Esercizi sul moto dei fluidi

· Richiami teoria

· Proposte di esercizi

· Appendice

Richiami Teoria

· N° di Reynolds : (1)

Questa formula ci dice che la transizione da regime laminare a regime turbolento dipende da quattro grandezze: velocità del liquido (w), densità (), viscosità del fluido () e diametro del condotto (D).

In particolare se Re è minore di 2100 abbiamo un moto laminare, se Re è maggiore di 4000 abbiamo un regime turbolento, mentre all’interno di questo intervallo ci troviamo in una zona instabile dove non è possibile prevedere il comportamento del fluido.

Considerando la viscosità cinematica allora la formula (1) diventa :

· Scabrezza relativa :

Dove è la scabrezza del tubo e D è il suo diametro

· Fattore di attrito :

Sapendo la scabrezza relativa ed il n° di Reynolds tramite il diagramma di Moody (vedi appendice) possiamo ricavare il fattore di attrito.

Analiticamente abbiamo la seguente formula

da cui si ricava la perdita di carico

· Perdite di carico distribuite :

Nel caso di regime laminare e condotto liscio a sezione circolare costate si ha

(2)

· Perdite di carico concentrate :

(3)

dove è il coefficiente di perdita concentrate che varia a seconda del tipo di ostacolo o discontinuità presente nel condotto (vedi appendice).

Quindi per calcolare le perdite di carico totali bisogna sommare sia quelle concentrate (3) che quelle distribuite (2):

(4)

· Lunghezza equivalente :

Per le perdite concentrate possiamo introdurre il concetto di lunghezza equivalente; semplicemente si uguaglia la perdita concentrata ad una perdita distribuita lungo un tubo di opportuna lunghezza.

La lunghezza equivalente, quindi, varia a seconda delle discontinuità presenti nel condotto e si ricava dall’apposito nomogramma (vedi appendice).

In tal modo, nel calcolo delle perdite totali, è possibile eliminare la dipendenza dalle perdite concentrate.

· Diametro equivalente:

Ci permette di studiare il moto dei fluidi in condotti di qualsiasi forma, non solo circolare, considerandoli come tali; definiamo il diametro equivalente come

dove A è l’area della sezione del condotto e Perimetro-bagnato è il perimetro che il liquido tocca all’interno del condotto.

Consideriamo per esempio un tubo quadrato di lato

ll

· Equazione di Bernoulli (bilancio energetico):

Normalmente per la risoluzione degli esercizi viene utilizzata una equazione più semplice di quella di Navier: l’equazione di Bernoulli, che esprime il bilancio energetico tra due sezioni del condotto.

Quest’ultima si ricava integrando, a regime stazionari, l’equazione di Navier sul tubo di flusso considerato

Dove R indica le perdite di carico espresse nella (4)

· Equazione di continuità:

Consideriamo un tubo Come in figura

Nelle due sezioni considerate la portata massica deve essere la stessa, quindi

dove D è il diametro delle rispettive sezioni del condotto.

Si nota quindi come diminuendo il diametro debba aumentare la velocità affinché la portata massica rimanga invariata.

Proposte di esercizi

Esercizio 1

Un tubo di lunghezza e con un diametro ha una portata di acqua ad una temperatura di 27°C.

Sapendo che la potenza della pompa è costante (), se l’acqua viene raffreddata fino a 5°C, varia la portata ?

Svolgimento

Prima di tutto bisogna cercare la viscosità dinamica () e la densità () dell’acqua a 27°C e ad una atmosfera sulle apposite tabelle per ricavare la viscosità cinematica ()

Conoscendo e considerando la scabrezza relativa del tubo vado a vedere il corrispondente fattore di attrito sul diagramma di Moodi (vedi appendice) e trovo

Ora cerco le perdite distribuite

Quindi calcolo la potenza della pompa

Considerando che la pompa ha una rendita , la potenza efficace risulta

Riducendo la temperatura a 5°C avrò altri valori di viscosità dinamica e densità, quindi cambierà anche la viscosità cinematica ed il numero di Reinolds.

Ora andando ancora sul diagramma di Moodi si ricava il fattore di attrito relativo a ed a

Notiamo che il fattore di attrito è cresciuto, quindi la prevalenza della pompa dovrebbe essere cresciuta per aver mantenuto la stessa portata, ma per ipotesi abbiamo che la potenza della pompa è costante quindi deve essere calata la portata.

Poiché < segue che anche <(ricordiamo che avevamo ipotizzato la stessa velocità alle due temperature), tuttavia non conosco la nuova velocità.

Quindi ho due variabili, portata e velocità; in questo caso è necessario innescare un processo iterativo, si fissa un valore di una variabile e si ricava la seconda incognita.

· Tengo costante la velocità

Questi calcoli naturalmente sono errati poiché ho tenuto costante la velocità; ora fisso una nuova velocità

ora rifaccio i calcoli con la nuova velocità

Questo risultato non va bene, abbiamo ottenuto un valore che supera la portata iniziale, questo processo iterativo non converge al valore cercata. In questo caso bisogna quindi tenere costante la prevalenza.

· Tengo costante la prevalenza

Ora ricavo

quindi calcolo la nuova prevalenza ed impongo che la potenza sia la stessa.

A questo punto bisogna ripetere i calcoli col nuovo valore di ottenuto.

N.B.: Spesso è consigliabile tener costante il termine con esponente minore e far variare il termine con esponente maggiore; nel nostro caso, infatti, la velocità era elevata al quadrato mentre la prevalenza no

Esercizio 2

Due tubi, A e B, posti in serie tra loro, aventi diametro interno rispettivamente D_A=5 cm, D_B=10 cm e lunghezza L_A=180 m, L_B=90 m, collegano due serbatoi con diverse quantità di acqua. La differenza di quota tra i due peli liberi è H=6 m ed il coefficiente di viscosità cinematica è .

Sapendo che i tubi sono in ghisa (), determinare la portata.

Svolgimento

Prima di tutto scrivo l’equazione di bilancio dell’ energia (equazione di Bernoulli) tra le due sezioni:

Le velocità sono piccole quindi posso non considerare il 1° termine, inoltre, poiché 6m di dislivello non originano alcuna differenza di pressione posso omettere anche il 3° termine.

Ora devo cercare le perdite distribuite e quelle concentrate (R).

Per le perdite concentrate uso le lunghezze equivalenti che ricavo dall’apposito nomogramma (vedi appendice), arrivando così alla seguente espressione

(1)

Inoltre sappiamo che dobbiamo avere la stessa portata nelle due sezioni quindi

Andando a sostituire nella (1) si ottiene

Posso quindi ricavare

(2)

Come possiamo notare nell’ equazione (1) compaiono due incognite, la velocità ed il fattore di attrito; quest’ultimo dipende proprio, tramite il numero di Reynold, dalla velocità. Quindi per risolvere il problema dobbiamo innescare un processo iterativo ipotizzando una “velocità di primo tentativo”.

· 1° tentativo

Ora posso calcolare i numeri di Reinolds per ciascuna sezione

Sapendo che il tubo è scabro, ricavo la scabrezza relativa delle due sezioni

Ora ricavo facilmente dal diagramma di Moody i rispettivi coefficienti di attrito delle due sezioni

Le lunghezze equivalenti , come gia detto si ricavano facilmente dal nomogramma poiché le sezioni via via si raddoppiano.

Andando a sostituire tutti i valori ottenuti nella (2) otteniamo

Quindi la portata sarà

Poiché la velocità iniziale che abbiamo supposto () è sbagliata bisogna ripetere i calcoli fissando come velocità di secondo tentativo , e continuare con successive approssimazioni fino ad arrivare al valore esatto.

Esercizio3

Siano dati due serbatoi di forma cilindrica, A e B, uguali tra loro, pieni di acqua ().

Alla loro base vengono applicati tubi di lunghezza diversa (come in figura).

Dire, dimostrandolo, quale si svuota per primo.

Svolgimento:

Consideriamo il serbatoio A.

Per prima cosa cerchiamo le perdite di carico concentrate e distribuite

dove L è la lunghezza del condotto e la velocità nella sezione 2.

Scriviamo ora l’equazione di Bernoulli, che nel nostro caso diventa

Quindi si vede che la velocità con cui esce l’acqua è direttamente proporzionale alla lunghezza del tubo, la velocità di uscita del serbatoio B sara quindi maggiore di quella del serbatoio A.

Da queste considerazioni arriviamo alla conclusione che si svuota prima il serbatoio B

Esercizio 4

Determinare l’altezza del getto d’acqua di una fontana alimentata da una pompa di prevalenza = 4 Bar

Dati

L = 6 m

D = 0.08 m

d = 0.02 m

r = 10³ Kg/m³

u = m/r = 10^-6 m²/s

Per semplicità si considerino I tubi lisci

Svolgimento

Prima di tutto applichiamo l’equazione di Bernoulli alle sezioni 1 e 2 indicate in figura

Il termine è trascurabile poiché le due sezioni possono essere considerate entrambe a pressione atmosferica; R non sono altro che le perdite di carico totali, e guardando il disegno si nota come non sia altro che .

Sfruttando l’equazione di continuità, uguagliamo le portate massicce nelle due sezioni

poiché si ricava

Si deve quindi risolvere il seguente sistema

Ora dobbiamo calcolare le perdite di carico, in particolare per la perdita di carico concentrata, data dal restringimento dell’ugello, usiamo le lunghezze equivalenti, sfruttando l’apposito nomogramma in appendice.

Andando a sostituire nel sistema R otteniamo in funzione di

Come sappiamo per individuare sul diagramma di Moody ci occorre il numero di Reynolds . In questo caso non è però possibile calcolarlo poiche esso stesso dipende dalla velocità.

La risoluzione di questo problema richiede quindi un processo iterativo.

Per cominciare possiamo calcolare la velocita che avremmo con coefficiente di attrito nullo:

Con questo valore di velocità possiamo calcolare il corrispondente numero di Reynolds:

Ora con questo valore di Re e sapendo che i tubi sono lisci dal diagramma di Moody ricavo una nuova

Con questo nuovo coefficiente di attrito ripeto i calcoli trovando una nuova velocità

Questa nuova velocità differisce di pochissimo dalla precedente e posso quindi considerarla il mio valore definitivo.

Ritornando al sistema iniziale, calcolo la velocità nella seconda sezione:

In fine considero le sezioni 2 e 3. La formula di Bernoulli si riduce ad una equazione molto semplice, e ricavo facilmente l’altezza del getto d’acqua:

Appendice

· Diagramma di Moody

· Coefficienti per le perdite concentrate

· Tabella per il calcolo del diametro equivalente

· Nomogramma