanto risolvere un problema di perdite di carico significa trovare il valore di x corrispondente. Tale coefficiente e funzione sia di Re che della scabrezza del tubo espressa attraverso il parametro e ovvero l'altezza media delle irregolarità delle pareti del condotto o rugosità. Questo metodo risolutivo altro non è che un importante risultato della teoria dell'analogia della quale vedremo ancora diverse applicazioni nelle parti successive del corso.

Da questo diagramma è possibile ricavare il valore di x una volta noti Re ed e .

Il diagramma di Moody mostra una famiglia di curve che rappresentano x (Re) a parametro e /D chiamato rugosità relativa dove come al solito D rappresenta il diametro del condotto.

Si osservi infine, come in regime laminare x dipenda unicamente da Re secondo la relazione (numero), mentre in regime di forte turbolenza x sia praticamente costante e dipenda unicamente da e /D; in regime di incertezza logicamente non è riportato alcun dato poiché non è possibile stabilire il comportamento del fluido.

Nota: Oltre al diagramma di Moody esistono anche altri diagrammi che riportano le perdite di carico piezometriche espresse in metri di colonne d'acqua. Il carico piezometrico si esprime con:

La conversione fra bar e metri d’acqua si attua mediante la seguente relazione:

Qui a seguito è riportato il diagramma di Moody: