Si consideri un sistema costituito da un serbatoio aperto (che si trova
perciò a pressione atmosferica) e da un autoclave (serbatoio chiuso a pressione
P2 = 2,5 bar) perfettamente stagno e pressurizzato. Tramite
una pompa l’acqua deve essere portata dal primo al secondo serbatoio.
Il tubo che collega i due serbatoi ha una lunghezza L = 8m e un
diametro D = 0,05m e una scabrezza relativa e/D = 0,01
Sapendo che la pompa ha un rendimento mp = 0,6 e che la portata in massa dell’acqua deve essere costante e pari a M
= 3 kg/s, calcolare la prevalenza Dp e la potenza P della
pompa.
Dati:
P1 = 1 bar
P2 = 2,5 bar
L = 8m
D = 0,05m
M = 3 kg/s
mp = 0,6
E’ necessario, innanzitutto, scegliere nel modo più adeguato le due sezioni
da utilizzare in seguito nell’equazione di Bernoulli.
Osserviamo che i peli liberi dei due serbatoi si trovano alla stessa
altezza e possiamo supporre come ipotesi che essi si muovano molto lentamente
tra di loro, quindi le loro velocità sono praticamente nulle.
L’equazione di Bernoulli è:
Ma nel nostro caso il lavoro è quello svolto dalla pompa quindi
e tenendo conto del fatto che e otteniamo:
Di questa equazione conosciamo le 2 pressioni ma dobbiamo ricavare dai dati
il valore di R che riassume le perdite concentrate e quelle distribuite ed è
dato dall’equazione:
Dove:
·
= Fattore di
Attrito
·
L = Lunghezza del
condotto
·
Le =
Lunghezza equivalente (ossia dovuta alle perdite concentrate)
·
w = velocità del
fluido
Il fattore di attrito è ricavabile dal diagramma di Moody una volta
conosciuti il Numero di Reynolds e la scabrezza relativa.
Il numero di Reynolds è dato da:
dove è la VISCOSITA’ CINEMATICA e nel nostro caso
per l’acqua a 15-16°C vale .
Sapendo che la portata in massa posso ricavare la velocità del fluido
Si consideri un impianto di riscaldamento costituito da un caminetto e
avente le seguenti caratteristiche:
T1=250°C
T2=10°C
H=8m
Sapendo che in un’ora vengono bruciati circa 10 kg di legna e che per
bruciarli sono necessari 14 Kg di aria possiamo ricavare la portata in massa
del camino, che è pari a , essa sarà la
portata in massa minima che devo avere per riuscire a bruciare tutta la legna.
Si vuole vedere se il camino “tira” e in caso positivo calcolare la
velocità effettiva del processo.
In prima approssimazione potrei supporre che le pressioni interne ed
esterne siano uguali, in modo da semplificare i calcoli, ma ciò non è vero. E’
infatti proprio la differenza di pressione che fa tirare il camino!
Devo perciò calcolarla e utilizzo le proprietà del fluido esterno dato che
quello interno è in movimento.
Devo calcolare le densità dei fumi a 10°C ed a 250°C.
OSS. Dato che nel processo di combustione la quantità
d’aria che entra e 4-5 volte la quantità stechiometrica, ossia quella veramente
necessaria alla combustione, posso utilizzare le caratteristiche dell’aria per
calcolare le varie densità
Dall’equazione dei gas perfetti:
e considero
Allora la differenza di pressione risulta
L’equazione di bilancio energetico è:
lo posso considerare molto più piccola di che è la velocità
di uscita dal caminetto.
Allora l’equazione diventa:
visto che ottengo:
Resistenza Motore
Il membro a sinistra dell’equazione e la Resistenza che si oppone al
passaggio dei fumi mentre il membro ha destra è il motore che spinge i fumi
dall’interno verso l’esterno ed è dovuto alla differenza di pressione che
esiste tra i due ambienti.
Sapendo che la portata in massa dei fumi deve essere pari a posso calcolare la
velocità che devono avere quest’ultimi:
La sezione della canna fumaria non mi viene fornita dai dati del problema,
posso perciò assumerla di forma quadrata con un lato di 0,15m che è la
grandezza minima imposta dalla legge.
Posso ora ricavare il numero di Reynolds, sapendo che per una superficie
quadrata il diametro idraulico equivale al lato e che la viscosità cinematica
dell’aria a 250°C è
(moto turbolento)
La scabrezza relativa
e dal diagramma di Moody ricavo un valore per il Fattore di attrito pari a
I fumi nel loro tragitto incontrano anche un gomito che equivale ad un
valore
Ora conosco tutte le grandezze che mi interessano e posso calcolare i
valori della Resistenza e del Motore.
Resistenza:
Motore:
OSSERVO che il motore è
sovrabbondante perciò il camino tira ma in realtà la portata in massa del
camino e quindi la velocità dei fumi sarà molto maggiore di quella fornita dai
dati.
Per calcolare la velocità effettiva deve utilizzare un procedimento
iterattivo.
1.
Calcolo la velocità
partendo dal valore del motore che ho ottenuto e che varierà in base al valore
del Fattore di Attrito, tramite la formula :
2.
Dal valore di
velocità ricavato calcolo il Numero di Reynolds
3.
Dal numero di
Reynolds calcolo il Fattore di attrito e ritorno al punto 1.
Nella tabella seguente sono riportati i risultati di qualche iterazione
w |
Re |
ξ |
w2 |
5,08 |
18056 |
0,045 |
5,13 |
5,13 |
18255 |
0,043 |
5,19 |
5,19 |
18463 |
0,043 |
5,19 |
Dopo qualche iterazione la velocità si stabilizza su un determinato valore,
va comunque osservato che questo valore presenta una incertezza dovuta al fatto
che il calcolo del fattore di attrito ξ viene fatto per via grafica dal diagramma di
Moody.
Va inoltre osservato che la velocità effettiva è due volte più grande di
quella fornita dai dati perciò il camino tira molto. Questo fatto non è sempre
positivo infatti l’aria calda che viene sottratta alla stanza deve essere
compensata da aria fredda che proviene dall’esterno e perciò è molto più
difficoltoso scaldare la stanza. Per ovviare a questo inconveniente potrei
mettere una saracinesca che regoli l’aspirazione dell’aria dall’esterno verso
l’interno.
βimbocco = 0,5
βgomito = 1
βsbocco = 1
Siamo ora in grado di calcolare le perdite di carico totali:
La prevalenza del ventilatore sarà quindi data da:
Perciò la potenza teorica necessaria è:
Ma visto che il nostro ventilatore ha un rendimento di 0,6 allora la
potenza richiesta alla rete elettrica sarà superiore:
Determinare la potenza termica () ceduta dal corpo
scaldante (termosifone) di un impianto di riscaldamento a circolazione
naturale.
Un impianto a circolazione naturale è costituito da una caldaia, un
termosifone e due tubi di collegamento. A differenza di un normale impianto domestico
non è presente una pompa: l’acqua viene fatta circolare sfruttando la
differenza di temperatura tra l’acqua uscente dalla caldaia e quella uscente
dal corpo scaldante
L’unico elemento che disperde calore è il termosifone perciò i tubi
mantengono inalterata la loro temperatura lungo tutto il tragitto.
Dati:
ε = 0,0001 m (Scabrezza)
D = 0,05 m (diametro tubi)
L = 100 m (lunghezza totale dei tubi)
T1 = 70°C
T2 = 50°C
βtot = 5+5+1+1 = 12
Per calcolare il valore
del fattore di attrito ξ è necessario conoscere il valore numero di
Reynolds ma per ricavare questo bisogna a sua volta conoscere il valore della
velocità w che è proprio l’incognita. E’ necessario perciò utilizzare anche
stavolta un procedimento iterattivo:
1.
Scelta di un valore
“sensato” di w.
2.
Calcolo del numero
di Reynolds.
3.
Conoscendo la
scabrezza relativa , si ricava il fattore di attrito ξ dal
diagramma di Moody.
4.
Calcolo il nuovo
valore di velocità w.
5.
ritorno al punto 2
fino a che i valori non si assestano attorno ad uno preciso.
Nella tabella seguente sono riportati i risultati di qualche iterazione
w |
Re |
ξ |
w2 |
0,5 |
44706 |
0,026 |
0,179 |
0,179 |
16025 |
0,033 |
0,162 |
0,162 |
14515 |
0,035 |
0,158 |
0,158 |
14157 |
0,035 |
0,158 |
Alla fine la velocità si assesta attorno ad un valore approssimativo di
La portata è perciò:
e la potenza termica cercata: