Introduzione

 

La  propagazione del suono è un fenomeno di natura ondosa, è quindi necessario per una migliore comprensione dello stesso introdurre la teoria delle onde e la sua rappresentazione matematica. In alcuni ambiti dell’acustica è però possibile tralasciare questa natura ondulatoria del suono a vantaggio di una più semplice trattazione energetica. Alcuni importanti aspetti dei fenomeni ondosi quali la diffrazione e l’interferenza possono però venire spiegati soltanto introducendo un modello matematico che rappresenti le caratteristiche ondulatorie dei fenomeni acustici. A tal proposito  introduciamo quindi equazione di d’Alembert, equazione che descrive la propagazione delle onde.

 

Biografia di d’Alembert

 

 

 

D'Alembert, Jean-Baptiste Le Rond:D'Alembert, Jean-Baptiste Le Rond (Parigi 1717-1783), matematico, fisico e filosofo francese, uno dei maggiori esponenti dell'Illuminismo. Figlio naturale della scrittrice Claudine Guérin de Tencin, fu abbandonato alla nascita sui gradini della cappella di Saint-Jean Le Rond, da cui deriva il nome che gli fu imposto. Studiò al Collège Mazarin, dove si distinse in matematica, fisica e astronomia. A ventidue anni scrisse la sua prima opera, che venne pubblicata con il titolo Mémoire sur le calcul intégral.

La sua opera scientifica più importante, il Traité de dynamique (Trattato sulla dinamica, 1743), segnò una svolta fondamentale nell'ambito della meccanica. Essa contiene l'esposizione del celebre principio di d'Alembert, secondo cui durante il moto di un qualsiasi sistema di corpi, la risultante delle forze attive è uguale alla risultante delle reazioni cinetiche, definite come il prodotto della massa di ciascun punto per la sua accelerazione. L'importanza di questo principio consiste nel fatto che permette di ricondurre qualsiasi problema dinamico a un problema di statica. Le sue Réflexions sur la cause générale des vents (1746) contengono la prima concezione del calcolo delle equazioni differenziali alle derivate parziali, sviluppata poi nella formulazione dell'importante equazione delle corde vibranti, detta anche equazione di d'Alembert.

Nel 1751 assunse, in collaborazione con Denis Diderot, la direzione dell'Encyclopédie, di cui, tra l'altro, scrisse il Discorso preliminare. Nel 1772 fu nominato segretario a vita dell'Académie Française.

 

Equazione di d’Alembert

 

Consideriamo un  elemento cubico infinitesimale di fluido che in un riferimento cartesiano ortogonale ha un volume dV con dV = dxdydz.

                

 

 

 

                                                                           

 

 

Consideriamo  la LEGGE DI NEWTON, dalla quale arriveremo alla equazione che cerchiamo.

 

La legge di Newton, nota anche come la seconda legge della dinamica costituisce l’equazione fondamentale della meccanica classica:

 

                                                                               (1)                          

 

dove SF  rappresenta il vettore somma di tutte le forze agenti sul corpo, m è la sua massa e a  l’accelerazione prodotta.

 

Applichiamo la legge.

 

La massa del fluido la conosciamo, siamo infatti in grado di stabilirla  grazie alla relazione:

 

                                                                               (2)

 

Facciamo a questo punto una precisazione:

 

Abbiamo visto che i  fenomeni acustici consistono in un trasporto di energia meccanica senza spostamento della materia, il fluido attraverso il quale avviene la propagazione del suono si mantiene mediamente fermo. Però nel caso in cui il volumetto di fluido è in movimento bisogna riscrivere la seconda legge di Newton secondo una logica lagrangiana, seguendo cioè la particella in moto: bisogna usare il concetto di derivata sostanziale.

Nel caso in cui il volumetto non sia fermo ma abbia una velocità u d’assieme non nulla, e sia in movimento anche il fluido, avente cioè una velocità media di trasporto

u0 definiamo allora la velocità acustica come lo scostamento della velocità del volumetto da quella media del fluido:

 

                                                                               (3)

 

In acustica si considera nulla la velocità media del fluido:

 

                                                                                      (4)

 

Quindi la velocità acustica coincide con la velocità d’assieme del fluido in moto e in questo caso la derivata della velocità rispetto al tempo, necessaria per il calcolo dell’accelerazione, deve essere fatta in modo sostanziale cioè seguendo il moto della particella. Un esempio di derivata sostanziale nel tempo, di una grandezza qualsiasi che assume valori diversi in base alla posizione nel campo, potrebbe essere la seguente:

 

                                                                 (5)

 

Tornando alla nostra equazione, l’unica componente che ci manca, ovverosia l’accelerazione. L’accelerazione è definita come:

 

                                                                                     (6)

 

 

 

La derivata deve essere però, per quanto detto in precedenza, fatta in modo sostanziale, anche se in acustica ciò si riduce ad una derivata ordinaria perché la velocità del fluido, mediamente fermo, è nulla.

 

 

                                                                             (7)

 

 

Cerchiamo a questo punto un’altra espressione per la forza dF.

Effettuiamo a tal proposito il bilancio delle forze, cercando la risultante delle forze agenti sul volumetto che è dato dalla somma vettoriale delle sue tre componenti cartesiane. Consideriamo per semplicità il caso monodimensionale. Il cubetto è compreso tra l’ascissa  x in corrispondenza della quale agisce la pressione p1=p, e l’ascissa x+dx la cui corrispondente pressione è data da  p2=p+( p/ x)dx.

 

 

 

 

 

 

La risultante delle forze in quella direzione è data dal prodotto della pressione risultante in quella direzione, che è uguale alla differenza di pressione tra le facce 1 e 2, per la superficie interessata A con A=dydz.

 

                              (8)

 

 

 

Consideriamo ora le altre componenti della forza secondo l’asse y e z

 

 

                                                                                       (9)

                                                                                       (10)

 

                                                                    

Andando a sostituire nella legge di Newton otteniamo che:

 

 

                    (11)

 

                                                                                                        

 

 

Introducendo il gradiente e semplificando ricaviamo:

 

                             PRIMA EQUAZIONE                               (12)

 

Il segno meno è significativo del fatto il gradiente sia positivo nella direzione delle pressioni crescenti mentre la differenza P2 – P1 è positiva nella direzione opposta, dal punto di vista fisico il significato del meno è che i fluidi hanno la tendenza ad andare verso le zone a pressione minore.

 

Mi serve una seconda equazione.

Vogliamo conoscere la dipendenza della densità r del fluido dalla pressione.

 

Introduciamo le cosiddette approssimazioni di Boussinesq (Valentin Joseph Boussinesq, 1842-1929, matematico francese):

 

Nel caso del campo acustico vengono fatte le seguenti semplificazioni legate alle caratteristiche intrinseche del campo stesso:

1.     La derivata sostanziale della velocità diventa una derivata ordinaria perché il fluido è mediamente fermo.

2.     Ipotesi di piccole oscillazioni.

 

In particolare la ipotesi di piccole oscillazioni mi permettono di fare due importanti semplificazioni:

·       

 

·       

 

 

Questo perché in queste ipotesi p0>>p’ e r0>>r’

Dove p’ la pressione acustica o meglio lo scostamento da quella media all’equilibrio ed è l’unica responsabile del movimento del volumetto di fluido; p0 è la pressione media atmosferica, costante in ogni punto del volumetto in assenza di suono e che quindi non contribuirebbe al suo moto.

r ’ è la variazione di densità del mezzo perturbato rispetto alla situazione di equilibrio; r 0 è la densità media, prima della sollecitazione acustica.

 

Nelle ipotesi di piccole oscillazioni infatti i fenomeni acustici perturbano il mezzo coinvolto ma di poco cioè la variazione delle grandezze fisiche del mezzo da una situazione di equilibrio, prima della sollecitazione acustica, ad una perturbata, è piccola.

 

Consideriamo la situazione schematizzata nel grafico sottostante.

Applichiamo attraverso il pistone una pressione che determina un aumento della densità.

 

 

Sia  (p0,V0) il punto di equilibrio, e sia  r la retta  tangente alla curva  nel punto di equilibrio. Applicando una pressione p’ al gas, il sistema oscilla avanti e indietro lungo la retta r.

Sapendo, dalla legge di Poisson, che pVg=cost, cerchiamo la retta tangente alla curva nell’intorno del punto (p0, V0) derivando l’espressione:

                                                                (13)

Otteneniamo:

 

                                                        (14)

 

 

Cerchiamo, a questo punto di semplificare l’equazione precedente:

 

                                            (15)

 

Ricordando che v0 è il reciproco di r0  cioè:

 

                                                                       (16)

 

E che:

                                                               (17)

 

Ma, per le semplificazioni viste in precedenza, possiamo scrivere:

           

                                                                                (18)                     

 

Otteniamo quindi:

 

                                                                       (19)

 

Introduciamo l’equazione dei gas perfetti, equazione che mi servirà per arrivare all’equazione di d’Alembert.

 

Il gas perfetto è un modello ideale di stato fisico della materia caratterizzato dal fatto che in esso sono nulle le forze fra le molecole ed il volume effettivo di queste è trascurabile rispetto al volume occupato dall’intera massa gassosa.

Per qualunque sistema si possono definire le tre variabili, pressione P, volume V e temperatura T, che si riferiscono direttamente allo stato del sistema ( indirettamente anche alla sua composizione) e perciò vengono chiamate variabili di stato. Esse sono fra di loro indipendenti, ma esiste una relazione funzionale, denominata equazione di stato che esprime la dipendenza di ciascuna di esse dalle altre due e dal numero di mole n:

 

 

Questa equazione prende anche il nome di equazione caratteristica e nel caso del gas perfetto ha la forma semplice:

                                                                                    (20)

 

Quindi abbiamo che:

 

                                                                                    (21)

 

Sostituendo nell’equazione trovata in precedenza otteniamo:

                                                                                    (22)

 

 

 

Ricordandoci che la velocità c del suono è uguale a:

 

                                                                                   (23)

 

e sostituendo nell’equazione prima trovata:

 

 

                                                                                      (24)

 

Abbiamo quindi ricavato due equazioni differenziali.

 

                                                                (25,26)

               

 


Ho tre incognite in due equazioni, mi serve  una terza equazione.

Ammettendo che il campo delle velocità sia solenoidale e quindi ammette potenziale, andiamo a definire una nuova grandezza chiamata potenziale della velocità:

 

                                                                               (27)

 

Riscriviamo le equazioni sopra:

 

                                                          (28)

 

 

Semplificando:

 

                                                                        (29)

 

Che rappresenta l’equazione di Eulero riscritta.

 

Introduciamo l’equazione di continuità.

 

L’equazione di continuità non ha senso in assenza di fenomeni di accumulo cioè quando in regime stazionario la massa del volumetto di fluido resta costante. Questo però non è il caso dell’acustica dove periodicamente massa entra ed esce dal volumetto in quantità diverse formando accumuli che implicano una variazione della densità del volumetto stesso.

La variazione di densità è giustificata anche dal fatto che dentro al volumetto varia la velocità e la pressione del fluido; se l’aria si comporta come un gas perfetto è normale che variando la pressione cambia anche proporzionalmente la densità.

 

Considerando il volumetto dV delimitato da una superficie chiusa dS orientata in modo che il versore della normale vn sia in ogni punto diretto verso l’esterno e facendo un ragionamento analogo a quello fatto per le forze, abbiamo:

 

                                                     (30)

 

 

da cui, applicando il teorema della divergenza in base al quale il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa dS è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume racchiuso da dS , otteniamo:

 

                                                     (31)

                                                        (32)  

        

 

 

Dovendo essere valida questa relazione comunque si scelga il volume dV, deve essere nullo l’integrando

 

                                                                               (33)

                           

 

otteniamo:

 

                                                                                (34)

 

Utilizzando l’equazione di continuità e possiamo scrivere che:

 

                                                           (35)     

 

 

Sostituendo a p nell’equazione precedente l’espressione sotto:

 

                                                                                         (36)

 

Otteniamo:

 

                                                                                             (37)

 

Da cui semplificando r0 è facile ottenere l’Equazione di d’Alembert:

 

                                                                                       (38)

 

 

Detta anche equazione delle onde acustiche

 

Data la sua complessità l’equazione di d’Alembert nella pratica si integra solo in tre casi:

- ONDA PIANA PROGRESSIVA

E’ quell’onda che si sviluppa all’interno di un tubo di lunghezza indefinita, quando il fluido contenuto al suo interno viene sollecitato da un pistone che si muove di moto armonico

 

-ONDA SFERICA PROGRESSIVA

Generata da una sorgente sonora di forma sferica che irradia in ogni direzione il suono.

 

-ONDA PIANA STAZIONARIA

E’ quell’onda che si sviluppa all’interno di un tubo di lunghezza finita quando il fluido viene sollecitato da un pistone che comprime il fluido periodicamente.

 

A parte questi tre casi l’equazione di d’Alembert non si integra; esistono però in casi geometrici complessi svariati programmi di calcolo che sfruttano dei metodi numerici come gli elementi finiti o gli elementi di contorno e ci forniscono la soluzione dell’equazione.

 

 

Intensimetro

 

L’intensimetro è uno strumento utilizzato in ambito acustico per misurare l’intensità del suono, o meglio la  sua velocità. E’ costituito da una coppia di microfoni posizionati lungo la direzione nella quale vogliamo determinare la velocità del suono. I microfoni misurano la pressione delle particelle del campo sonoro, da cui ricaviamo l’intensità del suono in quella specifica direzione.

 

Nel nostro caso vogliamo misurare la componente cartesiana della velocità lungo l’asse x. Posizioniamo quindi , ad una distanza reciproca d, una coppia di microfoni destinati a misurare le pressioni sonore p’1 e p’2.

 

 

                               

 

 

 

 

 

Una sola coppia di microfoni riesce a misurare una sola componente cartesiana della velocità; volendo misurare la velocità complessiva nelle sue tre componenti cartesiane posizionerò altre due coppie di microfoni nelle altre due direzioni.

Le uscite dei microfoni vengono collegate ad un operazionale a sua volta collegato ad un integratore, il quale darà in uscita un segnale proporzionale alla componente cartesiana della velocità associata alla direzione nella quale sono posizionati i microfoni.

 

 

Lungo la direzione x il gradiente della pressione viene approssimato con una differenza finita fra le pressioni nei due punti, lecita se la distanza d fra i microfoni è piccola (situazione che nella pratica si cerca di realizzare):

 

 

 

                                               (39)

 

 

Calcoliamo adesso la componente della velocità nella direzione x.

La determiniamo a partire dall’equazione di Eulero e tenendo conto dell’equazione sopra scritta.

 

 

                                             (40)

 

 

Quello che voglio è però l’intensità del suono nella direzione x. Ma io so che:

 

                                                                 (41)

 

E che la pressione media tra i microfoni è:

 

                                                            (42)

 

Nell’ipotesi che il segnale sia sinusoidale:

 

                                                                                 (43)

 

si ha:

 

                                                                    (44)

 

ottenendo:

                                              (45)

 

 

 

Se i segnali in uscita dai microfoni vengono campionati, lavorando numericamente l’integrale può essere realizzato con una semplice somma dei campioni del segnale differenza di pressione; restando invece in ambito analogico si può dimostrare che fare un’integrazione nel tempo equivale nel dominio della frequenza a far attraversare al segnale un filtro analogico con un guadagno che cala linearmente con la frequenza:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Onde piane progressive

 

 

Facciamo a questo punto un’analisi delle onde piane progressive cercando in particolare le espressioni della:

 

·        velocità;

 

·        pressione;

 

·        intensità;

 

·        impedenza;

 

 

a partire dalla soluzione dell’equazione di D’Alembert espressa in termini del potenziale F .

 

Un’onda piana e progressiva è un’onda in cui tutte le particelle si muovono in un’unica direzione con la stessa velocità e pressione.

Come sorgente di queste onde possiamo pensare ad un pistone che si muove avanti e indietro all’interno di un tubo lungo una direzione di moto armonico.

                                                                                   

 

 

                                                                

 

 

 

 

Poniamoci nelle ipotesi che al tempo t=0:

 

·        Spostamento    s = 0

·        Velocità           u =u max

 

La soluzione dell’equazione di D’Alembert nel caso dell’onda piana progressiva è una funzione di tipo armonico:

                                                        (46)

 

dove 

 

                                                                                 (47)

 

 

rappresenta il NUMERO D’ONDA

dove w è la velocità angolare del pistone.

La formula di EULERO ci permette a questo punto di esprimere il potenziale della velocità in notazione complessa.

Io so che:

 

                                                                                (48)

 

da cui:

 

                                                                             (49)

 

 

dove j rappresenta l’unità immaginaria.

 

Generalmente si tende ad omettere l’indicazione della parte reale della grandezza esponenziale solo per comodità, sottintendendo che soltanto la parte reale ha significato in un contesto fisico.

Scriviamo quindi:

 

                                                                                 (50)

 

 

Nel contesto geometrico nel quale ci siamo messi, ovverosia il pistone che si muove di moto armonico all’interno del tubo nella sola direzione x il gradiente si riduce alla sola derivata direzione lungo x, in quanto le grandezze variano soltanto nella direzione dell’asse x quindi:

 

                                                                        (51)

                                      (52)

 

 

è chiaro che di questa espressione a noi interessa soltanto la parte reale in quanto la parte immaginaria non ha significato fisico. Il valore -j indica che la velocità è sfasata di -p /2 rispetto al potenziale e quindi se quest’ultimo è una grandezza cosinusoidale, la velocità sarà una grandezza sinusoidale.

A questo punto ricordandoci delle condizioni al contorno, viste in precedenza ricaviamo fmax

 

                                                                (53)

 

 

Da cui:

 

                                                                     (54)

 

 

Quindi sostituendo la (53) nella (54) e semplificando si ottiene:

 

                                                        (55)

 

Passiamo adesso al calcolo della pressione.

 

                                                                     (56)

 

sostituendo ricaviamo:

 

                                                     (57)

 

 

definendo:

 

                                                  (58)

                                                                 (59)

 

 

ricordandoci della (55) possiamo scrivere:

 

                                                              (60)

 

Calcoliamo l’intensità istantanea.

 

Sappiamo che:

                                                                                  (61)                     

 

quindi sostituendo:

 

                                                                (62)

 

 

Dall’intensità sonora istantanea si può ricavare l’intensità sonora media calcolando la media nel tempo del valore istantaneo:

                                        (63)

 

Quindi, nel nostro caso:

 

                                                                                                 (64)

 


                                                     (65)

                                  

 

                        (66)          

 

Se pressione e velocità sono segnali sinusoidali in fase , sono cioè campi sincroni, abbiamo il massimo trasferimento di energia possibile e possiamo approssimare abbastanza bene l’intensità con il quadrato della pressione in quanto pressione e velocità sono sostanzialmente lo stesso segnale a meno di una costante moltiplicativa (questa approssimazione oggi non è più molto usata poiché pressione e velocità devono essere in fase per avere una buona stima; in passato, invece, era l’unico modo per dare una rappresentazione matematica dell’intensità sonora in quanto non vi erano strumenti in grado di misurare la velocità delle particelle).

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Passiamo all’impedenza.

 

L’impedenza acustica è una grandezza di notevole importanza ed è definita come:

 

                                                                                                 (67)

 

In generale l’impedenza dovrebbe dipendere dal tempo visto che sia pressione che velocità sono funzioni del tempo. Però sia p che u sono segnali che copiano la stessa forma d’onda di partenza e quindi il loro rapporto non dipende dal tempo ma solo dal punto del campo sonoro in cui lo vado a calcolare.

L’unità di misura dell’impedenza è Pa / (m/s) a cui è stato dato il nome Rayl in onore di John William Strutt Rayleigh (1842-1919, fisico inglese, studioso di ottica, meccanica e acustica a cui è stato dato il premio Nobel per la fisica nel 1904 per gli studi compiuti con Ramsay che portarono alla scoperta dell’argo, il primo gas nobile identificato).

L’impedenza dell’aria in condizioni normali è di circa 415Rayl.

 

Calcoliamo l’impedenza per l’onda piana progressiva ricavandola dalla (60) ottenendo:

 

                                                                    (68)

 

 

Densità dell’energia sonora.

 

La densità di energia sonora, detta anche densità energetica, è definita come l’energia sonora che, in un dato istante, risulta localizzata nella unità di volume circostante un punto assegnato dal mezzo di propagazione; essa è cioè la densità di distribuzione della densità di energia sonora nel mezzo.

 

Introduciamo il coefficiente di densità di energia cioè la densità di energia per metro cubo.

Consideriamo nuovamente un cilindro all’interno del quale si muove un pistone di sezione A.

 

 

 

So che:

 

      e                                                             (69)

 

Prendendo t=1, ricaviamo il coefficiente di densità di energia:

 

                                                                      (70)

 

Ma noi sappiamo che:

                                   (71)

 

 

Dove

 

                                                                                    (72)

 

                                                                           (73)

 

 

Quindi possiamo riscrivere il coefficiente di densità di energia in questa forma:

 

                                                              (74)

 

 

Nel caso di un’onda piana progressiva:

 

                                                                                              (75)

 

E introducendo U, velocità dell’energia, nel caso generale:

 

                                                                                            (76)

 

Quindi tra U e c vale la seguente relazione:

 

 

L’uguaglianza vale soltanto nel caso delle onde piane progressive.

 

 

 

 

 

Dunque se vogliamo analizzare dal punto di vista acustico un sistema dobbiamo determinare la velocità e la pressione se vogliamo fare un’analisi fisica, mentre se vogliamo fare un’analisi puramente energetica sono sufficienti i valori di intensità sonora e di densità di energia.

 

Introduciamo alcuni livelli.

 

·        LIVELLO DI DENSITA’

 

      

                                  

   

 

·        LIVELLO DI PRESSIONE

 

 

·        LIVELLO DI VELOCITA’

 

 

·       
LIVELLO DI INTENSITA’

 


 

 

 

La differenza tra il livello di densità e quello di intensità è definito : INDICE DI REATTIVITA’

quanto più è reattivo il nostro corpo tanto più questo indice è grande.

 

 

A volte  viene indicato l’indice di reattività come la differenza tra il livello di pressione e quello di intensità :

 

 

ma questo è un errore  visto che questa differenza potrebbe essere negativa ,e ciò indicherebbe che un campo si possa propagare più velocemente di un onda piana progressiva, ma questo è impossibile.