Marco Paterlini - matr. 130413 - Lezione del 10/12/2001 - Ore 14:30-16:30

In questa lezione saranno trattati i seguenti argomenti:

 

·        Raggio critico all’isolante

·        Applicazioni su potenza termica e raggio critico all’isolante

·        Calcolo dei coefficienti di convezione

Raggio critico all’isolante.

 

Cerchiamo di calcolare la potenza termica dispersa da una tubazione.

A tal fine consideriamo un tubo d’acqua calda che normalmente disperde calore dall’interno del tubo stesso verso l’esterno, come indicato in fig.1 dalle frecce rosse. La temperatura del liquido all’interno del tubo Ti è maggiore della temperatura esterna Te . Supponiamo inoltre che all’interno del tubo ci sia un coefficiente di convezione hi diverso dal coefficiente di convezione esterno he .

 

Supponendo che non siano presenti fenomeni di irraggiamento, questo calo di temperatura può essere visto come una serie di 3 resistenze, come mostrato in figura:

 

                                             

Fig.2

 

Abbiamo infatti una resistenza di convezione interna seguita da una resistenza di conduzione e da una di convezione esterna. I 3 resistori risultano essere “in serie” in quanto il calore viene ceduto dal liquido alla parete interna del tubo, che si troverà a una temperatura Tpi, da quest’ultima alla parete esterna del tubo, sulla quale misureremo una temperatura Tpe, e da qui il calore viene infine ceduto all’ambiente esterno.

 

Vediamo ora come è possibile descrivere il fenomeno dal punto di vista dello scambio termico:

Sappiamo che vale sempre la relazione:

 

                    (1)

 

Nel nostro caso la resistenza totale è ottenuta dalla somma delle 3 resistenze RCONV , i , RCOND e RCONV , e in quanto sono collegate “in serie”.

 

                    (2)

 

Ognuna di esse può essere determinata come segue:

 

                (3)

 

dove ri indica il raggio interno del tubo e L la sua lunghezza;

 

            (4)

 

dove l indica la conducibilità del materiale di cui è costituito il tubo, ri e re indicano il raggio interno ed esterno di quest’ultimo;

 

                (5)

 

dove re indica il raggio esterno del tubo e L la sua lunghezza.

Quindi l’equazione (1) risulta:

 

                 (6)

 

che può essere sviluppata con semplici operazioni algebriche nella forma:

 

                  (7)

 

dove  indica la superficie di scambio.

 Ki è detto coefficiente globale di scambio termico.

In realtà tale definizione non è del tutto precisa (e ormai non appartiene più alla terminologia tecnica dell’ingegnere) in quanto un coefficiente dovrebbe essere una quantità adimensionale.

Ecco allora che viene introdotta una nuova quantità CT chiamata: conduttanza termica specifica, cosi definita:

 

                (8)

 

dove  indica la superficie di scambio.

Ecco allora che abbiamo capito quanto vale la potenza termica dispersa da una tubazione.

Vediamo ora un esempio pratico per fissare meglio i concetti appena trattati.

 

 

Esempio.

Prendiamo in esame un tubo di polietilene (plastica) e supponiamo di conoscere il suo raggio interno ed esterno, la sua lunghezza, il coefficiente di convezione interno ed esterno e la temperatura all’interno del tubo stesso e quella dell’ambiente esterno:

 

 

 

Utilizzando la relazione (7) determinata in precedenza e facendo una mera sostituzione, otteniamo:

 

 

Quindi possiamo affermare che un tubo di 10 metri contenente acqua calda, per esempio quelli che portano il riscaldamento nelle nostre case, ha una potenza termica dispersa di ben 2071 W!! Ricordiamo che per scaldare una casa, indicativamente sono necessarie alcune migliaia di Watt, quindi se il tubo che porta l’acqua del riscaldamento disperde di per se più di 2000 W in 10 metri diventa ininfluente l’utilizzo di un corpo scaldante! (pompe di calori o simili).

Vediamo allora come sia possibile ovviare a questo problema ricoprendo il tubo con un materiale isolante (in giallo in fig.3 e 4):

Il risultato è quello di avere un secondo tubo di materiale isolante che ricopre quello di partenza, come illustrato nella figura seguente:

 

R1 rappresenta il raggio interno del tubo, R2 il suo raggio esterno e R3 il raggio esterno del tubo isolante.

Supponendo sempre che non siano presenti fenomeni di irraggiamento, il sistema viene ora rappresentato da 4 resistenze poste “in serie”. Rispetto al modello di fig.2 dobbiamo infatti aggiungere la resistenza di conduzione dovuta alla presenza del materiale isolante:

 

Fig.5

 

Supponiamo che l’isolante sia un tubo di poliuretano espanso di raggio esterno R3 = 100 mm , caratterizzato da una conducibilità termica specifica .

Sapendo che dalla relazione (1) otteniamo che:

 

                 (9)

 

dove la resistenza di conduzione dell’isolante l’abbiamo calcolata come:

                  (10)

Ecco allora che risulta facile capire come sia indispensabile utilizzare un materiale isolante dotato di bassa conducibilità termica, in modo da ottenere uno scambio termico ridotto. Al diminuire infatti del coefficiente li ,  il termine RCOND,isolante  nella (10) aumenta, quindi nella (9) diminuisce.

La relazione (9) possiamo esprimerla nella forma della (7):

 

                     (11)

 

Tenendo presente che i dati del problema non sono cambiati rispetto a prima dove non avevamo preso in considerazione l’isolante e che R1 = ri e R2 = re, sostituiamo nella (11) tali dati ottenendo:

 

 

Ecco allora che rivestendo il tubo di partenza contenente acqua calda con uno di poliuretano espanso abbiamo ottenuto una dispersione di calore molto minore, pari quasi a un quarto del precedente.

 

Riguardo a questo versatile isolante, rimandiamo ai siti internet:

 

·        http://www.politop.it/EPS.htm

·        http://www.spazioambiente.com/alveo.htm#resterm

 

per avere qualche informazione in più e qualche curiosità.

 

Utilizzare un materiale isolante non sempre però riduce lo scambio termico.

Questo effetto indesiderato si può ottenere per esempio rivestendo il tubo originario con una guaina sottile, caratterizzata da un’alta conucibilità termica.

In generale ciò dipende da vari fattori. Vediamoli meglio in dettaglio:

Consideriamo la relazione (11). Al denominatore abbiamo i seguenti addendi:

A =                             (12)

B =              (13)

C =              (14)

D =                     (15)

 

A e B sono costanti che non dipendono dalla geometria e dal tipo del materiale isolante scelto.

All’aumentare del raggio esterno (R3) dell’isolante, C aumenta e allo stesso tempo D diminuisce. Per ottenere uno scambio termico ridotto è necessario che il denominatore della (11) sia il più grande possibile, quindi in generale l’aumento di C deve prevalere sulla diminuzione di D. Questo dipende dalle 2 costanti che precedono i due addendi C e D:

c =     (16)

d =     (17)

 

Le costanti c e d dipendono rispettivamente dalla conducibilità termica dell’isolante li e dal coefficiente di convezione esterno he.

Quindi in base al valore di quest’ultimo si dovrà scegliere opportunamente il raggio del tubo isolante e il materiale di cui è composto.

 

A tal proposito mostriamo qui di seguito una tabella dei coefficienti di conducibilità termica dei materiali più comuni.

Come si può notare la conducibilità termica varia a seconda della temperatura.

In generale essa misura l'attitudine di una data sostanza (non solo solida ma anche liquida o gassosa) a trasmettere calore per conduzione; corrisponde al valore che può assumere in un dato intervallo di temperatura il flusso termico che lambisce la superficie di misura, sotto l’effetto della caduta di temperatura in direzione perpendicolare alla superficie.

 

 

TEMPERATURA

MATERIALI

0°C

50°C

100°C

150°C

200°C

Acqua

0.54

 

 

 

 

Alluminio

178

 

 

 

 

Asfalto

0.55

 

 

 

 

Basalto

1.1

2.4

 

 

 

Calcestruzzo

0.7

1.2

 

 

 

Cartone

0.12

0.25

 

 

 

Cemento

0.8

1.10

 

 

 

Ferro e acciaio

40

50

 

 

 

Fibre di vetro

0.028

0.032

0.036

0.045

0.055

Fibre di amianto

0.045

0.045

0.048

0.058

0.070

Gesso

0.4

0.6

 

 

 

Ghiaccio

1.9

 

 

 

 

Granito

2.7

3.5

 

 

 

Lane minerali

0.030

0.035

0.040

0.047

0.057

Linoleum

0.16

 

 

 

 

Marmo

1.8

3

 

 

 

Mattoni pieni

0.6

0.9

 

 

 

Mattoni forati

0.3

0.7

 

 

 

Muratura di pietrame

1.2

2.1

 

 

 

Pietra arenaria

1.1

1.5

 

 

 

Pietra calcarea

0.6

0.8

 

 

 

Piombo

30

 

 

 

 

Polistirolo espanso

0.028

 

 

 

 

Poliuretano espanso

0.020

 

 

 

 

Prodotti a base d magnesia

0.040

0.045

0.052

0.057

0.063

Quercia

0.18

0.22

 

 

 

Resine fenoliche espanse

0.030

 

 

 

 

Sabbia asciutta

0.28

 

 

 

 

Sugheri

0.040

0.050

 

 

 

Vetro

0.4

0.8

 

 

 

Vetro cellulare espanso

0.046

 

 

 

 

 

Tabella 1 – Coefficiente di conducibilità termica per alcuni materiali in

 

 

Ma come si spiega il fatto che utilizzando un materiale isolante si ottiene un aumento dello scambio termico con l’esterno?

Questo apparente paradosso può essere chiarito dal grafico seguente:

 

  

Fig.6

 

All’aumentare di R3 la resistenza totale RTOT diminuisce fino a quando non si arriva al cosidetto raggio critico RC. Nel tratto di curva appena descritto si ottiene quindi un aumento dello scambio termico rispetto al mancato impiego di un isolante, in quanto diminuendo RTOT possiamo notare dalla (1) che  aumenta. Superato questo punto RTOT incomincia ad aumentare fino a raggiungere il valore iniziale, per R3 = RL .

Se aumentiamo ancora il raggio esterno del tubo isolante otteniamo un’aumento pronunciato della resistenza totale, superando abbondantemente il suo valore iniziale, e facendo quindi diminuire drasticamente lo scambio termico.

Se quindi il raggio del tubo da isolare è maggiore di RC rivestendolo con un tubo per esempio di polietilene si ottiene sicuramente una diminuzione dello scambio termico con l’esterno, indipendentemente dalla misura del raggio dell’isolante.

Determiniamo ora RC dal punto di vista analitico. Esso è il punto di minimo della relazione (11), quindi per determinarlo è sufficiente derivare tale funzione rispetto ad R3. Notiamo anzitutto che gli unici termini in cui compare R3 sono gli addendi C e D al denominatore, i soli che derivati risultano essere diversi da zero.

Ponendo la derivata uguale a zero:

 

              (18)

 

Da cui otteniamo:

 

                (19)

 

Nell’esercizio svolto in precedenza risulta essere :

 

 

Avendo infatti scelto un raggio dell’isolante maggiore del raggio critico abbiamo inibito lo scambio termico.

 

Esercizio.

Prendiamo in considerazione un filo elettrico di diametro 1mm e lungo un metro.

Supponiamo di farlo percorrere da una corrente di 10A e cerchiamo di valutare, in base al calore scambiato con l’ambiente esterno, la temperatura raggiunta dal filo stesso.

Sarà conveniente rivestirlo con una guaina?

Quali effetti otterremmo?

 

 

Fig.7

 

Vediamo meglio i dati del problema:

 

             - Diametro del filo

        - Resistenza specifica del filo

                - Corrente elettrica che percorre il filo

            - Temperatura esterna

   - Coefficiente di convezione esterno

 

Il passaggio di corrente nel filo produce un calore:

 

             (20)

 

che può essere determinato anche secondo la formula:

 

             (21)

 

Sapendo inoltre che:

 

                   (22)

 

Posso ricavare dalla (20) la temperatura del filo:

 

                  (23)

 

che è sicuramente un valore inaccettabile in quanto troppo elevato.

Proviamo allora a rivestire il filo con una guaina isolante di plastica () come mostrato in figura:

 

 

Fig.8 – Sezione del filo rivestito da isolante

 

Calcoliamo il raggio critico, in modo da scegliere il raggio migliore per il nostro isolante:

 

Utilizzando la (1) nella forma della (7), possiamo calcolare lo scambio termico:

 

              (24)

 

da cui possiamo ricavare la temperatura del filo:

 

              (25)

 

sostituendo ora tutti i valori, compresi quelli determinati in precedenza, otteniamo che:

 

             (26)

 

Possiamo concludere che è sicuramente vantaggioso rivestire il filo con una guaina in plastica, in quanto segue un abbassamento della temperatura del filo notevole, pari a ben 254.4°C.

Rifacendo i calcoli con un raggio dell’isolante maggiormente proporzionato al raggio del tubo (RI = 2mm) la temperatura del filo scende a 190.3 °C, che è comunque un valore più che accettabile, rispetto ai 338 °C del filo non isolato.

 

I problemi di dissipazione termica sono molto importanti soprattutto nella progettazione e nella costruzione dei microprocessori per computer.

Infatti le prestazioni di questi ultimi vengono decisamente penalizzate dal loro aumento di temperatura, che può variare da una decina di gradi a quasi 50 gradi nel caso in cui i dissipatori di calore, collocati a contatto con il processore, siano stati montati in maniera errata.

Oltre ad un calo notevole di prestazioni, ciò può provocare anche il danneggiamento irreparabile del processore, che in certi casi deve essere sostituito.

E’ stato calcolato che un PC mal aerato può perdere da subito circa il 20% delle proprie capacità e poi arrivare a continui blocchi e spegnimenti.

Per evitare ciò, vengono fatti studi accurati sulla geometria delle “alette” dei dissipatori, a seconda della marca e del tipo del processore.

 

 

Fig.8 – Dissipatore con ventola

 

Per facilitare la dissipazione di calore vengono inoltre montate ventole per allontanare il più rapidamente possibile aria calda dal processore, e permettergli di lavorare in un ambiente caratterizzato da un costante ricambio d’aria (vedi fig.8).

 

Ma non distacchiamoci troppo dagli argomenti che caratterizzano il corso, e lasciamo al lettore la possibilità di approfondire tale argomenti con alcuni link interessanti:

 

·    http://www.hardwaretips.com/overclock/over03.htm

·    http://www.hwmaniac.com/Archivio/comparazione_dissi_rame/index3.shtml

·    http://www.vincenzov.net/tutorial/dissipatori/dissipatori.htm

·    http://digilander.iol.it/Marino5/cool1.htm

 

 

 

 

 

Calcolo dei coefficienti di convezione:

 

Cercheremo ora di stabilire la metodologia per calcolare i coefficienti di convezione dentro un fluido (che può essere aria o acqua). I risultati ottenuti potranno poi estendersi in ambito più generale a tutti i tipi di fluidi, grazie al concetto di analogia di Reynolds, già visto in precedenza.

Possiamo quindi determinare il fattore di attrito, sfruttando anche gli argomenti trattati in fluidodinamica:

 

             (27)

dove Re è il numero di Reynolds, e  è il cosiddetto fattore di forma.

Importante è sottolineare che il fattore di attrito x è una grandezza adimensionale, che la rende quindi sempre utilizzabile con ogni unità di misura, senza essere suscettibile a cambiamenti.

Questo stesso schema logico viene applicato ai problemi di scambio termico per convezione.

Avremo quindi un parametro adimensionale in uscita h*, che si può intendere come la versione adimensionalizzata del coefficiente di convezione h.

h* in generale è definito come funzione di alcune entità adimensionali.

Il tutto risulterà più chiaro dopo aver enunciato il seguente teorema, alla base dell’analisi dimensionale:

 

Teorema di Buckingham:

Un sistema descritto da n variabili, costituite mediante r dimensioni è anche descritto da n - r gruppi indipendenti privi di dimensioni fisiche.

 

Che possiamo riassumere con la formula:

 

                  (28)

 

In un problema di scambio termico per convezione risulta:

 

 

 

Da cui deduciamo che h* è funzione di 4 raggruppamenti adimensionali indipendenti.

In particolare:

 

                      (29)

 

Vediamo in dettaglio i 4 numeri puri che mi caraterizzano h*:

 

 

Numero di Reynolds:

 

                   (30)

 

dove:

W = velocità media del flusso del fluido

L   = lunghezza caratteristica

m  = coefficiente di viscosità dinamica del fluido

 

Il numero di Reynolds esprime il rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose di un fluido.

A seconda del valore che assume il moto di un fluido all’interno di un condotto cambia. Vediamo come:

 

-         Re < 2300       moto del fluido laminare;           (30.1)

-         Re > 4100       moto del fluido turbolento.        (30.2)

 

Numero di Grashof:

 

                 (31)

 

dove:

g   = accelerazione gravitazionale

b  = coefficiente di dilatazione termica

L   = lunghezza caratteristica

Tp = temperatura della parete del condotto

T = temperatura esterna

n  = viscosità

 

Il numero di Grashof Gr è una grandezza fisica che mi rappresenta le forze di galleggiamento.

 

Tramite esso posso per esempio stabilire matematicamente che l’aria calda galleggia su quella fredda.

Questa conclusione che può sembrare banale, ha dato in passato numerosi problemi alle prime capsule spaziali presurizzate in orbita intorno alla Terra.

Infatti per dissipare il calore degli apparati elettronici di questi macchinari, erano state progettate alette particolari collaudate con successo sul nostro pianeta, senza però tener conto dell’assenza di gravità nello spazio!

Infatti dalla (31) si può notare che Gr è direttamente proporzionale all’accelerazione di gravità g.

Ecco allora che risulta facile capire come l’aria calda non potesse galleggiare su quella fredda soprastante, rimanendo intrappolata tra le alette, in quanto veniva a mancare la componente di scambio termico per convezione naturale.

Quest’errore progettuale ha causato fenomeni di surriscaldamento accentuati nei primi satelliti, compromettendone il funzionamento.

Il coefficiente di dilatazione termica b evidenzia invece quanto si dilati il gas al variare della temperatura:

 

                    (32)

 

In generale b varia al variare della temperatura. Sarà quindi opportuno risalire al valore corretto utilizzando tabelle specifiche. Alcuni valori di b dei materiali più comuni sono mostrati in fig.9 alla pagina successiva.

 

EIANel caso dei gas perfetti, possiamo risalire all’espressione del coefficiente di dilatazione termica ricordando che:

 

                        (33)

 

da cui:

 

                  (34)

 

derivando ora rispetto a T:

 

                  (35)

 

Definiamo ora la temperatura media Tm:

 

                (36)

 

possiamo allora ricavare che:

 

                 (37)

 

Andando a sostituire la relazione (37) nella (31) così determinare l’espressione del numero di Grashof per i gas perfetti:

 

                  (38)

 

 

 

 

Coefficiente di dilatazione termica

Materiale

b  ( ° C –1 )

Alluminio

24 x 10 –6

Diamante

1.3 x 10 –6

Ferro

12 x 10 –6

Piombo

29 x 10 –6

Rame

16 x 10 –6

Vetro

9 x 10 –6

Zinco

17 x 10 -6

Legno (abete)

4 x 10-6

Mattone

5 x 10-6

Pietra

5 x 10-6

Stagno

23 x 10-6

Calcestruzzo

10 x 10-6

Calcestruzzo alleggerito

8 x 10-6

Malta di calce

8 x 10-6

 

Fig.9 – Tabella dei coefficienti di dilatazione termica

 

 

Numero di Prandtl:

 

                        (39)

 

dove:

n  = viscosità cinematica

a2 = diffusibilità termica

                 (40)

 

La diffusibilità termica a2 spesso è chiamata anche diffusibilità termica molecolare in quanto rappresenta il rapporto tra la capacità delle molecole di scambiare calore e la capacità delle stesse di immagazzinare energia.

Unendo (39) 3 (40) otteniamo l’espressione completa del numero di Prandtl:

 

              (41)

 

Per avere un’idea delle sue dimensioni possiamo dire che il numero di Prandtl dell’aria (minore del numero di Prandtl dell’acqua) vale:.

 

 

 

Fattore di forma:

 

                        (42)

 

dove:

* = variabile di posizione

L   = lunghezza caratteristica

 

Il fattore di forma esprime la posizione di riferimento rispetto alla lunghezza caratteristica.

Avendo espresso accuratamente i quattro raggruppamenti adimensionali sopracitati, e tenendo conto anche della relazione (29) possiamo a questo punto definire in maniera esplicita il seguente legame:

 

              (43)

 

dove:

Nu = Numero di Nusset

h   = coefficiente di convezione

L   = lunghezza caratteristica

l  = conducibilità del fluido

 

Definendo il numero di Reynolds abbiamo già detto che esprime il rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose di un fluido:

 

                        (44)

 

Analogamente possiamo esprimere il numero di Grasof come:

 

            (45)

 

Se Gr << 1 le forze di galleggiamento sono molto meno rilevanti rispetto alle forze viscose, ciò significa che siamo nella condizione di convezione forzata, in quanto gli effetti di convezione naturale sono irrilevanti.

Per stabilire se siamo o meno nella situazione di convezione forzata è però più rilevante monitorare il rapporto:

 

          (46)

 

Distinguiamo allora tre casi fondamentali:

 

1)            (47)

 

Convezione forzata, in quanto predomina Reynolds su Grashof.

 

2)              (48)

 

Convezione naturale, quindi prevalgono le forze di galleggiamento rispetto a quelle d’inerzia.

 

3)       (49)

 

Convezione mista, dove forze di galleggiamento e forze d’inerzia si bilanciano.

 

La formula per determinare il coefficiente di convezione cambia a seconda del tipo di moto del fluido, laminare o turbolento (a tal proposito rimandiamo alle relazioni (30.1) e (30.2) viste in precedenza) e a seconda del tipo di convezione, forzata, naturale o mista.

 

Se ad esempio volessimo calcolare il coefficiente di scambio termico di un flusso d’acqua all’interno di un tubo, utilizzeremo la formula di Dittus – Boelter:

 

              (50)

 

poiché supponiamo che 10000 < Re < 2000000, nel caso di convezione forzata.