Gran parte dei fenomeni legati allo scambio termico per convezione possono essere studiati calcolando il coefficiente di convezione h dato dalla relazione:

(1)

Quindi è necessario conoscere il numero di Nusselt Nu=f(Re,Gr,Pr,x/L) che nel caso più generale può essere ricavato tramite una formula del tipo:

(2)

L' espressione può essere semplificata di alcuni termini in alcuni casi particolari:

1. Quando il regime è sviluppato, cioè quando la regione d'ingresso può considerarsi esaurita scompare allora la dipendenza dal parametro posizionatore .
2. Quando siamo in presenza di convezione forzata pura sono trascurabili le forze di galleggiamento, quindi si trascura il numero di Grashof Gr.
3. Quando siamo in presenza di convezione naturale pura sono ininfluenti le forze

d'inerzia, quindi scompare il numero di Reynolds Re.

4. Se la convezione naturale riguarda un gas perfetto su una superficie indefinita ( per esempio aria che si trova ad una temperatura inferiore rispetto al pavimento di una stanza) il coefficiente h non dipende da L ( lunghezza caratteristica) che assume un valore di comodo di 1m. In queste condizioni Nu risulta:

(3)

Analiticamente si ottiene:

(4)

Si osserva quindi che perché L scompaia dall' equazione si deve avere b=0.33, infatti solo questo valore verifica la relazione (L³ )^b=L.

Se il moto del fluido è altresì laminare si pone b=c, ottenendo così un nuovo numero detto numero di Rayleigh: Ra=Gr∙Pr.

Il numero di Nussel si esprime allora nella forma Nu=C. Ra.

Un caso simile si verifica nel caso di convezione forzata e moto laminare in cui si pone a=c e si definisce il numero di Plecect: Pe=Re. Pr.

Il numero di Nussel si esprime allora nella forma Nu=C. Pe.

Per farsi un’idea sul caso di convezione che si viene a dover trattare, in prima approssimazione si può considerare:

• convezione forzata, se Gr << Re²,
• convezione mista, se Gr » Re²,
• convezione naturale, se Gr >> Re².

In pratica, una volta calcolati i numeri di Pr e Gr si calcola il numero di Re, dopodichè si consultano le tabelle presenti nell’appendice che ci forniscono i parametri a, b, c delle relative equazioni in base al valore di Re ed alla geometria del sistema.

Si consideri un tubo circolare di diametro D=50mm in cui scorre acqua riscaldata alla velocità media w=2m/s. Trovare il coefficiente di convezione interno h.

Inoltre sapendo che la potenza termica scambiata Q=2017W ,conoscendo la lunghezza del tubo L=10m e la temperatura interna T=80° C calcolare la temperatura esterna della parete del tubo.

Calcoliamo subito il numero di Reynolds per determinare il tipo di moto del fluido all’interno del tubo:

(5)

Il numero di Reynolds è maggiore di 10000 quindi siamo in presenza di moto turbolento, perciò utilizziamo la formula di Dittus e Boelter per fluidi riscaldati (vedi tabella 2 nell’appendice):

(6)

Per calcolare il numero di Nusselt dobbiamo calcolare il numero di Prandtl:

(7)

Il numero di Nusselt risulta quindi:

(8)

Dalla relazione che lega il numero di Nusselt e il coefficiente di convezione interna:

(9)

otteniamo il valore del coefficiente di convezione interno:

(10)

Conoscendo il valore della potenza termica scambiata Q=2017W e calcolando il valore della portata in massa otteniamo la temperatura esterna del tubo:

(11)

(12)

Avendo un tubo di lamiera a sezione quadrata attraverso il quale si scaricano fumi caldi (tiraggio di un camino) calcolare la temperatura esterna del tubo.

Dati del problema:

• D = 1 m (diametro)
• L = 5 m (lunghezza o altezza)
• s = 1 mm (spessore della lamiera)
• T¥ = 0 °C
• T_i = 350 °C
• w = 3 m/s
• l _lamiera = 40 W/m^.K
• l _fumi = 0.04 W/m^.K

Risolvendo questo problema utilizzeremo due equazioni che ci definiscono la potenza termica scambiata; infatti da una prima equazione sullo scambio termico otteniamo:

(13)

e da un bilancio dell’entalpia otteniamo invece:

(14)

Supponiamo ora che il tubo sia circolare perché ai fini pratici l’errore commesso è accettabile.

Definiamo ora la resistenza termica equivalente che è data dalla somma di tre contributi dovuti a tre resistenze diverse:

1. Resistenza di convezione interna:

(15)

 

2. Resistenza di conduzione della lamiera:

(16)

 

3. Resistenza di convezione esterna:

(17)

Determiniamo ora il coefficiente di convezione interno:

(18)

Il numero di Reynolds è maggiore di 10000, siamo allora in presenza all’interno del tubo di un regime turbolento, il numero di Prandtl in questo caso vale Pr = 0.71, quindi possiamo calcolare il numero di Nusselt con la formula di Dittus e Boelter (vedere tabella 2 dell’appendice):

(19)

possiamo allora calcolare il coeff. di convezione interno:

(20)

Determiniamo ora il coeff. di convezione esterno:

supponiamo allora che all’esterno del tubo ci troviamo in presenza di convezione naturale, calcoliamo quindi il numero di Grashof Gr:

(21)

dove come valore di T_p è stato preso un valore "casuale" che verrà successivamente migliorato con successive approssimazioni; infatti, una volta trovata la temperatura esterna della parete, la sostituiremo a T_p nella formula (14) fino ad ottenere un risultato con variazioni minime. La grandezza L rappresenta invece id diametro del tubo.

Il numero di Rayleigh vale quindi:

(22)

per cui il moto esterno è turbolento (aria che si muove per convezione naturale), quindi il numero di Nusselt vale (vedi tabella 3 dell’appendice):

(23)

possiamo allora calcolare il coeff. di convezione esterno h_e:

(24)

Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la resistenza termica totale R_TOT che vale:

(25)

dove (26)

Quindi la potenza termica scambiata vale:

(27)

la portata in massa vale:

(28)

quindi posso calcolare la temperatura esterna della parete T_OUT che vale:

(29)

Adesso andiamo a calcolare ancora il numero di Grashof Gr sostituendo al valore di T_P il valore di T_OUT appena trovato nell’equazione (29):

(30)

quindi andiamo a calcolare la nuova temperatura esterna della parete procedendo come prima, perciò otteniamo:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

che è il nostro risultato definitivo dato che subisce una minima variazione rispetto alla precedente temperatura esterna del tubo che era stata calcolata nell’equazione (29).