Scambio termico per irraggiamento

 

     L’irraggiamento è, dopo conduzione e convezione, il terzo modo in cui può avvenire scambio termico tra due corpi.

In generale un qualsiasi corpo è soggetto simultaneamente ad un flusso di energia entrante in esso e ad uno uscente da esso, che sono gli effetti dell’interazione termica con l’ambiente in cui si trova. Se si considerano due corpi, ognuno di essi emetterà energia verso l’ambiente circostante, quindi ognuno di essi riceverà energia dall’altro corpo.  Ovviamente queste energie saranno nel caso più generale diverse; se, infatti, fossero uguali non si vedrebbe alcuna variazione nello stato dei corpi, che recupererebbero la stessa energia persa.

 

 

                          

                                        Fig. 1 : Scambio di energia tra due corpi

 

Questo discorso vale anche per le diverse parti di uno stesso corpo, che possono scambiarsi calore se sono affacciate; questo può avvenire solo nei corpi che presentano delle concavità. Per semplicità tali corpi non verranno considerati nella successiva analisi.

                                              

                                           Fig. 2 : Esempio di corpo concavo

 

Il fenomeno dell’irraggiamento consiste nella classica propagazione delle onde elettromagnetiche. Come si può ricavare dalle due seguenti equazioni di Maxwell,

(valide in caso di assenza di sorgenti)

 

                                             

 

esse sono formate da campi elettrici e magnetici variabili. Questi campi nascono e si sostengono grazie ad effetti di induzione elettromagnetica. La Fig.3 rappresenta un’onda piana monocromatica, alla quale cioè possiamo associare una sola lunghezza d’onda e quindi una sola frequenza. Si ricordi infatti che queste due grandezze sono legate da una relazione di inversa proporzionalità:

 

                                               

 

dove l è la lunghezza d’onda, f la frequenza e c la velocità delle onde nel mezzo considerato. In particolare nel vuoto tale velocità è costante e vale c = 300000 km/s.

Negli altri mezzi essa vale, dove n è il coefficiente di rifrazione del mezzo.

            

                       Fig. 3 : Onda elettromagnetica piana monocromatica

 

La Fig.3 mostra anche le posizioni reciproche dei campi in un’onda, che sono descritte dalle relazioni vettoriali

 

                                           

 

La prima mostra che  e  sono perpendicolari tra loro, la seconda dà il vettore di propagazione.

La monocromaticità delle onde elettromagnetiche è solo un’astrazione: infatti gli unici corpi reali che emettono ad una sola lunghezza d’onda (con buona approssimazione) sono le lampade laser. Tutti i corpi naturali e la maggior parte dei corpi artificiali emettono in banda larga, cioè distribuiscono l’energia emessa su un intervallo più o meno esteso di lunghezze d’onda. Tuttavia, come si può vedere dalla Fig.4, l’emissione non è continua, bensì l’energia è concentrata a certe lunghezze d’onda caratteristiche di ogni materiale; i picchi possono essere anche molto sottili, simili a righe, tanto che gli spettri di emissione vengono anche detti spettri a righe. Il fatto che le righe si collochino in punti ben precisi e fissi per un dato materiale deriva dal processo fisico che è alla base dell’emissione stessa.

Quando un corpo viene eccitato, gli elettroni ricevono energia e riescono a vincere la barriera che li separa dai livelli superiori. Tuttavia lo spostamento porta il sistema ad uno stato profondamente instabile, che costringe gli elettroni a tornare al punto di partenza. Naturalmente essi devono liberarsi dell’energia che avevano acquisito e si ha così l’emissione. Ma la separazione energetica dei vari livelli e la configurazione elettronica sono caratteristiche di ogni materiale e determinano univocamente il numero (numero di transizioni elettroniche a diversa energia permesse) e la posizione dei picchi di emissione. Si hanno così spettri con un basso numero di righe, come per l’idrogeno e gli elementi leggeri, e spettri con molte righe: quanto più un atomo è

             

         Fig. 4 : Energia emessa da un corpo reale in funzione della lunghezza d’onda                               

 

pesante, tanto più numerose sono le transizioni elettroniche permesse e tanto più lo spettro si avvicina a quello continuo.

Apparentemente l’emissione è uno dei fenomeni più evidenti che ci siano in natura, ma in realtà gran parte delle radiazioni si sottraggono alla nostra vista, perché non cadono nel visibile. A questo proposito è utile osservare lo spettro delle onde elettromagnetiche nella sua completezza. Facendo riferimento alla Fig.6, la radiazione visibile è la piccola striscia grigia che si colloca appena prima dei 10-6 m (0.4-0.7 nm). Si vede distintamente come i nostri occhi ci nascondano gran parte dei fenomeni elettromagnetici. Molte delle righe di emissione di tutti gli elementi possono essere individuate solo con l’ausilio di strumentazione apposita, poiché cadono fuori dalla zona di sensibilità della vista umana.

Nello stesso modo in cui emette, un corpo può anche assorbire radiazione elettromagnetica; questo fenomeno è legato agli stessi processi di transizioni elettroniche coinvolti nel caso precedente, quindi le energie in gioco sono le stesse e così le lunghezze d’onda. Si può allora concludere che un corpo assorbe alle stesse frequenze alle quali emette.

Se un corpo è colpito da luce bianca uniforme, parte dell’energia è riflessa, parte assorbita e parte trasmessa. Rappresentando quella trasmessa si nota che alle stesse lunghezze d’onda cui corrispondono i picchi di emissione vi sono ora delle buche di assorbimento. In particolare, se E è l’energia della radiazione incidente, vale la relazione

                                              

                                           

 

Il fenomeno dell’assorbimento influisce notevolmente sull’irraggiamento; infatti, per avere un buono scambio di calore tra due o più corpi è necessario che il mezzo che li separa sia trasparente. Per capire come questo sia importante è sufficiente osservare l’effetto della materia sulla intensità dell’onda.

 

        

                                                    Fig. 5 : Assorbimento di energia

                                                                                        

                                         Fig. 6 : Spettro delle onde elettromagnetiche

Se una radiazione di intensità  colpisce uno strato di materiale di spessore X l’intensità dell’onda trasmessa è data da

 

                                              

 

dove b è il coefficiente di estinzione. Osserviamo che la decrescita è esponenziale, quindi se il b del mezzo è troppo elevato la radiazione si estingue velocemente e gli interscambi tra i corpi sono notevolmente ridotti.

Questo coefficiente di estinzione assume valori diversi per le varie sostanze, ma non è una costante: esso dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione incidente.

 

                  

                             Fig. 7 : Coefficiente di estinzione e risonanza

 

Come si può vedere dalla Fig.7, dove , attorno a l ben precise (nella figura ne è rappresentata una sola), fissate dalla configurazione elettronica della sostanza, il b è soggetto a risonanza e si ha un assorbimento anomalo: questa è l’origine delle righe di assorbimento.

Il colore che la nostra vista associa ad un corpo è quello della luce che esso riflette: in essa ci sono dunque tutte le componenti cromatiche eccetto quelle che esso assorbe. Ad esempio l’acqua è opaca per quasi tutto lo spettro, tranne per una finestrella nel visibile: essa riflette nel verde-azzurro. Per questo, ad esempio, la luce rossa perde già il 90% della sua intensità a 3 m di profondità. Se l’acqua non assorbisse tutte queste lunghezze d’onda assumerebbe per l’uomo una colorazione molto marcata. Una singolare coincidenza è il fatto che il verde-azzurro sia la zona di maggiore sensibilità dell’occhio umano, tanto da far pensare che l’uomo abbia avuto antenati marini!

Come si è visto precedentemente, lo spettro delle onde elettromagnetiche è molto vasto, ma per descrivere i fenomeni terrestri è possibile restringere il campo delle lunghezze d’onda d’interesse a quelle maggiori della minima l a cui emette il Sole.

Quest’ultima cade nell’ultravioletto e lo divide in due parti: quella interna alla zona d’interesse viene detta U.V.A. Si osservi in particolare che rimangono escluse da questo campo anche le radiazioni ionizzanti, le quali hanno un’alta energia e riescono a strappare elettroni agli atomi. Così facendo esse rompono dei legami chimici e creano dei radicali liberi, che sono molto reattivi e danno origine a composti in grado di provocare la morte cellulare negli organismi viventi.

La figura di emissione di un corpo (Fig.4) dipende fortemente dalla temperatura: all’aumentare di quest’ultima il corpo emette a l sempre minori. Se si considera

l’inviluppo dei picchi (si approssima cioè il corpo ad un corpo nero, come si vedrà), esso presenta un massimo, la cui posizione è legata alla temperatura dalla relazione

 

                                             .

 

Come vedremo questa è detta legge di Wien.

 

                          

                                                Fig. 8 : Legge di Wien

 

Questa legge stabilisce una corrispondenza tra temperatura e lunghezza d’onda di maggiore emissione, tanto che in colorimetria si parla di temperatura di colore: è la temperatura di un corpo il cui spettro ha l’emissione coincidente con quella della lampada. Ad esempio se la temperatura di colore di una lampada è alta, essa emette nel verde-azzurro, se è bassa si ha luce rossastra.

 

Analisi energetica

 

   In vista di analizzare la figura di emissione di un corpo, è necessario introdurre alcune grandezze energetiche fondamentali. Detta  la potenza emessa per unità di superficie ( W/m2 )(si può osservare per quanto detto precedentemente che essa è funzione della temperatura), si definisce il potere emissivo monocromatico o specifico e come

 

                                               (W/m3)

 

Allora

 

                                        

 

e  viene detto anche potere emissivo integrale, in quanto rappresenta l’effetto cumulativo su tutto lo spettro.

Si consideri ora un corpo e siano:  la potenza incidente, la potenza riflessa,  la potenza assorbita,  la potenza trasmessa. Si può subito osservare (vedere Fig.5) che

 

                                       

I rapporti

 

                                               

                                               

                                               

 

prendono il nome rispettivamente di coefficienti di riflessione, trasmissione e assorbimento.

Allora

 

                                            .

 

Si osservi infine che questi coefficienti sono effettivamente dei numeri puri, ma comunque variabili con la lunghezza d’onda della radiazione incidente.

 

Corpo nero

 

   Si è già detto come la figura di emissione sia segnata da alcuni picchi nei quali si concentra la maggior parte dell’energia. A causa delle difficoltà  nella descrizione analitica del potere emissivo per i corpi reali, si usa introdurre una costruzione teorica: si definisce corpo nero un ipotetico materiale con elettroni eccitabili ad infiniti stati. Esso viene ad essere un corpo che ad ogni temperatura assorbe completamente la radiazione che gli arriva a qualsiasi lunghezza d’onda, cioè

 

                                           *

 

Il potere emissivo specifico per un tale corpo viene ad essere l’involucro esterno dei picchi di un corpo reale e assume la forma visibile in Fig.9.    

 

         

                Fig. 9 : Potere emissivo specifico del corpo nero alle varie temperature

Si osservi infatti che in queste condizioni si ha la massima emissione possibile.

Per il corpo nero si usa convenzionalmente il pedice ‘0’ dopo le varie grandezze energetiche per distinguerle da quelle dei corpi reali: ad esempio il potere emissivo monocromatico si chiama .

I corpi neri perfettamente fedeli alla definizione sono praticamente irrealizzabili; una realizzazione pratica accettabile è visibile in Fig.10: il corpo nero è il punto C.

 

                 

                                    Fig. 10 : Esempio di corpo nero

 

E’ possibile descrivere in modo preciso il comportamento del corpo nero grazie ad alcune leggi.

 

Legge di Planck

 

Questa legge afferma che il potere emissivo specifico di un corpo nero è esprimibile nella forma

 

                                

 

dove le due costanti valgono

                     

                                

                                

 

Questa espressione si ottiene approssimando il corpo emettitore ad un insieme di oscillatori armonici e sposando la fisica quantistica, che associa ad essi dei livelli energetici discreti. Infatti la fisica classica, concedendo un intervallo continuo di energie, portava alla legge di Rayleigh-Jeans, che si scosta in modo netto dal risultato sperimentale, praticamente coincidente con la previsione di Planck.

 

Legge di Wien

Come anticipato precedentemente, questa legge mette in relazione la lunghezza

d’onda del picco di emissione con la temperatura.

 

            

                     Fig. 11 : Legge di Rayleigh-Jeans e Planck: la curva sperimentale

                                     coincide con quella di Planck

In particolare

 

                                 .

 

L’inversa proporzionalità è chiaramente visibile anche in Fig.9.

Questa espressione è analiticamente ottenibile dalla legge di Planck (per il calcolo si veda la Appendice 1), ma fu enunciata da Wien trent’anni prima che quest’ultima venisse formulata.

 

Legge di Stefan-Boltzmann

 

Integrando il potere emissivo specifico di Planck su tutto lo spettro (vedere l’Appendice 2) si ottiene questa legge, secondo la quale

 

                              

 

dove la costante di proporzionalità è la costante di Stefan-Boltzmann e si indica con .

 

Corpi grigi e corpi reali

 

   L’astrazione applicata nella definizione del corpo nero è radicale; si può concedere un po’ di più definendo i corpi grigi, per i quali

 

                               *;           

 

il coefficiente di assorbimento è minore di 1, ma costante a tutte le lunghezze d’onda e a tutte le temperature.Tuttavia in generale i corpi reali non sono grigi e per essi vale che . In ambito tecnico i corpi vengono considerati come grigi. Si può però osservare che quanto più un materiale è chimicamente complicato, tante

più sono le sue righe spettrali, tanto più il suo spettro si avvicina a quello del corpo nero. Per i corpi grigi vale in generale la relazione

 

                                                   (grigiezza rispetto al potere e)

 

dove e è il coefficiente di emissione per i corpi grigi.

Quindi l’emissione non è più la massima possibile, ma è ridotta del 20%.(Fig.12)

 

                            

                                   Fig. 12 : Corpo nero e grigio a confronto

 

Si consideri ora una superficie chiusa cava a temperatura costante . Si immerga in essa un corpo nero: a regime esso ha temperatura  e vale

 

                                       

 

Si tolga il corpo nero e vi si immerga un corpo grigio: anch’esso si porta a  e a regime

 

                                      

 

da cui si ricava

 

                           *     .

           

Allora per il corpo grigio è sufficiente porre il coefficiente  davanti all’espressione di Stefan-Boltzmann per avere il potere emissivo integrale.

 

Emissione angolare

 

   Non si è ancora detto nulla sulla distribuzione nelle varie direzioni dello spazio dell’energia emessa. E’ necessario allora introdurre un’altra grandezza, il potere emissivo angolare i, definito come la potenza emessa per unità di superficie su un angolo solido dW, cioè

 

                                                 .

L’unità di misura di i è  poiché l’angolo solido si misura in sterad.

 

      

                                                         Fig. 13 : Angolo solido

 

Con l’aiuto della Fig.13 ( a ) è possibile ricordare la definizione dell’angolo solido:

 

                                                  

 

da cui si può facilmente ricavare che  . L’angolo solido totale misura 4p.

Il potere emissivo angolare viene convenzionalmente rappresentato in coordinate polari: l’inviluppo delle sue ampiezze è detto solido fotometrico.

 

                                       

                                           Fig. 14 : Esempio di solido fotometrico

 

In questi diagrammi l’angolo con l’orizzontale rappresenta la direzione di emissione, la distanza della curva dall’origine rappresenta l’ampiezza del  potere emissivo angolare. Spesso essi sono simmetrici rispetto all’asse verticale, ma non è la regola.

Per il corpo nero vale la legge di Lambert, secondo la quale

 

                                                    

 

dove  è il valore massimo di raggiunto sulla verticale.

Quindi il solido fotometrico del corpo nero è una sfera.

 

                                         

                                              Fig. 15 : Solido fotometrico del corpo nero

 

Un corpo non nero ma che mantiene un comportamento alla Lambert presenta sfere più piccole, spesso di forma vagamente ovoidale, come nella Fig.16.

 

                                          

                                                                         Fig. 16

 

Per un corpo non nero che emette in modo uniforme in tutte le direzioni il solido fotometrico è una semisfera. A parità di  vale  (Fig.17).

 

                                           

                              Fig. 17 : Solido fotometrico uniforme di un corpo non nero

 

Per i corpi grigi, vale la condizione

 

                                                 

 

detta criterio di grigiezza rispetto al potere emissivo.

Infine, i corpi reali non approssimabili né a corpi neri né a corpi grigi presentano solidi fotometrici a volte molto complessi, come quelli visibili in Fig.18.

          

                                                                            Fig. 18

 

Legge di Prevost

 

   Questa legge, anche se non venisse citata, non creerebbe nessun problema, in quanto ormai suona ovvia a chiunque, ma quando venne enunciata era tutt’altro che scontata. Essa dice che

 

                                       .

 

Osservando che

 

                                  e           

 

si ottiene

       

                          .

 

Intensità

 

   Per definire questo concetto è necessario inserirsi nell’ottica di chi riceve la radiazione: l’intensità rappresenta sempre una potenza per unità di superficie, ma questa volta è una potenza ricevuta.

 

      

                                                                           Fig. 19

 

Si supponga che la luce di un corpo nero (alla Lambert) colpisca un osservatore.

Facendo riferimento alla Fig.19, si può osservare che l’angolo dal quale l’occhio vede arrivare la luce influisce sulla superficie che viene effettivamente vista.

Infatti all’osservatore sembrerà che la luce arrivi da un superficie, che chiamiamo apparente, diversa da quella reale. In particolare varrà la relazione

 

                                              .

 

Ma, se l’emissione avviene fedelmente alla legge di Lambert, la potenza che viene irraggiata all’inclinazione q è diminuita dello stesso fattore cosq. Allora si ha cosiddetta Legge di Lambert sull’intensità, secondo la quale

 

                                                      .

 

 

 

 

 

Appendice 1 – Legge di Wien

 

   La legge di Wien è facilmente ottenibile dalla legge di Planck, basta infatti calcolare l’ascissa del massimo del potere emissivo:

 

                                          ( legge di Planck )

 

Dobbiamo ora imporre che :

 

             

 

Ponendo  si ottiene

 

            

 

La condizione è verificata quando si annulla il numeratore:

 

           

 

Si tratta di un’equazione trascendente, che necessita di una risoluzione tramite approssimazione successiva. Il risultato è che la condizione è verificata per due valori: 0 (che non è accettabile) e un numero molto vicino a 5.

Allora

               

 

Stimando meglio il valore di x si ottiene che il prodotto vale effettivamente

 

 

 

 

 

Appendice 2 – Legge di Stefan-Boltzmann

 

   Per ottenerla è sufficiente integrare il potere emissivo specifico del corpo nero, dato dalla legge di Planck, su tutto lo spettro delle lunghezze d’onda.

 

              

 

Ponendo  si ha , quindi

 

                  

 

Conviene ora porre ; allora

 

                 

 

Osservando che  si ha infine

 

                  

 

Quindi risulta        .

 

 

 

Appendice 3 – Tabelle

 

Indice di rifrazione a

 

 

              n

 

 

Solidi

Balsamo del Canada

          1,528         

Calcite

          1,658

Crown dispersivo

          1,520

Flint pesante

          1,650

Quarzo amorfo

          1,458

 

Vetro pesantissimo

          1,890

 

 

Liquidi

Acetone

          1,359

Acqua

          1,333

Alcool etilico

          1,361

Benzolo

          1,502

Etere etilico

          2,352

Solfuro di Carbonio

          1,627

 

 

Gas

Anidride carbonica

       1,000448

Aria

       1,000292

Azoto

       1,000296

Elio

       1,000036

Idrogeno

       1,000132

Ossigeno

       1,000271

 

 

Coefficiente di assorbimento di superfici pulite

 

 

  Temperatura(K)

              a

Alluminio

           520

           0.04

           900

           0.06

Amianto

           600

           0.95

Cromo

           320

           0.08

           830

           0.26

Ferro

           420

           0.05

         1300

           0.37

Ghiaccio secco

           270

           0.97

Nichel

           700

           0.09

Rame

           370

           0.02

Tungsteno

           300

           0.03

         3500

           0.35