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Mammi Pier-Paolo |
Nell'ultima lezione abbiamo trattato l'equazione di
Navier.
(1)
Si è visto che i primi due membri dell'addizione erano dati, il primo dalla
forza di massa, il secondo dalla forza di pressione. Bisogna trovare da cosa
deriva il terzo membro. Consideriamo quindi il flusso di un fluido e prendiamo
un volume interno ad esso. Poniamo infine un sistema di coordinate cartesiane
(fig.1).
Fig.1
Le facce del
volume sono sottoposte a sforzi paralleli alla direzione del fluido.
I vettori sono:
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
A questo punto possiamo trovare la variazione di forza infinitesima lungo
l'asse y.
(2)
che può essere riscritta in forma compatta
(3)
Similmente possiamo scrivere le relazioni per le componenti lungo gli assi
x e z.
(4)
(5)
Possiamo infine mettere insieme queste tre relazioni e scrivere:
(6)
oppure, in forma ancora più compatta
(7)
che non è altro che il primo addendo del terzo membro. Notiamo però che nella
formula (1) vi è una parte che fin qui non abbiamo calcolato: da dove deriva? Finora
abbiamo considerato il fluido come se fosse incomprimibile. Se rifacciamo i calcoli
tenendo conto di ciò otterremo anche l'ultima parte (dimostrazione omessa).
Abbiamo finora
considerato condotti a sezione circolare, ma nella pratica vengono spesso utilizzati
condotti a sezione rettangolare, principalmente per impianti di condizionamento.E'
quindi interessante vedere il funzionamento di tali condotti.
Supponiamo quindi
di avere un condotto con sezione rettangolare in cui facciamo scorrere aria
a 25°C (fig.2).
Fig.2
Dati del problema:
·
·
·
·
·
·
·
Vogliamo sapere quanto valgono le perdite se:
1) l'aria entrante ha temperatura 25°C;
2) l'aria entrante ha temperatura 80°C.
Studiamo il
primo caso. Sappiamo che la perdita di carico si misura con la formula
(8)
dove L è la lunghezza del condotto, D è il suo diametro (nel caso di sezione
circolare), w la velocità media del fluido, 
è la densità del fluido e 
si trova dal diagramma di Moody (vedi Appendice,
Tab.3), una volta noto il numero di Reynolds.
In questo caso non abbiamo una sezione circolare, perciò sostituiremo a D il diametro
equivalente Deq.
Calcoliamo innanzi tutto il diametro equivalente. La formula ci dice che
(9)
quindi, considerando anche la verifica dimensionale
Ora calcoliamo la velocità w del fluido, ricordando che
(10)
Dalle tabelle delle caratteristiche dell'aria secca a 25 °C (vedi Appendice, Tab.1) vediamo
che
Rimane da calcolare
il valore di .
Bisogna prima calcolare il numero di Reynolds: dobbiamo, infatti, sapere se
il moto è turbolento oppure laminare. La formula dice che
(11)
quindi abbiamo che
Ciò assicura
che il moto è turbolento, pertanto ora possiamo rilevare il valore di
dal diagramma di Moody. Otteniamo
A questo punto
abbiamo tutti i dati che ci servivano. Sostituiamo nella (8).
Consideriamo
ora il secondo caso, vale a dire l'aria alla temperatura di 80 °C. Adesso i valori di
e 
sono cambiati e
valgono
Devo nuovamente
calcolare il numero di Reynolds. Dalla (11)
Controlliamo
nuovamente il diagramma di Moody e questa volta abbiamo
Infine, la nuova
perdita di carico vale, dalla (8)
In questo caso la perdita di carico è minore.
Supponiamo di
voler determinare la velocità di un fluido. Innanzi tutto ci dobbiamo chiedere
quale velocità vogliamo misurare. Infatti, posso avere una misura della velocità
puntuale, cioè della velocità in una zona particolare di un condotto,
oppure della portata o velocità media.
Per effettuare le misurazioni posso disporre di diversi tipi di strumenti, alcuni
adatti ad una misurazione della velocità puntuale, altri alla misurazione
della portata.
Cominciamo con l'illustrare alcuni strumenti che misurano la portata di un fluido.
Con questo metodo
si misura la quantità di liquido che, fuoriuscito da una tubatura, si raccoglie
in un recipiente graduato (fig.3). Dopodiché si divide questo valore per l'intervallo
di tempo e si ottiene la portata in massa.
(13)
Fig.3
Questo metodo ha grossi limiti per quanto riguarda la precisione: essa dipende dalla taratura degli strumenti e dall'accuratezza con cui avviene la misurazione.
Il principio del tubo di Venturi si basa su un brusco restringimento di sezione (sezioni 1-2), seguito da un graduale allargamento della stessa (sezioni 2-3). Ciò permette di recuperare nella sezione 3 fino al 90% della pressione alla sezione 1, persa nella brusca variazione di sezione (fig.4).
Fig.4
Utilizzando l'equazione di continuità di Bernoulli possiamo trovare la velocità media del fluido. Vediamo come.
Ricordiamo l'equazione
di continuità
(14)
Questa può essere
semplificata: innanzi tutto non vi è produzione di lavoro da parte del fluido,
quindi l=0. Il tubo è simmetrico rispetto
al proprio asse e, se consideriamo i punti alla stessa altezza, anche il secondo
termine può essere trascurato. Trascuro anche le perdite di carico, ho costruito
il tubo in maniera da ottenere proprio questo effetto! Inoltre sicuramente p2
<p1 dato che
la sezione 2 è minore della 1.
L'equazione diventa quindi
(15)
Cerchiamo ora
una relazione che leghi w1
a w2, in modo da eliminare
una incognita. Sappiamo che, dette A1
e A2 le aree delle sezioni
1 e 2, dalla (11)
(16)
Possiamo allora riscrivere la (15) come
(17)
Infine ottengo
(18)
Da questa e dalla (11) ottengo la portata nella sezione 1.
Il misuratore
magnetico è costituito da un tubo, in cui facciamo scorrere il fluido obbligatoriamente
paramagnetico e da un circuito che lo avvolge, in cui facciamo passare una
corrente variabile nel tempo (fig.5). In tal modo creiamo un campo elettromagnetico:
il fluido, attraversandolo, genera una forza elettromotrice indotta che possiamo
misurare. Da questa misura risaliamo alla portata con la formula
(19)
Fig.5
Il misuratore
di ultrasuoni sfrutta l'effetto Doppler,
secondo il quale la frequenza delle onde sonore in un fluido varia a seconda
che quest'ultimo sia in movimento oppure no.
Fisicamente,
è costituito da un tubo su cui sono praticate due aperture: nella prima è posto
un trasmettitore che emette onde sonore di frequenza nota, nella seconda un ricevitore
(fig.6). Nel caso in cui il fluido sia fermo, il ricevitore
rileva onde della stessa frequenza di partenza; se invece il fluido è in movimento,
la frequenza è differente. Ciò permette anche di sapere in quale direzione
il fluido si stia muovendo: il fatto che la frequenza rilevata è minore di quella di partenza
significa che il fluido si sta
muovendo in direzione opposta alla propagazione delle onde (nel nostro caso
da destra verso sinistra); viceversa, se la frequenza rilevata è maggiore di
quella di partenza.
Fig.6
La formula che
mette in relazione frequenza e velocità media del fluido è la seguente:
(20)
Il misuratore ad ultrasuoni non ha problemi dovuti alle perdite di carico. Ha il vantaggio di essere uno strumento molto preciso,ma lo svantaggio di essere difficile da mettere a punto.
Nel rotametro
il fluido di cui vogliamo misurare la portata è fatto scorrere dal basso verso l'alto
in un tubo, normalmente di vetro, di sezione variabile. Il fluido, scorrendo,
sospinge un galleggiante, di cui possiamo rilevare l'altezza raggiunta
mediante una graduazione posta sulla superficie esterna (fig.7).
Questo strumento
presenta diversi problemi. La struttura esterna deve essere trasparente, quindi possono
sorgere problemi di visibilità nel caso di sedimenti o di smerigliamenti, dovuti
agli urti del galleggiante contro il tubo. Inoltre il rotametro è poco preciso perché non
abbiamo una misura esatta dell'altezza raggiunta dal galleggiante, il quale,
tra l'altro, non mantiene stabilmente la posizione raggiunta.
Fig.7
Vediamo ora alcuni strumenti che sono utilizzati per una misura puntuale della velocità di un fluido.
Questo strumento, generalmente di acciaio, è costituito da due tubi concentrici e coassiali, piegati ad angolo retto. La parte perpendicolare al terreno è detta gambo, e termina in un manometro, mentre quella parallela è chiamata testa. Quest’ultima è inserita nel condotto dove scorre il fluido di cui vogliamo misurare la velocità, parallelamente alla direzione del flusso (fig.8).
Fig.8
Il fluido, entrando nella testa, riempie tutto lo strumento; il tubo è quindi visto come chiuso frontalmente dal restante fluido, che è così costretto a scorrere intorno alla testa (fig.9).
Fig.9
All’inizio della testa abbiamo quindi velocità nulla
e, di conseguenza, un massimo di pressione. Il fluido che scorre intorno alla
testa riacquista la velocità che aveva in precedenza e possiamo rilevare la
pressione statica, in corrispondenza dei fori appositi. Consideriamo ora un
tubo di flusso come in figura 9, tra il foro di pressione di ristagno e quello
di pressione statica. Scriviamo quindi l’equazione di Bernoulli per quel tubo.
(21)
Facciamo alcune considerazioni
· innanzitutto il lavoro l può essere posto uguale a zero: non abbiamo
pompe o ventole che producano lavoro;
· possiamo trascurare le perdite di carico R: lo strumento è progettato
per far sì che il fluido scorra aerodinamicamente;
· le misurazioni avvengono alla stessa altezza, sempre per costruzione, pertanto
possiamo trascurare anche la variazione di altezza;
· come abbiamo già detto prima, la velocità al foro di ristagno è nulla, quindi
u1 è uguale a zero.
Riscriviamo quindi la (21)
(22)
da cui ricaviamo l’espressione della velocità
(23)
La differenza di pressione si trova normalmente con un micromanometro a tubo inclinato, strumento costituito da un serbatoio, contenente liquido, comunicante con un tubo inclinato. Le due aperture sono rispettivamente a pressione p1 e p2, di conseguenza il livello del liquido si alzerà o abbasserà, e questa variazione può essere rilevata direttamente dal tubo graduato (fig.8). La sensibilità del tubo può essere aumentata variando l’angolo che esso forma con il terreno. Questo strumento è molto preciso, ma rileva grandezze in un intervallo limitato.
Esistono anche altri tipi di micromanometri, per esempio quello a membrana. E’ uno strumento costituito da una sfera divisa in due ambienti da una membrana mobile (fig.10). I due ambienti comunicano con l’esterno e possono essere messi alle pressioni di cui vogliamo calcolare la differenza. La membrana si sposterà verso l’alto o verso il basso, a seconda che la pressione dell’ambiente inferiore sia maggiore o minore dell’altra, e questa variazione può essere misurata.
Fig.10
Sono due misuratori di portata, che si basano sull’introduzione di un disco, opportunamente modellato, in un condotto. Se il misuratore consiste in un disco forato, è detto diaframma; se consiste in un disco a campana, boccaglio. Questi generano una perdita di carico concentrata e, quindi, una variazione di pressione. A differenza del tubo di Venturi, in questo caso non posso recuperare la pressione persa durante il passaggio attraverso il foro. Questa variazione può essere misurata a monte e a valle del misuratore, tramite una coppia di tubicini (fig.11), che saranno collegati, per esempio, ad un micromanometro.
Fig.11
La variazione
vale
(24)
dove 
è il coefficiente di perdita concentrata, una costante che
dipende dallo strumento utilizzato (vedi Appendice,
Tab.4). Ovviamente p2<p1, quindi
(25)
Sono strumenti molto economici e facili da applicare, ma presentano dei problemi: infatti, se sto studiando liquidi particolarmente densi, potrebbero verificarsi delle sedimentazioni che otturano il foro, alterando, quindi, la validità dei risultati.
Esistono due
tipi principali di turbine: quelle che misurano la velocità di un fluido (le
turbine vere e proprie) e quelle che misurano la velocità di un gas (che sono
dette ventole).
In generale sono costituite da un piccolo tubo, al
quale è fissato un manico, contenente un’elica sostenuta da un perno (fig.12).
La misurazione
avviene inserendo la turbina nel condotto dove scorre il fluido, in modo che
l’asse di rotazione della ventola sia parallelo alla direzione del flusso (fig.12).
Il moto dell’elica è trasmesso ad un trasduttore (in genere un contascatti),
attraverso il quale si rileva immediatamente la velocità.
Fig.12
Esistono anche turbine che misurano la portata di un liquido. In questo caso lo strumento viene posto internamente al condotto e ne occupa una sezione (fig.13). La misurazione avviene tramite un trasduttore, come per le ventole.
Fig.13
|
Temperatura |
Densità |
Viscosità dinamica |
|
|
t |
T |
|
|
|
°C |
K |
kg/m3 |
Ns/m2 |
|
-180 |
93,15 |
3,720 |
6,472 |
|
Temperatura |
Densità |
Viscosità dinamica |
|
|
t |
T |
|
|
|
°C |
K |
kg/m3 |
Ns/m2 |
|
0 |
273,15 |
1000 |
17,887 |
