Alessio Ruffini – matr. 117550 – Lezione del 9/10/2000 – ora 14.30 – 16.30

 

Esercizi 1° Principio della Termodinamica

 

In questa lezione svolgeremo esercizi riguardanti il primo principio della termodinamica. In alcuni di questi utilizzeremo un recipiente (figura 1):

·        termicamente isolato, cioè con Q = 0 (non si verifica scambio di calore con l’esterno e si trascurano i fenomeni al bordo del recipiente);

·        che contenga, a seconda dell’esercizio, oggetti e sostanze diverse.

 

              

 

Figura 1

 

 

 

1º ESERCIZIO

 

Un recipiente termicamente isolato contiene 100 l d’acqua alla temperatura iniziale di 20°C. All’interno del recipiente vi è, inoltre, un’elica azionata da un motore della potenza di 0.5 CV, che dissipa energia meccanica per una durata t di 20 minuti (figura 2).

Determinare la variazione d’energia interna  DU e la temperatura finale, sapendo che il recipiente è termicamente isolato: la trasformazione è a pressione costante e il calore specifico dell’acqua è pari a:

 

Cp = 4187                     (1)

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

           

    

       Figura 2

 

 

 

Nota:

 

In quest’esercizio, come nei successivi, bisogna innanzi tutto accertarsi che tutte le grandezze siano espresse nelle unità di misura del Sistema Internazionale, il SI contiene le sette unità di misura fondamentali dalle quali si possono ricavare tutte le altre ed è universalmente riconosciuto. Proprio per questo ci preoccuperemo di tradurre tutte le grandezze che incontreremo in quelle riconosciute dal SI (le tabelle di conversione sono inserite in fondo al capitolo).

 

Soluzione

 

I dati trasformati sono i seguenti:

L× = P = 0.5 × 736 = 368 W

M = 100 Kg

t = 20 × 60 = 1200 s

 

Utilizziamo ora il primo principio della termodinamica:

 

DU = Q – L                    (2)   

 

Dato che, per ipotesi, non avviene scambio di calore con l’esterno (Q = 0) e che è un lavoro fatto su sistema (quindi negativo), la formula semplificata è la seguente:

 

DU = - ( - P× t ) = 368 × 1200 = 441600 J                    (3)

 

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

 

Posso calcolare la DU specifica (rispetto alla massa, cioè la variazione per unità di massa):

 

Du =  =  =  4416 ×                     (4)

 

Utilizzando la formula che lega il calore specifico Cp alle temperature, quella finale TF e quell’iniziale TI, ottengo il risultato finale:

                                

4416 = Cp (TF - TI)                    (5)

quindi:

TF = TI +  = 293 +  = 294,05 K

 

 

 

2º ESERCIZIO

 

Un recipiente termicamente isolato contiene 100 l d’acqua alla temperatura iniziale di 20°C.

All’interno del recipiente vi è, inoltre, un albero azionato da una puleggia aggravata da un peso di 100 Kg che, tramite un’elica, dissipa energia meccanica.

Nel recipiente vi è anche una resistenza di 0.2 W che dissipa calore per effetto Joule. Attraverso questa resistenza circola una corrente di 6 A, per un periodo t di 5 minuti (figura 3).

L’effetto dell’energia elettrica deve equivalere a quello dell’energia meccanica prodotta dalla caduta del grave. In base a ciò determinare il dislivello DZ da cui deve cadere il grave.

 

 

Figura 3

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

 

Soluzione

 

I dati trasformati sono i seguenti:

 

M = 100Kg

t = 5 × 60 = 300 s

 

Utilizzando il primo principio ricaviamo:

 

DU = Q = R × i 2 × t = 0,2 × 6 2 × 300 = 2160 J                    (6)

 

Abbiamo ottenuto questo risultato perché la variazione d’energia, dovuta alla resistenza, è data dal solo contributo del calore.

La variazione d’energia  DU dovuta alla massa che cade è:

 

DU = - L = + M × g × DZ                    (7)

quindi:

 

DZ =  = 2.20 m

 

Il lavoro è negativo, perché svolto su sistema, inoltre non c’è scambio di calore siccome stiamo verificando il primo principio sull’universo e non all’interno del sistema.

 

 

 

 3º ESERCIZIO

 

Una massa di gas compie una trasformazione da uno stato iniziale A ad uno stato finale B attraverso diversi stati fisici.

L’espansione da A a B può avvenire attraverso 3 differenti percorsi (figura 4):

 

a) la curva blu nel grafico rappresenta una trasformazione isobara (pressione costante) seguita da un’isocora (volume costante);

 

b) la linea rossa rappresenta una trasformazione in cui la pressione ed il volume    

variano linearmente;

 

c) la curva verde rappresenta una trasformazione adiabatica, vale a dire una trasformazione lungo la quale in nessun punto vi è scambio di calore, quindi Q = 0 non solo nel punto iniziale e finale ma lungo tutti i punti della trasformazione.

La nostra trasformazione adiabatica è del tipo:

p× v = cost.                    (8)

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Determinare il lavoro nelle tre trasformazioni.

 

 

 

 

Figura 4

 

 

Nota:

 

In alcuni casi particolari si può seguire la trasformazione punto per punto (detta trasformazione “quasi statica”). Essa procede per punti contigui uniformemente vicini.

 

Esempio:

 

               

 

        Figura 5

 

Quando il fermo viene tolto (figura 5) si ha un’espansione del gas seguita da una compressione poiché P2 < P1. Questo fenomeno continua con intensità sempre minore fino a che le due pressioni si equivalgono; ciò si può paragonare allo smorzamento di una molla (figura 6).

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

            

       Figura 6a

                         

Figura 6b

 

 Una trasformazione di questo tipo non è quasi statica, quindi occorre una forza F che privi il pistone di brusche accelerazioni (rendendo le variazioni infinitesime).

Ciò è importante poiché, se la trasformazione non è quasi statica, si disegnano diagrammi relativi errati quindi occorre sempre lavorare con trasformazioni quasi statiche.

 

Soluzione

 

I dati trasformati sono i seguenti:

 

VA = 0,001 m3   , VB = 0,008 m3

PA = 32 × 105 Pa  ,PB = 1ּ105 Pa

 

Calcoliamo il lavoro lungo la trasformazione c (figura 7a) :

 

 

Figura 7a

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

in questa trasformazione non vi è scambio di calore quindi il 1° principio diventa:

 

                    (9)

 

Sapendo inoltre che il lavoro è uguale all’area sottesa dalla curva c otterremo:

 

                     (10)

 

  la formula (10) è stata ricavata, utilizzando le grandezze intensive, mentre senza si ha:

                     (11)

 

Sfruttando i dati iniziali ricaviamo:

 

                    (12)

 

quindi :

                   

 

allora,  risolvendo l’integrale otteniamo:

 

L                     (13)

                   

                   

                   

 

                 

introducendo in valori numerici l’equazione diviene:

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Ora esaminiamo il cammino lungo la curva a (figura 7b): il lavoro è semplicemente l’area sottesa dalla curva blu.

 

 

Figura 7b

 

                    (14)

 

Notiamo che il lavoro lungo a è più grande mentre l’energia interna è la stessa.

Sapendo che  otteniamo:

 

                    (15)

 

Quindi la trasformazione a è migliore della c, poiché il calore ricevuto dall’esterno è stato trasformato in lavoro e quindi si può sfruttare.

 

 

Esaminiamo ora il cammino lungo la linea rossa b (figura 7c):

 

 

Figura 7c

 

                                     (16)

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Analogamente a prima otteniamo:

 

 

Quindi si è prodotto meno lavoro poiché si è ricevuto meno calore dall’esterno.

 

 

 

4º ESERCIZIO

 

Analizziamo ora una pompa da bicicletta come quella rappresentata in figura 8.

Spingiamo lo stantuffo fino a quando il volume dell’aria della pompa è diventato un terzo di quello iniziale.

Intuendo che all’inizio la pressione interna della pompa è uguale a quella esterna, cioè di 1 bar, e sapendo inoltre che il volume all’interno della pompa è di 1 l, determinare la pressione finale e il lavoro svolto dalla persona che spinge lo stantuffo.

 

Figura 8

 

Soluzione

 

I dati trasformati sono  e  (pressione iniziale).

 

Sfruttando la legge dei gas perfetti, abbiamo quest’ equazione:

 

                    (17)

 

La temperatura T si mantiene costante durante la trasformazione perciò l’equazione diventa questa:

 

                    (18)

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

quindi:

 

                    (18)

 

Il lavoro è invece rappresentato dall’area tratteggiata in blu e in rosso, quindi:

 

 

                    (19)

 

Osserviamo che questa equazione è corretta nella logica del sistema, però ciò non rappresenta il lavoro effettivamente svolto dalla persona che spinge il pistone, infatti anche la pressione ambientale svolge un lavoro e precisamente l’area tratteggiata in rosso quindi:

 

                    (20)

 

Consideriamo che il nostro sistema non sia solo isolato, ma addirittura raffreddato in modo tale da mantenere la temperatura costante quindi possiamo scrivere:

 

                    (21)

 

continuando:

 

                    (22)

 

 

quindi risolvendo e inserendo i valori numeri otteniamo:

 

 

 

Il lavoro è negativo perché è ricevuto dal sistema.

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Siamo così arrivati alla pressione P2.

A questo punto, scatta la valvola della camera ad aria (figura 9) e il sistema da chiuso diventa aperto. Esce l’aria rimanente dalla pompa fino a quando il pistone arriva a fine corsa.

 

Figura 9

 

A questo punto, si ritorna indietro.Entra l’aria attraverso la guarnizione alla pressione di 1 atm. Osservando la figura 10, m’accorgo che  ma è l’energia interna del sistema chiuso. Se considero anche l’aria che entra nella pompa, ho un

 

             

 

Figura 10

 

sistema aperto e quindi non vale più la reazione precedente che si rifaceva al 1º PRINCIPIO della TERMODINAMICA

 

Durante la compressione, ho ricevuto lavoro dall’ambiente mentre ne ho ceduto all’ambiente durante l’espansione del pistone: i due lavori risultano coincidenti e sono uguali a (figura 11):       

                    (23)

 

 

 

 

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

 

        Figura 11

 

Osserviamo che non è importante quale sistema di riferimento sia stato preso, purché alla fine, il lavoro coincida in ogni sistema.

 

 

NOTA:

 Questi ultimi tre esercizi si possono risolvere intuitivamente, però cercheremo di spiegarli in modo più rigoroso.

 

 

 

5º ESERCIZIO

 

Una pompa preleva dell’acqua da una fontana. Alla sommità della pompa si registra, con un barometro, la pressione di .

Calcolare la prevalenza della pompa, cioè l’altezza teorica Z a cui la pompa potrebbe sollevare l’acqua (figura 12).

 

 

Figura 12

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Soluzione:

 

Dalle tabelle in fondo al capitolo apprendiamo che la pressione atmosferica è equivalente ad una colonna di mercurio alta 760 mm.

Poiché vale,ovviamente la seguente relazione:

 

                    (24)

 

Ne consegue che:

                    (25)

 

quindi la prevalenza vale:

 

 

 

6º ESERCIZIO

 

Un uomo si trova 20 m sott’acqua e riceve aria da una bombola che eroga ossigeno alla stessa pressione in cui si trova, cioè a 200 bar (figura 13).

L’uomo prende una boccata d’aria e, supponendo che abbia nei polmoni 6 l di ossigeno, determina a quanto equivale la forza di galleggiamento.

 

 

 

Figura 13

 

Soluzione:

 

L’uomo riceve aria dalle bombole alla pressione di 3 bar (1 bar dovuto all’atmosfera, 2 per la profondità di 20 m).

L’aria, una volta entrata nei polmoni, forma con questi un sistema termodinamico chiuso a temperatura costante (quella del corpo umano).

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Quindi dalla legge dei gas abbiamo che:

 

                   (26)

 

Una volta in superficie, la pressione è quella atmosferica di 1 bar quindi il volume V2 sarà:

                    (27)

 

L’uomo galleggia poiché il suo volume è aumentato di 12 l e il suo peso è rimasto invariato.

All’inizio l’uomo si trovava sotto il livello dell’acqua di 20 m. Ora, grazie ai 12 l di volume in più, avrà una forza di galleggiamento pari a:

 

                                                   (25)

 

 

7º ESERCIZIO

 

Una pentola contiene 10 libbre d’acqua e viene scaldata con una fiamma che fa passare la temperatura da 0º R a 80º R e da 32º F a 212º F (figura 14).

Qual è la quantità di calore Q necessaria affinché ciò avvenga?

 

Figura 14

Soluzione:

 

I dati trasformati sono i seguenti:

 

10 libbre = 4356 g

0º R = 0º C

80º R = 100º C

0º F = 0º C

212º F = 100º C

 

In entrambi i casi, la quantità di calore necessaria sarà la stessa.

Dalla definizione di caloria si ricava che per aumentare di 100º C 1 g d’acqua occorrono 100 calorie. Quindi la quantità di calore necessaria nel nostro caso è:

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

TABELLE

 

Pressione

Pa

atm

bar

torr (mmHg)

mH2O

kp/cm2

Pa

1

9.87×10-6

10-5

7.5×10-3

1.019×10-4

1.019×10-5

atm

1.013×105

1

1.013

760

10.33

1.033

bar

105

0.9869

1

750

10.2

1.02

torr (mmHg)

1.333×102

1.31×10-3

1.33×10-3

1

0.0135

0.00135

mH2O

9.81×103

0.0968

0.098

74

1

0.1

kp/cm2

9.81×104

0.968

0.98

740

10

1

 

Legenda:

Pa = Pascal

Atm = atmosfera

Torr = torricelli o mm di mercurio

mH2O = metri di acqua

kp/cm2   = chilogrammo su centimetroquadrato

 

 

Potenza

W

CV

HP

Kpm/s

Kcal/h

W

1

1,36×10-3

1,34×10-3

0,102

0,8598

CV

736

1

0,986

75

632,81

HP

745,2

1,014

1

76,04

640,72

Kpm/s

918

0,01333

0,01315

1

8,426

Kcal/h

1,163

1,581×10-3

1,558×10-3

0,118

1

 

Legenda:

W  =  watt

CV = cavallo-vapore

HP =  horse-power

Kpm/s  = kilogrammetro al secondo

Kcal/h   = chilocaloria su ora

 

 

 

 

Energia

J

CVh

erg

cal

eV

BTU

Kgm

J

1

3,77×10-7

107

0,239

6,24×1018

9,47×10-4

0,1

CVh

2,65×106

1

2,65×1013

0,63×106

16,5×1024

2,5×103

2,65×105

erg

10-7

3,77×10-14

1

0,239×10-7

6,24×1011

9,47×10-11

0,1×10-7

cal

4,184

15,77×10-7

4,184×107

1

26,1×1018

39,6×10-45

0,418

eV

1,602×10-19

6×10-26

1,602×10-12

3,82×10-20

1

15,15×10-23

1,602×10-20

BTU

1055

3,97×10-4

10,55×109

252

6,58×1021

1

105,5

Kgm

9.807

3,7×106

9.807×10-7

2,34

6,1×1019

9,2810-3

1

 

 

 

 

 

Lezione del 9/10/2000 – ore 14.30–16.30

 

Legenda:

J  =  Joule

CVh = cavallo-ora

erg =  erg

cal  = caloria

eV  = elettronvolt

BTU = British termal unit

Kgm = Kilogrammetro

 

 

 

 

Densità

,

 

acqua

1000

mercurio

13590

Acqua del mare

1025

Freon 12

1327

benzene

881

metanolo

791

 

 

 

Temperatura

Congelamento dell’acqua

Ebollizione dell’acqua

K Kelvin

273,15

373,15

ºC Celsius

0

100

ºF Fahrenheit

32

212

ºR Réamur

0

80

 

Relazione fra scale di temperatura:

T(K) = T(˚C) + 273,15  = 5/9 T(ºF) + 255,37  = 5/4 T(ºR) + 273,15

T(˚C) = T(K) – 273,15 = 5/9 [T(ºF) – 32]        = 5/4 T(ºR)

T(ºF) = 9/5 [T(K) – 255,37] = 9/5 T(˚C) + 32  =  9/4 T(ºR) + 32

T(ºR) = 4/5 [T(K) – 273,15] = 4/5 T(˚C)          = 4/9 [T(ºF) – 32 ]

 

      Relazione fra scale di peso:

       1 lb(GB) = 453.6 ּ 10-3

          1 lb(USA) = 435,6 ּ 10-3